高考数学二轮空间几何体的三视图表面积与体积专题测试(含解析)

高考数学二轮空间几何体的三视图、表面积与体积专题测试（含解析）高考数学二轮空间几何体的三视图、表面积与体积专题测试（含解析）一、选择题1．(2014•武汉调研)一个几何体的三视图以以下图，则该几何体的直观图能够是( )解析A、B、与俯视图不符．答案D2．将长方体截去一个四棱锥，获得的几何体以以下图，则该几何体的侧(左)视图为( )解析抓住其一条对角线被遮住应为虚线，可知正确答案在，D中，又联合直观图知，D正确．答案D3．(2014•安徽卷)一个多面体的三视图以以下图，则该多面体的表面积为( )A．21＋3B．18＋321D．18解析由三视图知，该多面体是由正方体割去两个角所成的图形，以以下图，则S＝S正方体－2S三棱锥侧＋2S三棱锥底＝24－2×3×12×1×1＋2×34×(2)2＝21＋3答案A4．已知S，A，B，是球表面上的点，SA⊥平面ABD，AB⊥B，SA＝AB＝1，B＝2，则球的表面积等于( )A．4πB．3π．2πD．π解析以以下图，由AB⊥B知，A为过A，B，，D四点小圆直径，因此AD⊥D又SA⊥平面ABD，设SB11D1－ABD为SA，AB，B为棱长结构的长方体，得体对角线长为12＋12＋22＝2R，因此R＝1，球的表面积S＝4πR2＝4π应选A答案A(2014•湖南卷)一块石材表示的几何体的三视图以以下图．将该石材切削、打磨，加工成球，则能获得的最大球的半径等于( )A．1B．23D．4解析由三视图可得原石材为以以下图的直三棱柱A1B11－AB，且AB＝8，B＝6，BB1＝12若要获得半径最大的球，则此球与平面A1B1BA，B1B1，A1A1相切，故此时球的半径与△AB内切圆的半径相等，故半径r＝6＋8－102＝2应选B答案B6．点A，B，，D均在同一球面上，此中△AB是正三角形，AD⊥平面AB，AD＝2AB＝6，则该球的体积为( )A．323πB．48π．643πD．163π解析以以下图，1为三角形AB的外心，过做E⊥AD，1⊥面AB，A1＝33AB＝3∵D＝A，E为DA的中点．∵AD⊥面AB，AD∥1，∴E＝A1＝3D＝DE2＋E2＝23R＝D＝23V＝43π(23)3＝323π答案A二、填空题7．某四棱锥的三视图以以下图，该四棱锥的体积是________．解析由三视图可知，四棱锥的高为2，底面为直角梯形ABD此中D＝2，AB＝3，B＝3，因此四棱锥的体积为13×2＋3×32×233答案338．如图，在三棱柱A1B11－AB中，D，E，F分别是AB，A，AA1的中点，设三棱锥F－ADE的体积为V1，三棱柱A1B11－AB的体积为V2，则h，底面三角形＝124V2，即

AB

＝________解析设三棱柱A1B11－AB的高为的面积为S，则V1＝13×14S•12h＝124Sh＝答案9．在四周体ABD中，AB＝D＝6，A＝BD＝4，AD＝B＝，则四周体ABD的外接球的表面积为________．解析结构一个长方体，使得它的三条面对角线分别为4、、6，设长方体的三条边分别为x，，z，则x2＋2＋z2＝772，而长方体的外接球就是四周体的外接球，因此S＝4πR2＝772π答案772π三、解答题10．以下三个图中，左侧是一个正方体截去一个角后所得多面体的直观图．右侧两个是其正(主)视图和侧(左)视图．(1)请在正(主)视图的下方，依据画三视图的要求画出该多面体的俯视图(不要求表达作图过程)．(2)求该多面体的体积(尺寸如图)．解(1)作出俯视图以以下图．(2)依题意，该多面体是由一个正方体(ABD－A1B11D1)截去一个三棱锥(E－A1B1D1)获得的，因此截去的三棱锥体积VE－A1B1D1＝13•S△A1B1D1•A1E＝13×12×2×2×1＝23，正方体体积V正方体A1＝23＝8，因此所求多面体的体积V＝8－23＝22311(2014•安徽卷)如图，四棱柱ABD－A1B11D1中，A1A⊥底面ABD四边形ABD为梯形，AD∥B，且AD＝2B过A1，，D三点的平面记为α，BB1与α的交点为Q(1)证明：Q为BB1的中点；(2)求此四棱柱被平面α所分红上下两部分的体积之比．解(1)证明：因为BQ∥AA1，B∥AD，B∩BQ＝B，AD∩AA1＝A，因此平面QB∥平面A1AD进而平面A1D与这两个平面的交线互相平行，即Q∥A1D故△QB与△A1AD的对应边互相平行，于是△QB∽△A1AD因此BQBB1＝BQAA1＝BAD＝12，即Q为BB1的中点．(2)如图，连结QA，QD设AA1＝h，梯形ABD的高为d，四棱柱被平面α所分红上下两部分的体积分别为V上和V下，B＝a，则AD＝2aVQ－A1AD＝13•12•2a•h•d＝13ahd，VQ－ABD＝13•a＋2a2•d•12h＝14ahd，因此V下＝VQ－A1AD＋VQ－ABD＝712ahd，又V四棱柱A1B11D1－ABD＝32ahd，因此V上＝V四棱柱A1B11D1－ABD－V下＝32ahd－712ahd＝1112ahd故

V上

V下＝117B级——能力提升组1．(2014•北京卷)在空间直角坐标系

xz

中，已知

A(2,0,0)，B(2,2,0)，(0,2,0)，D(1,1，2)．若

S1，S2，S3

分别是三棱锥

D－AB在x，z，zx

坐标平面上的正投影图形的面积，则

(

)A．S1＝S2＝S3B．S2＝S1且

S2≠S3．S3＝S1且

S3≠

S2D．S3＝S2

且

S3≠S1解析作出三棱锥在三个坐标平面上的正投影，计算三角形的面积．以以下图，△AB为三棱锥在座标平面x上的正投影，因此S1＝12×2×2＝2三棱锥在座标平面z上的正投影与△DEF(E，F分别为A，B的中点)全等，因此S2＝12×2×2＝2三棱锥在座标平面xz上的正投影与△DGH(G，H分别为AB，的中点)全等，因此S3＝12×2×2＝2因此S2＝S3且S1≠S3应选D答案D2．(2014•东卷)三棱锥P－AB中，D，E分别为PB，P的中点，记三棱锥D－ABE的体积为V1，P－AB的体积为V2，则V1V2＝________解析因为VP－ABE＝V－ABE，因此VP－ABE＝12VP－AB，又因VD－ABE＝12VP－ABE，因此VD－ABE＝14VP－AB，∴V1V214答案143(理)(2014•标全国卷Ⅱ)如图，四棱锥P－ABD中，底面ABD为矩形，PA⊥平面ABD，E为PD的中点．(1)证明：PB∥平面AE；(2)设二面角D－AE－为60°，AP＝1，AD＝3，求三棱锥E－AD的体积．解(1)连结BD交A于点，连结E因为ABD为矩形，因此为BD的中点．又E为PD的中点，因此E∥PBE⊂平面AE，PB⊄平面AE，因此PB∥平面AE(2)因为PA⊥平面ABD，ABD为矩形，因此AB，AD，AP两两垂直．如图，以A为坐标原点，AB→的方向为x轴的正方向，|PA→|为单位长，成立空间直角坐标系A－xz则D(0，3，0)，E0，32，12，AE→0，32，12设B(,0,0)(>0)，则(，3，0)，A→＝(，3，0)，设n1＝(x，，z)为平面AE的法向量，则n1•A→＝0，n1•AE→＝0，即x＋3＝0，32＋12z＝0，可取n1＝3，－1，3又n2＝(1,0,0)为平面DAE的法向量，由题设|s〈n1，n2〉|＝12，即33＋42＝12，解得＝32因为E为PD的中点，因此三棱锥E－AD的高为12三棱锥E－AD的体积V＝13×12×3×32×12＝383．( )如图，在Rt△AB中，AB＝B＝4，点E在线段AB上．过点E作EF∥B交A于点F，将△AEF沿EF折起到△PEF的地点(点A与P重合)，使得∠PEB＝30°(1)求证：EF⊥PB；(2)试问：当点E在哪处时，四棱锥P－EFB的侧面PEB的面积最大？并求此时四棱锥P－EFB的体积．解(1)证明：∵AB＝B，∴B⊥AB，又∵EF∥B，∴EF⊥AB，即EF⊥BE，EF⊥PE又BE∩PE＝E，∴EF⊥平面PBE，∴EF⊥PB(2)设BE＝x，PE＝，则x＋＝4S△PEB＝12BE̶