鲁棒控制系统设计

鲁棒限制设计报告学院专业报告人TOC\o"1-5"\h\z1绪论2..限制系统设计背景2.本文主要工作分配3.2一级倒立摆模型建立4.一级倒立摆的工作原理4.一级倒立摆的数学模型4.3田鲁棒限制器设计6.基于Riccati方程的田限制7.基于LMI的田限制7.4一级倒立摆系统的仿真9一级倒立摆限制系统设计9.闭环限制系统仿真及分析105结论1.31绪论限制系统设计背景一级倒立摆系统是一个典型非线性多变量不稳定系统,在研究火箭箭身的姿态稳定限制、机器人多自由度运动稳定设计、直升机飞行限制等多种领域中得到了广泛的应用,因此以倒立摆作为被控对象进行限制方法的研究具有重要的现实意义.为解决一级倒立摆系统的非线性、强耦合、多变量、自然不稳定问题,本文利用H鲁棒限制实现对一级倒立摆的限制.图1.1一级倒立摆系统结构图本文采用的直线一级倒立摆的根本系统如图1.1所示,它是由沿直线导轨运动的小车以及一端固定于小车上的材质均匀的摆杆组成,它是一个不稳定的系统,当倒立摆出出现偏角后,如果不给小车施加限制力,倒立摆会倾倒.所以本文采用H鲁棒限制方法的目的是通过调节水平力F的大小限制小车的运动,使倒立摆处于竖立的垂直位置.限制指标为：倒立摆系统的从初始状态调节到小车停留在零点、并使摆杆的摆角为0的稳定状态.本文主要工作分配第一章：对一级倒立摆系统的特点、结构以及限制要求进行阐述.第二章：根据一级倒立摆的结构,利用机理建模法建立被控对象的精确数学模型,并在系统平衡点处进行线性化,得到系统简化的状态方程.第三章：首先H鲁棒限制的根本原理,然后分别利用Riccati方程和LMI方法设计H状态反应限制器.第四章：首先使用MATLAB计算基于Riccati方程的H状态反应限制器和基于LMI的H状态反应限制器,然后进行闭环限制系统的仿真并限制系统的性能分析.第五章：对本次设计进行总结.2一级倒立摆模型建立一级倒立摆的工作原理如图1.1所示,倒立摆装置主要由摆杆、小车以及导轨组成.导轨的一端装有用来测量小车位移的电位计,摆杆与小车的连接处安装测量摆角的装置,小车可以沿着有界轨道直线移动,同时摆杆可以在垂直平面内自由运动.直流电动机通过传送带拖动小车运动,从而使倒立摆稳定在竖立的垂直位置.为简化系统分析,在实际模型建立过程中,忽略空气流动的阻力以及各种摩擦力,这样可以将倒立摆抽象为由小车和均匀材质的刚性摆杆组成的系统.小车质量为M,摆杆质量为m,小车位置x,作用在小车上力大小为F,摆杆的长度为L21,均匀材质的摆杆质心是摆杆的中央.一级倒立摆的数学模型被控对象的数学模型是过程中的输入量和输出量之间的函数关系,常用的有机理建模法和实验建模两种方法.本文采用的是机理建模的方法,根据过程的内在机理,利用相关的平衡方程,获得所需要的数学模型.对摆杆进行受力分析,转动惯量与加速度的乘积等于刚体主动力对该轴力矩的代数和,那么摆杆绕其重心的转动方程为:JaFy1sinFx1cos(2.1)摆杆在水平方向上受到的合力为:(2.(2.2)Fxm(xlsin)dt2摆杆在垂直方向上受到的合力为:FymgdFymgdm—dt2(x1sin)(2.3)小车在水平方向上受到合力:FFyFFyM吟dt2(2.4)将等式(2.2)(2.3)分别带入等式(2.1)和(2.4)中:Jml2Jml2&&ml&cosmglsin(2.5)FMm&kmlacos&sin(2.6)整理得到系统精确模型为:Jml2FmlJml2&sinm2l2gsincos；T22722(2.7)JmlMmm(2.7)2.222.戡MmmlgsinmlFcosml&sincos；22.~2722JmlMmmlcos式中,转动惯量Jm-.3sin由等式(2.7)得知,一级直线倒立摆系统的动力学模型为非线性微分方sin此选择工作点00、x00对系统进行线性化,即可近似认为&0、cos1,得到进一步的简化模型:&Mmmgl2&Mmmgl2JMmmMlmlJMm2.2&——m,^JMmmMl2Jml2FmMl2(2.8)2FJMmmMl掰口掰口小车的速度&乍为四个状态变以摆杆与竖直向上方向的偏角,小车的位移x、摆杆摆角变化考虑限制输入干扰,将(2.8)转化为状态方程的形式:BiB2u(2.9)00k1b2为不大于1的正数,kik3ml..2JMmmMl000010000100Bi00

b1,B200_,,,其中b1、k3k4mmgl2JMmmMl一22mgl■,2'JMmmMlJml2

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JMmmMl3Hoc鲁棒限制器设计对于图3.1所示的系统,u为限制输入,y为被控量,z为被控对象输出,为限制输入干扰,由输入u,到输出y,z的传递函数阵G(s)称为增广被控对象,限制器为K(s)0图3.1H限制框图传递函数阵G(s)的状态空间表达式如下：&AxB1B2uzCiXD11D12U(3.1)yC2xD21D21u其中xRn,Rr,uRp,zRm,yRq分别是系统的状态、限制输入扰动、限制输入、系统输出和被控量.H鲁棒限制器设计问题可以描述为,设计一个限制器uKy,使闭环系统满足：a)闭环内部稳定,即闭环系统状态矩阵的所有特征值均应在左半开复平面中.b)从限制输入干扰到输出z的闭环传递函数Tz(s)的H范数小于1,即|Tz(s)||1.针对本次设计的一级倒立摆限制系统：内AxB1B2uzCxD11Di2U(3.2)yx取Du0,本限制系统的设计要求为:(1)x0是闭环系统的局部渐进稳定平衡点,对于任何初始状态的x(0),都有x(t)0.(2)对于任意扰动L20,,闭环系统又抑制扰动水平.gP||Tz(s)||1.3.1基于Riccati方程的廿限制设增广被控对象G(s)的状态空间表达式为：&AxBB2UzCxD12U(3.3)yxABiB2t■U4■■“4」■■■UJ■■MUI■lliBl■■■IM■即G(s)C,OD12,设计状态反应限制器：IOOuKxKRpm(3.4)定理1:对于给定的0,存在状态反应阵K使闭环系统(3.3)和(3.4)内部稳定且|Tz(s)|成立的充分必要条件是存在正定阵X0满足Riccati不等式：ATXXA2XB1B1TxCTC(XB2CD12)(D：D12)1(琼XDaC)0假设上述不等式成立且有正定解X0,那么使闭环系统稳定且|Tz(s)|成立的控制器为：TOC\o"1-5"\h\zK(D12D12)1(BTXD12C)(3.5)推论1:设增广被控对象(3.3)满足正交条件,H标准设计问题有基于状态反应阵(3.4)的充分必要条件Riccati等式：AtXXAXB14TB2BTXCTC0(3.6)有正定解X00假设上式有正定解,那么H标准设计问题的解为：K(口；氏)1(B：X0C)(3.7)假设上述不等式成立且有正定解X0,那么使闭环系统稳定且|Tz(s)|成立的限制器为：KBTX(3.8)3.2基于LMI的HB限制线性矩阵不等式(LMI)的一般形式为F(x)F0x1F1LxmFm0,其中FiFjRnn,i1,2,L,m是一组给定的实对称阵；x[x,X2,L,%「是待求变量.ScSchur补性质：对于给定的矩阵SRnn并分块表示为S11S12S21S22其中其中,§1Rrr,§2Rr(nr),S21R(nr)r,82R(nr)(nr),MS0等价于S110T11T且S22S12S11S12.T11T且S22S12S11S12.,或等价于S220且S11SI2s22s120.上述性质可以用于将非线性不等式问题转化为线性矩阵不等式问题.考虑系统&AxB

zCxD其中xRn,R「,zRm,分别是系统的状态、输入和输出.定理2:对于给定的常数0,那么系统(3.9)是渐进稳定的且从输入z的传递函数Tz(s)满足||Tz(s)|当且仅当存在一个正定阵P0满足:(3.9)到输出atppapbcBtPIaDqCDI(3.10)对于本设计白空制系统(3.3)设计一个状态反应限制器(3.4),使得闭环系统&(AB2K)xB1z(CD12K)x(3.11)是渐近稳定的且从输入扰动到输出z的传递函数Tz(s)满足:Tz(s)||(CDi2K)[Is(AB2K)1B]定理3:系统(3.3)存在一个状态反应H限制器使得闭环系统(3.12)定的且满足性能指标(3.12)当且仅当存在一个对称正定阵PPT(3.11)是渐近稳0和矩阵P2使AR0(3.13)PAtB2P2P2TB2T2B1B1T(CPAR0(3.13)CPD12P2I如果(3.13)有解,那么Kgp1是系统的状态反应H限制器.

4一级倒立摆系统的仿真一级倒立摆限制系统设计本文选取的一级倒立摆系统中,小车的质量M1kg,摆的质量m0.1kg,摆的长度l0.5m,重力加速度g9.8m/s2,考虑本文设计的限制系统为:B2u式中,xk2Cx4u(4.1)k222mg式中,xk2Cx4u(4.1)k222mglmMl2k30.50.5方法1:基于Riccati方程的HB2ml0Mmmgl,,其中KJk3JMmmMlk4Jml22MmmMl限制器设计.,k4n°令JMmmMl使用MATLAB求解,需要将〔3.6〕转化为以下等式:ATXXABATXXAB1TXCTCB2T(4.2)使用Xcare(A,B,CTC,R),解得158.158.051315.078628.051631.705415.07863.359915.07863.35992.714028.05162.71405.069643697一56983'由四得'状态反应限制器31.70544.36975.69838.939451.17013.68039.27857.9564.方法方法2:基于LMI的H限制器设计.使用MATLAB中的LMI工具箱求解,0.12530.00420.00420.5650P-0.62660.0156-0.0266-0.3558P20.45830.0057由KP2P1得,状态反应限制器K由公式〔3.13〕解得-0.6266-0.02660.0156-0.35583.6427-0.1747-0.17470.5286-0.1069-0.810136.30321.87516.38303.6678闭环限制系统仿真及分析初始条件取(0)30°,40)0.2o/s,x(0)0,敕0)0,其中摆杆的角度及角速度应转变为弧度值.并在t15s时参加限制扰动1仿真结果1：基于Riccati方程的H限制.图4.1基于Riccati方程的H限制系统响应曲线-25入输制控-30-25入输制控-3001015时间〔s〕202530图4.2基于Riccati方程的H限制系统限制输入由图4.1可以看出,基于Riccati方程的H限制设计的状态反应限制器,给小车施加限制,使倒立摆系统的从初始状态调节到小车停留在零点、并使摆杆的摆角为0的稳定状态.在15s时参加扰动,系统能快速调整到稳定状态.仿真结果2:基于LMI的H限制.0.20-0.2-00.20-0.2-0.4-0.6-0.805101520时间(s)2530图4.3基于LMI的H限制系统响应曲线图4.4基于LMI的H限制系统限制输入由图4.3可以看出,基于LMI的H限制设计的状态反应限制器,给小车施加限制,使倒立摆系统的从初始状态调节到小车停留在零点、并使摆杆的摆角为0的稳定状态.在15s时参加扰动,系统能调整到稳定状态.相对于基于Riccati方程的H限制设计的限制系统,调节