正弦定理修改版

正弦定理教学内容分析本章节主要内容为正弦定理以及正弦定理的推导，课本是在初中已经学过直角三角形中的边角关系的基础上，通过对三角形边角关系的研究，进一步发现直角三角形当中边长与角度的数量关系，从而推广到一般的三角形中，推导出正弦定理。本章节开始的探究目的是想引出正弦定理，但是问题设置较为模糊，学生可以举出另外的例子来回答；在接下来的探究中，课本利用从特殊到一般的思想方法，对于高中生而言可以省略，直接从一般三角形当中进行探究，但是教师也可以利用此提出思想方法让学生体会，在锐角三角形中证明定理时，证明思路有点混乱，需要教师重新组织语言，让学生更好的理清逻辑；在课本中的习题设置中，可以看出是按照之前教材所说的解题思路来的，这样不利于学生思维的灵活训练，容易形成刻板印象，因此教师需要再举出其他的不同条件的例题，不再是常规的知三求一。教学对象分析此时学生已经初步具备抽象思维，所以正弦定理的推导可以不局限于书本上的，从直角三角形到锐角三角形再到一般三角形的推导方法，可以直接在一般三角形中通过高来推导出正弦定理，也是对学生思维的一种训练，并且学生初中以及之前的学习都接触过三角形的相关知识，在开始引入的时候，可以帮助学生一起回忆初中三角形知识之后，由旧知引新知，帮助学生更快了解正弦定理的推导根据是什么---大边对大角，小边对小角，之后，所以对于本章节的内容理解已经有了一定的基础，对于书上的内容掌握之后，可以适当接受书本之外的延伸内容，例如除了书上的例题，按照学生的思维和学习水平，举出其他的知三求一的解三角形题，但是由于思维的局限性，教师需要重点讲解一下解三角形中的多解问题。

教学目标设计通过本节课的学习，同学们应该掌握以下几点1、通过对特殊三角形边角的而数量关系的探究，发现正弦定理，初步学会运用由特殊到一般的思想方法发现数学规律2、掌握正弦定理，并能运用正弦定理解决基本解三角形的问题（重难点）3、初步体会到正弦定理是研究三角形的重要工具，并能掌握正弦定理的一种推导方法（重点）教学过程设计【情景引入】师：同学们，我们之前就已经学过了在任意三角形中，边与角有什么关系呢生：有大边对大角，小边对小角的关系师：对，但是我们怎么才能更好的同一个三角形中，边与角之间的关系把它量化的表示出来呢？大家有什么方法？（生讨论3分钟）师：好，现在有没有同学来分享一下自己的做法？（生介绍自己的方法）师：刚刚听了同学们的做法，大家都非常好，能够自己独立的想出这些方法，那今天呢，我们也是要学习一种能够准确量化同个三角形中边角关系的定理，学完之后大家再比较一下，和自己想出的方法有哪些优势又有那些劣势【新课】教师：在三角形中，已知三角形的一边长为a,且已知B角的度数，A角为直角，同学们，怎么样才能求出B角对应边的长度呢？（学生思考1分钟）教师：同学们，先告诉老师解决这个问题关键是什么呢？学生：建立一个等式，等式里包含未知边教师：对，那我们可以发现，在三角形中可以用什么来联系已知的角度、边长与未知边呢？学生：可以做一条高，用正弦来求教师：非常好！这个式子列出来就是bsinA=asinB,这就是三角形中的高保持不变的一个等式，现在我们将式子变ba形，变成sinBsinA，大家观察一下，这个式子可不可以准确的量化a,b两条边对应的角度关系呢？学生：可以老师：我们看这个等式，b比上它所对角的正弦值二c比上它所对角的正弦值，而三角形中有三条边和三个角，你还能猜想出什么？b_c_a学生：sinBsinCsinA教师：正确，我们可以验证一下这个等式在我们刚才讨论的直角三角形中是否成立？』C=90。，sinC=1，而我们bbc=c=c=—刚才得到sinB，进而有sinB1sinC，也就是说我们刚才猜想的等式在直角三角形中是成立的。那么我们能不能得到在一般三角形中也有这个关系呢？我们先来直观的看一看。（展示动态几何课件）。学生：他们都是相等的！教师：那我们能不能从数学严谨的角度给予证明呢？（展示PPT）（教师可以从初中解直角三角形找角与边的关系的角度给学生以适当的引导，使学生意识到需要做CD±AB与D）学生：过C做CD±AB与D学生口述，教师板书如下:CD-asinB,CD=bsinA,得到一'=—土，同理在ABC中有，sinAsinBb_csinBsinC教师：通过这个证明我们得到在直角三角形和锐角三角形中这个等式是成立的，那么请同学们下课后自己思考一下，如何来证明这个等式在钝角三角形中同样成立。我们在课堂上暂时不进行讨论。结论：对任意AABC，总有一^=—'=—」，我们把这sinAsinBsinC条性质称为正弦定理。（这就是今天要讲的内容，把课题写在黑板上）老师：那么我们继续探究，当我们回顾上面直角三角形的例子是会发现，利用直角三角形的一个性质c=2R，R为这个直角三角形外接圆的半径，也就是有下面的等式成立：—-—=—-—=—-—=2R（R为直角三角形外接圆半径），sinBsinCsinA这个性质是不是只对直角三角形是一个巧合，还是对各种三角形均有这个性质呢？E了前面由直角三角形延伸到一般三角形的经验，会给出偏向肯定的答案）教师：当然，这个只是我们的猜想，猜想是要经过严格的证明才能说是正学生：可能会有吧！（这时学生因为有E了前面由直角三角形延伸到一般三角形的经验，会给出偏向肯定的答案）教师：当然，这个只是我们的猜想，猜想是要经过严格的证明才能说是正确的，千万不能凭直觉来断言一件事，在日常生活中也同样是这样。那么我们要想证明我们的猜想可以将三角形怎样处理呢？学生：将三角形放在它的外接圆内来考虑。

教师：很好，（进行板书，如下）：在A中我们由圆的相关性质得到/E=/F反、,七DCDC八所以有：==2RsinEsinF,.一DCDEEC学生：同理就可以得到ZC=2DL=-^—=2RsinEsinCsinD教师：所以我们发现我们将三角形放在它的外接圆内不仅可以证明正弦定理而且还可以得到更多的性质，将正弦定理向前发展了一步。教师：我们将三角形放在其外接圆内得到了正弦定理的一种很漂亮的证明方法，让我们进一步思考，我们同样可不可以借助其他的工具同样来证明正弦定理呢？我给出一个提示，我们将三角形放在坐标系中来观察，同学们可以下课后自己经行相关的讨论探究。教师：学习了正弦定理，那它有什么用呢？让我们先来了解一下“解三角形”的概念：一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素。已知，三角形的几个元素，求其他元素的过程叫做“解三角形”。正弦定理是解三角形的工具之一。abc教师：正弦定理：sinAsinBsinC可以写成几个等式？a_ba_cb_c=,—,—学生：三个：sinAsinBsinAsinCsinBsinC教师：如果用方程的观点，需要知道几个量，才能求出其他量？学生：知道三个。教师：三个方程，每个含有四个量，知其三求其一。那么正弦定理可以解决：已知两角和一边，求另外一边的问题。（一边是任意的）正弦定理还可以解决什么问题？

学生：已知两边和一角的问题。教师：是不是任意一个角？（学生思考，可以给予适当的提示）学生：只能是两边和其中一边的对角的问题。例.在△ABC中，已知A=30，c=8,a=5，求C、B和b（结果保留两位小数）.八csinA8sin30。…sinC===0.8由正弦定理得a5C=53」3。或C=126.87。（注意：考虑不周，遗漏钝角）7asinB5sin96.87。八八。b===9.93当C=53.13。时，B=96.87。，sinAsin30。当C=126.87。时，B=23.13。，7asinB5sin23.13。。八。b===3.93sinAsin30。.若将例题中的条件c=8改为c=11,求