2016年中考数学压轴题、几何证明题

中考数学例题讲解［例I】如图，平行四边形中，=5=0边上的高4为边上的一个动点(不与、重合).过作直线的垂线，垂足为.与的延长线相交于点，连结，。()求证：△SAE()当点在线段上运动时，△和4的周长之间有什么关系？并说明你的理由．()设=x△的面积为，请你求出和之间的函数关系式，并求出当为何值时，有最大值，最大值是多少？TOC\o"1-5"\h\zADFMBxECG图10解析过程及每步分值()因为四边形是平行四边形，所以AB口DG分所以/B=/GCE,/G=/BFE所以△BEFs^ceg分()△BEF与^CEG的周长之和为定值.分理由一：过点作的平行线交直线于，因为±,所以四边形为矩形.所以=因此，△BEF与^CEG的周长之和等于++由=，=，=，可得=8=6所以++=理由二：HAFHAFMBxE在△与△中，有：所以，△的周长是—BE,△的周长是—CE4343EF=-BE,BF=-BE,GE=—EC,所以，△的周长是—BE,△的周长是—CE又十=,因此口BEF与口CEG的周长之和是，43()设=x则EF―5x,GC―5(10-x)TOC\o"1-5"\h\z1143622所以y—-EFVDG—-04x[-(10-x)+5]—-—x2-彳x乙乙JJ乙JJ655121配方得：y——7TZ(x——)2+~~256655所以，当x——时,有最大值.6最大值为1216【例2】如图二次函数=++＞与坐标轴交于点、、且=(1)求此二次函数的解析式．(2)写出顶点坐标和对称轴方程．()点、在=++的图像上点在点的右边，且〃轴，求以为直径且与轴相切的圆的半径.分分分分分分分分同理可得另一种情形r=+1丁7分0【例】已知两个关于x的二次函数J与当X=k时，J=17；且二次函数j的图象的对称轴是直j,图象的对称轴是直j,

2j=a(x一k)2+2(k>0),j+j=x2+6x+12线x=-12()求k的值;()求函数j,j的表达式;12()在同一直角坐标系内，问函数j的图象与j的图象是否有交点？请说明理由．解析过程及每步分值()由j=a(x一k)2+2，j+j=x2+6x+1212得j=(j+j)-j=x2+6x+12-a(x-k)2-2=x2+6x+10-a(x-k)2.2121乂因为当x=k时，j=17,即k2+6k+10=17,2解得k=1，或k=-7(舍去)，故k的值为1.()由k=1,得j=x2+6x+10-a(x-1)2=(1-a)x2+(2a+6)x+10-a,22a+6所以函数j2的图象的对称轴为x=-2G，2a+6于是,有一—=-1，解得a=-1，所以j=-x2+2x+1,j=2x2+4x+11.()由j=一(x-1)2+2，得函数j的图象为抛物线，其开口向下，顶点坐标为(1,2)；由j=2x2+4x+11=2(x+1)2+9,得函数j的图象为抛物线，其开口向上，顶点坐标为(一1，9)；故在同一直角坐标系内，函数j的图象与j的图象没有交点.

【例4】如图抛物线J=X2+4x与轴分别相交于点、它的顶点为连接把所的直线沿轴向上平移使它经过原点得到直线设是直线上一动点()求点的坐标()以点、、、为顶点的四边形中有菱形、等腰梯形、直角梯形请分别直接写出这些特殊四边形的顶点的坐标()设以点、、、为顶点的四边形的面积为点的横坐标为当4+6d2<S<6+8<2时求的取值范围解析过程及每步分值解：()J=x2+4x=(x+2)2—4()四边形为菱形时，1四边形为等腰梯形时，四边形为直角梯形时，3()四边形为菱形时，1四边形为等腰梯形时，四边形为直角梯形时，3四边形为直角梯形时，(3)24一，_5548一,一55612—I-55由已知条件可求得①当点在第二象限时，的面积S=1X4X(-2%)=-4xAPOB2:△的面积S=—x4x4=8,AAOB2•・S=S+S=-4x+8(x<0)AAOBAPOB・•4+62<S<6+82,S>4+62,,<[S<6+822-32TOC\o"1-5"\h\z-4x+8>4+62x-2即｛•••〈2-4x+8<6+8201-42iS<I21-422-32，的取值范围是<x<②当点在第四象限是，过点、分别作轴的垂线，垂足为A、/则四边形o的面积4+2x1S=S-S=•(x+2)--(2x)・x=4x+4POA'A梯形PP'A'AAPP'O22•△/的面积S=1X4X2=4AAA，B2・•・S=S+S=4x+8(x>0)POA'AAAA'B•4+62<S<6+82,32-2S>4+62f4x+8>4+62x>—2—，，即，，｛S<6+824x+8<6+82o42-1〔〔S<32-242-1，的取值范围是一-—<x<一-一【例】随着绿城南宁近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高。

某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的禾U润乂与投资量x成正比例关系，如图①所示；种植花卉的利润J2与投资量x成二次函数关系，如图②所示（注：利润与投资量的单位：万元）

()分别求出利润J1与J()如果这位专业户以Ay221万元资金投入种植花卉和树木，他()分别求出利润J1与J()如果这位专业户以Ay221万元资金投入种植花卉和树木，他关于投资量x的函数关系式；1故利润ji关于投资量x数关系式是J12故利润ji关于投资量x数关系式是J12x；因为该抛物线的顶点是原点，所以设Jax2,由图②所示，函数Jax2的图像过(2，2)，故利润J关于投资量x的函数关系式是J=1x2；22()设这位专业户投入种植花卉x万元(0<x<8),则投入种植树木(8-x)万元，他获得的利润是z万元，根据题意z2(8-x)+-x2=-x2-2x+16—(x-2)2+14

222当x=2时，z的最小值是4因为0<x<8，所以—2<x—2<6所以(x—2)2<36所以1(x-2)2<18所以』(x-2)2+14<18+14=32，即z<32，此时x=82当x=8时，z的最大值是【例】如图，已知A(-4,0)，B(0,4)，现以点为位似中心，相似比为：将向右侧放大，点的对应点为.

()求点坐标及直线的解析式()一抛物线经过、两点，且顶点落在轴正半轴上，求该抛物线的解析式并画出函数图象;()现将直线绕点旋转与抛物线相交与另一点。请找出抛物线上所有满足到直线距离为3V2的点.解析过程及每步分值解()过点向轴作垂线，垂足为D由位似图形性质可知:由已知A(-4,0),B(0,4)可知：AO=4,BO=4..・.AD=CD=9..•.点坐标为(5,9).直线的解析是为:y直线的解析是为:y-4_%-0

9-4=5-0化简得：y=%+44二,()设抛物线解析式为J=ax2+bx+c(a>0)，由题意得：{9=25a+5b+c,b2一4ac=01==V1解得：V1解得：\b=-4{C=4L1b=425c=42TOC\o"1-5"\h\z,14，解得抛物线解析式为J=x2-4x+4或j=—x2+-x+4.i225514又：J=—x2+-x+4的顶点在轴负半轴上，不合题意，故舍去.2255・•・满足条件的抛物线解析式为J=x2-4x+4（准确画出函数J=x2-4x+4图象）（）将直线绕点旋转与抛物线相交与另一点，设到直线的距离为故点应在与直线平行，且相距3，2|的上下两条平行直线l和l上.12由平行线的性质可得：两条平行直线与轴的交点到直线的距离也为3相如图，设I］与轴交于点，过作，于点，在△中石尸=h=3冉,/EBF=/ABO=45。,・•・BE=6..•・可以求得直线（与轴交点坐标为（0，10）同理可求得直线12与轴交点坐标为（0,-2）・•・两直线解析式l:J=x+10；l:j=x-2.12j=x2-4x+4j=x2-4x+4根据题意列出方程组:⑴{;⑵{根据题意列出方程组:j=x+10[j=x-2・•・解得:x=・•・解得:x=61.J=16'1x=-1{2j=92x=2x=343-：44J=0J=134・•・满足条件的点有四个,它们分别是彳6，16）,P（-1，9）,P（2，0）,々GJ）【例】如图，抛物线L:J=-x2-2x+3交x轴于、两点，交J轴于点抛物线L向11

右平移个单位后得到抛物线L,L交工轴于、两点22()求抛物线L对应的函数表达式；2()抛物线L或L在工轴上方的部分是否存在点，使以，、，为顶点的四边12形是平行四边形若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；()若点是抛物线L上的一个动点(不与点、重合)，那么点关于原点的对1称点是否在抛物线L上，请说明理由27抛物线L7抛物线L向右平移£个单位得抛物威口,-1*。3。(3,口)，&一一L,掘物线G为*口一(工十1”上一33解析过程及每步分值即y=+2工+3+【为存在.令H"=0r得丫抛物线取是J向右平移2个单位得到的，点NC%3)在L上，且又二明边形ACNM为平行四边形+同理上的点M(一九3)斶足N'M〃网C,N'M=4C.四边形AUMN，是平行四边形..*.N(Z,3),N\一徐野即为所求，

⑴设尸L巷，打）是Lt上任意一点则点P关于原点的对称点Qf一孙，一贽3且M=一曲2-2Hl十3；将点Q的横坐标代ALa,得以3=一不至一日】+3nM*=一中，二点Q不在抛物线［“上・【例】如图，在矩形ABCD中，AB=9,AD=3事，点P是边BC上的动点（点P不与点B，点C重合），过点P作直线PQ//BD,交CD边于Q点，再把△PQC沿着动直线PQ对折，点C的对应点是R点，设CP的长度为x,△PQR与矩形ABCD重叠部分的面积为y.（）求/CQP的度数;（）当x取何值时，点R落在矩形ABCD的AB边上?（）①求y与x之间的函数关系式;②当X取何值时，重叠部分的面积等于矩形面积的^?②当X取何值时，重叠部分的面积等于矩形面积的^?27AB（备用图1）（备用图2）解析过程及每步分值解：（）如图，•••四边形ABCD解析过程及每步分值解：（）如图，•••四边形ABCD是矩形，，AB=CD,AD=BC.又AB=9,AD=3<3,/C=90。，:.CD=9,BC=3<3.C二件，•••/cdb=30。•PQ/BD「./CQPPQ/BD「./CQP=/CDB=30。.（2）如图1，由轴对称的性质可知，△RPQ^^CPQ，DRR（图1）「./RPQ=/CPQ,RP=CP.由（）知/CQP=30。，.・•/RPQ=/CPQ=60。,

...RP=2BP.CP=x,...PR=x,PB=3^3—x.在△RPB中，根据题意得：2(3<3-x)=x,解这个方程得：x=2<3.()①当点R在矩形ABCD的内部或AB边上时，0<xW2<3,S=1义CP义CQ=1x□、"x=立x2,△CPQ222•.•△RPQ^^CPQ,・•・当0<xW2<3时，当R在矩形ABCD的外部时（如图）,2,<x女3«,在白△PFB中，丁/RPB=60。,__PAEFbR(图2)・•.PF__PAEFbR(图2)又RP=CP=x,/.RF=RP-PF=3x-6<3,在白△ERF中，/EFR=/PFB=30。，/.ER=<3x-6....S=1ER义FR=S3x2-18x+18<3,△ERF22•••y=S-S,△RPQ△ERF・•・当2d3<x<3<3时，y=-%"x2+18x-18<3.I—x2(0<xW2J3)综上所述，y与x之间的函数解析式是：y=<|2I-小x2+18x-1"(2/<x<3⑨②矩形面积=9x3<3=