第一篇第四章-膜系设计图示法课件

第四章膜系设计图示法曹建章第四章膜系设计图示法第三章讨论了对于任意多层膜反射和透射特性计算的矩阵方法，这种方法是设计各种类型膜系的基础，也是目前最为实用的方法，因而在应用中广泛使用，并依此编写成专门的薄膜光学设计软件。除此之外，膜系设计还用到矢量近似法和导纳图解法。对于层数比较少的增透膜计算和设计，作为辅助手段矢量法很有效。导纳图解法又称斯密斯圆图方法，该方法最早（1939年）是用于电路中求解传输线问题，在满足工程需要的前提条件下，简单易行，避免了复杂的复数运算。现在，电路中的传输第三章讨论了对于任意多层膜反射和透射特性计线计算问题，计算机在精度和速度两方面都可以满足需要，所以该方法已经很少使用。但在薄膜光学中，导纳图解法是一种很直观的方法，在膜系设计中非常有用。另外，有文献仍利用该方法设计诱导滤光片，并得到好的结果。4.1矢量法

假设两个复数

和

，其指数形式为（4-1）线计算问题，计算机在精度和速度两方面都可以满足需要，所以该方用矢量表示如图4-1所示，其中

和

表示两矢量的模，而

和

分别表示两矢量的幅角。两复数的和（即矢量和）为这就是膜系设计矢量法的基本思想。矢量法有三个近似条件：①膜层没有吸收；②在多层膜计算中仅考虑入射光在各个界面的一次反射；③各个界面的振幅反射系数的模取垂直入射时的反射系数，并不是取模，这样膜层间由于折射率大小反射系数可出现负号。由（4-2）用矢量表示如图4-1所示，其中和表示两矢量的此可见，矢量法明显存在误差。

现假设四层膜系如图4-2（a）所示，入射介质折射率为

，基底介质折射率为

，膜层折射率分别为

、

、

和

，膜层几何厚此可见，矢量法明显存在误差。度分别为、、和。由此可写出各个界面垂直入射时的反射系数和层间相位厚度为（4-3）（4-4）（4-5）（4-6）（4-7）度分别为、、和。由此可写出各个界将各个界面反射系数矢量相加得到膜系振幅反射系数矢量为如果膜层折射率大小满足那么，有如果振幅反射系数矢量大小为负，矢量指向原点；如果振幅反射系数矢量大小为正，矢量指向由原点向外。振幅反射系数矢量的相(4-8)(4-9)(4-10)将各个界面反射系数矢量相加得到膜系振幅反射系数矢量为(4-8位厚度取“+”号，由式（4-1）知，矢量图矢量方位逆时针方向旋转；如果振幅反射系数矢量的相位厚度取“-”号，矢量图矢量方位顺时针方向旋转。由此可画出各个界面振幅反射系数矢量如图4-2（b）所示，图4-2（c）为振幅反射系数合成矢量。根据式（4-8），可得膜系反射率为

1.低折射率基底增透膜设计

例一

单层增透膜。（4-11）位厚度取“+”号，由式（4-1）知，矢量图矢量方位逆时针方向

假设单层膜系入射介质折射率为

，基底介质折射率为

，膜层折射率为

，膜层几何厚度为

，如图4-3（a）所示，由此根据式（4-3）和式（4-4），可写出两个界面垂直入射时的反射系数和相位厚度为假设单层膜系入射介质折射率为，基底由于是增透膜，

，

，两振幅反射系数矢量见图4-3（b），振幅反射系数合成矢量见图4-3（c）。显然，当相位厚度变化时，合成矢量的轨迹为一个圆。在垂直入射的情况下，如果膜层光学厚度取四分之一波长，那么相位厚度为由于是增透膜，，，两振幅（4-12）在中心波长

处，有由此可知两振幅反射系数矢量方向相反（见图4-3（c）虚线矢量），合成矢量取最小值。如果两矢量大小相等，则在中心波长处反射率为零。根据式（4-3）和式（4-4）知，零反射条件为（4-13）（4-14）（4-12）在中心波长处，有（4-13）（4-14）求解可得式（4-15）与式（3-51）完全相同。因此，当入射介质和基底介质折射率给定之后，利用矢量法可简单确定零反射膜层折射率和相位厚度。

例二

两层增透膜。如图4-4（a）所示为两层增透膜结构，假设入射介质折射率为

，基底介质折射率为

，膜层折射率分别为

和

，且

，

，膜层几何厚度分别为

和

。根据式（4-3）、（4-15）求解可得（4-15）第一篇第四章-膜系设计图示法课件式（4-4）和式（4-5），可写出三个界面垂直入射时的反射系数和垂直入射时的相位厚度分别为由此可画出三个振幅反射系数矢量图4-4（b）和图4-4（c），三个矢量合成都可以得到封闭式（4-4）和式（4-5），可写出三个界面垂直入射时的反射系三角形，即零反射。但由于矢量图4-4（b）的相位厚度取值大，所以选择图4-4（c）为好，其合成矢量见图4-4（d）。相位厚度小也具有对入射光波长的敏感度低和增透波段较宽的优点。

假设入射介质为空气

，基底介质为玻璃

，两介质膜层折射率分别为

（氟化镁

）和

（二氧化铈

），中心波长取

。由此可求得三角形，即零反射。但由于矢量图4-4（b）的相位厚度取值大，根据余弦定理，由图4-4（d）可得数值代入得到两层膜的相位变化为在垂直入射情况下，两层膜光学厚度为根据余弦定理，由图4-4（d）可得根据式（4-8），有膜系反射率为数值代入，得到中心波长处的反射率为根据式（4-8），有图4-5是两层增透膜系的反射率矢量法理论计算曲线。2.高折射率基底三层增透膜设计

例三设三层增透膜系为图4-5是两层增透膜系2.高折射率基底三层增透膜设计入射介质为空气

,基底介质为锗

，三层介质膜折射率分别记为

，

和

，且满足三层介质膜光学厚度均为

，其膜系构成如图4-6（a）所示。根据式（4-3）至式（4-7）可知，反射系数

、

、

和

均取负值，四个矢量均指向原点。在垂直入射的情况下，当膜层光学厚度入射介质为空气,基底介质为锗时，相位厚度为或如果入射光波长

，即

，则有四个矢量均指向原点，相位相差

，如图4-6（b）所示。如果四个矢量大小相等，就可构成如图4-6（c）所示的封闭四边形，合成矢时，相位厚度为量为零，即在波长

处出现零反射

。量为零，即在波长处出现零反射如果入射光波长为中心波长

,即

,则有四个矢量彼此平行并指向原点，如图4-6（d）所示。如果四个矢量大小相等，就构成如图4-6（e）所示的平行矢量，其合成矢量为零，即在

处出现零反射

。如果入射光波长为

，即

，则有如果入射光波长为中心波长,四个矢量方向指向原点，相位相差

，如图4-6（f）所示。如果四个矢量大小相等，合成矢量就构成如图4-6（g）所示的封闭四边形，矢量和为零，即在

出现零反射

。如果入射光波长取

，即

，则有四个矢量相位相差

并指向原点，如图4-6（h）所示。四个矢量同向，合成矢量取最大值，反射率不为零。如果取

，合成矢量也取最大值，反射率与

的反射率相同。综上所述，可画出三层增透膜设计反射率曲线四个矢量方向指向原点，相位相差，如图4-6（如图4-7所示。设计过程中如果假定反射系数的大小相等

，即根据合分比定理，有求解可得如图4-7所示。设计过程中如果假定反射系数的大小相等，即将

和

代入，得到这就是制备三层增透膜所需材料的折射率。但由于可供选择的材料有限，一种近似选择方案是该增透膜的实测透射率曲线如图4-8所示，其中心波长选择.(4-16)将和代入，得到矢量法简单易行，不难推广到四层、五层和更多层增透膜设计中去，以得到更宽的低反射区域。4.2导纳图解法光学等效导纳

可以是单一基底介质的有矢量法简单易行，不难推广到四层、五层和更多层效导纳，也可以是多层介质膜系的等效导纳，整个膜系多界面的反射和透射问题转化为由

和

表达的单一等效界面的反射和透射，因此光学等效导纳

的变化反映了膜系的反射和透射以及相位变化特性，其轨迹可直观描述薄膜系统的特性，给膜系设计带来了很大方便。4.2.1单一等效界面等反射率导纳圆图和等相位导纳圆图

在垂直入射情况下，由式（3-63）可知，对于S-波偏振和P-波偏振光学有效导纳均为效导纳，也可以是多层介质膜系的等效导纳，整个膜系多界面的反射(4-17)

表示介质膜层的折射率。现假设入射介质折射率为，透射介质的光学等效导纳为其中

为介质的等效折射率，

构成光学等效导纳复平面，

对应上半复平面，

对应下半复平面。需要注意的是，此处

为光学等效导纳的虚部，与吸收介质的消光系数

不同，为了形式上的统一此处选取虚部为

。根据式（3-65）可写出界面反射率为(4-18)(4-17)表示介质膜层的折射率。现假设入射介质折射(4-19)展开并整理，可得记则有显然这是在复平面

上关于

和

的圆方(4-20)（4-21）（4-22）(4-19)展开并整理，可得(4-20)（4-21）（4-2程，也称导纳轨迹方程，圆心

位于复平面实轴

，圆半径为

。如果给定反射率，

和

就是定值，导纳轨迹方程就是等反射率圆，如图4-9所示。当

，等反射率圆缩为在实轴上的一点

。

又根据式（3-65），将界面反射程，也称导纳轨迹方程，圆心位于复平面实轴系数写成三角函数形式，有令式（4-23）中的实部和虚步分别相等，得到两式中消去

，得到(4-23)(4-24)(4-25)系数写成三角函数形式，有(4-23)(4-24)(4-25)令则有这也是在复平面

上关于

和

的圆方程，圆心

位于复平面虚轴

，圆半径为

。如果给定相位

，

和

就是定值，导纳轨迹方程就是等相位圆，如图4-9所示。

由式（4-25）和式（4-26）可知，等相位圆具有如下特点：（4-26）（4-27）令（4-26）（4-27）1.当

，

，

，圆心

位于复平面虚轴上正向无穷远处，等相位圆半径

，导纳轨迹对应于实轴。2.当

，，

，圆心

位于复平面虚轴上负向无穷远处，等相位圆半径，导纳轨迹也对应于实轴。3.

当

，

，，圆心

位于坐标原点，等相位圆半径

，即等相位圆过点

。4.

令式（4-25）中

，得到(4-28)1.当，，表明不管

取何值等相位圆必过点

，即等相位圆均相交于实轴

处。

5.幅角

、

、

和

对应的等相位圆将复平面化为四个象限。等反射率导纳圆图和等相位导纳圆图作为光学等效导纳Y的函数，包含了膜系层间厚度和膜层折射率的全部信息，也反映出相同大小的反射率可通过不同的膜系来实现。换句话说，就是满足圆方程的点

都可以得到相同的反射率，这样就给选择镀膜参数提供了方便。表明不管取何值等相位圆必过点，即等4.2.2单层膜系等折射率导纳圆图和等相位导纳圆图对于如图4-10（a）所示的单层膜系，假设入射介质折射率为

，膜层折射率为

，膜层厚度为

，基底介质折射率为

，则此单层膜系可等效为如图4-10（b）所示的单界4.2.2单层膜系等折射率导纳圆图和等相位导纳圆图面膜系。根据式（3-61），在垂直入射情况下可写出单层膜系组合特征向量为式中由此可得单层膜系光学等效导纳为(4-29)(4-30)(4-31)面膜系。(4-29)(4-30)(4-31)令式（4-31）中的实部和虚步分别相等，得到两式中消去

，简化得到令(4-32)(4-33)(4-34)令式（4-31）中的实部和虚步分别相等，得到(4-32)(4则有此式是在复平面

上关于

和

的圆方程，圆心

位于复平面实轴

，圆半径为

。如果(4-35)给定膜层折射率

和

，

和

就是定值，导纳轨迹方程就是等折射率圆，如图4-11所示。则有(4-35)给定膜层折射率和，和在式（4-32）中消去

，得到令则有此式也是在复平面

上关于

和

的圆方(4-36)（4-37）（4-38）在式（4-32）中消去，得到(4-3程，圆心

位于复平面虚轴

，圆半径为

。如果给定相位

，

和

就是定值，导纳轨迹方程就是等相位圆，如图4-11所示。下面就等折射率圆方程（4-35）和等相位圆方程（4-38）作简单讨论。

1.由式（4-35），取

，得到等折射率圆与复平面实轴的交点为A点对应未镀膜基底介质的折射率，C点对应膜层光学厚度

时的等效折射率，见（4-39）程，圆心位于复平面虚轴式（3-50）。在膜层折射率

给定的情况下，且

，式（4-35）的圆曲线反映了光学等效导纳Y随膜层厚度

的变化，如图4-12（a）所示。当膜层光学厚度继续增大,至

，圆曲线又从点C又回到点A，这就是第三章讨论过的“无效”层，因此，在光学等效导纳复平面上，圆代表“无效”层。

2.当

时，光学等效导纳Y随膜层厚度

的变化，如图4-12（b）所示，同样A点对应于未镀膜基底介质的折射率，而C点对应于膜层光学厚度

时的等效折射率。式（3-50）。在膜层折射率给定的情况下，且3.由式（4-26）可以看出，对于给定的反射率R，等相位导纳圆的圆心

随着幅角

的变化从虚轴正向向负向移动，而根据式（4-3.由式（4-26）可以看出，对于给定的反射率R，-37），对于给定的折射率

，单层膜的等相位导纳圆的圆心

随相位厚度的变化从虚轴负向向正向移动，两者正好相反，如图4-11所示。

4.取

，代入式（4-38），得到表明等相位圆必过点

，即等相位导纳圆均相交于实轴

处。

5.半圆

代表相位厚度

，即光学厚度

,B点对应的等相位厚度为

，所以

和

代表的光学厚度均为

，

和(4-40)-37），对于给定的折射率，单层膜的等相位导纳圆的圆亦是如此。

6.在图4-12等折射率导纳圆图上每一点都代表整个膜系的光学等效导纳Y,任取一点

,图4-9等反射率导纳圆图上可找到相对应的点

，如果反射率R满足设计要求，图4-12中点

相对应的

就可作为相位厚度的值，由此也可得到膜层厚度

。4.2.3多层膜系等折射率导纳圆图图4-13（a）是两层膜系构成，入射介质折射率为

,两膜层折射率分别为

和

，

记低折射率膜，

记高折射率膜，膜层厚度亦是如此。分别为

和

，膜层光学厚度均为

，基底介质折射率

。两层膜系等效为单一界面膜系可采用自下而上的逐次等效法，即

，如图4-13（b）和4-13（c）所示。根据式（3-61），在垂直入射情况下可写出两层膜系组合特征向量为分别为和，膜层光学厚度均为，基(4-41)式中由式（4-41），第一次等效为由此得到(4-42)(4-43)(4-44)(4-41)式中(4-42)(4-43)(4-44)令式（4-44）中的实部和虚步分别相等，得到两式中消去

，简化得到令(4-45)(4-46)（4-47）令式（4-44）中的实部和虚步分别相等，得到(4-45)(4则有此式就是折射率

所对应的等折射率导纳圆。由式（4-39）可知，在复平面上等折射率导纳圆与实轴的交点为（4-48）（4-49）则有（4-48）（4-49）如图4-14所示，其中B点对应膜层2光学厚度为

。根据式（4-41），第二次等效可表达为由此得到由于膜层厚度为

，B点为衔接点，其光学等效导纳取实数（4-50）（4-51）如图4-14所示，其中B点对应膜层2光学厚度为（4-52）代入式（4-51），并令式（4-51）中的实部和虚步分别相等，有两式中消去

，简化得到（4-53）（4-54）（4-52）代入式（4-51），并令式（4-51）中的实部和令则有此式就是折射率

所对应的等折射率导纳圆。令

，并将式（4-52）代入，由圆方程（4-56）得到在复平面上等折射率圆与实轴的交点为（4-55）（4-56）（4-57）令（4-55）（4-56）（4-57）其中C点对应膜层1光学厚度为

，如图4-14所示。

如果膜层2的光学厚度任意取值，等效衔接点就不在实轴上，等折射率导纳圆上相对应的光学等效导纳

取复值.设光学等效导纳为式中

和

由式（4-44）求解得到（4-58）（4-59）其中C点对应膜层1光学厚度为，如图4-14将

代入式（4-51），并令式中实部和虚步分别相等，有两式中消去

，简化得到令（4-60）（4-61）将代入式（4-51），并令式中实部和虚步分别相等，有（4-62）式（4-61）就变为与式（4-56）形式完全相同的圆方程，表明膜系光学厚度任意取值，等折射率导纳圆图的形式不变，仅改变圆心位置和半径。例四

如图4-13(a)所示,设膜系参数为,

，

，

，

，试求膜系光学等效导纳Y。

解

由式（4-57）可知，膜系光学等效导纳为（4-62）式（4-61）就变为与式（4-56）形式完全相同(4-63)数值代入得到利用式（4-19），求得

。通常的做法是在等反射率圆图上找到与Y相对应的点，该点对应的反射率值R和相位

就是膜系中心波长

处的反射率和相位。除此之外，由式（4-19）可知，如果膜系光学等效导纳Y与入射介质折射率

越接近，反射率R值越小，所以当(4-64)(4-63)数值代入得到(4-64)入射介质折射率

给定之后，也可以由等折射率导纳圆图直接对膜系在中心波长

处的反射率R做出判断，如果

，反射率

，就近似是零反射。例五

四层膜系构成如图4-15（a）所示，膜层光学厚度均为

，试画出该膜系等折射率导纳圆图。

解

采用逐次等效法。根据式（4-46），第一次等效可得圆方程入射介质折射率给定之后，也可以由等折射率导纳圆图直接对膜系由此求得与导纳图实轴交点为由此求得与导纳图实轴交点为交点B光学厚度为

，该点光学等效导纳

取实数，有由于

，等折射率导纳圆对应于

。根据式（4-54）知，第二次等效可得圆方程为该圆与导纳图实轴交点为交点B光学厚度为，该点光学等效导纳取实数C点对应光学厚度

，该点光学等效导纳

取实数，有由于

，等折射率导纳圆对应于

。又根据式（4-54）知，第三次等效可得圆方程为该圆与导纳图实轴交点为C点对应光学厚度，该点光学等效导纳取实数D点对应光学厚度

，该点光学等效导纳

取值为由于

，等折射率导纳圆对应于

。第四次等效，同理可得等折射率导纳圆与实轴交点为光学等效导纳

取值为D点对应光学厚度，该点光学等效导纳取值为由于

，等折射率导纳圆对应于

。取

，

，

，

，计算可得由此可画出膜系等折射率导纳圆图如图4-15（b）所示。4.3金属膜导纳圆图金属膜存在吸收损耗，折射率

取复数由于，等折射率导纳圆对应形式（1-10）。在垂直入射的情况下，由式（3-70）可知，对于S-波偏振和P-波偏振金属膜的光学有效导纳为式中

为金属膜的折射率，

为消光系数。假设单层膜系构成入射介质折射率为

，金属膜复折射率

，基底介质折射率为

。根据式（3-69）可写出金属膜相位厚度为(4-67)(4-68)形式（1-10）。在垂直入射的情况下，由式（3-70）可知，显然，与无吸收介质的情况不同，金属膜相位厚度为复数，不能采用§4.2节的方法进行处理。为了得到金属膜导纳圆图，首先假定式（4-68）中

（

§4.2已经讨论）。为简单起见，记由于(4-69)（4-70）显然，与无吸收介质的情况不同，金属膜相位厚度为复数，不能采用代入可得根据式（3-68），可写出膜系特征向量为由此得到膜系等效导纳（4-71）（4-72）代入可得（4-71）（4-72）（4-73）令式（4-73）中的实部和虚部分别相等，有两式中消去

，简化得到（4-74）（4-75）（4-73）令式（4-73）中的实部和虚部分别相等，有（4-令则有这就是消光系数为

的金属膜导纳圆图方程，圆心为

，圆半径为

。当

，求解可得实轴上两交点为而当

，得到虚轴两交点为（4-76）（4-77）（4-78）令（4-76）（4-77）（4-78）（4-79）式（4-78）和式（4-79）表明，金属膜导纳圆在导纳图实轴上

仅有交点

，而在虚轴上存在两个交点

和

，并且不管

为何值，虚轴上交点不变。消光系数为

的金属膜导纳圆如图4-16（a）所示（实线）。在式（4-74）中消去

，得到（4-80）（4-79）式（4-78）和式（4-79）表明，金属膜导纳圆令（4-81）令（4-81）得到金属膜等相位圆方程为圆心为

，圆半径为

。消光系数为

的金属膜等相位导纳圆如图4-16（a）所示（虚线）。上述讨论假定

，但实际上金属膜的折射率并不为零。比如可见光波段，金属铂、金、银和铝在波长

的复折射率分别为铂（Pt）：（4-82）得到金属膜等相位圆方程为（4-82）金（Au）：银（Ag）：

铝（Al）:对于金和银，比值

约为

和

，铂和铝约为

和

。如果比值

比较大，则金属膜的导纳图与

的情况很接近，仅需要将图4-16（a）依

的大小逆时针方向旋转一个小的角度，银膜的导纳圆图如图4-16（b）所示，导纳圆均相交于点

和点

。如果金属膜

比值比较小，其导纳圆图与

的情况相差比较大，其导纳圆图是沿螺金（Au）：旋线终止于点

。4.4膜系层间电场分布导纳图的另外一种用途是对于给定膜系的反射率R可画出膜系内的电场分布，这对于分析薄膜抗激光损伤的能力很有帮助。假设膜系入射介质折射率为

，透射介质光学等效导纳为

，对于各向同性无损耗介质膜系，根据式（2-223），在界面两侧入射波、反射波和透射波满足能量守恒（4-83）旋线终止于点。（4-83）移项，并利用定义式（2-218）和式（2-220），得到假设入射光光强为

，根据光强的定义式（1-55），有（4-84）（4-85）移项，并利用定义式（2-218）和式（2-220），得到（4由于

，代入得到在垂直入射的情况下，并假定入射光强

，而

，代入得到该式表明，当膜系反射率R不变时，膜系内任一点透射电场强度的大小

与等效折射率

（4-86）（4-87）由于，代入得到（4-86）（4-8的平方根成反比。图4-17所示为入射光强

时，电场强度在导纳图中随等效折射率

的变化。显然，电场强度等值线平行于导纳图虚轴。的平方根成反比。图4-17所示为入射光强时，电场强第一篇第四章-膜系设计图示法课件第一篇第四章-膜系设计图示法课件第四章膜系设计图示法曹建章第四章膜系设计图示法第三章讨论了对于任意多层膜反射和透射特性计算的矩阵方法，这种方法是设计各种类型膜系的基础，也是目前最为实用的方法，因而在应用中广泛使用，并依此编写成专门的薄膜光学设计软件。除此之外，膜系设计还用到矢量近似法和导纳图解法。对于层数比较少的增透膜计算和设计，作为辅助手段矢量法很有效。导纳图解法又称斯密斯圆图方法，该方法最早（1939年）是用于电路中求解传输线问题，在满足工程需要的前提条件下，简单易行，避免了复杂的复数运算。现在，电路中的传输第三章讨论了对于任意多层膜反射和透射特性计线计算问题，计算机在精度和速度两方面都可以满足需要，所以该方法已经很少使用。但在薄膜光学中，导纳图解法是一种很直观的方法，在膜系设计中非常有用。另外，有文献仍利用该方法设计诱导滤光片，并得到好的结果。4.1矢量法

假设两个复数

和

，其指数形式为（4-1）线计算问题，计算机在精度和速度两方面都可以满足需要，所以该方用矢量表示如图4-1所示，其中

和

表示两矢量的模，而

和

分别表示两矢量的幅角。两复数的和（即矢量和）为这就是膜系设计矢量法的基本思想。矢量法有三个近似条件：①膜层没有吸收；②在多层膜计算中仅考虑入射光在各个界面的一次反射；③各个界面的振幅反射系数的模取垂直入射时的反射系数，并不是取模，这样膜层间由于折射率大小反射系数可出现负号。由（4-2）用矢量表示如图4-1所示，其中和表示两矢量的此可见，矢量法明显存在误差。

现假设四层膜系如图4-2（a）所示，入射介质折射率为

，基底介质折射率为

，膜层折射率分别为

、

、

和

，膜层几何厚此可见，矢量法明显存在误差。度分别为、、和。由此可写出各个界面垂直入射时的反射系数和层间相位厚度为（4-3）（4-4）（4-5）（4-6）（4-7）度分别为、、和。由此可写出各个界将各个界面反射系数矢量相加得到膜系振幅反射系数矢量为如果膜层折射率大小满足那么，有如果振幅反射系数矢量大小为负，矢量指向原点；如果振幅反射系数矢量大小为正，矢量指向由原点向外。振幅反射系数矢量的相(4-8)(4-9)(4-10)将各个界面反射系数矢量相加得到膜系振幅反射系数矢量为(4-8位厚度取“+”号，由式（4-1）知，矢量图矢量方位逆时针方向旋转；如果振幅反射系数矢量的相位厚度取“-”号，矢量图矢量方位顺时针方向旋转。由此可画出各个界面振幅反射系数矢量如图4-2（b）所示，图4-2（c）为振幅反射系数合成矢量。根据式（4-8），可得膜系反射率为

1.低折射率基底增透膜设计

例一

单层增透膜。（4-11）位厚度取“+”号，由式（4-1）知，矢量图矢量方位逆时针方向

假设单层膜系入射介质折射率为

，基底介质折射率为

，膜层折射率为

，膜层几何厚度为

，如图4-3（a）所示，由此根据式（4-3）和式（4-4），可写出两个界面垂直入射时的反射系数和相位厚度为假设单层膜系入射介质折射率为，基底由于是增透膜，

，

，两振幅反射系数矢量见图4-3（b），振幅反射系数合成矢量见图4-3（c）。显然，当相位厚度变化时，合成矢量的轨迹为一个圆。在垂直入射的情况下，如果膜层光学厚度取四分之一波长，那么相位厚度为由于是增透膜，，，两振幅（4-12）在中心波长

处，有由此可知两振幅反射系数矢量方向相反（见图4-3（c）虚线矢量），合成矢量取最小值。如果两矢量大小相等，则在中心波长处反射率为零。根据式（4-3）和式（4-4）知，零反射条件为（4-13）（4-14）（4-12）在中心波长处，有（4-13）（4-14）求解可得式（4-15）与式（3-51）完全相同。因此，当入射介质和基底介质折射率给定之后，利用矢量法可简单确定零反射膜层折射率和相位厚度。

例二

两层增透膜。如图4-4（a）所示为两层增透膜结构，假设入射介质折射率为

，基底介质折射率为

，膜层折射率分别为

和

，且

，

，膜层几何厚度分别为

和

。根据式（4-3）、（4-15）求解可得（4-15）第一篇第四章-膜系设计图示法课件式（4-4）和式（4-5），可写出三个界面垂直入射时的反射系数和垂直入射时的相位厚度分别为由此可画出三个振幅反射系数矢量图4-4（b）和图4-4（c），三个矢量合成都可以得到封闭式（4-4）和式（4-5），可写出三个界面垂直入射时的反射系三角形，即零反射。但由于矢量图4-4（b）的相位厚度取值大，所以选择图4-4（c）为好，其合成矢量见图4-4（d）。相位厚度小也具有对入射光波长的敏感度低和增透波段较宽的优点。

假设入射介质为空气

，基底介质为玻璃

，两介质膜层折射率分别为

（氟化镁

）和

（二氧化铈

），中心波长取

。由此可求得三角形，即零反射。但由于矢量图4-4（b）的相位厚度取值大，根据余弦定理，由图4-4（d）可得数值代入得到两层膜的相位变化为在垂直入射情况下，两层膜光学厚度为根据余弦定理，由图4-4（d）可得根据式（4-8），有膜系反射率为数值代入，得到中心波长处的反射率为根据式（4-8），有图4-5是两层增透膜系的反射率矢量法理论计算曲线。2.高折射率基底三层增透膜设计

例三设三层增透膜系为图4-5是两层增透膜系2.高折射率基底三层增透膜设计入射介质为空气

,基底介质为锗

，三层介质膜折射率分别记为

，

和

，且满足三层介质膜光学厚度均为

，其膜系构成如图4-6（a）所示。根据式（4-3）至式（4-7）可知，反射系数

、

、

和

均取负值，四个矢量均指向原点。在垂直入射的情况下，当膜层光学厚度入射介质为空气,基底介质为锗时，相位厚度为或如果入射光波长

，即

，则有四个矢量均指向原点，相位相差

，如图4-6（b）所示。如果四个矢量大小相等，就可构成如图4-6（c）所示的封闭四边形，合成矢时，相位厚度为量为零，即在波长

处出现零反射

。量为零，即在波长处出现零反射如果入射光波长为中心波长

,即

,则有四个矢量彼此平行并指向原点，如图4-6（d）所示。如果四个矢量大小相等，就构成如图4-6（e）所示的平行矢量，其合成矢量为零，即在

处出现零反射

。如果入射光波长为

，即

，则有如果入射光波长为中心波长,四个矢量方向指向原点，相位相差

，如图4-6（f）所示。如果四个矢量大小相等，合成矢量就构成如图4-6（g）所示的封闭四边形，矢量和为零，即在

出现零反射

。如果入射光波长取

，即

，则有四个矢量相位相差

并指向原点，如图4-6（h）所示。四个矢量同向，合成矢量取最大值，反射率不为零。如果取

，合成矢量也取最大值，反射率与

的反射率相同。综上所述，可画出三层增透膜设计反射率曲线四个矢量方向指向原点，相位相差，如图4-6（如图4-7所示。设计过程中如果假定反射系数的大小相等

，即根据合分比定理，有求解可得如图4-7所示。设计过程中如果假定反射系数的大小相等，即将

和

代入，得到这就是制备三层增透膜所需材料的折射率。但由于可供选择的材料有限，一种近似选择方案是该增透膜的实测透射率曲线如图4-8所示，其中心波长选择.(4-16)将和代入，得到矢量法简单易行，不难推广到四层、五层和更多层增透膜设计中去，以得到更宽的低反射区域。4.2导纳图解法光学等效导纳

可以是单一基底介质的有矢量法简单易行，不难推广到四层、五层和更多层效导纳，也可以是多层介质膜系的等效导纳，整个膜系多界面的反射和透射问题转化为由

和

表达的单一等效界面的反射和透射，因此光学等效导纳

的变化反映了膜系的反射和透射以及相位变化特性，其轨迹可直观描述薄膜系统的特性，给膜系设计带来了很大方便。4.2.1单一等效界面等反射率导纳圆图和等相位导纳圆图

在垂直入射情况下，由式（3-63）可知，对于S-波偏振和P-波偏振光学有效导纳均为效导纳，也可以是多层介质膜系的等效导纳，整个膜系多界面的反射(4-17)

表示介质膜层的折射率。现假设入射介质折射率为，透射介质的光学等效导纳为其中

为介质的等效折射率，

构成光学等效导纳复平面，

对应上半复平面，

对应下半复平面。需要注意的是，此处

为光学等效导纳的虚部，与吸收介质的消光系数

不同，为了形式上的统一此处选取虚部为

。根据式（3-65）可写出界面反射率为(4-18)(4-17)表示介质膜层的折射率。现假设入射介质折射(4-19)展开并整理，可得记则有显然这是在复平面

上关于

和

的圆方(4-20)（4-21）（4-22）(4-19)展开并整理，可得(4-20)（4-21）（4-2程，也称导纳轨迹方程，圆心

位于复平面实轴

，圆半径为

。如果给定反射率，

和

就是定值，导纳轨迹方程就是等反射率圆，如图4-9所示。当

，等反射率圆缩为在实轴上的一点

。

又根据式（3-65），将界面反射程，也称导纳轨迹方程，圆心位于复平面实轴系数写成三角函数形式，有令式（4-23）中的实部和虚步分别相等，得到两式中消去

，得到(4-23)(4-24)(4-25)系数写成三角函数形式，有(4-23)(4-24)(4-25)令则有这也是在复平面

上关于

和

的圆方程，圆心

位于复平面虚轴

，圆半径为

。如果给定相位

，

和

就是定值，导纳轨迹方程就是等相位圆，如图4-9所示。

由式（4-25）和式（4-26）可知，等相位圆具有如下特点：（4-26）（4-27）令（4-26）（4-27）1.当

，

，

，圆心

位于复平面虚轴上正向无穷远处，等相位圆半径

，导纳轨迹对应于实轴。2.当

，，

，圆心

位于复平面虚轴上负向无穷远处，等相位圆半径，导纳轨迹也对应于实轴。3.

当

，

，，圆心

位于坐标原点，等相位圆半径

，即等相位圆过点

。4.

令式（4-25）中

，得到(4-28)1.当，，表明不管

取何值等相位圆必过点

，即等相位圆均相交于实轴

处。

5.幅角

、

、

和

对应的等相位圆将复平面化为四个象限。等反射率导纳圆图和等相位导纳圆图作为光学等效导纳Y的函数，包含了膜系层间厚度和膜层折射率的全部信息，也反映出相同大小的反射率可通过不同的膜系来实现。换句话说，就是满足圆方程的点

都可以得到相同的反射率，这样就给选择镀膜参数提供了方便。表明不管取何值等相位圆必过点，即等4.2.2单层膜系等折射率导纳圆图和等相位导纳圆图对于如图4-10（a）所示的单层膜系，假设入射介质折射率为

，膜层折射率为

，膜层厚度为

，基底介质折射率为

，则此单层膜系可等效为如图4-10（b）所示的单界4.2.2单层膜系等折射率导纳圆图和等相位导纳圆图面膜系。根据式（3-61），在垂直入射情况下可写出单层膜系组合特征向量为式中由此可得单层膜系光学等效导纳为(4-29)(4-30)(4-31)面膜系。(4-29)(4-30)(4-31)令式（4-31）中的实部和虚步分别相等，得到两式中消去

，简化得到令(4-32)(4-33)(4-34)令式（4-31）中的实部和虚步分别相等，得到(4-32)(4则有此式是在复平面

上关于

和

的圆方程，圆心

位于复平面实轴

，圆半径为

。如果(4-35)给定膜层折射率

和

，

和

就是定值，导纳轨迹方程就是等折射率圆，如图4-11所示。则有(4-35)给定膜层折射率和，和在式（4-32）中消去

，得到令则有此式也是在复平面

上关于

和

的圆方(4-36)（4-37）（4-38）在式（4-32）中消去，得到(4-3程，圆心

位于复平面虚轴

，圆半径为

。如果给定相位

，

和

就是定值，导纳轨迹方程就是等相位圆，如图4-11所示。下面就等折射率圆方程（4-35）和等相位圆方程（4-38）作简单讨论。

1.由式（4-35），取

，得到等折射率圆与复平面实轴的交点为A点对应未镀膜基底介质的折射率，C点对应膜层光学厚度

时的等效折射率，见（4-39）程，圆心位于复平面虚轴式（3-50）。在膜层折射率

给定的情况下，且

，式（4-35）的圆曲线反映了光学等效导纳Y随膜层厚度

的变化，如图4-12（a）所示。当膜层光学厚度继续增大,至

，圆曲线又从点C又回到点A，这就是第三章讨论过的“无效”层，因此，在光学等效导纳复平面上，圆代表“无效”层。

2.当

时，光学等效导纳Y随膜层厚度

的变化，如图4-12（b）所示，同样A点对应于未镀膜基底介质的折射率，而C点对应于膜层光学厚度

时的等效折射率。式（3-50）。在膜层折射率给定的情况下，且3.由式（4-26）可以看出，对于给定的反射率R，等相位导纳圆的圆心

随着幅角

的变化从虚轴正向向负向移动，而根据式（4-3.由式（4-26）可以看出，对于给定的反射率R，-37），对于给定的折射率

，单层膜的等相位导纳圆的圆心

随相位厚度的变化从虚轴负向向正向移动，两者正好相反，如图4-11所示。

4.取

，代入式（4-38），得到表明等相位圆必过点

，即等相位导纳圆均相交于实轴

处。

5.半圆

代表相位厚度

，即光学厚度

,B点对应的等相位厚度为

，所以

和

代表的光学厚度均为

，

和(4-40)-37），对于给定的折射率，单层膜的等相位导纳圆的圆亦是如此。

6.在图4-12等折射率导纳圆图上每一点都代表整个膜系的光学等效导纳Y,任取一点

,图4-9等反射率导纳圆图上可找到相对应的点

，如果反射率R满足设计要求，图4-12中点

相对应的

就可作为相位厚度的值，由此也可得到膜层厚度

。4.2.3多层膜系等折射率导纳圆图图4-13（a）是两层膜系构成，入射介质折射率为

,两膜层折射率分别为

和

，

记低折射率膜，

记高折射率膜，膜层厚度亦是如此。分别为

和

，膜层光学厚度均为

，基底介质折射率

。两层膜系等效为单一界面膜系可采用自下而上的逐次等效法，即

，如图4-13（b）和4-13（c）所示。根据式（3-61），在垂直入射情况下可写出两层膜系组合特征向量为分别为和，膜层光学厚度均为，基(4-41)式中由式（4-41），第一次等效为由此得到(4-42)(4-43)(4-44)(4-41)式中(4-42)(4-43)(4-44)令式（4-44）中的实部和虚步分别相等，得到两式中消去

，简化得到令(4-45)(4-46)（4-47）令式（4-44）中的实部和虚步分别相等，得到(4-45)(4则有此式就是折射率

所对应的等折射率导纳圆。由式（4-39）可知，在复平面上等折射率导纳圆与实轴的交点为（4-48）（4-49）则有（4-48）（4-49）如图4-14所示，其中B点对应膜层2光学厚度为

。根据式（4-41），第二次等效可表达为由此得到由于膜层厚度为

，B点为衔接点，其光学等效导纳取实数（4-50）（4-51）如图4-14所示，其中B点对应膜层2光学厚度为（4-52）代入式（4-51），并令式（4-51）中的实部和虚步分别相等，有两式中消去

，简化得到（4-53）（4-54）（4-52）代入式（4-51），并令式（4-51）中的实部和令则有此式就是折射率

所对应的等折射率导纳圆。令

，并将式（4-52）代入，由圆方程（4-56）得到在复平面上等折射率圆与实轴的交点为（4-55）（4-56）（4-57）令（4-55）（4-56）（4-57）其中C点对应膜层1光学厚度为

，如图4-14所示。

如果膜层2的光学厚度任意取值，等效衔接点就不在实轴上，等折射率导纳圆上相对应的光学等效导纳

取复值.设光学等效导纳为式中

和

由式（4-44）求解得到（4-58）（4-59）其中C点对应膜层1光学厚度为，如图4-14将

代入式（4-51），并令式中实部和虚步分别相等，有两式中消去

，简化得到令（4-60）（4-61）将代入式（4-51），并令式中实部和虚步分别相等，有（4-62）式（4-61）就变为与式（4-56）形式完全相同的圆方程，表明膜系光学厚度任意取值，等折射率导纳圆图的形式不变，仅改变圆心位置和半径。例四

如图4-13(a)所示,设膜系参数为,

，

，

，

，试求膜系光学等效导纳Y。

解

由式（4-57）可知，膜系光学等效导纳为（4-62）式（4-61）就变为与式（4-56）形式完全相同(4-63)数值代入得到利用式（4-19），求得

。通常的做法是在等反射率圆图上找到与Y相对应的点，该点对应的反射率值R和相位

就是膜系中心波长

处的反射率和相位。除此之外，由式（4-19）可知，如果膜系光学等效导纳Y与入射介质折射率

越接近，反射率R值越小，所以当(4-64)(4-63)数值代入得到(4-64)入射介质折射率

给定之后，也可以由等折射率导纳圆图直接对膜系在中心波长

处的反射率R做出判断，如果

，反射率

，就近似是零反射。例五

四层膜系构成如图4-15（a）所示，膜层光学厚度均为

，试画出该膜系等折射率导纳圆图。

解

采用逐次等效法。根据式（4-46），第一次等效可得圆方程入射介质折射率给定之后，也可以由等折射率导纳圆图直接对膜系由此求得与导纳图实轴交点为由此求得与导纳图实轴交点为交点B光学厚度为

，该点光学等效导纳

取实数，有由于

，等折射率导纳圆对应于

。根据式（4-54）知，第二次等效可得圆方程为该圆与导纳图实轴交点为交点B光学厚度为，该点光学等效导纳取实数C点对应光学厚度

，该点光学等效导纳

取实数，有由于

，等折射率导纳圆对应于

。又根据式（4-54）知，第三次等效可得圆方程为该圆与导纳图实轴交点为C点对应光学厚度，该点光学等效导纳取实数D点