《高等数学》教学课件-第4章

第四章不定积分第四章不定积分1本章内容04分部积分法03换元积分法02不定积分的基本公式和法则01不定积分的概念本章内容04分部积分法03换元积分法02不定积分的基本公式和2第一节不定积分的概念引例【汽车行驶的路程】一辆汽车沿直线行驶，其速度为

，假设汽车位置由出发点开始计算，求汽车的运动规律。由题意可知，因为，所以一、原函数解又因为，代入上式得故汽车的运动规律为第一节不定积分的概念引例【汽车行驶的路程】一辆汽车沿3由此，我们给出如下定义：定义1设是定义在某区间I上的已知函数，如果存在一个函数

，对任意的，都有或由此，我们给出如下定义：定义1设是定义在4这些原函数之间具有如下结论：（1）如果函数在区间I上连续，则在区间I上一定有原函数，即存在区间I上的可导函数，使得对任一，有

；（2）如果是的一个原函数，则（C为任意常数）也是的原函数，则的所有原函数可表示为

的形式。这些原函数之间具有如下结论：（1）如果函数5二、不定积分的概念定义2如果函数是的一个原函数，那么表达式（C为任意常数）称为的不定积分，记为，即其中“”称为积分号，x

称为积分变量，称为被积函数，称为被积表达式，C

称为积分常数。二、不定积分的概念定义2如果函数是61．求函数的不定积分实际只需求出它的一个原函数，再加上任意常数C

即可；2．求不定积分与求导数（或微分）互为逆运算，即由定义2可知：（1）或（4-1）（2）或（4-2）1．求函数的不定积分实际只需求出它的一个原7解例1求。解例2求。因为，所以因为，所以解例1求。解例2求8解例3【曲线方程】求经过点（1，3），并且切线斜率为的曲线方程。由此得设所求曲线方程为，由题设曲线上任一点（x，y）处的切线斜率为即是2x的原函数。因为，所以解例3【曲线方程】求经过点（1，3），并且切线斜率为9于是所求曲线方程为又因为所求曲线通过点，故所求曲线如图4-1所示：图4-1于是所求曲线方程为又因为所求曲线通过点，故10第二节不定积分的根本公式和法那么导数的基本公式，由此得到不定积分的基本公式一、不定积分的基本公式（1）同理，可以得到其他积分的根本公式如下：（2）（3）（4）第二节不定积分的根本公式和法那么导数的基本公式11（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）（13）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）（1312二、不定积分的运算法则性质1不为零的常数因子可以提到积分号外面，即〔4-3〕解例1求。二、不定积分的运算法则性质1不为零的常数因子可以提到积分13性质2两个函数代数和的积分等于它们积分的代数和，即〔4-4〕解例2求。性质2两个函数代数和的积分等于它们积分的代数和，即〔414解例3求。解例3求。15解例4求。解例5求。因为，所以解例4求16解例6求。解例7求。因为，所以因为，所以解例6求。解例7求17解例8求。解例9经济学中将函数的导数称为的边际函数。现有一个企业生产某种产品的边际收入为（万元／吨）。求：（1）该产品的总收入函数；（2）总收入达到最大值时的产量。解例8求。解例918

（1）设该产品的总收入函数为，由题意可知所以因为产量为零时，总收入为零，即，所以C=0。则（2）令，解得（舍去），所以产量为70吨时，总收入最大。（1）设该产品的总收入函数为19第三节换元积分法引例【太阳能能量】预测太阳能的能量Q相对于太阳能接触的表面面积s的变化率为，其中。求太阳能的能量Q的函数表达式解第三节换元积分法引例【太阳能能量】预测太阳能的能量Q相20一、第一类换元积分法（凑微分法）例如，在基本积分公式中有，比较

和我们发现，只是的幂次相差一个常数因子，凑上一个常数因子2后，则有再令，上述积分就变为一、第一类换元积分法（凑微分法）例如21利用根本积分公式，并回代原来的变量x，求得积分为归纳上面例子的解法，我们可以得到如下的结论：定理1若，且有连续导数，则〔4-5〕这种先“凑〞微分，再作变量代换的方法，叫做第一类换元积分法，也称凑微分法。利用根本积分公式，并回代原来的变量x，求得积分为归纳上面22例1【引例的计算】。解将ds凑成，则又因为，得，故因为例1【引例的计算】。解将ds凑成，则又因为23例2求。解将dx凑成，则例2求。解将d24例3求。解将dx凑成，则例3求。解将dx凑成25例4求。解将xdx凑成，则例5求。解因为，则例4求。解将xdx凑成26例6求。解将dx凑成，则即同理有例6求。解将dx凑成27例7求。解例8求。解同理有例7求28例9求。解同理有例9求29例10求。解同理有由三角公式得到例10求。解同理有30解例11【电路中的电量】如果导线在时刻t的电流为，那么，流过该导线的电量随时间变化的规律如何？(其中

)

将代入可得，于是有在时间段内，流过导线的电量为，则解例11【电路中的电量】如果导线在时刻t的电流为31二、第二类换元积分法定理2若是连续函数，有连续的导数，其反函数存在且可导，又设，则有换元公式：〔4-6〕这种换元的方法称为第二类换元积分法。二、第二类换元积分法定理2若是连续函数，32再回代，得解例12求。令，，则，于是有再回代，得解例12求33解例13求。

构造直角三角形（如图4-2），作变量代换

，则，邻边，于是因为，所以，由图4-2，显然有。代入上面的结果，有图4-2解例13求34解例14求。

构造直角三角形（如图4-3），令，则

，对边，于是图4-3解例14求35根据图4-3所示，显然，回代得其中，。根据图4-3所示，显然36解例15求。

构造直角三角形（如图4-4），作变量代换

，则，斜边，于是图4-4解例15求37（14）（15）（16）（17）（18）（21）（19）（20）为了求一些较为复杂的积分，可补充以下积分公式：（22）（14）（15）（16）（17）（18）（21）（19）（238第四节分部积分法引例

求引例【石油产量】工程师们预计一个新开发的天然气新井的开采速度（t单位：年）为，试估计该新井的总产量随开采时间变化的规律（其中）。解天然气的开采率为，则在时间段内，开采量为由变化率求总改变量得第四节分部积分法引例求引例【石油产量】工程师们预39定理

定理设函数具有连续导数，由函数乘积的微分法则移项并两边积分，得即〔4-7〕这个公式称为分部积分公式，用此公式求积分的方法称为分部积分法。定理定理40〔1〕v要容易求出；〔2〕转换后的积分要比转换前的积分容易积出。分部积分法是将积分转化为另一个积分，用分部积分法求积分时，正确选择u和dv是解题的关键．一般要考虑以下两点：〔1〕v要容易求出；分部积分法是将积分41解例1【引例的计算】。代入初始条件，得解例1【引例的计算】。代入初始条件42解例2求。设

，则

，于是解例3求。设

，则，于是解例2求。设43解例4求。设

，则，于是再令，则解例4求。设44解例5求。解例6求。解例5求。解例6求45解例7求。移项得解例7求。移项得46解例8求。令，则，于是解例8求。令47ThankYou!ThankYou!48第四章不定积分第四章不定积分49本章内容04分部积分法03换元积分法02不定积分的基本公式和法则01不定积分的概念本章内容04分部积分法03换元积分法02不定积分的基本公式和50第一节不定积分的概念引例【汽车行驶的路程】一辆汽车沿直线行驶，其速度为

，假设汽车位置由出发点开始计算，求汽车的运动规律。由题意可知，因为，所以一、原函数解又因为，代入上式得故汽车的运动规律为第一节不定积分的概念引例【汽车行驶的路程】一辆汽车沿51由此，我们给出如下定义：定义1设是定义在某区间I上的已知函数，如果存在一个函数

，对任意的，都有或由此，我们给出如下定义：定义1设是定义在52这些原函数之间具有如下结论：（1）如果函数在区间I上连续，则在区间I上一定有原函数，即存在区间I上的可导函数，使得对任一，有

；（2）如果是的一个原函数，则（C为任意常数）也是的原函数，则的所有原函数可表示为

的形式。这些原函数之间具有如下结论：（1）如果函数53二、不定积分的概念定义2如果函数是的一个原函数，那么表达式（C为任意常数）称为的不定积分，记为，即其中“”称为积分号，x

称为积分变量，称为被积函数，称为被积表达式，C

称为积分常数。二、不定积分的概念定义2如果函数是541．求函数的不定积分实际只需求出它的一个原函数，再加上任意常数C

即可；2．求不定积分与求导数（或微分）互为逆运算，即由定义2可知：（1）或（4-1）（2）或（4-2）1．求函数的不定积分实际只需求出它的一个原55解例1求。解例2求。因为，所以因为，所以解例1求。解例2求56解例3【曲线方程】求经过点（1，3），并且切线斜率为的曲线方程。由此得设所求曲线方程为，由题设曲线上任一点（x，y）处的切线斜率为即是2x的原函数。因为，所以解例3【曲线方程】求经过点（1，3），并且切线斜率为57于是所求曲线方程为又因为所求曲线通过点，故所求曲线如图4-1所示：图4-1于是所求曲线方程为又因为所求曲线通过点，故58第二节不定积分的根本公式和法那么导数的基本公式，由此得到不定积分的基本公式一、不定积分的基本公式（1）同理，可以得到其他积分的根本公式如下：（2）（3）（4）第二节不定积分的根本公式和法那么导数的基本公式59（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）（13）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）（1360二、不定积分的运算法则性质1不为零的常数因子可以提到积分号外面，即〔4-3〕解例1求。二、不定积分的运算法则性质1不为零的常数因子可以提到积分61性质2两个函数代数和的积分等于它们积分的代数和，即〔4-4〕解例2求。性质2两个函数代数和的积分等于它们积分的代数和，即〔462解例3求。解例3求。63解例4求。解例5求。因为，所以解例4求64解例6求。解例7求。因为，所以因为，所以解例6求。解例7求65解例8求。解例9经济学中将函数的导数称为的边际函数。现有一个企业生产某种产品的边际收入为（万元／吨）。求：（1）该产品的总收入函数；（2）总收入达到最大值时的产量。解例8求。解例966

（1）设该产品的总收入函数为，由题意可知所以因为产量为零时，总收入为零，即，所以C=0。则（2）令，解得（舍去），所以产量为70吨时，总收入最大。（1）设该产品的总收入函数为67第三节换元积分法引例【太阳能能量】预测太阳能的能量Q相对于太阳能接触的表面面积s的变化率为，其中。求太阳能的能量Q的函数表达式解第三节换元积分法引例【太阳能能量】预测太阳能的能量Q相68一、第一类换元积分法（凑微分法）例如，在基本积分公式中有，比较

和我们发现，只是的幂次相差一个常数因子，凑上一个常数因子2后，则有再令，上述积分就变为一、第一类换元积分法（凑微分法）例如69利用根本积分公式，并回代原来的变量x，求得积分为归纳上面例子的解法，我们可以得到如下的结论：定理1若，且有连续导数，则〔4-5〕这种先“凑〞微分，再作变量代换的方法，叫做第一类换元积分法，也称凑微分法。利用根本积分公式，并回代原来的变量x，求得积分为归纳上面70例1【引例的计算】。解将ds凑成，则又因为，得，故因为例1【引例的计算】。解将ds凑成，则又因为71例2求。解将dx凑成，则例2求。解将d72例3求。解将dx凑成，则例3求。解将dx凑成73例4求。解将xdx凑成，则例5求。解因为，则例4求。解将xdx凑成74例6求。解将dx凑成，则即同理有例6求。解将dx凑成75例7求。解例8求。解同理有例7求76例9求。解同理有例9求77例10求。解同理有由三角公式得到例10求。解同理有78解例11【电路中的电量】如果导线在时刻t的电流为，那么，流过该导线的电量随时间变化的规律如何？(其中

)

将代入可得，于是有在时间段内，流过导线的电量为，则解例11【电路中的电量】如果导线在时刻t的电流为79二、第二类换元积分法定理2若是连续函数，有连续的导数，其反函数存在且可导，又设，则有换元公式：〔4-6〕这种换元的方法称为第二类换元积分法。二、第二类换元积分法定理2若是连续函数，80再回代，得解例12求。令，，则，于是有再回代，得解例12求81解例13求。

构造直角三角形（如图4-2），作变量代换

，则，邻边，于是因为，所以，由图4-2，显然有。代入上面的结果，有图4-2解例13求82解例14求。

构造直角三角形（如图4-3），令，则

，对边，于是图4-3解例14求83根据图4-3所示，显然，回代得其中，。根据图4-3所示，显然84解例15求。

构造直角三角形（如图4-4），作变量代换

，则，斜边，于是图4-4解例15求85（14）（15）（16）（17）