高中数学：学案2：高中数学人教A版2019选择性必修第三册全概率公式

1.2全概率公式导学案【学习目标】.理解并掌握全概率公式.了解贝叶斯公式.会用全概率公式及贝叶斯公式解题【自主学习】知识点一全概率公式(1)P(历=P(4)P(=冷+P(7)P(8|7)；⑵定理1若样本空间O中的事件4,4,…，4满足：①任意两个事件均互斥，即447=。，i，j=l,2,…，n,i丰j；②4+4H F4=。；③〃4)>0,7=1,2,•••,n.则对。中的任意事件8,都有8=的|+为?+…+力.，且n nP(S)= 9)=4曰4)修口4).知识点二贝叶斯公式(1)一般地，当OVPG4)V1且P(历>0时，有(Ia—引④(2)定理2若样本空间。中的事件4,4,…，4满足：①任意两个事件均互斥，即44=。，i，7=1,2,n,i丰j；

②4+4+…+4=。③1>P(4)>O，7=1,2,…，n.则对。中的任意概率非零的事件5,有八4)仆8|4，)以AjRB①【合作探究】探究一全概率公式及其应用【例1】甲箱的产品中有5个正品和3个次品，乙箱的产品中有4个正品和3个次品.(1)从甲箱中任取2个产品，求这2个产品都是次品的概率；(2)若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个产品，求取出的这个产品是正品的概率.［解］(1)从甲箱中任取2个产品的事件数为这2个产品都是次品的事件数为d=3..•.这2个产品都是次品的概率为(2)设事件力为“从乙箱中取出的一个产品是正品”，事件5为“从甲箱中取出2个产品都是正品”，事件合为“从甲箱中取出1个正品1个次品”，事件4为“从甲箱中取出2个产品都是次品”，则事件5、事件合、事件氏彼此互斥.C］4'"⑻一心一28'p⑻/⑻—C厂28'TOC\o"1-5"\h\z2 5 4尸(川㈤=§,尸(加5)=§,〃(川区)=§,5 2 15 5 3 4/.P(A)=尸(8)-(川㈤+P®P(A|B)+P⑻P{A\B,^=7TXq+^Xo+^xZ=14 o Zo y Zo y7I?归纳总结：通过本例我们发现，当直接求事件4发生的概率不好求时，可以采用化整为零的方式，即把4事件分解，然后借助全概率公式间接求出事件力发生的概率【练习1】号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，问：(1)从1号箱中取出的是红球的条件下，从2号箱取出红球的概率是多少？(2)从2号箱取出红球的概率是多少？［解］记事件4最后从2号箱中取出的是红球；事件6：从1号箱中取出的是红球.… 4 2 21产(而6)=1—,、一~3+14(1)P(41协=胃_|_1o-riy/、z1-x 3 1⑵’"(川8)=7T7=三，Q-TiO=P(岫+P(A~B)=P(A\BP(B+夕(川Z)P(Z)=-X-+-X-=—UOtJo乙/探究二贝叶斯公式及其应用【例2】一项血液化验用来鉴别是否患有某种疾病.在患有此种疾病的人群中，通过化验有95%的人呈阳性反应，而健康的人通过化验也会有1%的人呈阳性反应.某地区此种病的患者仅占人口的0.5%若某人化验结果为阳性，问此人确实患有此病的概率是多大？［解］设4="呈阳性反应”，B=“患有此种疾病”，则夕(冷=尸(0-P{A\B)+PCB}•P{A\~B）=0.5%X95%+99.5%X1%=1.47%.P（B|A）=g^0.5%X95%所以 （）-j-—-32.3%.归纳总结：第一步：利用全概率公式计算小冷，即兴冷二与网团小川团);第二步：计算夕(4面，可利用夕(4面=0(而尸(川而求解;第三步：代入户刈)=需求解.【练习2］某工厂有四条流水线生产同一种产品，该四条流水线的产量分别占总产量的15%、20%、30%.35%,又这四条流水线的不合格品率依次为0.05、0.04、0.03及0.02,现在从该厂产品中任取一件，问恰好抽到不合格品的概率为多少？该不合格品是由第四条流水线上生产的概率为多少？［解］设4=第/条流水线生产的产品，了=1,2,3,4；6=抽到不合格品，.•.尸(4)=0.15；/(4)=0.20；/(4)=0.30；-(4)=0.35..,/(84)=0.05；尸(04)=0.04；〃("4)=0.03；P(84)=0.02,⑴夕㈤=£<(4)尸(6|4)=0.0315.,H4)&84)⑵尸(4㈤=।、八 2222.2d4M例4)探究三全概率公式与贝叶斯公式的综合应用【例3】假定具有症状S={$,S，S,SJ的疾病有“，"，“三种，现从20000

份患有疾病d,d2,d的病历卡中统计得到下列数字:疾病人数出现S症状人数出77507500di52504200di70003500试问当一个具有S中症状的病人前来要求诊断时，他患有疾病的可能性是多少？在没有别的资料可依据的诊断手段情况下，诊断该病人患有这三种疾病中哪一种较合适？［解］以力表示事件“患有出现S中的某些症状”，〃，表示事件“患者患有疾病d,n(7=1,2,3),由于该问题观察的个数很多，用事件的频率作为概率的近似是合适的，由统计数字可知TOC\o"1-5"\h\z7750 5250〃(〃)=,八—八=0。3875,尸(〃)2625,乙U\J\J\J 乙UUUU,、 7000 、7500〃(〃)=9八.八八=°, 35, P(A|〃)=7 .二八20. 96/ 7,/UUUU । ।DU/।、4200 z、3500/(/I〃)=： 8,一(力|〃)=7 八八］=0・ 5・D/JU ( UUU从而尸(同=尸(川〃)尸(〃)+尸(川㈤尸(")+尸(4］㈤尸(〃)=0.3875X0.9677+0.2625X0.8+0.35X0.5^0.76.由贝叶斯公式得尸(川⑷=士|〃）小。）尸(川⑷=士|〃）小。）0.3875X0.96710.76=0.4934,/y〃）政）0.2625X0.80.76~0.2763,尸伽⑷="刘〃尸伽⑷="刘〃)%〃)0.35X0.50.76-0.2303,从而推测病人患有疾病d较为合理.归纳总结：若随机试验可以看成分两个阶段进行，且第一阶段的各试验结果具体结果怎样未知，那么：1如果要求的是第二阶段某一个结果发生的概率，则用全概率公式；2如果第二个阶段的某一个结果是已知的，要求的是此结果为第一阶段某一个结果所引起的概率，一般用贝叶斯公式，类似于求条件概率,熟记这个特征，在遇到相关的题目时，可以准确地选择方法进行计算，保证解题的正确高效【练习3】同一种产品由甲、乙、丙三个厂供应.由长期的经验知，三家的正品率分别为0.95、0.90、0.80,三家产品数所占比例为2：3：5,将三家产品混合在一起.(D从中任取一件，求此产品为正品的概率；(2)现取到一件产品为正品，问它是由甲、乙、丙三个厂中哪个厂生产的可能性大？［解］设事件］表示“取到的产品为正品”，8,反，氏分别表示“产品由甲、乙、丙厂生产”，由已知尸(5)=0.2,〃(8)=0.3,尸(加=0.5,产(川4)=0.95,P(川氏)=0.9,P(A\&)=0.8.(1)由全概率公式得：3P(冷=EPU)P(A\ =0.2X0.954-0.3X0.9+0.5X0.8=0.86.7=1(2)由贝叶斯公式得,IH㈤&川5）0.2X0.95P⑻A）=V 一—：怩=0.2209,/1力） U.oO,।、世）/川⑻0.3X0.9「隹㈤=FL=F^^S3140,...用㈤/「㈤0.5X0.8。（笈［A）=v --=nQfi^0.4651./A/it U.oO由以上3个数作比较，可知这件产品由丙厂生产的可能性最大.课后作业A组基础题一、选择题.有朋自远方来，乘火车、船、汽车、飞机来的概率分别为0.3,0.2,0.1,0.4,迟到的概率分别为0.25,0.3,0.1,0.则他迟到的概率为( )A.0.65 B.0.075C.0.145 D.0【答案】C[设4=他乘火车来，4=他乘船来，4=他乘汽车来，4=他乘飞机来，夕=他迟到.4易见:4,4,4,4构成一个完备事件组,由全概率公式得P(0=)尸(4)户(04)=0.3X0.25+0.2X0.3+0.1X0.1+0.4X0=0.145.]2.两台机床加工同样的零件,第一台的废品率为0.04,第二台的废品率为0.07,加工出来的零件混放，并设第一台加工的零件是第二台加工零件的2倍，现任取一零件，则它是合格品的概率为()A.0.21 B.0.06C.0.94 D.0.95【答案】D[令8=取到的零件为合格品，4=零件为第，台机床的产品，＞=1,2.由全概率公式得：2 1尸⑵=尸(4)/(84)+/⑷M6|4=gX0.96+-X0.93=0.95.故选D.]3.设甲乘汽车、火车前往某目的地的概率分别为0.6,0.4,汽车和火车正点到达目的地的概率分别为0.9,0.8.则甲正点到达目的地的概率为()A.0.72 B.0.96C.0.86 D.0.84【答案】C[设事件力表示甲正点到达目的地，事件6表示甲乘火车到达目的地，事件C表示甲乘汽车到达目的地，由题意知。(皮=0.4,尸(0=0.6,/(I㈤=0.8,P{A\C)=0.9.由全概率公式得P(A)=尸(0户+P(OPa|0=0.4X0.8+0.6X0.9=0.32+0.54=0.86.故选C.].播种用的一等小麦种子中混有2%的二等种子，1.5%的三等种子，斑的四等种子.用一、二、三、四等种子长出的穗含50颗以上麦粒的概率分别为0.5,0.15,0.1,0.05,则这批种子所结的穗含50颗以上麦粒的概率为()A.0.8 B.0.8325C.0.5325 D.0.4825【答案】D[设从这批种子中任选一颗是一、二、三、四等种子的事件分别是4,4,4,4,则它们构成样本空间的一个划分.设Q“从这批种子中任选一颗，所结的穗含50颗以上麦粒”，则：4P⑦=2/(4)P(B\A^=95.5%X0.5+2%X0.15+1.5%X0.1+1%XO.05=0.4827=1.故选D.].设有一批同规格的产品，由三家工厂生产，其中甲厂生产;，乙、丙两厂各生产;,而且各厂的次品率依次为2%,2%,4%,现从中任取一件，则取到次品的概率为()B.0.08A.0.0B.0.08C.0.07D.0.1C.0.07【答案】A［设4,4,4分别表示甲、乙、丙工厂的产品，6表示次品，则〃(4)=0.5,夕(4)="(4)=0.25,/(倒4)=0.02,/(冽4)=0.02,0(84)=0.04,.•.尸(而=尸(4)P(B\4)+尸(4)P{B\4)+尸(4)P{B\4)=0.5X0.02+0.25X0.02+0.25X0.04=0.025.故选A.］.一道考题有4个【答案】，要求学生将其中的一个正确【答案】选择出来.某1 9考生知道正确【答案】的概率为》而乱猜正确的概率为亍在乱猜时，4个【答案】都有机会被他选择,如果他答对了，则他确实知道正确【答案】的概率是()【答案】B［设］="考生答对”，q“考生知道正确【答案r,由全概率公式：— — 1 211尸(4)=尸(而尸(川面+尸(B)P⑷^)=-Xl+-X-=-1\H)32,,,rt_r又由贝叶斯公式：P(B\A)= ——=t=t.故选B.]/1) L«J2二、填空题7.某小组有20名射手，其中一、二、三、四级射手分别有2、6、9、3名.又若选一、二、三、四级射手参加比赛，则在比赛中射中目标的概率分别为0.85、0.64、0.45、0.32,今随机选一人参加比赛，则该小组在比赛中射中目标的概率为•【答案】0.5275[设B=｛该小组在比赛中射中目标｝,A,=｛选i级射手参加比赛｝)(7=1,2,3,4).由全概率公式，有/(而=£/(4)夕(冽4)2 6 9 3=~X0.85+~X0.64+~X0.45+~X0.32=0.5275.]20 20 20 20.袋中有10个黑球，5个白球.现掷一枚均匀的骰子，掷出几点就从袋中取出几个球.若已知取出的球全是白球，则掷出3点的概率为.【答案】0.04835[设6=｛取出的球全是白球｝,4=｛掷出，点｝(7=1,2,…，6),则由贝叶斯公式，得1产(41而=/7V；=- ;=0.04835.]昌仅4)h6|4)£.根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验有如下的效果：若以/表示事件“试验反应为阳性”，以C表示事件“被诊断者患有癌症”，则有夕(4。=0.95,^(717)=0.95,现在对自然人群进行普查，设被试验的人患有癌症的概率为0.005,即P(O=0.005,则P{C\A)=.(精确到0.001)【答案】0.087[由题设，有P(?)=1-P(O=0.995,P{A\~C)=\—P(A|7)=0.05,由贝叶斯公式，得P(C\A)= '/']——^0.087.]I\A\C)IiCi+f\A\~C)PCC).一个盒子中装有15个乒乓球，其中9个新球，在第一次比赛时任意抽取3只，比赛后仍放回原盒中；在第二次比赛时同样地任取3只球，则第二次取出的3个球均为新球的概率为.[设4="第二次取出的均为新球”，B,="第一次取出的3个球恰有/个新球”(i=0,1,2,3).由全概率公式产(#=P⑻P(A|A)+P⑻尸(川5)+P⑻P(A|B)+尸(曲尸(刘加528=5915'」.电报发射台发出“和“一”的比例为5：3,由于干扰，传送“时失2 1真的概率为.传送“-”时失真的概率为鼻，则接受台收到“时发出信号恰O J是“产的概率为・3【答案】7［设4=收到“•"，8=发出“由贝叶斯公式3-83-553-83-55-8三、解答题12.设甲、乙、丙三个地区爆发了某种流行病，三个地区感染此病的比例分别为3，7.现从这三个地区任抽取一个人.754(D求此人感染此病的概率；(2)若此人感染此病，求此人来自乙地区的概率.［解］设4=第，个地区，7=1,2,3；6=感染此病.,.〃(4)=；；/(4)=/尸(4)=；..•/(34)=；；"("4)=(；尸(冽4)=；.I M T383⑴产(而=工"(4)P(B\4)=—=^0.198，li 42U,、/0/WWl4)28⑵P(A2㈤=， 一蒜］0・337.Oo冽4)13.设甲盒有3个白球，2个红球，乙盒有4个白球，1个红球，现从甲盒任取2球放入乙盒，再从乙盒任取两球，求：(1)从乙盒取出2个红球的概率;

(2)已知从乙盒取出2个红球，求从甲盒取出两个红球的概率.［解］(1)设4=从甲盒取出2个红球；4=从甲盒取出2个白球；4=从甲盒取出1个白球1个红球；6=从乙盒取出2个红球.则4,4,4两两互斥，且4+4+4=Q,所以P⑦=f(4)P(B\4)+尸(4)P(B\4)+P(4)P{B\4)CiC,C^O,C；Cid3-crcrdxcrcxcr?o-⑵也㈤⑵也㈤=螺=勺)破4)=与=引4)70]_3114.设5支枪中有2支未经试射校正，3支己校正.一射手用校正过的枪射击,中靶率为0.9,用未校正过的枪射击，中靶率为0.4.(1)该射手任取一支枪射击，中靶的概率是多少？(2)若任取一支枪射击，结果未中靶，求该枪未校正的概率.［解］设］表示枪己校正，8表示射击中靶.TOC\o"1-5"\h\z3 _ 2则P(A)=~,/(A)=-,P{B\A)=0.9,5 5P(~S\A)=Q.1,P(b7)=0.4,尸(2I7)=0.6._ _ 3 2⑴尸㈤=尸(⑷尸(用加+尸(/)尸(冽4)==X0.9+=X0.4=0.7.5 52,、，——、 (了次洌彳) 5X0-6⑵尸(/|8)=-~"二-=- =(H不一74)+(/!)«冽1O.6+7XO.I5 5

B组能力提升一、选择题1.某卡车为乡村小学运送书籍，共装有10个纸箱，其中5箱英语书、2箱数学书、3箱语文书.到目的地时发现丢失一箱，但不知丢失哪一箱.现从剩下9箱中任意打开两箱，结果都是英语书，则丢失的一箱也是英语书的概率为（）33-8B.【答案】B［用4表示丢失一箱后任取两箱是英语书，用氏表示丢失的一箱为左，攵=1,2,3分别表示英语书、数学书、语文书.3由全概率公式得尸（力=含尸（加尸（式8）=1• ,］=亲1_&21_&2*Cl3

f\A)=36OQ36=8'故选B。］二、填空题.已知一批产品中96%是合格品，检查产品时，一个合格品被误认为是次品的概率是0.02,一个次品被误认为是合格品的概率是0.05,则在检查后认为是合格品的产品确是合格品的概率为.（精确到0.001）【答案】0.998［设4=任取一产品，经检查是合格品,8=任取一产品确是合格品，则力=为+彳力产(⑷=尸(0尸(/1⑸+2(2)尸(412)

=0.96X0.98+0.04X0.05=0.9428,故所求概率为0.96X0.980.96X0.980.9428Q0.998..8支步枪中有5支已校准过，3支未校准.一名射手用校准过的枪射击时，中靶的概率为0.8;用未校准的枪射击时，中靶的概率为0.3.现从8支枪中任取一支用于射击，结果中靶，则所用的枪是校准过的概率为.40【答案喝［设8=｛使用的枪校准过｝,8=｛使用的枪未校准｝，力=｛射击时中靶｝,则P（㈤TOC\o"1-5"\h\z5 ,、3=『P（B）=~,O O0（加5）=0.8,夕（川氏）=0.3.由贝叶斯公式，得P（B）⑷= 帅\对心 =40v11,外川5）&5）+44|5）/（区）49・__40所以，所用的枪是校准过的概率为石•］.人们为了解一支股票未来一定时期内价格的变化，往往会去分析影响股票价格的基本因素，比如利率的变化.现假设人们经分析估计利率下调的概率为60%,利率不变的概率为40%.根据经验，人们估计，在利率下调的情况下，该支股票价格上涨的概率为80%,而在利率不变的情况下，其价格上涨的概率为40%,则该支股票将上涨的概率为.【答案】64%［记4为事件“利率下调”，那么4即为“利率不变”，记6为事件“股票价格上涨”.依题设知产（⑷=60%,尸工）=40%,P｛B\A）=80%,"（例彳）=40%,于是P{B}=P{AB)+P{AB)=P{A}P{B\A)+PCA)P{B\~A)=60%X80%+4