《高等数学(下册)》课件-高等数学-第7章

第7章

级数第7章级数1本章内容

1数项级数

2数项级数的审敛法

3函数项级数与幂级数

4函数展开成幂级数本章内容1数项级数2数项级数的审敛法3函数2第一节数项级数一、数项级数的基本概念例1某公司准备将10万元资金划入某职业学院，作为学院的奖励基金。在保证资金一年内基本到位的情况下，采用如下形式划款：该公司第一个月支付总额的给学院，即万元；第二个月再支付余额的给学院，第三个月再支付余额的给学院，以后如此支付。那么第n个月学院已收到的资金数为：第一节数项级数一、数项级数的基本概念例1某公司准3如果n

无限大，在上式两边取极限有定义1给定一个数列则和式称为无穷级数，简称级数，记作，即其中，称为级数的一般项或通项。各项都是常数的级数，称为常数项级数。例如，为常数项级数。如果n无限大，在上式两边取极限有定义1给定一个数列4无穷级数前n项的和称为级数前n项的局部和，记为Sn，即定义2如果级数的部分和数列有极限S，即，则称级数收敛，S称为该级数的和，记为如果数列没有极限，则称级数发散。当级数收敛时，其和与部分和的差，即，称为级数的余项，记为rn

，则无穷级数前n项的和称为级数前n项的局部和，记为Sn5解例2讨论级数的敛散性。级数一般项，所以级数的部分和为于是所以这个级数收敛，其和为1。解例2讨论级数6解例3讨论级数的敛散性。级数的局部和为于是所以该级数发散。解例3讨论级数7解例4讨论公比为q的几何级数的敛散性。级数的局部和为下面分情况讨论：（1）当时，；（2）当时，；（3）当时，；（4）当

时，部分和为，Sn

的极限不存在；综上所述，当时，几何级数收敛，且其和为；当

时，几何级数发散。解例4讨论公比为q的几何级数8解例5讨论调和级数的敛散性。一般地，对任意正整数k，有由于k可以任意大，所以数列无界，从而部分和数列也无界，因此调和级数是发散的。解例5讨论调和级数9定理1对于p-级数，当时收敛；当时发散。注意：当时，p-级数即为调和级数。例6判别以下级数的敛散性：（1）；（2）。解（1）因为的通项，所以级数是

的p-级数，该级数是发散的。（2）因为的通项，所以级数是

的p-级数，该级数是发散的。定理1对于p-级数10二、级数的基本性质性质1设级数与都收敛，分别收敛于S与

σ，则（1）级数收敛，其和为；（2）收敛，其和为kS

(k为常数)。性质2增加、去掉或改变级数的有限项，不改变该级数的敛散性。二、级数的基本性质性质1设级数与11例7判别以下级数的敛散性：（1）；（2）。解（2）级数是调和级数删去，由性质2可知，级数发散。（1）级数的通项，而级数和均为收敛的几何级数，由性质1可知，级数收敛。例7判别以下级数的敛散性：（1）12性质3（级数收敛的必要条件）

若级数收敛，则它的一般项趋于零，即。证明因为级数收敛，则有。由于，所以注意：性质3说明，如果级数收敛，则它的一般项趋于零。反之不成立，如调和级数，其一般项，但此级数发散．而如果级数的一般项不趋于零，则该级数必定发散。性质3（级数收敛的必要条件）若级数收13例8判别以下级数的敛散性：（1）；（2）。解（2）级数是调和级数删去，由性质2可知，级数发散。（1）级数的通项，而级数和均为收敛的几何级数，由性质1可知，级数收敛。例8判别以下级数的敛散性：（1）14第二节数项级数的审敛法一、正项级数及其审敛法正项级数是指级数的每一项都是非负常数，即。对于正项级数，敛散性有如下比较审敛法。定理1（比较审敛法）设有正项级数和，且，则（1）如果级数收敛，则级数也收敛；（2）如果级数发散，则级数也发散。第二节数项级数的审敛法一、正项级数及其审敛法15例1判别以下级数的敛散性：解（2）因为，而几何级数是收敛的，由比较审敛法可知，级数收敛。（1）因为，而级数是发散的，由比较审敛法可知，级数发散。（1）；（2）；（3）

。例1判别以下级数的敛散性：解（2）因为16（3）因为，而p-级数收敛，由比较审敛法可知，级数收敛。在应用比较审敛法时，需要先找一个敛散性的级数作为比较对象，通常选用p-级数和等比级数．但在不少情况下，找比较对象的级数是比较困难的。下面介绍应用较为方便的比值审敛法。（3）因为17定理2（比值审敛法）设有正项级数，如果，则（1）当时，级数收敛；（2）当或时，级数发散；（3）当时，级数可能收敛，也可能发散。定理2（比值审敛法）设有正项级数，如果18例2判别以下级数的敛散性：解（2）因为，所以由比值审敛法知，级数发散。（1）因为，所以由比值审敛法知，级数收敛。（1）；（2）；（3）。例2判别以下级数的敛散性：解（2）因为19（3）因为，所以由比值审敛法知，级数收敛。二、交错级数审敛法形如的级数称为交错级数。定理3（莱布尼茨判别法）若交错级数满足下列条件：（1）；（2），则级数收敛，且其和。（3）因为20例2判别以下级数的敛散性：解（2）该级数也为交错级数。因为，所以该级数发散。（1）该级数为交错级数。因为，且

，所以该级数收敛。（1）；（2）；例2判别以下级数的敛散性：解（2）该级数也为交错级数。因21三、任意项级数的绝对收敛与条件收敛如果数项级数的项可正可负，那么称为任意项级数。对于任意项级数，有绝对收敛与条件收敛。定理4设为任意项级数，如果级数收敛，则级数

收敛。证明令，则级数为正项级数。三、任意项级数的绝对收敛与条件收敛如果数项级22由于，且级数收敛，因而也收敛。又因为，与都收敛，所以，根据级数的基本性质知级数也收敛。这个定理的逆命题是不成立的，即如果级数收敛，级数

不一定收敛。由于23（1）如果级数收敛，则称级数为绝对收敛；（2）如果级数发散，而级数收敛，则称级数为条件收敛。对任意项级数，有：（1）如果级数收敛，则称级数24解例4判定级数的敛散性。因为，而等比级数收敛，由比较审敛法知，级数收敛，因此级数为绝对收敛。解例4判定级数的敛散性。25解例5判定级数是否收敛，如果收敛，指出是绝对收敛还是条件收敛。级数是交错级数，根据莱布尼茨判别法，因为，且，故级数收敛。而此级数加绝对值后的级数为的p-级数，是发散的，因此，该级数为条件收敛。解例5判定级数是否收敛，26第三节函数项级数与幂级数一、函数项级数的概念定义1设是定义在区间I上的函数，级数称为区间I上的函数项级数。对于区间I内确定的点x0，即是数项级数。若收敛，那么x0

就称为级数的收敛点。级数收敛点的全体称为它的收敛域。如果发散，则称x0

为级数的发散点。第三节函数项级数与幂级数一、函数项级数的概念定义1设27在收敛域内，级数的每一点都有一个确定的和，称为

的和函数，即。把函数项级数的前

n项部分和记为，在其收敛域上显然有在收敛域内，级数的每一点都有一个确定的和28形如二、幂级数及其收敛区间的求法的级数称为幂级数。其中都是常数，称为幂级数的系数。特别地，当时，上述级数成为

形式的幂级数，记为。定义2关于幂级数的收敛性问题，有如下的定理：形如二、幂级数及其收敛区间的求法的级数称为幂级数。其中29定理1（阿贝尔定理）

如果幂级数当时收敛，那么所有满足的点x

使此幂级数绝对收敛；反之，如果级数当时发散，那么所有满足

的点

x使此幂级数发散。定理1（阿贝尔定理）如果幂级数30定理1表明了幂级数收敛点集的结构情况。如果幂级数

在数轴上点处收敛，那么对于区间内的所有x，

都收敛；如果幂级数在处发散，那么对于区间

内的所有x，都发散。因此存在非负数R，使得幂级数在内的任何点上均收敛；在

内的任何点上均发散；在处，幂级数可能收敛，也可能发散。定理1表明了幂级数收敛点集的结构情况。如果幂31如果幂级数仅在处收敛，则收敛半径；如果它在整个数轴上收敛，则此时的收敛半径。上述非负数R称为幂级数的收敛半径，开区间

称为收敛区间（收敛域）。由幂级数在处的敛散性，就可确定其收敛域为或或或。如果幂级数仅在32定理2

如果设幂级数满足，则此幂级数的收敛半径为（1）如果，则；（2）如果，则；（3）如果，则。定理2如果设幂级数满足33例1判别以下级数的收敛半径：解〔1〕因为（1）；（2）；（3）。所以收敛半径。例1判别以下级数的收敛半径：解〔1〕因为（1）34〔2〕因为所以收敛半径。〔3〕因为所以收敛半径，即该幂级数仅在处收敛。〔2〕因为所以收敛半径35解例2求幂级数的收敛区间。因为，所以收敛半径，从而收敛区间为。解例2求幂级数的收36三、幂级数的运算性质1设有两个幂级数和，它们的收敛半径分别为R1

和R2，和函数分别为和。若，则在内有收敛区间为。三、幂级数的运算性质1设有两个幂级数37性质2设幂级数的收敛半径为R，且在收敛区间内的和函数为，则（1）在内连续；（2）在内可导，即（3）在内可积，即性质2设幂级数的收敛半径为R，38

经逐项求导数或逐项求积分后得到的幂级数与原来的幂级数收敛区间相同，但在收敛区间的端点处，幂级数的敛散性可能会改变，即幂级数的收敛域可能会改变。由性质2〔2〕，得例如，幂级数，在内有

。对其两端求导，得幂级数的收敛半径仍然为，通过计算可知其收敛域仍然为。经逐项求导数或逐项求积分后得到的幂级数与原来39由性质2〔3〕，得幂级数的收敛半径仍然为，通过计算可知其收敛域仍然为。对幂级数式两端积分，得由性质2〔3〕，得幂级数40解例3求幂级数在收敛区间内的和函数。上式两端积分，得因为，所以该幂级数的收敛区间为由性质2〔3〕，得设所求的和函数为，即解例3求幂级数在收敛区间内的41即对上式两端求导，得即对上式两端求导，得42第四节函数展开成幂级数一、泰勒级数当时，上式变为定义1若函数在的某一领域内有任意阶导数，则称为函数在处的泰勒级数。为函数的马克劳林级数。第四节函数展开成幂级数一、泰勒级数当43二、将函数展开成幂级数1．直接展开法第一，求出的各阶导数，如果在处某阶导数不存在，就停止进行。第二，求出函数各阶导数在处的值，

。第三，写出幂级数并求出它的收敛半径R。二、将函数展开成幂级数1．直接展开法第一，求出44第四，讨论在收敛区间内余项的极限是否为零。如果为零，则函数在内的幂级数展开式为第四，讨论在收敛区间45解例1将展开成x

的幂级数。取。因为，所以。

ex的马克劳林级数为，该级数的收敛域为。余项的绝对值为解例1将展开成x的46为有限值，而是收敛级数的一般项，故

，所以当时，有，于是ex可以展开成马克劳林级数，即还可以得到以下函数的幂级数展开式：（1）；（2）

，其中m为任意实数。为有限值，而是47解例2将展开成x

的幂级数。因为，所以将其对x

求导，得2．间接展开法解例2将展开成x的幂级数。48解例3将展开成x

的幂级数。

因为，所以上式两边从0到x

逐项积分，得上式对也成立，这是因为上式右端的幂级数当时收敛，而且在处有定义且连续。解例3将49解因为，所以由，得，则上述幂级数的收敛域为。例4将展开成

的幂级数。解因为50现将几个重要函数的幂级数展开式列在下面，请牢牢记住它们：现将几个重要函数的幂级数展开式列在下面，请牢牢记住它们：51ThankYou!ThankYou!52第7章

级数第7章级数53本章内容

1数项级数

2数项级数的审敛法

3函数项级数与幂级数

4函数展开成幂级数本章内容1数项级数2数项级数的审敛法3函数54第一节数项级数一、数项级数的基本概念例1某公司准备将10万元资金划入某职业学院，作为学院的奖励基金。在保证资金一年内基本到位的情况下，采用如下形式划款：该公司第一个月支付总额的给学院，即万元；第二个月再支付余额的给学院，第三个月再支付余额的给学院，以后如此支付。那么第n个月学院已收到的资金数为：第一节数项级数一、数项级数的基本概念例1某公司准55如果n

无限大，在上式两边取极限有定义1给定一个数列则和式称为无穷级数，简称级数，记作，即其中，称为级数的一般项或通项。各项都是常数的级数，称为常数项级数。例如，为常数项级数。如果n无限大，在上式两边取极限有定义1给定一个数列56无穷级数前n项的和称为级数前n项的局部和，记为Sn，即定义2如果级数的部分和数列有极限S，即，则称级数收敛，S称为该级数的和，记为如果数列没有极限，则称级数发散。当级数收敛时，其和与部分和的差，即，称为级数的余项，记为rn

，则无穷级数前n项的和称为级数前n项的局部和，记为Sn57解例2讨论级数的敛散性。级数一般项，所以级数的部分和为于是所以这个级数收敛，其和为1。解例2讨论级数58解例3讨论级数的敛散性。级数的局部和为于是所以该级数发散。解例3讨论级数59解例4讨论公比为q的几何级数的敛散性。级数的局部和为下面分情况讨论：（1）当时，；（2）当时，；（3）当时，；（4）当

时，部分和为，Sn

的极限不存在；综上所述，当时，几何级数收敛，且其和为；当

时，几何级数发散。解例4讨论公比为q的几何级数60解例5讨论调和级数的敛散性。一般地，对任意正整数k，有由于k可以任意大，所以数列无界，从而部分和数列也无界，因此调和级数是发散的。解例5讨论调和级数61定理1对于p-级数，当时收敛；当时发散。注意：当时，p-级数即为调和级数。例6判别以下级数的敛散性：（1）；（2）。解（1）因为的通项，所以级数是

的p-级数，该级数是发散的。（2）因为的通项，所以级数是

的p-级数，该级数是发散的。定理1对于p-级数62二、级数的基本性质性质1设级数与都收敛，分别收敛于S与

σ，则（1）级数收敛，其和为；（2）收敛，其和为kS

(k为常数)。性质2增加、去掉或改变级数的有限项，不改变该级数的敛散性。二、级数的基本性质性质1设级数与63例7判别以下级数的敛散性：（1）；（2）。解（2）级数是调和级数删去，由性质2可知，级数发散。（1）级数的通项，而级数和均为收敛的几何级数，由性质1可知，级数收敛。例7判别以下级数的敛散性：（1）64性质3（级数收敛的必要条件）

若级数收敛，则它的一般项趋于零，即。证明因为级数收敛，则有。由于，所以注意：性质3说明，如果级数收敛，则它的一般项趋于零。反之不成立，如调和级数，其一般项，但此级数发散．而如果级数的一般项不趋于零，则该级数必定发散。性质3（级数收敛的必要条件）若级数收65例8判别以下级数的敛散性：（1）；（2）。解（2）级数是调和级数删去，由性质2可知，级数发散。（1）级数的通项，而级数和均为收敛的几何级数，由性质1可知，级数收敛。例8判别以下级数的敛散性：（1）66第二节数项级数的审敛法一、正项级数及其审敛法正项级数是指级数的每一项都是非负常数，即。对于正项级数，敛散性有如下比较审敛法。定理1（比较审敛法）设有正项级数和，且，则（1）如果级数收敛，则级数也收敛；（2）如果级数发散，则级数也发散。第二节数项级数的审敛法一、正项级数及其审敛法67例1判别以下级数的敛散性：解（2）因为，而几何级数是收敛的，由比较审敛法可知，级数收敛。（1）因为，而级数是发散的，由比较审敛法可知，级数发散。（1）；（2）；（3）

。例1判别以下级数的敛散性：解（2）因为68（3）因为，而p-级数收敛，由比较审敛法可知，级数收敛。在应用比较审敛法时，需要先找一个敛散性的级数作为比较对象，通常选用p-级数和等比级数．但在不少情况下，找比较对象的级数是比较困难的。下面介绍应用较为方便的比值审敛法。（3）因为69定理2（比值审敛法）设有正项级数，如果，则（1）当时，级数收敛；（2）当或时，级数发散；（3）当时，级数可能收敛，也可能发散。定理2（比值审敛法）设有正项级数，如果70例2判别以下级数的敛散性：解（2）因为，所以由比值审敛法知，级数发散。（1）因为，所以由比值审敛法知，级数收敛。（1）；（2）；（3）。例2判别以下级数的敛散性：解（2）因为71（3）因为，所以由比值审敛法知，级数收敛。二、交错级数审敛法形如的级数称为交错级数。定理3（莱布尼茨判别法）若交错级数满足下列条件：（1）；（2），则级数收敛，且其和。（3）因为72例2判别以下级数的敛散性：解（2）该级数也为交错级数。因为，所以该级数发散。（1）该级数为交错级数。因为，且

，所以该级数收敛。（1）；（2）；例2判别以下级数的敛散性：解（2）该级数也为交错级数。因73三、任意项级数的绝对收敛与条件收敛如果数项级数的项可正可负，那么称为任意项级数。对于任意项级数，有绝对收敛与条件收敛。定理4设为任意项级数，如果级数收敛，则级数

收敛。证明令，则级数为正项级数。三、任意项级数的绝对收敛与条件收敛如果数项级74由于，且级数收敛，因而也收敛。又因为，与都收敛，所以，根据级数的基本性质知级数也收敛。这个定理的逆命题是不成立的，即如果级数收敛，级数

不一定收敛。由于75（1）如果级数收敛，则称级数为绝对收敛；（2）如果级数发散，而级数收敛，则称级数为条件收敛。对任意项级数，有：（1）如果级数收敛，则称级数76解例4判定级数的敛散性。因为，而等比级数收敛，由比较审敛法知，级数收敛，因此级数为绝对收敛。解例4判定级数的敛散性。77解例5判定级数是否收敛，如果收敛，指出是绝对收敛还是条件收敛。级数是交错级数，根据莱布尼茨判别法，因为，且，故级数收敛。而此级数加绝对值后的级数为的p-级数，是发散的，因此，该级数为条件收敛。解例5判定级数是否收敛，78第三节函数项级数与幂级数一、函数项级数的概念定义1设是定义在区间I上的函数，级数称为区间I上的函数项级数。对于区间I内确定的点x0，即是数项级数。若收敛，那么x0

就称为级数的收敛点。级数收敛点的全体称为它的收敛域。如果发散，则称x0

为级数的发散点。第三节函数项级数与幂级数一、函数项级数的概念定义1设79在收敛域内，级数的每一点都有一个确定的和，称为

的和函数，即。把函数项级数的前

n项部分和记为，在其收敛域上显然有在收敛域内，级数的每一点都有一个确定的和80形如二、幂级数及其收敛区间的求法的级数称为幂级数。其中都是常数，称为幂级数的系数。特别地，当时，上述级数成为

形式的幂级数，记为。定义2关于幂级数的收敛性问题，有如下的定理：形如二、幂级数及其收敛区间的求法的级数称为幂级数。其中81定理1（阿贝尔定理）

如果幂级数当时收敛，那么所有满足的点x

使此幂级数绝对收敛；反之，如果级数当时发散，那么所有满足

的点

x使此幂级数发散。定理1（阿贝尔定理）如果幂级数82定理1表明了幂级数收敛点集的结构情况。如果幂级数

在数轴上点处收敛，那么对于区间内的所有x，

都收敛；如果幂级数在处发散，那么对于区间

内的所有x，都发散。因此存在非负数R，使得幂级数在内的任何点上均收敛；在

内的任何点上均发散；在处，幂级数可能收敛，也可能发散。定理1表明了幂级数收敛点集的结构情况。如果幂83如果幂级数仅在处收敛，则收敛半径；如果它在整个数轴上收敛，则此时的收敛半径。上述非负数R称为幂级数的收敛半径，开区间

称为收敛区间（收敛域）。由幂级数在处的敛散性，就可确定其收敛域为或或或。如果幂级数仅在84定理2

如果设幂级数满足，则此幂级数的收敛半径为（1）如果，则；（2）如果，则；（3）如果，则。定理2如果设幂级数满足85例1判别以下级数的收敛半径：解〔1〕因为（1）；（2）；（3）。所以收敛半径。例1判别以下级数的收敛半径：解〔1〕因为（1）86〔2〕因为所以收敛半径。〔3〕因为所以收敛半径，即该幂级数仅在处收敛。〔2〕因为所以收敛半径87解例2求幂级数的收敛区间。因为，所以收敛半径，从而收敛区间为。解例2求幂级数的收88三、幂级数的运算性质1设有两个幂级数和，它们的收敛半径分别为R1

和R2，和函数分别为和。若，则在内有收敛区间为。三、幂级数的运算性质1设有两个幂级数89性质2设幂级数的收敛半径为R，且在收敛区间内的和函数为，则（1）在内连续；（2）在内可导，即（3）在内可积，即性质2设幂级数的收敛半径为R，90

经逐项求导数或逐项求积分后得到的幂级数与原来的幂级数收敛区间相同，但在收敛区间的端点处，幂级数的敛散性可能会改变，即幂级数的收敛域可能会改变。由性质2〔2〕，得例如，幂级数，在内有

。对其两端求导，得幂级数的收敛半径仍然为，通过计算可知其收敛域仍然为。经逐项求导数或