立体几何大题：垂直及其应用归类2021-2022学年高一下学期题型归纳与变式演练(人教A版2019必修第二册)（解析版）

专题10立体几何大题：垂直及其应用归类目录TOC\o"1-5"\h\z热点题型归纳 1【题型一】垂直基础：“三垂线”定理模型与线面垂直 1【题型二】面面垂直 5【题型三】线线垂直 10【题型四】垂直应用1：线面角 13【题型五】垂直应用2：二面角 17【题型六】翻折中的垂直 20【题型七】垂直探索型 25【题型八】垂直应用3：角度综合 30二最新模考题型 36w撞点敦型归他【题型一】垂直基础：“三垂线”定理模型与线面垂直垂线定理定义：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在平面的射影垂直。【例1】已知长方体AO中，棱AB=BC=3,棱88/=4,连接8/C,过8点作8/C的垂线交C0于E,交B/C于RAi Di

(1)求证A/C_L平面EBD；(2)求二面角劭一BE—4的正切值.【答案】(I)证明见解析⑵”16【分析】(1)先证明BE1平面A4C,则ACJ.BE,再证明8OJ_平面AAC,则ACJ.BC,从而即可证明4CL平面EBD；(2)由平面用BCG，又与FLBE,则AF_L8E,进而可得幺下片是二面角8「8E-A的平面角，在RtA8M中，求出"= 即可在Rt"做中求出与尸若，从而即可得答案.证明：平面qBCG，又qC_LBE,4用("|80=4，.-.BEJ_平面AB©,:.A,C±BE,又A4,J_平面ABC。，.人■LB。，且80_LAC,AA,J.AC=A,.•.80_1平面44,。，/.A.C1BD,又BEcBD=B,•••A/CJ•平面EBD；解：平面与BCR,又••.幺段是二面角B、-BE-A的平面角，12在RSqBC中,BC=3,BB]=4,.\^,C=5,/.BF=~在RIaBFB1中，BF=JbB-BF2若tanZAFB,=.=-^=—''B]F1616.5【例2】如图，四棱柱ABCO-A4G。的底面A8C。为菱形，NABC=60。，其中侧面8/CG为矩形，E、F分别为BC4G的中点，户在线段A£上，且满足":PE=1:2,过Bg和点产的平面交AB于G,交DC于H.BiB⑴证明：BtCt//GH；(2)证明：64_1平面4历；D\TT⑶若AB=PF=12,且NEPF=5，求四棱锥E-G7/C4的体积.【答案】(1)证明见解析.⑵证明见解析.(3)288

【分析】⑴由平面ABCD//平面ABCQi得到两条交线平行即.(2)通过AE，BC和EF_L8C证明5C，面A所即可证明G"_L平面AM；(3)作出四棱锥的高，求出底面面积，利用体积公式计算即可.(1)v四棱柱A8C£>-A4G。中，平面A8C。//平面AMCQ,设过4G和t的平面为a,由题可知面ABCD[}a=GH，面A4GAp|a=4G，，B、C、HGH⑵由（1）得G〃〃与CJ/BC,连接AC,;A8C。为菱形，ZABC=60..•.aABC为等边三角形，E为BC中点，/.AElfiC,又〈BiBCG为矩形，；.B/LBC, E,尸分别为q8,BC中点，所以EF〃48,.-.EF1BC,AEcEF=E,BCA.61AEF,.•.64_1_面4"BECQGHu面GHQB,,由（2）知G〃J•面AEF,.••面G//G4_L面AEF,面G”C£n面AEF=PF,过E做㈤W_LPF交尸尸于何，,EM_1_面6"。中，在等边aABC中，AB=\2,:.AE=6y/3,-.AP;PE=1.2,.•./3£=彳4£=46,.・.在用4£^/>中，NEPF=J：.EM=PEsin^=6, 由（2）得BC_L面AEF,PEu面A£7\\BCAP尸，...四边形的高为2产=12,SGHC>Bi=12x12=144,VEchca=1x6xl44=288.【例3】如图，在四棱锥P—ABC。中，底面A5CZ）为平行四边形，ZADfi=ZPDC=90°,平面PA£）_L底面ABC。，M是棱PC上的点.⑴证明：PD_L底面ABC。；⑵若三棱锥A-800的体积是四棱锥P-ABC。体积的!，设PM=rMC,试确定，的值.4【答案】(I)详见解析；⑵f=1.【分析】(1)利用面面垂直的性质定理，可得B。，平面PAD,然后利用线而垂直的判定定理即证：(2)由题可得匕-8c°，进而可得MC=gpC,即得.ZADfi=90°,平面R4£)_L底面ABCD,AAD1BD,平面PADPl底面A8CC=A。，8£)u底面A5CC,8。_L平面PAD,P£>u平面PAD.BDLPD,又NP£>C=90。，/•PD1DC.BD\DC=D,PD_L底面ABCD；设PD=h,M到底面ABC。的距离为I,三棱锥A—EW的体积是四棱锥P-ABC。体积的J,4••^A-BDM=^M-ABD=T^P-ABCD»乂^M-ARD=§S4ABD•''^P-ABCD=§aABCD'"'tABD=/cABCD'Ah'=^h,故MC=；PC,乂PM=tMC,所以r=l.【例4】如图，正方体A8CD-ABCA中，点E,尸分别为棱。。，8c的中点.(1)证明：A。，平面A8GR；

(2)证明：所〃平面A8GA.【答案】(1)详见解析；(2)详见解析.【分析】(1)利用线面垂直的判定定理即证；(2)设A0cAR=G,由题可得防〃G&再利用线面平行的判定定理可证.由正方体的性质，可得AOLAA，AB,平面AORA，/.ABIAyD,又A£)[C48=A,...AO_L平面48GoI；设AOc4"=G,连接EG,BG,Di GDi G则EGHAD,EG=-AD,BF//AD,BF=-AD,：.EG“BF,EG=BF,•••四边形BFEG为平行四边形，：.EF//GB,又EFg平面ABC01,GBu平面ABG",所〃平面A8CQ【题型二】面面垂直证明面面垂直的核心思维：寻找其中一个平面的垂线(及其平行线)【例1】如图，在三棱锥S—A8C中，SCL平面ABC,点P、M分别是SC和SB的中点，设PM=AC=\,ZACB=90°,直线AM与直线SC所成的角为60。.⑴求证：平面MAPJ■平面SAC.(2)求二面角M—AC—B的平面角的正切值；宁夏银川一中2021-2022学年高一上学期期末考试数学试题【答案】(I)证明见解析⑵迈3【分析】(1)由已知可证8C，平面SAC,又PA/〃BC,则PM,面SAC,从而可证平面MAP_L平面SAC；(2)由AC1平面SBC,可得NMC8为二面角M—AC—B的平面角，过点M作MM1C8丁N点,连接AN,则/AMN=60。，山勾股定理可得AN=&在RUAMN中，可得MN=坐,从而在RtaCVM中，即可求解二面角M—AC—8的平面角的正切值.证明：,.•5(7_1_平面48(7,；.5(7,8(7,又,.•/ACB=90°,：.AC±BC,XACQSC=C,平面SAC,又：P,M是SC、SB的中点，.\PM〃8C,.•.PM_LiBjSAC,又PMu平面AMP,平面MAPL平面SAC；解：：SC_L平面ABC,ASCXAC,y.ACIBC,BC[}SC=C,；.AC_L平面SBC,：.AC±CM,AC±CB,从而NMCB为二面角M—AC—8的平面角，:直线AM与直线PC所成的角为60。，过点M作MNLCB于N点，连接AM则NAMN=60°,在△C4V中，由勾股定理可得AN=0，TOC\o"1-5"\h\z在Rt“VWZV中，MN=———=72—=—.tan/AMN3 3在RtZXOVM中， 八/c,MN5~底.tan/MCN== =CN1 3【例2】如图，四棱锥P-ABCO的底面ABCD为正方形，底面ABC。，七、尸分别是AC.P8的中点.FB C⑴求证：EF//平面PCD；(2)求证：平面平面PAC.甘肃省武威市凉州区2020-2021学年高一上学期期末考试数学试题【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【分析】(I)连接8。，根据线面平行的判定定理只需证明EF〃尸。即可；(2)利用线面垂直的判定定理可得BDL向PAC,再利用面面垂直的判定定理即证.如图，连结B。，则E是8£>的中点，乂尸是尸8的中点，B C：.EFHPD,又：所0平面PC£>,P£>u面PCD,EF//平面PCD；•.•底面A8CO是正方形，BD工AC,,/PAJ■平面ABCD,8£>u平面ABCD,:.PALBD,又PAnAC=A,BD±面PAC,又5。u平面PBD,故平面尸8。_L平面PAC.【例3】如图，四棱柱A8C3-ABCR的底面为菱形，AAJ.底面ABC。，/84。=120。,AB=2,E,F分别为CDA4,的中点.出6E出6EB C⑴求证：。尸〃平面B|AE；(2)求证：平面用AE_L平面AqBA；(3)若AA/=2,求二面角q-AE-〃的正弦值.天津市红桥区2018-2019学年高一下学期期末数学试题【答案】(I)证明见解析；(2)证明见解析；⑶迹.10【分析】(1)取A4的中点G,连接FG,GE,证明。尸〃EG,原题即得证：(2)连接AC,证明短平面AB/A,原题即得证；(3)取CO中点跖连接ME,ER,MR,证明即为二面角刈-AE-0的平面角,再解三角形得解.证明：取A4的中点G,连接尸G,GE,；.FG=；ABi，fG//A,B,,DE=^A,Bt,DE//A,B,,:.FG=DE，FG//DE.四边形GEOF是平行四边形. ADF//EG.又OFa平面AAE,EGu平面B|AE,二。尸〃平面旦AE.41 Di证明：连接AC,在菱形ABC。中，VZBAD=\20°,.•.44DC=60。.△AC£)是等边三角形.:.AE1CD.:.AE.LAB.又M，平面ABC。，?.AA.1AE.又ABc惧=A,A8,A4,u平面4旦84, /.AEJ_平面44班.・・・平面4AE_L平面入片区4.

小O.B小O.解：取CG中点M,连接厕ME//QC///AB/,所以ME在平面B/4E内.由4£_1_平面4484,得A£J_平面C7)£>/。，AE±ME,AES.EDI.■•NMEDi即为二面角8,-AE-D,的平面角，在aM£R中，ME=4i，£»1=6，MR=6，所以cosZMED]=2H=-4=sinZA/ED,= .2xV2xV5V10 1 10【例4】如图所示，已知A8_L平面ACD,OEL平面ACZ),八4。为等边三角形,AD=DE=2AB,尸为8的中点.求证：⑴AF〃平面8CE；(2)平面3CE_L平面CDE.西藏自治区拉萨中学2020-2021学年高一下学期期末考试数学试题【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】(1)取CE的中点G,连接尸G,BG,由三角形中位线定理结合已知条件可证得四边形GE4B为平行四边形，则AF〃8G,再由线面平行的判定定理可证得结论，(2)由等边三角形的性质可得AF_LCD,由DEJ•平面ACD,可得DE_LAF,则由线面垂宜的判定可得ATJ"平面CDE,而瓶〃8G,所以可得BGJ•平面CDE,然后由面面垂直的判定定理可证得结论取CE的中点G,连接FG,BG,因为尸为CZ)的中点，所以FG//DE,FG=gDE,因为AB_L平面AC。，DEL平面AC。，所以AB〃DE,所以尸G〃AB,因为AB=gDE,所以尸G=AB,所以四边形GE4B为平行四边形，所以瓶〃BG,因为AF<z平面8CE,5Gu平面8CE,所以AF〃平面BCE,(2)因为"8为等边三角形，F为C。的中点，所以AFLCO,因为。E_L平面ACO,AFu平面ACD,所以£>E_LA/，因为所以AFJ_平面CO£,因为AF〃BG,所以8G_L平面,COE,因为BGu平面BCE,所以平面BCE_L平面CCE【题型三】线线垂直【例1】如图，三棱柱A8C-A8|G中，侧面88CC为菱形，AC=ABl.(1)证明：ABlBtC.(2)若AC_L4B1,NCB耳=60,AB=BC,求直线A4与平面AC耳所成的角.【答案】(1)证明见解析(2)60【分析】(1)连接BG，交B1c于点0,连接A。，证明出与CJ•平面ABO,再利用线面垂直的性质可证得结论成立；(2)分析可知直线A々亏向ABC所成角等于直线AB与面做C所成角，证明出△BOC/aBOA,可得出AOLBO,证明出80上面A4C,可得出/班0是直线AB与面48(所成角.结合三角形全等可求得结果.证明：连接8G，交8C于点0,连接A0.因为四边形C88G为菱形，所以。是与。的中点，

AA因为AOcBG=O, 平面A80, 平面ABO,••.ABJ.BC.解：因为A8〃Ag,所以直线A4与面44c所成角等于直线AB与面AB。所成角.因为AC_LA&,所以AO=CO,又因为AB=CB,BO=BO.AO=CO,所以，aBOC%BOA,所以NCOB=ZAOB=90，即AOJ_8。，BOLBtC,40080=0,所以面ABQ,所以NBAO是直线AB与面ABQ所成角.因为NCB4=60:,所以NBAO=NBCO=60,所以直线A8与面AB°所成角等于60,所以直线A£与面A4c所成角等于60.【例2】如图，在三棱锥A—BCD中，点E,尸分别是8D,BC的中点，AB=AD,AE±BC,求证：B(1)所〃平面礼。：(2)A£1CD【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】(1)由EF〃。即可证明E产〃平面ACD；(2)由 A£_L8C可证明AE_L平面8C。，即可证得4E_LC£>.因为点E.尸分别是BO,BC的中点，所以EF〃CO,又因为£F<2平面ACD,CDu平面ACD,从而EF〃平面ACD因为点E是8。的中点，且AB=A£>,所以AE_L3£),又因为AE_LBC,8Cu平面8c。，BDu平面BCD,BCC\BD=Bt故AEL平面8C£),因为COu平面sc。，所以AE_L8【例3】如图，在四棱锥P-ABC。中，ABCD是正方形，尸。，平面A8C£>,PD=AB,E,F,G分别是PC,PRBC的中点.

AA(1)求证：PCIAD；(2)求证：平面平面EFG.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】(1)由PD_L平面ABC0,得A0_LP。，再根据线面垂直的判定定理和性质定理得证(2)由E-/AB证明所〃平面R48，由EG〃尸8证明EG〃平面845,再由面面平行的判定定理证明即可.由PDJ■平面A8c。，得A£)_LP£),又A£»J_C£>(ABC。是正方形)，PDcCD=D,所以AO_L平面尸”，所以AO_LPC.由E,尸分别是线段尸CP0的中点，所以即//C£>,乂A8C。为正方形，AB//CD,所以EF//AB,又砂。平面P4B，所以EF〃平面R48.因为E,G分别是线段PC,BC的中点，所以EG〃尸8,又EG(Z平面R4B,所以EG〃平面E4B.因为EFnEG=E,EF,EGu平面EFG,所以平面EFG〃平面【例4】如图，四棱锥P-ABCD的底面488为矩形，24_L底面ABC。，=点E是棱依的中点.B(1)求证：CB1AE；(2)若AB=2,BC=6,求三棱锥P—4CE的体积.(参考公式：锥体体积公式Y=；S〃，其中S为低面面积，〃为高.)【答案】(1)证明见解析⑵且3【分析】(1)根据矩形和线面垂直性质可证得CBVAB,PA1CB,从而得到CB_L平面,由线面垂直性质可得结论：(2)利用体积桥的方式可知VP_ACE=VC_PAE W£BC,由此可计算得到结果.(1)•••四边形ABC。为矩形，.•.CBLAB；

•.■PAL^^ABCD,CBu平面ABC。，..PALCB-.又尸ADAB=A,尸448<=平面%6,，(781_平面248，•.•A£u平面F4B，:.CB±AE.(2)•.•E为9中点，.•.SvAE=gSjA"=gx；x2x2=l,由(1)知：CBL^PAB,.'.VP.AC£=VC_PAE=-SME-SC=y.【题型四】垂直应用1:线面角【例1】如图，矩形A8C。中，AB=2,BC=\,M为边C。的中点，将△ADW沿直线AM翻折成△,£；，且BE=6，点P为线段BE的中点.(1)求证：PC〃平面AME；(2)求直线PC与平面A8M所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析⑵噜【解析】【分析】(1)取AE的中点0,连接0M,QP构造平行四边形可证；(2)取AM的中点。，先证E。垂直于底面，根据(1)将问题转化为求角NAMQ,然后结合已知可得.证明：取AE的中点Q,连接QM,QP,因为化。均为中点，故尸。〃AB且尸Q=gA8,又因为MC〃AB,且MC=；AB,所以尸Q^MC,所以四边形MCPQ为平行四边形，故PC〃QM.又PCa平面AME,QMu平面AME故PC〃平面4ME：取AM的中点O,连接OE,OB,

因为AE=ME,所以Q4_LOE11OE=4Z.2ISBM2=AM2=AD1+DM2=2.AB2=4所以8"+a02=所以AA/J_3M在RQ80M中，BO2=OM2+BM2=-+2=-,因为802+0炉=8炉，故EOLOB,又,.•O3cOA=O,OAu平面ABM,Q8u平面ABM故£0_1_平面48〃.又PC//QM因此NAM。为宜线PC与平面ABM所成角，sinZAMQ=sin(45°-NEMQ)=—(cosZEMQ-sinZ£EO 9 | EM 2在RtZXMEQ中，sinZ.EMQ=——=—t==—j=,cosZEMQ=——=—f=QMV5V5 QMV5VSksinZAAf<?=—.10【例2】如图，在四棱锥P-A8C。中，底面ABC。是矩形，PA=AD=4,AB=2.M是棱PD上一点，且CM=2>/lAMJ•平面PCD(1)证明：平面RS_L平面ABC。：(2)求直线CD与平面ACM所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析⑵迈3【分析】(1)根据勾股定理及线面垂直的性质，再利用勾股定理的逆定理、矩形的定义及线面垂直的判定定理，结合面面垂直的判定定理即可求解；(2)根据线面垂直的性质定理及矩形的定义，再利用线面垂直的判定定理及等体积法，结合线面角的定义即可求解. 在矩形A8CD中，所以ACmJP+2?=2石，AMJ_平面PC£>,CMu平面PCD,u平面PCD,:.AM±CM,AM±PD,AM=J(2>5)2-(24f=20,在△%£)中,PA=AD=4,AM±PD,:.M为PD中点,PD=2MD=2xa2-(2&)2=4贬,：.P^+ADr=PDr即丛_LA£)，又A3J_AD,ABcAP=A,3Au平面PAB,E4u平面PAB，.,.AD_L平面Q45，又AOu平面ABCD,:.平面PAB_L平面ABCD；⑵由(1)知，SACM=-AMMC=-x2y/2x2y/3=2y/6,•rAAfJ■平面PC。,COu平面PCD,：.AMLCD,又C£>J_ARAOcAM= u平面PAD,\CD八平面PAO,又8〃A8,;.AB_L平面PAO,又R4u平面PAD,：.ABA.PA,■.■PAA.AR,平面PABc平面A8C£)=4B,Plu平面R4B,.♦.94J•平面ABC。，由(1)知M为尸。中点，所以“到平面ABCD距离为;AP=2,设D到平面ACM的距离为h,由VD-ACM=VM-ACD，BP-x2>/6/2=-xlx4x2x2,解得h=述,3 32 3设立线CDH平面ACM所成的角为。，则则sinO=-^-=^^.CD3所以直线CD与平面ACM所成角的正弦值为直.3【例3】已知菱形ABCD的边长为2,Z4BC=60°,对角线AC、BD交于点O,平面外一点P在平面ABC。内的射影为。，网与平面AB8所成角为30。.(1)求证：BDJ.PA；(2)点N在线段网上，且匕?=且，求黑的值.Ng12PB【答案】(1)证明见解析(2)—=-PB4(1)由PO_L而ABCD得尸O_LB£>,然后证明出BO_L面尸AC即可煌》由H0JJ5ABCD得与平面ABCD所成角为480=30°,然后利用%一噌=%一算出点。到平面PCB的距离为汉史，然后利用VN-pcD=Vo-pcN即可算出答案.7【详解】(1)由题意P0L面ABC。，/.PO1BD,菱形ABCO中，ACJ.B。，又POnAC=O,则^。，面/547,所以8E>_LE4；(2)因为尸0_1面488,所以依与平面ABC。所成角为/P8O=30。，又菱形边长为2,ZABC=60°,所以BO=6，PO=l,PB=2,CO=1,PC=JL所以cosZ.BPC=4+2/=—,sinZ.BPC= .2-2-V2 4 4设IPN|=21PB|=2/1, 到平面PCB的距离为d

x2x&x^^xd,解得d=由%-PBC=Vp-DBC得—S&BCD,P。=TS△户8cx2x&x^^xd,解得d=BPIxlx2x2xsinl200xl=lxl32 32所以。到平面PNC的距离也为亚L7所以匕JC0=%-«?囚=；x；x应x24x*~x2,=*=由zPN1所以诟*M为母线S3的中点，N为【例4】如图，平面SA8M为母线S3的中点，N为求该圆锥的侧面积；若直线SO与MN所成的角为30°,求MN的长.【答案】（1）4ji金（2）2月.【详解】试题分析：（1）由题意知S。，平面ABN,在R/ASOB中，山条件和勾股定理求出母线BS，由圆锥的侧面积公式求出该网锥的侧面积；（2）取08的中点C,连接MC,NC,由条件和中位线定理可得MC||SO,MC的长，由线面角的定义可得NNMC,在RtAMCN中由余弦函数求出A/N的长.试题解析：（1）由题意知，5。_1_平面A3N,在R7ASOB中，OB=^AB=2,SO=6,:.BS=J2+G=2厢,该圆锥的侧面积S=ttOBBS=4屈乃:取08的中点C,连接MCNC,M为母线S3的中点，.・.MC为ASO3的中位线，:.MC//SO,MC=-SO=3,SO1平面ABN,:.MCJ■平面ABN,NCu平面ABN,:.MCLNC,•••直线SO与MN所成的角为30°, NNMC=30°,MC在RTAMCN中，——=cos30°,MNMC3 、仄MN= =—7=r=2v3.cos30°y/3【题型五】垂直应用2：二面角【例1】如图，在四棱柱中，底面A8CO为菱形，其对角线AC与8。相交于点O,ZJ\AB=ZA.AD=ZBAD=60°,A4,=3,AB=2.⑴证明：入。，平面48。。；(2)求二面角A.-AB-C的正切值.【答案】(1)证明见解析(2)272【分析】(1)连接ARAB,则aAAb/aAA。，所以Ao=AB,由等腰三角形的性质可得AOJ.B。，住aAA8中，由余弦定理可知ab=V7,由勾股定理的逆定理可得AOLOA,从而由线面垂直的判定定理证得结论，(2)过。作。E_LAB于E,连接AE,则可得以E。为二面角A-AB-C的平面角，从而可求出其正切值连接ARAB,•••AO=48,/448=2440,44为公共边，.IaAAB丝aA|AO,.•.AO=A8,又为8。的中点，••.AOLBO,在aAA8中，由余弦定理可知A8= +4由-2M•48cos600=币.在RtA^OB中AO="，aa=3,ao=6,满足Ao2+ao2=aa2,，ao,oa,又“。08。=0,..AOJ•平面A8C£>.过。作OE1.AB于E,连接 A。J•平面A8C£>,ABI平面ABC£>,rAOLAB.又•.•AB_LOE且OEnAO=O,，ABJ■平面AE。,：AEu平面AE。,，ABL\E,幺£。为二面角A-AB-C的平面角,••・OE=立,‘项幺田=器=*=2&2 —

。1【例2】如图，圆锥顶点为P,底面圆心为0,其母线与底面所成的角为22.5。，48和CD是底面圆O上的两条平行的弦，轴。尸与平面尸CQ所成的角为60。.(1)证明：平面附8与平面PC。的交线平行于底面；(2)求二面角C-OP—。的余弦值.【答案】(1)证明见解析；(2)17-12拉.【分析】(1)设平面用8与平面PCD的交线为/.由题意可证明A8〃平面PCQ,从而可得AB//1,从而可证明结论.(2)由题意可得NCOD为二面角C-OP-。的平面角.可证平面。平,平面2。，直线OP在平面PCO上的射影为直线PF,/。尸尸为0P与平面PCD所成的角，通过解三角形可得答案.【详解】(1)证明：设平面PAB与平面PCD的交线为I.ABHCD,ABO平面PCD,：.A3〃平面PCD面用8,平面办B与平面PC。的交线为AB〃/•.•A8在底面上，/在底面外•••/与底面平行：(2)因为OPLOD,OPLOC,所以NCOD为二面角C—OP-。的平面角.设C。的中点为F,连接。凡PF,由圆的性质，NCOD=2NCOF, 底面,，CDu底面，：.OP1CD,.•。尸门10尸=0,；.8_1平面。？尸。,.•。。＜=平面—7。，平面OPFJ_平面PCQoc=q:.直线OP在平面PC0上的射影为直线P凡.*.NOPF为OP与平面PCD所成的用由题设，NOPF=60°设OP=h,则OF=OPtanNOPF=G/i。；/OCP=22.5。，:.oc=qtanZ.OCPtan22.5°.. 2tan22.5°t. r.Vtan450=--^―—=1,Atan22.5°=V2-1oOC=1-tan22.3在RfOCF中，。"3=鞋=信电=娓-6：.cosZCOD=cos（2ZCOF）=2cos2ZCOF-1=17-12&【例3】如图，四边形ABC£>是菱形，且的£>=60°,以A。为交线作平面PADJ_平面A8C£),且侧面△B4£>是等边三角形，M为A。的中点，连接BM.(1)求证：BMLPD；(2)求证：AD±PB：(3)求平面P8C与平面ABC。所成锐二面角的大小.【答案】(1)证明见详解；(2)证明见详解；(3)二4【分析】(1)证明8A/_LA£),利用面面及线面垂直的性质定理证明即可.(2)利用线面垂直的判定及性质定理证明即可.(3)由二面角的定义可得NPBM即为二面角的平面角即可得解.【详解】(1)连接BO,四边形4BC。是菱形，Zft4£>=6(r,则4A即为等边三角形，因为M为AZ)的中点，所以8必_LA£),又因为平面PA£>_L平面ABCD,且平面PADD平面ABCD=AD,所以8WJ•平面PAD，由P£>u平面PAO,所以BMLPD.(2) 是等边三角形，连接PM，PMA.AD，由BWJ.AD,且PMcBM=M,则AD1.平面PBM,因为PBu平面PBM,则ADA.PB.(3)设等边的边长为2,则=因为平面PBCCI平面ABCD=BC,AD//BC,由(1),(2)得则即为二面角得平面角，PM 7T因为tanNP8M=——=1,所以NP8M=-,BM 4TT所以平面P8C与平面ABC。所成锐二面角的大小为了.4D【例4】如图，在矩形A8C£>中，AB=3y[3,BC=3,沿对角线8。把4BC。折起，使点C移到点C',且C在平面ABO内的射影。恰好落在AB上.（1）求证：平面平面AOC'；（2）求二面角C'-45-8的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）远.3【分析】（1）由题意易知根据线面垂直的判定可得5CJ■平面ADC,再由面面垂直的判定证平面平面ADC.（2）由（1）结合勾股逆定理知CA_LA£>,根据线面垂直的判定有45，面CAB.UZ.CAB是二面角C-AD-B的平面角，即可求余弦值.【详解】（1）证明：C'在平面相。内的射影。恰好落在AB上，即AB为BC'在而ABD上的射影，而 所以8C_LAZ）,VBCrCD,CDQAD=D,JBC_L平面ADC,又BC'u平面。3C,平面DBC_L平面ADC.（2）由（1）知：BCVAC,在R/aAC'B中，有AC'=3&,即C'A?+A£f=c'O?,/.CAA.AD,又AB_LA£>,C'AcAB=A,即/\£>_1_面。'48,，二面角C一A。-B的平面角是ACAB,. AC'V6••cosZCAB= =—,AB3...二面角C'—AD-B的余弦值是啦.3【题型六】翻折中的垂直【例1】如图1,在直角梯形A8CO中，AB//CD,ABLAD,且48=4。=3。。=1.现以4）为一边向形外作正方形A£>£/，然后沿边A。将正方形AZ）E尸翻折，使平面AZJEF与平面A8C。垂直，历为的中点，如图2.

EDED(1)求证：AM〃平面8EC；(2)求证：BCJ■平面BOE.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【分析】(1)利用三角形中位线定理、平行四边形的判定定理和性质定理，结合线面平行的判定定理进行证明即可：(2)根据面面垂直的性质定理，结合勾股的逆定理、线面垂直的判定定理进行证明即可【详解】证明：取EC中点N,连结MN,BN.在中，分别为ED,EC的中点，所以MN//CD,且MN=；CD.由已知AB〃CO,AB=gcD,所以MN〃AB,且MN=AB,因此四边形MN班是平行四边形，所以有BN//AM.又因为8Nu平面BEC,PLAMcZ平面BEC,所以AM〃平面BEC：(2)证明：在正方形ADE/中，EDYAD.又因为平而ADEF±平面4BCZ)中，且平面ADEFQ平面ABCD=AD,所以£>E_L平面ABC/),又BCu平面A8CO,所以ED_LBC.在直角梯形48CQ中，AB=AD=^CD=l,可得8c=VL在△88中，BD=BC=6,CD=2,所以BD?+BC?=CD+所以BD_LBC, BDcDE=D*BD,DEu平面BZ汨，8CJ•平面EE【例2】如图，已知等腰梯形488中，AD//BC,AB=AD=^BC=2,E是8c的中点,AEHBD=M,将沿着AE翻折成△B|AE,使平面用4£_L平面AECDEE■c(1)求证：C£)_L平面8QM；(2)求B、E与平面B,MD所成的角；(3)在线段8c上是否存在点尸，使得〃平面44力，若存在，求出黑的值；若不存在,D|C说明理由.B.P1【答案】(1)证明见解析；(2)30。；(3)存在，-^=-.【分析】⑴首先根据已知条件并结合线面垂直的判定定理证明AEA.TJIIIB.MD，再证明AE//CD即可求解；(2)根据(1)中结论找出所求角，再结合已知条件即可求解；(3)首先假设存在，然后根据线面平行的性质以及已知条件，看是否能求出点尸的具体位置,即可求解.【详解】(I)因为AO//BC,E是8C的中点，所以48=A£>=8E=；8C=2,故四边形A8E£>是菱形，从而AE_LB£)，所以 沿着AE翻折成△MAE后，AEA.,AE±DM.又因为gA/cOM ,所以平面山题意，易知AO〃CE,A£>=CE,所以四边形AECE)是平行四边形，故AEHCD,所以COJ_平面BQM.(2)因为他_1_平面旦”£),所以BE与平面与MO所成的角为,由已知条件，nJfelAB-AE-CD,AB=AD=BE=BC=2,所以△片AE是正三角形，所以NEB1M=30,所以「平面与“。所成的角为30。；(3)假设线段BC卜.是存在点户，使得〃平面与4£),过点P作PQ〃C。交B0于。，连结MP,AQ,如下图：所以AM//CDHPQ,所以A,M,P,Q四点共面，又因为〃平面与4。，所以MP//AQ,所以四边形AMPQ为平行四边形，故AM=PQ=gc。，所以「为BC中点，故在线段BC上存在点P，使得MP〃平面4A。，且笠=彳.o.CZ【例3】如图，矩形A8C。中，AB=2,BC=1,E为CD的中点，把△ADE沿AE翻折，使得平面4%_L平面ABCE.D(1)求证：A£>±fl£；(2)在CO上确定一点F,使A。〃平面BE尸；(3)求四棱锥尸-A8CE的体积.【答案】(1)证明见解析；(2)线段8上取CO的三等分点尸(靠近C)；(3)立.6【分析】(1)先由勾股定理证明BE_LAE,再由面面垂直的性质得出BEJ_平面DAE,进而由线面垂直的性质得出线线垂直；(2)作辅助线并证明AD〃尸G,再由线面平行的判定定理求解即可；(3)先由面面垂直的性质得出DOJ■平面A8CE,进而确定四棱锥尸-A8CE的高，最后得出体积.【详解】(1)证明：：平面4)E_L平面ABCE,平面ADEPI平面ABCE=AE又由已知可得AE=BE=&，AB=2,：.BE±AE,则BEJ■平面D4E：A£)u平面DAE,/.BEA.AD,故ADLBE；(2)连接AC交BEFG,则空=空=1，在线段CD卜取CD的三等分点/(靠近C),GAAB2连接尸G,则C£=Cg=1，可得AD〃尸GCDCA3而AO.平面6EF/Gu平面班F,则AO〃平面班五；(3)取AE中点。，连接OO,则。O_LAE又平面4)E_L平面ABCE,且平面AZ5ED平面ABCE=AE：.DOLnABCE,在用八位用中，可得之2为CD的三等分点/(靠近C),.•.尸到平面ABCE的距离为口也=走.32 6【例4】四边形ABCO是边长为2的菱形，ZBAD=60°,ACCiBD=O,如图甲，以4c为折痕，将平面ABC翻折到ABC的位置，如图乙，得到三棱锥8-AC。，M为8c的中点，OM=&.

（1）求证：0M//平面AB'。；（2）求证：平面ABCJ_平面。OM；（3）求二面角£-CO-。的正切值.【答案】（1）证明过程见详解；（2）证明过程见详解；（3）2叵3【分析】（1）由已知可得OM//AB',根据线面平行的判定定理，即可证明结论；（2）求出O2OM,通过勾股定理可得OD_LOM,结合OD_LAC,可证DO_L哂fAB可,即可证明结论；（3）根据（2）uj•得B'O_L平面ACO,在平面ACZ）中，过点。作ON，8交CD于点N,连接B'N,可证二面角8-CD-0的平面角为NB'NO,求出ON,即可得出结论.【详解】（1）证明：：点。是菱形4BCO的对角线的交点，...点。是AC的中点，为8C的中点他，u平面AB'C,OM平面AB'C, OMII平面ABD；（2）证明：在△AB'C中，".'OM//AB',：.OM=-AB'=\,2在菱形ABC。中，：ZBAD=60°,ACDBD=O,：.OD=-BD=\,DOA.AC2"：DM=V2，.*•OM2+OD2=DM2,DOLOM,又,:470。”=。，DOJ•平面AB，C,,?OOu平面”平面A8C_L平面。OM(3)又(2)可知。OJ_平面AB'C,，平面A8'C」平面ACD,,•*B'OIAC,平面43'Cn平面A8=AC夕01平面ACD在平面AC。中，过点。作ON，CO交CO于点N,连接B'N,如图B'O±CD,ON±CD,B'OlON=O,\CDA平面B'ON,:.CD±B'N,:面角8-CC-O的平面角为N8'N0,由题意可知：8'O=l,OD=l,OC=6，DC=2ON=OPPCDC2tanZB'NO=—ONDC=2ON=OPPCDC2tanZB'NO=—ONI_25/3丁亍,【题型七】垂直探索型【例1】直三棱柱ABC—A4c中，AB=5,AC=3,BC=4,点。是线段AB上的动点.（1）当点。是AB的中点时，求证：AG||平面片CD；（2）线段A8上是否存在点。，使得平面A83A，平面CO耳？若存在，试求出AO的_ 9【答案】（1）见解析；（2）-【解析】【试题分析】（1）连接8G，交于点E,连接DE，则点E是的中点，利用三角形的中位线有DE//AG，,由此证得线面平行.（2）当CD，A3时平面A5耳A，平面CDB,.利用CD±AB,CD±AA]t可证得CD_L平面ABB^，由此证得两个平面垂直.利用等面积法求得AD的长.【试题解析】（1）如图，连接BQ,交BQF点E,连接DE,则点E是BQ的中点，又点。是AB的中点，由中位线定理得DE||AC,,因为DEu平面4CD,AC,（Z平面B}CD,所以AG||平面4。。.（2）当CD上AB时平面A844上平面CD5j.证明：因为平面ABC，CDu平面ABC,所以AA^CD.又CZ）_LAB,A4,cA8=A,所以CD_L平面 ，因为COu平面,所以平面AB4A1平面cog,故点。满足CD_LA3.因为AB=5，AC=3,BC=4，所以AC?+502=452,故AABC是以角C为直角的三角形，9又CD_LA8,所以AO=—.【例2】如图，在三棱柱ABC—AgG中，CQJ•底面ABC,AC1.CB,点。是A8的中点.（I）求证：AC1BC]i（ID求证:AG〃平面C。片.（III）设A8=2A4,,AC=BC,在线段4,4上是否存在点M,使得_LCg?若存在，确定点M的位置； 若不存在，说明理由.【答案】（I）见解析；（II）见解析；（IH）存在，"为线段A4的中点，理由略.【解析】试题分析：（I）通过证得CG^AC,HACL8C，即可证得AC_L平面BCG4，即证AC1BC]；（II）设CB1与C,B的交点为E,连结DE，因为。是A5的中点，E是BC）的中点，由三角形的中位线定理得0E〃AR,又由线面平行的判定定理印证AG〃平面COq；（III）在线段Ag上存在点M,使得且M为线段Aq的中点.证明如下：由已知得A4,1CD.由已知AC=BC，。为线段AB的中点，所以C0_LAB，可得C£>_L平向A4,与B.连接BM.因为5Mu平面44,8#,所以C£）_LBM,易证8MJ.4Z）,所以BMJ■平面5c。，即可得J_Cq.试题解析：（I）在三棱柱ABC-A^G中，因为CGJ_底面ABC,ACu底面A8C,所以CG_L4C.又AC_LBC,8CACG=C,所以AC_L平面BCG片.而BC,u平面BCG旦，则AC±BC「（H）设CBtL-jGB的交点为E,连结OE,

因为。是A8的中点，E是BG的中点，所以£>E〃AC「因为DEu平面CDB「ACtZ平面CDB1,所以AG〃平面CO&.(ill)在线段44上存在点“，使得8M_LC4,且M为线段A4的中点.证明如下：因为AAJ■底面ABC，C£>u底面ABC,所以A4,_LC£).由已知4C=BC,。为线段AB的中点，所以a>_LAB.又A41nA8=A,所以CO_L平面A4.48.取线段A4的中点M,连接因为u平面44,8/,所以C£>_LBM.由已知AB=2A4,,由平面几何知识可得J.BQ.又C£>n4O=£),所以则_1_平面48.又耳Cu平面与C£),所以8M_LCq.【例3】三棱锥P-ABC中，AB=AC=2,BC=242,PA=PB=45,面PABJL面ABC.(1)求PC长；(2)求三棱锥体积；(3)AMC内(含边界)上是否存在，点，使8H_1面24c.若存在，点，求出，点的位置；若不存在，点，说明理由.4 O/s【答案】(1)3；(2)-；(3)H存在,在棱Q4上，且区.3 5【解析】【分析】⑴根据勾股定理可得C4_LAB,进而可得NC4P=90°.再用勾股定理计算PC即M(2)作AB的中点M,连接PM可知PM_L平面A8C,再求解体积即可.(3)作3〃J_R4丁”，再证明BH_L面PAC即可.【详解】VAB2+AC2=BC2,ZC4B=9O°,G4±AB.,/平面PABJ_平面ABC,平面PABc平面ABC=A8,C4u平面ABC,且C4，A8,可知C4_L平面R45,NC4P=90°.•*-PC=-jAC2+AP2=3-(2)作A8的中点M,连接PM,由题意知PM_L平面ABC,-''V=-S^c-PM=-xlx22x^/5：d3 32 3:c(3)作 干“，”在上.AH=ABsinAABH=ABsinZAPM='一.5：C4_L平面D4S平面BAB，二B”_LC4,且C4u平面尸AC,RLu平面EAC,CAIR4=A, 间PAC,即“存在，在棱上4」二,且AH=.5【例4】已知长方体ABC。一 点。为瓦。的中点.

多一一（1）求证：AB1〃面4Q0；BE（2）若ABuW/LA，试问在线段8用上是否存在点E使得A。，AE，若存在求出三，BB,若不存在，说明理由.BF4【答案】（1）证明见解析；（2）在线段上存在点E有——=-1 BB,9【解析】试题分析：（1）证明线面平行常用方法：一是利用线面平行的判定定理，二是利用面面平行的性质定理，三是利用面面平行的性质：（2）解决是否存在的问题时先假设存在，如果推出矛盾则不存在，如果成立找出成立的点试题解析：（1）证明：连结A"交A】。广点G，所以G为AR的中点，连结QG在/A4A中，01为BtD,的中点..O,G//AB, O,Gu面AQO且Ag二面A,O,D二AB'/面A。。 6分（2）若在线段8耳上存在点E得A。，AE,连结AB交AE于点M•••BC，面ABB,A且 u面ABB,A..BC±AE又,:A^C[}BC=C且ACBCu面AtBC；.^^，面A^BC:45u面A}BCAE±AyB在AAMB和^ABE中有：NBAM+^ABM=90°,ZBAM+NBEA=90°.•.ZABM=Zfi£A同理：ZBAE=ZAA1B^ABE~AA.AB - ABA4t24 BE4vAB=-AA,.♦.8£：=-/18=-84即在线段8耳上存在点£有——=- 13分A B【题型八】垂直应用3：角度综合【例1】已知矩形A88满足AB=mBC（mwR）,现将aABC沿着对角线AC翻折，得到VAB,C,设顶点B,在平面A8C。上的射影为点。.（1）若点。恰好落在边A。上，①求证：44_1平面片。。：②当80=1,AB>1时，求边BC长度的最小值；（2）当％=3时，若点。恰好落在ZXAC。的内部（不包括边界），求二面角片-AC-。的平3面角余弦值的取值范围.【答案】（1）①证明见解析；②2.⑵畤【分析】（1）①由面面垂直的性质，得到平面平面ACD,证得CDLAD,得到COJ_平面ABQ,结合AB|_LC。，从而证得平面B。。；②记A8=x,BC=y,得到AO=JAB；_BQ?= ,根据aA8Q〜aAO8一得至Ij旦°=7含，在直角△屁。£>中，得到y=BC=Jx2+/=Jx2-l+*+2,结合基本不等式，即可求解；（2）作*'_LAC,交AC卜点E,交A。于点尸，证得得到广为EO二面角4-AC-O的平面角，利用cosN8IEF="G，即可求解.（1）解：①证明：因为点与在平面ABCD上年的射影为0,点。恰好落在边AD大红，所以平面A80_L平面ACD,又由CE>_LA£）,所以C£>,平面A8Q,因为平面ABQ,所以又因为AB1±Cq且C£>Cleg=C,CD,CB、u平面B,CD,所以Aq，平面803.②解：因为平面BC。，CDu平面用CO,所以AB|_LCD,又由A8〃C。，所以iilAB=AB,=x,BjC=BC=y,则AO=JAB；-BQ2=Jx?-1,AOOB. ncAB.OB.x又因为aAB0~aAO4,所以酢■=万片，可得B0==7^，由矩形ABC。，可得CD^AD,又由80，平面ABC。，C£)u平面ABC。，所以CO_LB0,因为4。口4。=。，所以C£＞J＞平面A8Q,又因为BQu平面4BQ,所以CO_L8Q,在直角△qco中，则y=qc=BC=ylCD2+BtD2=^x2+-f-^=^x2-l+-^+2Ui£+2=2当且仅当/-1=工时，即x=夜时，等号成立，所以y有最小值，最小值为2.X-1(2)解：作BFL4C,交AC于点E,交AO于点F,连接用尸,8E,山B,E±AC,EF±AC,EO所以N8£F为二面角与-AC-0的平面角，所以cosN耳斯=3；，因为点。恰好落在△AS的内部(不包括边界)，则点。恰好在线段EF上,当点。与点E重合时，可得OE=0,此时cosNgEF=0；当点。与点尸重合时，此时反＞=防因为机=正，所以A8=@8C,不妨设8c=3,则AB=JL3 3在直角aABC中，可得8£=空华=：,ACZ又由直角三角形的射影定理，可得AB=AEAC，可得AE=4里=且，AC2则CE=AC—4E=空，2arff AFRF1根据八4所〜ZXBCE,可得黑=芸，所以历=生”=；,TOC\o"1-5"\h\zECBE EC2Eoi eo i此时cosNB|M=k£=w，所以cosNBg/=3；€(0,1,B}E3 B}E 3

即二面角6-即二面角6-AC-。的余弦值的取值范围是【例2】在如图所示的圆柱。02中，AB为圆。1的直径，C。是ab的两个三等分点，EA,FC,GB都是圆柱GO2的母线.F（1）求证：FO"/平面AOE：（2）设8c=1,已知直线A尸与平面ACB所成的角为30。，求二面角A—FB—C的余弦值.【答案】（1）见解析（2）立.7【分析】（1）由FC〃E4,另易证得。C〃A。，即可证得面E4D〃面尸CQ,由面面平行,从而证得线而平行，即OtF//|Ti|EAD.（2）连接AC,易证AC，面FBC,可过C作C〃_LB尸交M于//,连接A4,则NA〃C即为二面角A—FS—C的平面角，求出其余弦值即得.【详解】解：（1）连接QCOQ,因为C,D是半圆AB的两个三等分点，所以NAOQ=ND。。=NCO、B=60,又q4=O1B=OC=q。，所以A4QACO,D,ABQC均为等边三角形.所以。［A=AO=DC=C。］,所以四边形ADCQ是平行四边形,所以COJ/AD,又因为CQU平面ADE,A£)u平面所以CQ〃平面ADE.因为E4,FC都是圆柱。O2的母线，所以EA//FC.又因为FCfZ平面A£>£,E4u平面A£)E,所以尸C〃平面A£)£又CQ1,FCu平面尸CQ,且CQcFC=C,所以平面FCO,//平面ADE,又产&u平面FCOt，所以F0,〃平面ADE.(2)连接AC,因为尸C是圆柱。。2的母线，所以FC_L圆柱。02的底面，所以NE4C即为直线A尸与平面AC8所成的角，B|JZE4C=3O因为A8为圆。।的直径，所以NACB=90,在R/AA83，ZA5C=60,BC=1,所以AC=BCtan60=G，所以在RfAMC+,FC=ACtan30=1因为AC_LBC,又因为AC_L尸C,所以AC_L平面尸BC,又用u平面/"BC,所以在AFBC内,作CHLFB丁点、H,连接A”.因为ACcC"=C,AC,C〃u平面ACH,所以F8J■平面ACH,又A"u平面AC",所以用_LA”,所以就是.面角A—FB—C的平面角.在K/AFBC中，CH=FC-C-=也，在R/AACH中，ZACH=90.FB2所以AH= =巫,所以cosNA〃C=^=也，2 AH7所以二面角A-尸8-。的余弦值为五.7【例3】如图1,平面四边形A8C3中，AB=AC=>/2,AB1AC,ACLCD,E为8c的中点,将A4C£)沿对角线AC折起，使CO_LBC,连接80,得到如图2所示的三棱锥O-ABC(1)证明：平面ADEJ■平面BCD；(2)已知直线OE与平面ABC所成的角为£,求二面角A-3O-C的余弦值.4【答案】(1)见解析(2)显(1)证明AE_L平面BCD，平i£ADE±平面88即得证；(2)先由题可知ZDEC即为直线DE与平面ABC所成的角，再证明Z/WE为二面角A-D5-C的平面角*再解三角形求解即可.【详解】(1)证明：在三棱锥D-ABC中，因为CO_LBC,C£)_LAC,ACC\BC=C,所以CD,平面ABC,又AEu平面ABC,所以AEJ_C。，因为AB=AC,E为BC中点、,所以AE1BC,又BCnCD=C,所以A£_L平面8CC，又A£u平血ADE,所以平面ADE_L平面BCD.(2)由(1)可知NOEC即为直线OE与平面A8C所成的角，TT所以N£>EC=—，4故CD=CE=l；由(1)知A£_L平面BCD,过E作EHLBDTH,连接A",由三垂线定理可知A"_L ，故ZAHE为：山忧A-O8-C的平面角.RFFH由ABHEsMCD,得一=——，1EH即;FT得£77=亚，5所以人”=画，5故cosN4HE=^=迈，AH6所以二面角A-DB-C的余弦值为好.6【例4】如图，在四棱柱ABC。-A/B/C/O/中，B8/_L平面ABC。，AD//BC,ZBAD=90°.（1）求证：8c〃平面AODA/；⑵若AD=2AB=2m,B/O与平面ABC。所成角为夕，满足晶tan4=4-/且1<m<6，求匕TB.O最大值.【答案】（1）证明见解析:【分析】（1）根据线面平行的判定定理理解证明；（2）根据题意可得8出与平面A8CO所成角为NB刀8,分析可得四=4-/,转换顶点求:.棱推的体枳并结合二次函数分析最值.\'AD//BC,8C（Z平面ADO/A/,AOu平面.,.8（7〃平面4。£）小.RR:切?/，平面ABC。，则3/£）与平面A3CO所成角为/当。8,即tan/=京万，・・・/BAD=90。且AD=24B=2"z,则 石相，小mtan/3=4—m2>则BB[=4-m?且ivmv6,J%-网O=\-ABD=।SjBDXBBI=|（|X，WX X（4—加2）=^/n2（4-m2）=—^/n4—47n2）= —2）+g4],当疝=2,即m=0e（l,\/5）时取等号_言③辕新模考观俎保1.如图1,在直角梯形ABC£>中，AB//CD,AB±AD,AD=l,AB=2,C0=3.M为A8的中点，N在线段C。上，且现沿边MN将四边形ADMW翻折，使得平面ADNM±平面MBCN,如图2所示.D图1 MB图2(1)若F为CC的中点，求证：BF〃平面ADNM;(2)证明：BCL平面DNB.【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】(1)取DN的中点E,连接EF,ME,证明8尸〃ME,乂 平面ADNM,MEu平面ADNM,即可证明8-〃平面ADNM；(2)先证明ONJ.BC,NB上BC,DNCNB=N,即可证明BCL平面DNB.【详解】(1)证明：如图，取DN的中点E,连接EF,ME，又尸为CD的中点，得：EF//NC,且EF=；NC,由图I知：MB//NC,MB=；NC,且折叠后不变，所以：E尸与“8平行目.相等，则昉为平行四边形，又BF(Z平面ADNM，MEu平面ADNM，所以：8尸〃平面ADMW.DMB(2)证明：在四边形ADNM中，DN1NM,又因为平面ADNM1平面MBCN,且平面ADNMQ平面MBCN=MN,所以：£WJ_平面M8CN,得DNtBC,在直角梯形MBCN中，NB=&，BC=&，NC=2,满足：NB2+BC2=NC2,所以：NB1BC,又DNCNB=N,所以：BC_L平面Z)NB.2.如图，在几何体ABCDE/中，平面ABC£)_L平面A8FE.正方形48FE的边长为2,在矩形ABC。中，BC=2AB.E【分析】(1)连接E【分析】(1)连接8E，证明平面8£C即可；⑵由等体积Ve-ABf=七一心即可求点B到平面ACr的距离.(I)连接HE,B ((1)证明：AF±CE；(2)求点B到平面ACF的距离.【答案】(1)证明见解析；B C;平面ABCDJ■平面A8FE,目.平面ABCDn平面A8fE=AB,又在矩形ABCD中，有BCLAB,BCJL平面附芯，••,AFu平面"fE,AFLBC,,••在正方形AB/方中有AF_LBE,^BC^\BE=B,BC、8£u平面BCE,，A/7_L平面BCE,;CE'u平面BCE,.^.AEJ_CE：⑵设点8到平面ACF的距离为d,由已知有钻=5F=2,BC=4,由(1)知：BC_L平面的方石，•jBFu平面板石，BC1BF,从而可得：AF=2y/2,AC=CF=yj42+2L=25/5-S“acf=_x2>/2x3a/2=6,由 得，S^ACFd=S^BF-BC,则”X2x2x4_4,即点B到平面ACF的距离为3.如图，在四棱锥P—48CD中，底面A8C。为平行四边形，平面PCO_L底面ABCO,且5c=2,AB=4,BD=2有.

pBpB(1)证明：BC±PD.(2)若PC=PO= 求四棱锥P-ABC。的体积.【答案】(1)证明见解析：(2)8.【分析】⑴由平行四边形的性质及勾股定理可得BCLCD,再由面面垂直的性质有BCL面PCD,根据线面垂直的性质即可证结论.(2)取8的中点E,连接PE,易得尸E_LCD,由面面垂直的性质有PEJ_底面ABCD,即PE是四棱锥尸-ABC。的高，应用棱锥的体积公式求体积即可.在平行四边形ABCD中AO=BC=2.因为4£>2+ab2=b£>2,即A£)J_A8,所以BCLCD.因为面PCD1.面ABC。，且面PCOpI面ABCD=CD,BCu面PCD,所以8CL面PCO,又PZ)u平面PCD,所以6C，P£>.如图，取CD的中点E,连接PE,因为PC=PD,所以又面PCDJ_面ABCD,而PCD0面ABCD=CD,PEu面PC。，所以PE_L底面A8C£).因为PC=g,CE=gc£>=2,则PE=3,故%诋。=卜4'2'3=8.4.如图甲，直角梯形ABC。中，AB±AL),ADIIBC,尸为AO的中点，E在BC上，且EF//AB,现沿EF把四边形CDFE折起得到空间几何体，如图乙.在图乙中求证：⑴平面A⑴平面A以7/平面BCE；(2)平面平面8CE.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】(1)证明出A尸〃平面BCE,DF〃平面BCE,利用面面垂宜的判定定理可证行结论成立；(2)证明隹W_L平面8CE,可得出ABJ_平面BCE,利用面面垂直的判定定理可证得结论成立.证明：翻折前，AD//BC,翻折后，则仃AF//BE,DF//CE,因为AFu平面8CE,班^平面台6:取二人口/平面^^，因为DFu平面BCE,点匚平面8(7£：,，。尸〃平面8(7£：,因为人尸八)£)尸=尸，因此，平面A0F〃平面BCE.证明：翻折前，在梯形ABCD中，AB±AD,ADIIBC,则ABJ.BC,-,-EF//AB,则EF_L8C，翻折后，对应地，EFJ.BE,EFA.CE,因为B£cCE=E,所以，EF_L平面8C£,EF//AB,则A8_L平面BCE,•.•ABu平面4BC,因此，平面A8C_L平面BCE.5.如图，在棱长都相等的正三棱柱48C-A/8/。中，D,E分别为AA/,BQ的中点.(1)求证：DE〃平面ABC；(2)求证：B/CL平面BOE.【答案】(1)证明过程见解析；(2)证明过程见解析.【分析】(1)根据面面平行的判定定理，结合线面平行的判定定理、面面平行的性质进行证明即可；(2)根据正三棱柱的几何性质，结合面面垂直的性质定理、线面垂直的判定定理、面面平行的性质定理进行证明即可.(1)设G是C0的中点，连接EG,£>G,因为E为⑶C的中点，所以EG〃用G，而BC//4G，所以EG//BC,因为EGa平面ABC,8Cu平面ABC,所以EG〃平面A8C,同理可证OG〃平面A8C,因为EG,OGu平面QEG,且EGn»G=G,所以面DEGII平面ABC,而DEu平面DEG,所以DE//平|fl|ABC：(2)设。是8c的中点，连接AO,E。，因为E为8/C的中点，所以而所以EO//AD,山(1)可知：面。EG〃平面A8C,平面4OE£)n平面O£G=£>£,平面AOE£)n平面ABC=AO,因此OA//DE,在正三棱柱ABC—AiB/Ci中，平面BCCtBt_L平面ABC,而平面BCCtBtQ平面ABC=BC,因为A8C是正三角形，。是8c的中点，所以AO_LBC，因此AO_L平面BCC内,而Cqu平面BCG耳，因此4。八小，而OW/DE,所以因为正三棱柱A8C—48/G中棱长都相等，所以B4=BC,而E分别为8〈的中点,所以BE_LCB_而B£,OEu平面8OE,BEcDE=E,所以B/CL平面C6.如图，在三棱锥P-A8C中，PALAB,PALAC,ABLBC,PA=AB=BC=2,。为线段(1)求证：平面BCE_L平面以C：(2)求二面角P-BC-A的平面角的大小.【答案】(1)见解析【分析】(1)由1面垂直的判定定理可得PAJ■平面ABC,从而可得总_L5D,证明BD_LAC,再根据线面垂直的判定定理可得BO_L平面以C,再根据面面垂直的判定定理即可得证；(2)由线面垂直的性质可得R4LBC,再根据线面垂直的判定定理可得BCJ•平面F48,则有BCJ■尸B,从而可得NP8A即为二面角P—BC—A的平面角，从而可得出答案.证明：因为用J_A8,PALAC,ABr>AC=A,所以平面ABC,又因8£>u平面A8C,所以Q4_L8£),因为D为线段AC的中点，AB=BC,所以BOLAC,又PAC|AC=A,所以8O_L平面用C,又因为3£>u平面BDE,所以平面8OEJ■平面PAC；解：由(1)得PAJ.'卜面ABC,又BCu平面ABC,所以P4J.BC,因为A8J_8C,PAQAB=A,所以8CJ■平面R4B,因为P8u平面PLB,所以5C_LPB,所以NPB4即为二面角P-BC-A的平面角，在册中，PA^AB=2.7T所以tan/P84=l,所以NP3A=:，41T叩二面角P-BC-A的平面角的大小为一.47.如图所示，在正三棱柱ABC-AgG中，A5=A4,,。是BC上的一点，且AO，GO・(1)求证：A/〃平面ACQ；(2)在棱CG上是否存在一点尸，使直线P用工平面AG。？若存在，找出这个点，并加以证明，若不存在，请说明理由.【答案】(1)见解析；(2)存在这样的点尸，且点P为CG的中点【解析】试题分析：(1)连接AC交AG于E点，利用三角形的中位线定理和线面平行的判定定理即可得出；(2)在棱CC上存在一点P,P为CG的中点，使直线PBi_L平面AC D.利用正三棱柱的性质和正三角形的性质可得ADLBF.在正方形BCCB,中，可得△CCDgZXCBP,即可证明BiP_LCiD.再利用线面垂直的判定定理即可证明.试题解析：(D证明：因为ABC-AgG是正三棱柱，所以CCi«L平面ABC,所以CC|，AO,又AO，G。，CCXnC,D=C,,所以A£>_L平面BCC/，所以所以。是BC的中点.如图，连接AC，设与4G相交于点E,则点E为AC的中点，连接DE，则在A&8C中，因为£>,£分别是8cAe的中点，所以又。E在平面AC；。内，不在平面AG。内，所以48〃平面AG。.(2)存在这样的点P,且点P为CG的中点，下面证明：由(1)知A£)_L平面8CCI8,故8/_LA。，设P片与G。相交于点Q，由于AOCC丝APgG，故NQ81G=NCG。，因为NQC\B[=NCDC、，从而AQGB]skCDC、,所以NGQ筋=NOCC1=90°,所以因为4£>0。]。=。，所以B/d.平面ACQ

.如图，在半圆柱W中，AB为上底面直径，OC为下底面直径，AO为母线，AB=AD=2,点F在AB上，点G在OC上，BF=DG=1,尸为OC的中点.(1)求三棱锥A-DGP的体积；(2)求直线AP与直线BF所成角的余弦值；(3)求二面角A-GC-£＞的正切值.【答案】(1)立；(2)亚；(3)2.6 10【分析】(1)求出底面面积与高，然后求解匕一区八(2)过F点作圆柱的母线"7交OC于“，说明NAPG为直线的与8厂所成的角，通过求解三角形推出结果.(3)说明ZA8为二面角4-GC-O的面角，通过求解三角形推出二面角A-GC-£＞的正切值.【详解】解：(1)由题意知，△OPG为正三角形，DP=DG=PG=1所以S’og尸;xlxlxsin60°=高因为AD为圆柱的母线,所以A£＞_L平面0CG所以^A-DGP= 0GpxAD=3 6(2)过产点作圆柱的母线FH交OC于，因为尸，与BC均为圆柱的母线，所以FH//BC且FH=BC,所以四边形BCH尸为平行四边形，所以/B〃//CH.FB=HC=1,所以△PC"为正三角形又因为△OPG为正三角形，所以ZHCP=NGPD=60。,CH//GP所以BF//CH//GP,所以ZAPG为直线AP与BF所成的角在aAPG中，AG=>f5,GP=\,AP=yf5CCI,..士ek,..„„AP2+GP2—AG2 1垂)所以山余弦定理知：cosZAPG= =—产=——2APxGP2V510所以直线的与直线BF所成角的余弦值为正10(3)因为A£)J_平面。CG,CGu平面OCG,所以CG_LA£>又因为CG_LOG,AZ>n〃G=。，所以CGJ■平面40G所以CG1AG,CG1OG,因此N4GD为二面角A—GC—。的平面角AF)在RSADG中，AD=2,DG=l,tanZAGD=—=2DG所以.面角A—GC-D的正切值为2.如图，四棱锥P-ABC。的底面是正方形，PAJ■平面A8C£>,P4=A8.点E是PO的中点,作EF_LPC,交PC于点F.(1)设平面R4B与平面ACE的交线为/,试判断直线网与直线/的位置关系，并给出证明;(2)求平面R4B与平面ACE所成的较小的二面角的余弦值；(3)求直线P£)与平面AEF所成角的正切值.【答案】(1)PB//1,证明见解析：(2)也；(3)72.3【分析】(1)根据线面平行的性质定理进行证明即可.(2)先找出二面角的平面角，然后进行求解即可，(3)根据线面角的定义进行求解即可，【详解】(1)证明：连结8。交AC交于G,：A8C£>是正方形，，G为8。的中点，又YE是PO的中点，,EG〃心，又：平面ACE,EGu平面ACE,二〃平面ACE,又PBu