2020-2021中考数学圆的综合综合练习题及答案

2020-2021中考数学圆的综合综合练习题及答案一、圆的综合1.如图，点P在。O的直径AB的延长线上，PC为。O的切线，点C为切点，连接AC,过点A作PC的垂线，点D为垂足，AD交。O于点E.(1)如图1,求证：/DAC=ZPAC(2)如图2,点F(与点C位于直径AB两侧)在。O上，BF?A，连接EF,过点F作AD的平行线交PC于点G,求证：FG=DE+DG⑶在(2)的条件下，如图3,若AE=2dG,PO=5,求EF的长.3【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)EF=3j2.【解析】【分析】(1)连接OC,求出OC//AD,求出OC,PC,根据切线的判定推出即可；(2)连接BE交GF于H,连接OH,求出四边形HGDE是矩形，求出DE=HGFH=EH即可得出答案；(3)设OC交HE于M,连接OE、OF,求出/FHO=ZEHO=45,根据矩形的性质得出TOC\o"1-5"\h\zEH//DG,求出OM=1AE,设OM=a,则HM=a,AE=2a,AE=-DG,DG=3a,23MO1CO1求出ME=CD=2a,BM=2a,解直角二角形得出tan/MBO=」■tanP=——设BM2PO2OC=k,则PC=2k,根据OP=J5k=5求出k=J5\根据勾股定理求出a,即可求出答案.【详解】(1)证明：连接OC,.「PC为。。的切线,••OCXPC,.ADXPC,•.OC//AD,ZOCA=ZDAC,.OC=OA,ZPAC4OCA,ZDAC=ZPAC(2)证明：连接BE交GF于H,连接OH,的FG//AD,•••/FGD+/D=180；dDD=90；/FGD=90；.「AB为。。的直径，/BEA=90,°/BED=90,°/D=/HGD=/BED=90,°••・四边形HGDE是矩形，DE=GH,DG=HE,ZGHE=90,°BfAf,/HEF=ZFEA=1/BEA=-90°=45°,22/HFE=90-/HEF=45,°/HEF=ZHFE,•.FH=EH,.•.FG=FH+GH=DE+DG(3)解：设OC交HE于M,连接OE、OF.EH=HF,OE=OFHO=HO,•.△FHO^AEHO,/FHO=ZEHO=45；••・四边形GHED是矩形，••.EH//DG,/OMH=/OCP=90；/HOM=90-/OHM=90-45=45；/HOM=/OHM,.•.HM=MO,•.OMXBE,.•.BM=ME,.•.OM=1AE,2设OM=a,则HM=a,AE=2a,AE=2DGDG=3a3''••/HGC=ZGCM=ZGHE=90；••・四边形GHMC是矩形，GC=HM=a,DC=DG-GC=2a,••DG=HE,GC=HM,ME=CD=2a,BM=2a,在Rt^BOM中，tanZMBO=^M0--1BM2a2'••EH//DP,/P=/MBO,CO1tanP=-,PO2设OC=k,则PC=2k,在Rt^POC中，OP=*k=5,解得：k=5,OE=OC=5,在Rt^OME中，OM2+ME2=OE2,5a2=5,a=1,HE=3a=3,在Rt^HFE中，/HEF=45,1-EF=72HE=372-【点睛】考查了切线的性质，矩形的性质和判定，解直角三角形，勾股定理等知识点，能综合运用性质进行推理是解此题的关键.2.如图1,已知扇形MON的半径为J2,/MON=90，点B在弧MN上移动，联结BM,作ODLBM,垂足为点D,C为线段OD上一点，且OC=BM,联结BC并延长交半径OM于点A,设OA=x,/COM的正切值为y.(1)如图2,当AB±OM时，求证：(1)如图2,当AB±OM时，求证：AM=AC;(2)求y关于x的函数关系式，并写出定义域；(3)当4OAC为等腰三角形时，求x的值.各用图【答案】⑴证明见解析；(2)盗.(0x夜);(3)、.14..52分析：(1)先判断出/ABM=/DOM,进而判断出△OAX^BAM,即可得出结论;(2)先判断出BD=DM,进而得出-DM(2)先判断出BD=DM,进而得出-DMBDMEAE1-，进而得出ae=2(、历x),再判断出OAOE(3)•.OB=OM,ODXBM,BD=DM.1.DE//AB,DMME1.DE//AB,DMOD(3)(i)BDAE,AE=EM.,.OM=、,2••AE=1(OAOE(3)•.OB=OM,ODXBM,BD=DM.1.DE//AB,DMME1.DE//AB,DMOD(3)(i)BDAE,AE=EM.,.OM=、,2••AE=1(五x).2OAOEOCOD2DMOD'0Vx我)当OA=OC时.•••DM1BM21…一x.在RtAODM中,2OC2DM“，即可得出结论；ODOD分三种情况利用勾股定理或判断出不存在，即可得出结论.详解：(1)---OD±BM,AB±OM,/ODM=/BAM=90°.•••/ABM+ZM=ZDOM+ZM,/ABM=ZDOM.ZOAC=ZBAM,OOBM,△OAC^△BAM,.•.AC=AM.(2)如图2,过点D作DE//AB,交OM于点E.OD.OM2DM2..2；x2DMy，ODDMy，OD1-x22卜142T14,2/咨、-,或x-—(舍).(ii)当AO=AC时，则/AOO/ACO.「/ACO>/COB,/CO&/AOC,•./ACO>/AOC,，此种情况不存在.(iii)当CO=CA时，贝UZCOA=ZCAO=a,「/CAO>/M,ZM=90°-a,..a>90°—a,a>45:/BOA=2490::/BOAW90°，此种情况不存在.即：当4OAC为等腰三角形时，x的值为丹叵2点睛：本题是圆的综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，圆的有关性质，勾股定理，等腰三角形的性质，建立y关于x的函数关系式是解答本题的关键.3.如图，在OO中，AB为直径，OCAB,弦CD与OB交于点F,在AB的延长线上有点E,且EF=ED.(1)求证：DE是。。的切线；(2)若tanA=1,探究线段AB和BE之间的数量关系，并证明；2(3)在(2)的条件下，若OF=1,求圆O的半径.【答案】(1)答案见解析；(2)AB=3BE;(3)3.【解析】试题分析：(1)先判断出ZOCF+ZCFO=90°,再判断出ZOCF=ZODF,即可得出结论；(2)先判断出/BDE=/A,进而得出△EBg^EDA,得出AE=2DE,DE=2BE,即可得出结论；(3)设BE=x,则DE=EF=2x,AB=3x,半径OD=3x,进而得出OE=1+2x,最后用勾股定理2

即可得出结论.试题解析：(1)证明：连结OD,如图..••EF=ED,.・./EFD=/EDF.=/EFD=/CFO,•/CFO/EDF.-.OCXOF,z.ZOCF+ZCFO=90：/OC=OD,z.ZOCF=ZODF,./ODC+/EDF=90；即/ODE=90；，OD，DE..•点D在。O上，..DE是。。的切线;(2)线段ARBE之间的数量关系为：AB=3BE.证明如下：.AB为。O直径，，/ADB=90；ZADO=ZBDE./OA=OD,，/ADO=/A,//一,DEBEBD-./BDE=/A,而/BED=/DEA,.・.△EBg^EDA,「.——————./RtAABDAEDEAD中，tanA中，tanA=电二1,AD2DEBE1

=—AEDE2•.AE=2DE,DE=2BE,..A^BE,..AE^BE；(3)设BE=x,贝UDE=EF=2x,AB=3x,半径OD=3x.「OF=1,..OE=1+2x.232..在Rt^ODE中，由勾股定理可得：(一x)2+(2x)2=(1+2x)2,x=--(舍)或x=2,29，圆O，圆O的半径为3.C点睛：本题是圆的综合题，主要考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数，相似三角形的判定和性质，勾股定理，判断出△EBg^EDA是解答本题的关键.4.（类比概念）三角形的内切圆是以三个内角的平分线的交点为圆心，以这点到三边的距离为半径的圆，则三角形可以称为圆的外切三角形，可以得出三角形的三边与该圆相切.以此类推，如图1,各边都和圆相切的四边形称为圆外切四边形（性质探究）如图1,试探究圆外切四边形的ABCD两组又右边AB,CD与BC,AD之间的数量关系猜想结论：（要求用文字语言叙述）写出证明过程（利用图1,写出已知、求证、证明）（性质应用）①初中学过的下列四边形中哪些是圆外切四边形（填序号）A：平行四边形：B：菱形：C：矩形；D：正方形②如图2,圆外切四边形ABCD,且AB=12,CD=8,则四边形的周长是③圆外切四边形的周长为48cm,相邻的三条边的比为5：4：7,求四边形各边的长.【分析】(1)根据切线长定理即可得出结论；(2)①圆外切四边形是内心到四边的距离相等，即可得出结论；②根据圆外切四边形的对边和相等，即可求出结论；③根据圆外切四边形的性质求出第四边，利用周长建立方程求解即可得出结论.【详解】性质探讨：圆外切四边形的对边和相等，理由：如图1,已知：四边形ABCD的四边AB,BC,CD,DA都于。O相切于G,F,E,H.求证：AD+BCAB+CD.证明：「AB,AD和。O相切，AG=AH,同理：BG=BF,CE=CF,DE=DH,.•.AD+BC=AH+DH+BF+CF=AG+BG+CE+DE=AB+CD,即：圆外切四边形的对边和相等.故答案为：圆外切四边形的对边和相等；性质应用：①二.根据圆外切四边形的定义得：圆心到四边的距离相等.•••平行四边形和矩形不存在一点到四边的距离相等，而菱形和正方形对角线的交点到四边的距离相等.故答案为：B,D;②:圆外切四边形ABCD,AB+CD=AD+BC.•.AB=12,CD=8,AD+BC=12+8=20,••.四边形的周长是AB+CD+AD+BC=20+20=40.故答案为：40；③二•相邻的三条边的比为5:4:7,•••设此三边为5x,4x,7x,根据圆外切四边形的性质得：第四边为5x+7x-4x=8x.•・.圆外切四边形的周长为48cm,.1.4x+5x+7x+8x=24x=48,.x=2,「•此四边形的四边为4x=8cm,5x=10cm,7x=14cm,8x=16cm.A_SA_S图1本题是圆的综合题，主要考查了新定义圆的外切的性质，四边形的周长，平行四边形，矩形，菱形，正方形的性质，切线长定理，理解和掌握圆外切四边形的定义是解答本题的关键.5.如图，四边形ABCD是。O的内接四边形,AB=CD.（1）如图（1）,求证:AD//BC;（2）如图（2），点F是AC的中点，弦DG//AB,交BC于点E,交AC于点M,求证:AE=2DF；⑶在（2）的条件下，若DG平分/ADC,GE=S,tan/ADF=4j3，求。O的半径。0怪【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）J129【解析】试题分析：（1）连接AC.由弦相等得到弧相等，进一步得到圆周角相等，即可得出结论.（2）延长AD到N,使DN=AD,连接NC.得到四边形ABED是平行四边形，从而有AD=BE,DN=BE.由圆内接四边形的性质得到ZNDC=ZB,即可证明MBE^ACND,得到AE=CN,再由三角形中位线的性质即可得出结论.（3）连接BG,过点A作AHLBC,由（2）知/AEB=/ANC,四边形ABED是平行四边形，得到AB=DE.再证明ACDE是等边三角形，ABGE是等边三角形，通过解三角形ABE,得到AB,HB,AH,HE的长，由EC=DE=AB,得到HC的长.在Rt^AHC中，由勾股定理求出AC的长.作直径AP,连接CP,通过解4APC即可得出结论.试题解析：解：（1）连接AC.,.AB=CD,••・弧AB=MCD,z.ZDAC=ZACB,..AD//BC.(2)延长AD至ijN,使DN=AD,连接NC..「AD//BC,DG//AB,二.四边形ABED是平行四边形，AD=BE,.1.DN=BE,「ABCD是圆内接四边形，，/NDC=/B./AB=CD,…—_1•・MBE0办D,AE=CN./DN=AD,AF=FC,，DF=—CN,，AE=2DF.

困(2)困(2)(3)连接BG,过点A作AHLBC,由(2)知/AEB=/ANC,四边形ABED是平行四边形，AB=DE..DF//CN,，/ADF=/ANC,•./AEB=/ADF,，tan/AEB=tanZADF=4>/3,DG平分/ADC,•./ADG=/CDG.「AD//BC,/ADG=/CED,ZNDC=ZDCE..•/ABO/NDC,•./ABC=/DCE..AB//DG,../ABC=/DEC,/DEC=ZECD=ZEDC,「•工DE是等边三角形，「.AB=DE=CE-/GBC=ZGDC=60;/G=/DCB=60；..ABGE是等边三角形，BE=GE=5)3./tanZAEB=tan/ADF=4J3,设HE=x，贝UAH=473x.ZABE=ZDEC=60°,，/BAH=30°,..BH=4x,AB=8x,，4x+x=5石，解得：x=73\.•.AB=8T3,HB=4V3,AH=12,EC=DE=AB=8V3,.•.HC=HE+EC=>/3873=973.在RtAAHC中，ac=Jah2hc2"122(9拘2=3而.作直径AP,连接作直径AP,连接CP,/ACF=90°,,APsiAC0簧2同2P0:/P=ZABC=60°,，sin/P=^^APoo的半径是VT29.对角线AC对角线AC为。。的直径，过点C作AC的垂线交AD连接DB,DF.AD:DE=4：1,求DE的长.6.如图，四边形ABCD内接于OO,的延长线于点E,点F为CE的中点,(1)求证：DF是。。的切线；(2)若DB平分/ADC,AB=5£EFC【答案】(1)见解析；(2)、:5【解析】分析：(1)直接利用直角三角形的性质得出DF=CF=EF,再求出ZFDO=ZFCO=90°,得出答案即可；(2)首先得出AB=BC即可得出它们的长，再利用4ADC〜4ACE得出AC2=AD?AE,进而得出答案.详解：(1)连接OD.OD=CD,../ODO/OCD.•••AC为。O的直径，・・/ADO/EDC=90°.,•点F为CE的中点，DF=CF=EF,../FDO/FCD,•./FDO=/FCO.又「AC，CE,ZFDO=ZFCO=90°,•.DF是。。的切线.「AC为。。的直径，ZADC=ZABC=90°.•••DB平分/ADC,/ADB=ZCDB,「.Ab二?C，，BC=AB=5我.在Rt^ABC中，AC2=AB2+BC2=100.又「AC，CE,ZACE=90°,ACAE△ADC〜△ACE•1•——=——，AC2=AD?AE.ADAC设DE为x,由AD:DE=4:1,，AD=4x,AE=5x,.•-100=4x?5x,，x=V5,...DE=V5.点睛：本题主要考查了切线的判定以及相似三角形的判定与性质，正确得出ac2=ad?ae是解题的关键.7.如图，在直角坐标系中，已知点A(-8,0),B(0,6),点M在线段AB上。(1)如图1,如果点M是线段AB的中点，且OM的半径等于4,试判断直线OB与。M

的位置关系，并说明理由；(2)的位置关系，并说明理由；(2)如图2,OM与x轴，y轴都相切，切点分别为E,F,试求出点M的坐标;(3)如图3,OM与x轴，y轴，线段AB都相切，切点分别为E,F,G,试求出点M的坐标(直接写出答案)2424【答案】(1)OB与。M相切；(2)M(一],1);(3)M(―2,2)【解析】分析：(1)设线段OB的中点为D,连结MD,根据三角形的中位线求出MD,根据直线和圆的位置关系得出即可；(2)求出过点A、B的一次函数关系式是y=-x+6,设M(a,-a),把x=a,y=-a代4入y=—x+6得出关于a的方程，求出即可.4(3)连接ME、MF、MG、MA、MB、MO,设ME=MF=MG=r,根据S；AABG=!AO?ME+1bO?MF+1AB?MG=1AO?BO求得r=2,据此可得答案.2222详解：(1)直线OB与。M相切.理由如下：设线段OB的中点为D,如图1,连结MD,•・•点M是线段AB的中点，所以MD//AO,MD=4,，/AOB=/MDB=90；，MD，OB,点D在。M上.又•.•点D在直线OB上，・•・直线OB与。M相切；(2)如图2,连接ME,MF,8kb0TOC\o"1-5"\h\z.「A(—8,0),B(0,6),设直线AB的解析式是y=kx+b,，解b6得：k=3,b=6,即直线AB的函数关系式是y=—x+6.44•••OM与x轴、y轴都相切，・••点M到x轴、y轴的距离都相等，即ME=MF,设M(a,—a)(-8<a<0),把x=a,y=-a代入y=—x+6,得：—a=-a+6,得：a=-44247，点247，点M的坐标为(-2424、77(3)如图3,连接ME、MF、MG、MA、MB、MO,••・0M与x轴，y轴，线段AB都相切，MEXAO.MF±BO>MGXAB,设ME=MF=MG=r,贝US/\abc=1AO?ME+1BO?MF+1AB?MG=1AO?BO.2222.A(—8,0),B(0,6),•.AO=8、BO=6,AB=Ja。2B5r=1。，••・1「？8+1「？6+工r?10=1X6内8解彳导:r=2,即ME=MF=2,.••点M的坐标为(—2,22222).点睛：本题考查了圆的综合问题，掌握直线和圆的位置关系，用待定系数法求一次函数的解析式的应用，能综合运用知识点进行推理和计算是解答此题的关键，注意：直线和圆有三种位置关系：已知。。的半径为r,圆心O到直线l的距离是d,当d=r时，直线l和。O相切.8.已知：如图，在矩形ABCD中，点O在对角线BD上，以OD的长为半径的。。与AD,BD分别交于点E、点F,且/ABE=/DBC.（1）判断直线BE与。O的位置关系，并证明你的结论；（2）若sin/ABE=U3,CD=2,求。O的半径.【答案】（1）直线BE与。O相切，证明见解析；（2）。。的半径为Y3.2【解析】分析：（1）连接OE,根据矩形的性质，可证/BEO=90°,即可得出直线BE与。O相切；（2）连接EF,先根据已知条件得出BD的值，再在^BEO中，利用勾股定理推知BE的长，设出。。的半径为r,利用切线的性质，用勾股定理列出等式解之即可得出r的值.详解：（1）直线BE与。O相切.理由如下：连接OE,在矢l形ABCD中，AD//BC,，/ADB=/DBC.•••OD=OE,ZOED=ZODE.

又.•/ABE=/DBC,ZABE=ZOED,•••矩形ABDC,/A=90°,ZABE+/AEB=90°,・・・直线BE与。O相切;・・・直线BE与。O相切;EE(2)连接EF,方法(2)连接EF,方法1:•••四边形ABCD是矩形，CD=2,••/A=/C=90：AB=CD=2.・./ABE=/DBC,..sinZCBD=sinABEDCBDsinCBD在RtAAEB中，•••CD=2,•.BCDC.tanZCBD=tanZABE,••BCAE由勾股定理求得BEJ6.在Rt^BEO中，DCBDsinCBD在RtAAEB中，•••CD=2,•.BCDC.tanZCBD=tanZABE,••BCAE由勾股定理求得BEJ6.在Rt^BEO中，/BEO=90°,E02+eB?=Ob2.设©O的半径为r,则「2(竭2(2百方法2：.「DF是。。的直径，・・./DEF=90°.•••四边形ABCD是矩形，.-.ZA=ZC=90°,•••ZABE=ZDBC,•••sinZCBD=sinABEAB=CD=2.33设DCx,BDV3x,则BC&x..CD=2,BC2V2•••tanZCBD=tanZABE,「DCBCABAEEE为AD中点.DF为直径，ZFED=90°,EF//AB,DF1BD2DF为直径，ZFED=90°,EF//AB,DF1BD2•••OO的半径为—2B点睛：本题综合考查了切线的性质、勾股定理以及三角函数的应用等知识点，具有较强的综合性，有一定的难度.9.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧Ab1用直尺和圆规作出Ab所在圆的圆心o；（要求保留作图痕迹，不写作法）2若AB的中点C到弦AB的距离为20m,AB80m,求AB所在圆的半径.【答案】（1）见解析；（2）50m【解析】分析：1连结AC、BC,分另作AC和BC的垂直平分线，两垂直平分线的交点为点O,如图1;2连接oa,oc,oc交ab于d,如图2,根据垂径定理的推论，由c为ab的中点得1-到OCAB,ADBD-AB40，则CD20,设eO的半径为r,在RtVOAD2中利用勾股定理得到r2（r20）2402,然后解方程即可.详解：1如图1,点O为所求；2连接OA,OC,OC交AB于D,如图2,qc为Ab的中点，OCAB,1ADBDAB40,2设eO的半径为r,则OAr,ODODCDr20,在RtVOAD中，QOA2OD2AD2,222r(r20)40,解得r50,即Ab所在圆的半径是50m.点睛：本题考查了垂径定理及勾股定理的应用，在利用数学知识解决实际问题时，要善"把实际问题与数学中的理论知识联系起来，能将生活中的问题抽象为数学问题.10.如图，AD是4ABC的角平分线，以AD为弦的。。交AB、AC于E、F,已知EF//BC.(1)求证：BC是。。的切线；(2)若已知AE=9,CF=4,求DE长；(3)在(2)的条件下，若/BAC=60,求tan/AFE的值及GD长.BD【答案】(1)证明见解析(2)DE=6(3)18m6"5【解析】试题分析：(1)连接od,由角平分线的定义得到/1=/2,得到dedF，根据垂径定理得到OD,EF,根据平行线的性质得到OD,BC,于是得到结论；(2)连接DE,由DEDF，得到DE=DF,根据平行线的性质得到/3=/4,等量代换得到/1=74,根据相似三角形的性质即可得到结论；(3)过F作FHI±BC于H,由已知条件得到/1=/2=/3=/4=30°,解直角三角形得到1——.-.一FH=-DF=-X6=3DH=3J3,CH=JcF2HF2J7，根据二角函数的7E乂得到tan/AFE=tanZC=-HF封7;根据相似三角形到现在即可得到结论.CH7试题解析：(1)连接OD,,「AD是△ABC的角平分线,/1=72,DeDf，.•.ODXEF,•••EF//BC,.•.ODXBC,••.BC是OO的切线；(2)连接DE,■Be3f，，DE=DE•••EF//BC,Z3=Z4,Z1=Z3,Z1=Z4,•••ZDFgAED,AAED^ADFC,TOC\o"1-5"\h\zAEDE目口9DE,即，DFOFDE4.•.DE2=36,.•.DE=6;(3)过F作FHLBC于H,•••ZBAC=60,Z1=Z2=Z3=Z4=30；,-.FH=-DF=-6=3,DH=3石，22••-CH=7cF2HF2而，-/EF//BC,ZC=ZAFE,/“HF3"tanZAFE=tanZC=;CH7•••Z4=Z2.ZC=ZC,.1.△ADO^ADFC,ADCDDFCF•••Z5=Z5,Z3=Z2,.-.△ADF^AFDG,.A2正DFDG'CDDF目口3V566,即CFDG4DG.DG=18,3605点睛：本题考查了切线的判定、圆周角定理、相似三角形的判定与性质、解直角三角形、平行线的性质，正确作出辅助线是解题的关键11.阅读下列材料：如图1,OOi和。O2外切于点C,AB是。O1和。O2外公切线，A、B为切点,求证：AC±BC证明：过点C作OO1和。O2的内公切线交AB于D,.「DA、DC是。O1的切线DA=DC.ZDAC=ZDCA.同理/DCB之DBC.又•••/DAC+ZDCA+ZDCB+ZDBC=180,•••/DCA+ZDCB=90,°即AC±BC.根据上述材料，解答下列问题：(1)在以上的证明过程中使用了哪些定理？请写出两个定理的名称或内容；(2)以AB所在直线为x轴，过点C且垂直于AB的直线为y轴建立直角坐标系(如图2),已知A、B两点的坐标为(-4,0),(1,0),求经过A、B、C三点的抛物线y=ax23【答案】(1)23【答案】(1)见斛析；(2)y—x-x2；(3)见解析2(3)根据(2)中所确定的抛物线，试判断这条抛物线的顶点是否落在两圆的连心O1O2上，并说明理由.

试题分析：(1)由切线长相等可知用了切线长定理；由三角形的内角和是180。，可知用了三角形内角和定理；(2)先根据勾股定理求出C点坐标，再用待定系数法即可求出经过A、B、C三点的抛物线的函数解析式；(3)过C作两圆的公切线，交AB于点D,由切线长定理可求出D点坐标，根据C,D两点的坐标可求出过C,D两点直线的解析式，根据过一点且互相垂直的两条直线解析式的关系可求出过两圆圆心的直线解析式，再把抛物线的顶点坐标代入直线的解析式看是否适合即可.试题解析：(1)DA、DC是eOi的切线，・•.DA=DC.应用的是切线长定理；DACDCADCBDBC1800，应用的是三角形内角和定理.(2)设C点坐标为(0,y),则AB2AC2BC2,一22222即414y1y,即25172y2,解得y=2(舍去)或y=-2.故C点坐标为(0,-2),1a2h3b-2c2,设经过A、B、C1a2h3b-2c2,16a4bc0则abc0解得c2,TOC\o"1-5"\h\z123故所求二次函数的解析式为y1x2-x2.22(3)过(3)过C作两圆的公切线CD交AB于D,则AD=BD=CD,由A(-4,0),B(1,0)可知D(一，0),2设过CD两点的直线为y=kx+b,则3一kb0k2解得b2,bb2,4故此一次函数的解析式为y4x2,34一，---过Q,。2的直线必过C点且与直线y—x2垂直,3，一一一3一故过O1Q2的直线的解析式为y—x2,4由(2)中所求抛物线的解析式可知抛物线的顶点坐标为由(2)中所求抛物线的解析式可知抛物线的顶点坐标为258),TOC\o"1-5"\h\z33.25代入直线解析式得一一2——,故这条抛物线的顶点落在两圆的连心。。2上.42812.如图1,等边4ABC的边长为3,分别以顶点B、A、C为圆心，BA长为半径作AC、Cb、Ba，我们把这三条弧所组成的图形称作莱洛三角形，显然莱洛三角形仍然是轴对称图形，设点l为对称轴的交点.(1)如图2,将这个图形的顶点A与线段MN作无滑动的滚动，当它滚动一周后点A与端点N重合，则线段MN的长为;(2)如图3,将这个图形的顶点A与等边4DEF的顶点D重合，且AB±DE,DE=2ti,将它沿等边4DEF的边作无滑动的滚动当它第一次回到起始位置时，求这个图形在运动过程中所扫过的区域的面积；(3)如图4,将这个图形的顶点B与。O的圆心O重合，。。的半径为3,将它沿。。的圆周作无滑动的滚动，当它第n次回到起始位置时，点I所经过的路径长为(请用含n的式子表示)【答案】(1)3兀;(2)27兀；(3)2Van%.【解析】试题分析：(1)先求出Ac的弧长，继而得出莱洛三角形的周长为3兀，即可得出结论；(2)先判断出莱洛三角形等边^DEF绕一周扫过的面积如图所示，利用矩形的面积和扇形的面积之和即可；(3)先判断出莱洛三角形的一个顶点和O重合旋转一周点I的路径，再用圆的周长公式即可得出.试题解析：解：(1);等边aABC的边长为3,，/ABC=/ACB=ZBAC=60°,

603AcBcAb，一兀3一/二=♦••线段mn的长为180lAclgc1AB=3冗故答案为3兀；(2)如图1.」.等边4DEF的边长为2兀，等边4ABC的边长为3,，S矩形aghf=2兀X3=6/2由题意知，AB±DE,AG±AF,/BAG=120°,，S扇形bagm!203-=35图形在运动过360程中所扫过的区域的面积为3(S矩形AGHF+S扇形BAG)=3(6兀+3/=27%;(3)如图2,连接BI并延长交AC于D.・•・I是4ABC的重心也是内心，・•./DAI=30°,ADm^AO3,ADm^AO3,OI=AI=AD2=J3,「•当它第1次回到起始位置时，点IcosDAIcos30所经过的路径是以O为圆心，OI为半径的圆周，当它第n次回到起始位置时，点I所经过的路径长为n?2Tt?J3=2石nn.故答案为2目口.：1：1点睛：本题是圆的综合题，主要考查了弧长公式，莱洛三角形的周长，矩形，扇形面积公式，解(1)的关键是求出AC的弧长，解(2)的关键是判断出莱洛三角形绕等边4DEF扫过的图形，解(3)的关键是得出点I第一次回到起点时，I的路径，是一道中等难度的题目.13.我们知道，如图1,AB是。O的弦，点F是AFB的中点，过点F作EF±AB于点E,易得点E是AB的中点，即AE=EB.OO上一点C(AC>BC),则折线ACB称为OO的一条折弦”.(1)当点C在弦AB的上方时(如图2),过点F作EF±AC于点E,求证：点E是折弦ACB'的中点，即AE=EC+CB(2)当点C在弦AB的下方时(如图3),其他条件不变，则上述结论是否仍然成立？若成立说明理由；若不成立，那么AE、EGCB满足怎样的数量关系？直接写出，不必证明.(3)如图4,已知RtAABC中，/C=90°,ZBAC=30°,Rt^ABC的外接圆。。的半径为2,过。O上一点P作PH,AC于点H,交AB于点M,当/PAB=45°时，求AH的长.

图1图2C图3及4【答案】(1)见解析；(2)结论AE=EC+C环成立，新结论为：C曰BC+AE见解析；AH的长为出T或邪+1.【解析】【分析】(1)在AC上截取AG=BC,连接FA,FG,FB,FC,证明△FA84FBC,根据全等三角形的性质得到FG=FC,根据等腰三角形的性质得到EG=EC,即可证明.(2)在CA上截取CG=CB,连接FA,FB,FC,证明△FC84FCB,根据全等三角形的性质得到FG=FB,得到FA=FG,根据等腰三角形的性质得到AE=GE,即可证明.(3)分点P在弦AB上方和点P在弦AB下方两种情况进行讨论.【详解】解：(1)如图2,在AC上截取AG=BC,连接FA,FG,FB,FC,丁点F是AFB的中点，FA=FB,在4FAG和4FBC中，FAFBFAGFBCAGBC,..△FA®△FBC(SA§,FG=FC,/FEIAC,EG=EC,，AE=AG+EG=BC+CE(2)结论AE=EC+C必成立，新结论为：CE=BC+A耳理由：如图3,在CA上截取CG=CB,连接FA,FB,FC,丁点f是即8的中点，•1•FA=FB,PaRb，ZFCG=ZFCBCGCB在AFCG和AFCB中，FCGFCBFCFC,.-.△FC(^AFCB(SA5,FG=FB,FA=FG,FE±AC,.•.AE=GE,・•.CE=CG+G2BC+AE(3)在Rt^ABC中，AB=2OA=4,ZBAC=30,BC-AB2,AC273,2当点P在弦AB上方时，如图4,在CA上截取CG=CB,连接PAPB,PG,••/ACB=90；•.AB为。。的直径，/APB=90；••/PAB=45；/PBA=45=/PAB,PA=PB,/PCG=/PCB,CGCB在APCG和APCB中，PCGPCBPCPC,.,.△PCG^APCB(SAS,PG=PB,PA=PG,.PHXAC,.•.AH=GH,AC=AH+GH+CG=2AH+BC,2^32AH2,AH61,当点P在弦AB下方时，如图5,在AC上截取AG=BC,连接PA,PB,PC,PG•••/ACB=90；•.AB为。。的直径，/APB=90；••/PAB=45；/PBA=45=/PAB,PA=PB,在^PAG和^PBC中，AGBCPAGPBCPAPB,•.△PAG^APBC(SAS,

PG=PC,•.PHXAC,.•.CH=GH,AC=AG+GH+C庄BC+2CH2422CH,•••CH.31,AHACCH2,3.31,31,即：当/PAB=45。时，AH的长为J31或J31【点睛】考查弧，弦的关系，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质等，综合性比较强，注意分类讨论思想方法在解题中的应用^14.结果如此巧合！下面是小颖对一道题目的解答.题目：如图，Rt^ABC的内切圆与斜边AB相切于点D,AD=3,BD=4,求△ABC的面积.解：设4ABC的内切圆分别与AC、BC相切于点E、F,CE的长为x.根据切线长定理，得AE=AD=3,BF=BD=4,CF=CE=x根据勾股定理，得(x+3)2+(x+4)2=(3+4)2.整理，得x2+7x=12.所以S\ab」所以S\ab」AC?BC21212(x+3)(x+4)(x2+7x+12)1,、二-X(12+12)2=12.小颖发现12恰好就是3X4即4ABC的面积等于AD与BD的积.这仅仅是巧合吗?请你帮她完成下面的探索.已知：4ABC的内切圆与AB相切于点D,AD=m,BD=n.可以一般化吗？(1)若/C=90,求证：△ABC的面积等于mn.倒过来思考呢？(2)若AC?BC=2mn,求证/C=90.改变一下条件……(3)若/C=60,用m、n表示4ABC的面积.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解