高考数学专项练习讲义-空间直线、平面的平行

§7.4空间直线、平面的平行【考试要求】1.理解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系，并加以证明.2.掌握直线与平面、平面与平面平行的判定与性质，并会简单应用.・落实主干知识【知识梳理】.线面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果平面外一条直线与此平画包的一条直线平行,那么该直线与此平面平行，=a〃a性质定理一条直线与一个平面平行,如果过该直线的平面与此平面相交,那么该直线与交线平行allagaCB=b.>=a〃b.面面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果一个平面内的两条相交直/7aU6、bU0aCb=Pa"ab〃a>=B〃a》线与另一个平面平行，那么这两个平面平行性质定理两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交,那么两条交线平行邱3BC尸b.//b【常用结论】(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a_La,aVp,贝！］a〃,(2)平行于同一个平面的两个平面平行，即若a〃夕，p//y,则6(〃/(3)垂直于同一个平面的两条直线平行，即aJ_a,6_La,则a〃b.(4)若a〃£,aUa,则a〃R【思考辨析】判断下列结论是否正确（请在括号中打“J”或“X”）（1）若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面.（X）（2）若直线a〃平面a,PWa,则过点P且平行于直线a的直线有无数条.（X）（3）若直线aU平面a,直线8U平面6，a//b,则a〃R（X）（4）如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面.（V）【教材改编题】.下列说法中，与“直线a〃平面a”等价的是（ ）A.直线a上有无数个点不在平面a内B.直线a与平面a内的所有直线平行C.直线a与平面a内无数条直线不相交D.直线a与平面a内的任意一条直线都不相交答案D解析因为a〃平面a,所以直线a与平面a无交点，因此a和平面a内的任意一条直线都不相交..已知不重合的直线a,人和平面a,则下列选项正确的是（）A.若“〃0（,bUa,则a〃bB.若a〃a,b//a,则a〃bC.若a〃b,bUa,则a〃aD.若a〃匕，aCa,则％〃a或匕Ua答案D解析若。〃a,bUa,则a〃方或异面，A错；若a〃a,b//a,则a〃匕或异面或相交，B错；若a〃b,bUa,则a〃a或aUa,C错；若a〃仇aUa,则6〃a或6Ua,D对.3.如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFG”为截面，则四边形EFGH的形状为答案平行四边形解析,/平面ABFE//平面DCGH,又平面EFGHC平面ABFE=EF,

平面EFGHCl平面DCGH=HG,：.EF//，G.同理EH〃尸G,四边形EFGH是平行四边形.■探究■探究核心题型题型一直线与平面平行的判定与性质命题点1直线与平面平行的判定例1如图，在四棱锥P-ABC。中，底面A8CO是平行四边形，E,尸分别是BC,的中点，求证：(1)PB〃平面ACE(2)EF〃平面以8.证明(1)如图，连接8。交AC于O,连接。凡•.,四边形ABC£)是平行四边形，，。是8。的中点，又YF是PO的中点，J.OF//PB,又,/OFU平面ACF,P的平面ACF,...尸8〃平面ACF.⑵取外的中点G,连接G兄BG.•••F是PO的中点，；.G尸是△附。的中位线，:.gfWad,•.•底面ABC。是平行四边形，E是BC的中点,：.BE^AD,：.GF^BE,四边形BEFG是平行四边形,：.EF//BG,又；ERI平面FB,BGU平面以B,/〃平面PAB.命题点2直线与平面平行的性质例2如图所示，在四棱锥P—ABCO中，四边形ABCO是平行四边形，M是PC的中点，在0M上取一点G,过G和以作平面交8。于点H.求证：PA//GH.证明如图所示，连接4C交8。于点O,连接OM,•.•四边形ABCD是平行四边形,是AC的中点，又M是PC的中点，J.PA//OM,又0MU平面BMO,RW平面BMD,二必〃平面BMD,又平面平面BMD=GH,J.PA//GH.【教师备选】如图，四边形4BCQ是矩形，明平面4BCO,过BC作平面BCFE交4产于点E,交。P于点F,求证：四边形BCFE是梯形.证明,••四边形ABCC为矩形,:.BC//AD.平面aO,8CQ平面以。，〃平面PAD.■:平面BCFEC平面外。=EF,BCU平面BCFE,J.BC//EF.；AD=BC,ADrEF,：.BC^EF,四边形BCFE是梯形.思维升华(1)判断或证明线面平行的常用方法①利用线面平行的定义(无公共点).②利用线面平行的判定定理(aQa,bUa,a//b=^a//a).③利用面面平行的性质(a〃夕，aUa=a〃4).④利用面面平行的性质(a〃从呻,a〃a=a〃£).(2)应用线面平行的性质定理的关键是确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅助平面确定交线.跟踪训练1如图所示，已知四边形A8CZ)是正方形，四边形ACEF是矩形，M是线段EF的中点.E(1)求证：AM〃平面BOE；(2)若平面AOMC平面叨E=/,平面ABMC平面试分析/与胆的位置关系，并证明你的结论.⑴证明如图，记AC与80的交点为。，连接OE.E因为O,M分别为AC,EF的中点，四边形ACEF是矩形,所以四边形AOEM是平行四边形，所以AM〃O£又因为OEU平面BDE,AMC平面BDE,所以4M〃平面BDE.(2)解l//m,证明如下：由(1)知AW〃平面BDE,又AMU平面AOM,平面AOMC平面BOE=/,所以1//AM,同理，AM〃平面BOE,又AMU平面A8M,平面ABMCI平面BOE=m,所以加〃4M,所以/〃加题型二平面与平面平行的判定与性质例3如图所示，在三棱柱ABC—4BiG中，过8c的平面与上底面481G交于GH(G”与BiC不重合).B(1)求证：BC//GH；(2)若E,F,G分别是AB,AC,4所的中点，求证：平面E/4〃平面BCHG.证明(1)1•在三棱柱ABC-AiBiG中，平面A8C〃平面AiBiCi,又；平面BCHGC平面ABC=BC,且平面BCHGC平面A\B\C\=HG,由面面平行的性质定理得BC〃GH(2)VE,F分别为48,AC的中点，：.EF//BC,,/ER1平面BCHG,BCU平面BCHG,.♦.E/〃平面BCHG.又G,E分别为481,AB的中点，AiBil^AB,：.AiG统EB,四边形AEBG是平行四边形,：.AiE//GB.•.,4EQ平面BCHG,GBU平面BCHG,〃平面BCHG.又AiE,EFU平面E/%，平面EMi〃平面BCHG.延伸探究在本例中，若将条件“E,F,G分别是48,AC,AiBi的中点”变为“点O,D\

An分别是AC,4G上的点，且平面BGO〃平面AB。」'，试求灰的值.解如图，连接AiB交AS于O,连接05.aA,aA,由平面BC|。〃平面ABQi,且平面AiBGC由平面BC|。〃平面ABQi,且平面AiBGC平面BCiD=BCi,平面AiBGD平面AB\D\=D\O,所以BG〃。。，则第=部=】D4■，斯nMD\DC又由就设方而一行,mzOC,gnAD,所以而=1,即反=1【教师备选】如图，在三棱柱ABC-4B1G中,E,如图，在三棱柱ABC-4B1G中,E,F,G分别为BiG，AiBt，A8的中点.C(1)(1)求证：平面AiGG〃平面8EF；(2)若平面(2)若平面AiGGCBC="，求证:H为8c的中点.证明(1)：E,F分别为4囱的中点,：.EF//AiCi,；AiGU平面AiCG,E和平面平GG,〃平面4GG,又尸,G分别为AS,AB的中点,：.AtF=BG,四边形4GBF为平行四边形,贝BF//A\G,YAiGU平面4GG, 平面AiGG,XEFQBF=F,EF,BFU平面BEF,，平面4CiG〃平面BEF.(2)；平面ABC〃平面AiBiCi,平面AiGGC平面A|BiG=AG,平面4GG与平面ABC有公共点G,则有经过G的直线，设交BC于点H,如图,则4ci〃G/7,得G4〃AC,；G为A8的中点，为8c的中点.思维升华证明面面平行的常用方法(1)利用面面平行的判定定理.(2)利用垂直于同一条直线的两个平面平行(LLa,I邛=a〃p).(3)利用面面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行(a〃夕,/?〃》=a〃y).跟踪训练2如图，四棱柱4BCO—4B1GA的底面4BCO是正方形.(1)证明：平面480〃平面CABi；(2)若平面A8COD平面CABi=直线/,证明：B\D\//l.证明(1)由题设知统。。所以四边形是平行四边形，所以又88平面CUB”BiOiU平面CAS,所以BO〃平面CD\B\.因为AiDi统B£脩BC,所以四边形A|8C£)1是平行四边形，所以4B〃DC.又ABC平面C£)i8i,GCU平面C£)i8|,所以4B〃平面CQ1|.又因为BOnAiB=B,BD,A|8U平面4BD,所以平面Ai8£>〃平面CD\B\.(2)由(1)知平面AiBD〃平面CD\B\,又平面A8CDC平面C£)囚=直线/,平面48coe平面AiBO=直线BD,所以直线/〃直线83,在四棱柱ABC。一AiBiG。中，四边形BDD]Bf为平行四边形,所以 所以Bd〃/.题型三平行关系的综合应用例4如图，在正方体A8C£»-48£Oi中，P,。分别为对角线BD,C。上的点，且舞=BP2方=?(1)求证：尸。〃平面AQ1D4：AR(2)若R是AB上的点，售的值为多少时，能使平面PQR〃平面AOQA?请给出证明.r\D(1)证明连接C尸并延长，与D4的延长线交于M点，如图，连接M。，因为四边形ABC。为正方形，所以BC//AD,又因为丝_丝_2AU^QD\~PD~3,CQCP2所以0。1=而一?所以PQ//MD].又用。1U平面4£>|D4,Pg平面4O1D4,故PQ〃平面A\D\DA.AR3(2)解当言的值为彳时，能使平面PQR〃平面4O1D4.如图,

证明如下:即IHBRBP故丽=而所以PR//DA.又。AU平面A|£)iD4,P/M平面AQ1D4,所以PR〃平面A\D\DA,又PQ〃平面4£>iOA,PQQPR=P,PQ,PRU平面尸QR,所以平面PQR〃平面AiD\DA.【教师备选】如图，四边形ABCO与4OEF均为平行四边形，M,N,G分别是AB,AD,EF的中点.求证：EAMB(1)8EEAMB(1)8E〃平面DMF；(2)平面BOE〃平面MNG.证明(1)如图，连接AE,则AE必过。尸与GN的交点0,EAMB连接MO,则M。为△ABE的中位线，所以BE〃何0.又BEC平面DMF,MOU平面DMF,所以8E〃平面DMF.(2)因为N,G分别为平行四边形AOEF的边AO,EF的中点,又。郎平面MNG,GNU平面MNG,所以OE〃平面MNG.所以。E〃GN,又M为48的中点，所以MN为△A8O的中位线，所以BD〃MN,又MNU平面MNG,BZK平面MNG,所以80〃平面MNG,又OE,BDU平面BDE,DECBD=D,所以平面8OE〃平面MNG.思维升华证明平行关系的常用方法熟练掌握线线、线面、面面平行关系间的相互转化是解决线线、线面、面面平行的综合问题的关键.面面平行判定定理的推论也是证明面面平行的一种常用方法.跟踪训练3如图所示，四边形EFG”为空间四边形ABCO的一个截面，若截面为平行四边形.(1)求证：AB〃平面E尸G”；(2)若AB=4,CD=6,求四边形EFGH周长的取值范围.A(1)证明•四边形E/G”为平行四边形,J.EF//HG.：“GU平面A8O,ERI平面A8D,.•.EF〃平面ABD.又平面ABC,平面4BOCI平面ABC=AB,J.EF//AB,又困平面EFGH,EFU平面EFGH,.♦.4B〃平面EFGH.(2)解设EF=x(0<x<4),由(1)知EF//AB,.CF=EF=x•覆一而一不与(1)同理可得CO〃FG,•fg_bf"CD='BC,„,.FGBFBC-CF,xBC~1一不，四边形EFG4的周长L=2（x+6-%）=12—x.XV0<r<4,：.8<L<12,故四边形EFG”周长的取值范围是（8,12）.课时精练C基础保分练（2022・宁波模拟）下列命题中正确的是（）A.若a,b是两条直线，且。〃从那么a平行于经过人的任何平面B.若直线a和平面a满足a〃a,那么a与a内的任何直线平行C.平行于同一条直线的两个平面平行D.若直线a,6和平面a满足a〃b,aC.a,Ma,贝1]b〃a答案D解析A中，a可以在过b的平面内；B中，a与a内的直线也可能异面；C中，两平面可能相交；D中，由直线与平面平行的判定定理知b〃a,正确.（2022•呼和浩特模拟）设a,6是两条不同的直线，a,夕是两个不同的平面，则a〃夕的一个充分条件是（）A.存在一条直线a,a//a,a//pB.存在一条直线a,aC.a,a〃夕C.存在两条平行直线a,h,aCa,hC.fi,a///},h//aD.存在两条异面直线a,b,aC.a,bU0,a//fi,b//a答案D解析对于A,一条直线与两个平面都平行，两个平面不一定平行，故A不正确；对于B,一个平面中的一条直线平行于另一个平面，两个平面不一定平行，故B不正确；对于C,两个平面中的两条直线平行，不能保证两个平面平行，故C不正确；对于D,如图，在直线6上取点B,过点B和直线a确定一个平面y,交平面少于a',因为。〃夕，所以。〃a',又a'Ca,aC.a,所以a'//a,又因为6〃a,bCa'=B,bU3a'U产，所以£〃a.（2022•广州模拟）如图，在三棱柱ABC—4B1G中，AM=2M4"BN=2NBi，过MN作一平面分别交底面△A8C的边BC,AC于点E,F,贝1］（ ）MF//EBAiBt//NEC.四边形MNEF为平行四边形D.四边形MNEF为梯形答案D解析由于8,E,尸三点共面，Fd平面BE尸，M住平面BE凡故MF,EB为异面直线，故A错误；由于8”N,E三点共面，81G平面3NE,A母平面B|NE,故NE为异面直线，故B错误；•.•在平行四边形AA由iB中，AM=2MA\,BN=2NB\,：.AM//BN,AM=BN,故四边形AWN8为平行四边形，J.MN//AB.又平面ABC,ABU平面ABC,〃平面ABC.又MVU平面MNEF,平面MNEFn平面ABC=EF,：.MN//EF,J.EF//AB,显然在△ABC中，EF^AB,:.EF#MN,四边形MNE尸为梯形，故C错误，D正确.4.（2022•杭州模拟）已知P为△48C所在平面外一点，平面a〃平面A8C,且a交线段以，PB,尸C于点4',B',C',若以'：A4'=2：3,则8c：Sa48c等于（ ）

A.2：3C.4：9p答案D解析平面a〃平面ABC,p.♦.A'C'//AC,A'B'//AB,B'C'//BC,:上.bc'：Saabc=(PA':网又m'：AA'=2：3,：.PA':PA=2：5,•'•Sax'bc:Saabc=4:25.5.（多选）（2022・济宁模拟汝口图，在下列四个正方体中，A,8为正方体的两个顶点，D,E,F为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面OE尸平行的是（）答案AC解析对于A,A8〃OE,A用平面OEF,OEU平面DEF,二直线AB与平面3EF平行，故A正确;对于B,如图，取正方体所在棱的中点G,连接FG并延长，交AB延长线于“，则48与平

面OEF相交于点”，故B错误;对于C,AB//DF,ABC平面。EF,OFU平面OEF,DD直线AB与平面。EF平行，故C正确；对于D,AB与。尸所在平面的正方形对角线有交点8,。尸与该对角线平行,工直线AB与平面OEF相交，故D错误..（多选）如图，透明塑料制成的长方体容器A8CO—481G口内灌进一些水，固定容器一边4B于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜程度的不同，有下面几个结论，其中正确的是（ ）D,GA.没有水的部分始终呈棱柱形B.水面EFGH所在四边形的面积为定值C.随着容器倾斜程度的不同，4G始终与水面所在平面平行D.当容器倾斜如图（3）所示时，A64”为定值答案AD解析根据棱柱的特征（有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行），结合题中图形易知A正确；由题图可知水面EFGH的边所的长保持不变，但邻边的长却随倾斜程度而改变，可知B错误；因为4ci〃AC,ACU平面4BC£>,41c何平面ABCD,所以4cl〃平面ABCQ,当平面EFG4不平行于平面4BCC时，4G不平行于水面所在平面，故C错误；当容器倾斜如题图（3）所示时，因为水的体积是不变的，所以棱柱AEH-BFG的体积V为定值，又V=S^aeh-AB,高A8不变，所以Saaeh也不变，即AEAH为定值，故D正确..考查①②两个命题，①I"mj=>/〃a；②/〃aj=»/〃a,它们都缺少同一个条件,补上这个条件就可以使其构成真命题（其中/,“为直线，a为平面），则此条件为.答案Ida解析①由线面平行的判定定理知/Ca；②由线面平行的判定定理知/Qa..如图所示，在正四棱柱ABC。一AiBiGQi中，E,F,G,4分别是棱CG，C|DI.D\D,0c的中点,N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M只需满足条件,就有MN〃平面SB。。“注：请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况）

c,D,c,D,答案点M在线段厂”上(或点M与点，重合)解析连接“N,FH,FN(图略),，平面F”N〃平面只需MGFH,则MNU平面FHN,：.MN//平面B\BDD\..如图，在正方体ABCQ-ABiGQi中，E,F,G,〃分别是8C,CCi,G。，AAi的中点,求证：(2)EG〃平面BBiD}D；(3)平面8。尸〃平面B\D\H.证明如图.nnnn⑴取BiB的中点M,连接HM,MCi,易证四边形是平行四边形,：.HD\//MC\.又MC\〃BF,：.BF//HD\.⑵取BD的中点O,连接OE,0D\,则OE^DC.又DiG债!DC,

：.OE^D\G.四边形OEGDi是平行四边形，：.EG//D\O.又OiOu平面BBiDiD,EGC平面BB\D\D,，EG〃平面BB\DiD.(3)由(1)知B尸〃，5,由题意易证8Qi〃8D又BA,HDiU平面BiDiH,BF,BDu平面BDF,且BQiCHDi=Di,DBCBF=B,平面8。尸〃平面B\D\H..如图，在四棱锥P—ABCO中，AD//BC,AB=BC=^AD,E,F,H分别为线段A。，PC,CQ的中点，AC与BE交于。点,G是线段O尸上一点.⑴求证：4P〃平面BE尸；⑵求证：G4〃平面FD证明(1)如图，连接EC,因为AO〃BC,所以BC〃AE,BC=AE,所以四边形ABCE是平行四边形,所以。为AC的中点.又因为尸是PC的中点，所以FO//AP,因为尸。u平面BEF,AR平面BEF,所以AP〃平面BEF.(2)连接FH,OH,因为F,H分别是PC,CC的中点,所以FH//PD,因为P£)u平面PAD,FHQ平面PAD,所以尸，〃平面PAD.

又因为。是BE的中点，H是CO的中点，所以OH〃AD,因为A£>u平面PAD,。用平面PAD,所以OH〃平面PAD.又FHCOH=H,FH,OHu平面OHF,所以平面〃平面PAD.又因为Gbu平面OHF,所以G，〃平面PAD.过技能提升练.（多选）已知a,夕是两个平面，m,"是两条直线.下列命题正确的是（ ）A.如果m〃”，〃Ua,那么，“〃aB.如果,x〃a,mUfj,aC\fi—n,那么C.如果a〃£,znCa,那么机〃£D.如果aJj?,aC\p=n,ml.n,那么，”_1夕答案BC解析如果，“〃〃，"Ua,那么机〃a或，”Ua,故A不正确；如果小〃a,/"UQ,aCA=〃，那么m〃/1,这就是线面平行推得线线平行的性质定理，故B正确；如果a〃4mUa,那么“〃这就是利用面面平行推线面平行的性质定理，故C正确；缺少mUa这个条件，故D不正确..（2022•福州检测）如图所示，正方体A8CC-4B1GO1中，点、E,F,G,P,Q分别为棱AB,Ci。”OiAi，D\D,GC的中点，则下列叙述中正确的是（ ）A.直线BQ〃平面EFGB.直线AiB〃平面EFGC.平面4PC〃平面EFGD.平面48。〃平面EFG答案B解析过点E,F,G的截面如图所示（“，/分别为AA,8c的中点），连接48,BQ,AP,PC,易知8。与平面EFG相交于点Q,故A错误；'：AiB//HE,AiBC平面EFG,HEU平面EFG,.•.48〃平面EFG,故B正确；APU平面AOQ4,4GU平面4OA4,延长”G与孙必相交，故C错误；易知平面AB。与平面EFG有交点Q,故D错误..（多选）（2022・临沂模拟）如图1,在正方形48CC中，点E为线段BC上的动点（不含端点）,将△ABE沿AE翻折，使得二面角B-AE-D为直二面角，得到图2所示的四棱锥B-AECD,点尸为线段BO上的动点（不含端点），则在四棱锥B-AECO中，下列说法正确的有（）A.B,E,C,尸四点不共面B.存在点凡使得CF〃平面B4EC.三棱锥B-AOC的体积为定值D.存在点E使得直线BE与直线CO垂直答案AB解析对于A,假设直线BE与直线CF在同一平面上，所以E在平面BCF上，又因为E在折前线段8c上，8CC平面8C/=C,所以E与C重合，与E异于C矛盾,所以直线BE与直线CF必不在同一平面上，即B,E,C,F四点不共面，故A正确；对于B,如图，当点尸为线段8。的中点，时，直线CF〃平面证明如下:取AB的中点G,连接GE,GF,则EC//FG且EC=FG,所以四边形ECFG为平行四边形,所以FC〃EG,又因为EGU平面BAE,则直线C尸与平面BAE平行，故B正确；对于C,在三棱锥8—A3C中，因为点E的移动会导致点8到平面AC。的距离发生变化，所以三棱锥8—AOC的体积不是定值，故C不正确；对于D,过。作于〃，因为平面平面AECO,平面BAEC平面AECO=4E,所以£>H!_平面B4E,所以。若存在点E使得直线BE与直线CD垂直，OHU平面4ECC,且OCU平面AEC。，DHQDC=D,所以BE_L平面AECQ,所以BELAE,与AABE是以B为直角的三角形矛盾，所以不存在点E使得直线BE与直线CO垂直，故D不正确.14.如图，在长方体ABCO-A山Ci。中，AD=DD\=\,AB=巾,E,F,G分别是AB,BC,GA的中点，点P在平面ABC。内，若直线OiP〃平面EFG,则线段。|尸长度的最小值是.解析如图，连接。M,AC,01c.因为E,F,G分别为A8,BC,Cid的中点，所以4C〃EF,又ER