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/361sinx, 1dx1sinx, 1dx0 0 cX n0(1)n dx(1)n .LLLLLLLLL(8分)(2n1)!no(2n2)!九、经济应用题（请写出主要计算步骤及结果， 8分.）证明：（1）如果X,Y,是拉格朗日函数L（X,Y,）的无条件最大值点，则0— （XPXYPYa）,LLLLLLLLL（1分）X,Y,从而XPxYPYa。此外对于任意满足约束条件 XPxYPYa的点X,Y都有U（X,Y）U（X,Y）（XPxYPYa）L（X,Y,1）LX,Y,UX,Y,LLLLLLLLL（3分）因此X,Y是条件极值问题（i）的解。⑵如果XPxYPYaa,则令XiX—,PX于是Xi,Y也满足预算条件（i）,由于Ux0,必有UXi,Y UX,Y,但这与X,Y是条件最大值点矛盾，因此必有XPxYPYa。LLLLLLLLL（5分）（3）由（2）知条件极值问题（i）的解一定是下列条件极值问题的解maxU（X,Y） （subjecttoXPXYPYa由（）约束条件解出Ya&X,于是PYdU U U PXdX X Y PY,

如果X,Y如果X,Y是（i）的解，则它也是（）的解，因此dUdXx0,由此得到U UXX,Y YX,Y ,LLLLLLLLL（7分）Px Py1UP1UPxXX,YX,YYL,UX,YYL,UXX,YUYX,YR0,Py 0,LX,Ylimnn-sin2—,LLLLL2kLX,Ylimnn-sin2—,LLLLL2kLL（6分）由于k的任意性，必有I0。LLLLLLL（8分）（XPXYRa）0.LLLLLLLLL（8分）十、证明题（请写出推理步骤及结果，6分.）TOC\o"1-5"\h\z证法1：设In万sinnxdx,首先由于In1nl0,limln存在，不妨设limInI。0 7n nLLLLLLL（2分）其次对任意自然数k1,k1,r2"-n 2 -nInsinxdxk21sinxdx-2k1 .nk1 1 sin ,LLLLLLL（4分）k2k2k2因此证法2:1n2sinnxdx2sinn1xd(cosx).n1 2 2-n2 2sinxcosx2(n1)2sinxcosxdx

o o(n1)02sinn2x1sin2xdx(n1)(In2In)LLLLLLL(3分)因此Inn2,2,LLLLLLL(4分)2k时,In12k2k2k1l2k2k12k32k2k212k42k12k3l2k12k3l2k12k2k12k22k2k2kln12kInklni1In2i因此limkI2k0。LLL(6分)2k1时,InI2k12k2k

12k12k22k12k2k2ln12k2k12k-L1II12k12k112k2k2k22k12k-L12,k1.3k1lni12i1i12i1因此

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