函数的极值及其求法课件

一、函数极值的定义函数的极值及其求法下页上页首页一、函数极值的定义函数的极值及其求法下页上页首页1定义函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.下页上页首页定义

定义函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极2二、函数极值的求法定理1(必要条件)定义注意:例如,下页上页首页二、函数极值的求法定理1(必要条件)定义注意:例如,下页上页3(第一充分条件)(是极值点情形)下页上页首页第一充分条件(第一充分条件)(是极值点情形)下页上页首页第一充分条件4求极值的步骤:(不是极值点情形)下页上页首页求极值的步骤求极值的步骤:(不是极值点情形)下页上页首页求极值的步骤5例1解列表讨论极大值极小值下页上页首页例求f(x)=x3-3x2-9x+5的极值）例1解列表讨论极大值极小值下页上页首页例求f(x)=x3-36图形如下下页上页首页f(x)=x3-3x2-9x+5的图形图形如下下页上页首页f(x)=x3-3x2-9x+5的图形7第二充分条件：证同理可证(2).下页上页首页第二充分条件

第二充分条件：证同理可证(2).下页上页首页第二充分条件

8例2解图形如下下页上页首页求f(x)=x3+3x2-24x-20的极值例2解图形如下下页上页首页求f(x)=x3+3x2-24x-9注意:下页上页首页f(x)=x3+3x2-24x-20的图形注意:下页上页首页f(x)=x3+3x2-24x-20的图形10注意:函数的不可导点,也可能是函数的极值点.例3.求f(x)=的极值解:

x<0时,f'(x)<0,x>0时,f'(x)>0故得极小值f(0)=0xy0下页上页首页例3注意:函数的不可导点,也可能是函数的极值点.例3.求f11二、最值的求法下页上页首页二、最值的求法下页上页首页12步骤:1.求驻点和不可导点;2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大小,那个大那个就是最大值,那个小那个就是最小值;注意:如果区间内只有一个极值,则这个极值就是最值.(最大值或最小值)下页上页首页最值的求法步骤步骤:1.求驻点和不可导点;2.求区间端点及驻点和不可导点的13求f(x)=2x3+3x2-12x+14的最值例4解计算下页上页首页求f(x)=2x3+3x2-12x+14的最值例4解计算下页14比较得下页上页首页f(x)=2x3+3x2-12x+14的图形比较得下页上页首页f(x)=2x3+3x2-12x+14的图15例5.求f(x)=x48x2+2在[1,3]上的最大值和最小值.解：f'(x)=4x3

16x=4x(x2)(x+2)令f'(x)=0得驻点x1=0,x2=2,x3=2(舍去)计算f(0)=2,f(2)=14f(1)=5,f(3)=11所以最小值f(2)=14,最大值f(3)=11下页上页首页求f(x)=x4-8x2+2在[-1，3]上的最值例5.求f(x)=x48x2+2在[1,3]上的最16例6.求f(x)=x2ex的最大值和最小值.解：f(x)在定义域(,)上连续可导且f'(x)=x(2x)ex令f'(x)=0得驻点x=0,x=2有f(0)=0，f(2)=4e2且故f(x)在定义域内有最小值f(0)=0，无最大值.y=x2ex02下页上页首页求f(x)=x2e-x的最值例6.求f(x)=x2ex的最大值和最小值.解：f17点击图片任意处播放\暂停例7下页上页首页例题7点击图片任意处播放\暂停例7下页上页首页例题718解如图,下页上页首页解例题7解如图,下页上页首页解例题719解得下页上页首页解例题7解得下页上页首页解例题720实际问题求最值应注意:(1)建立目标函数;(2)求最值;下页上页首页实际问题求最值应注意实际问题求最值应注意:(1)建立目标函数;(2)求最值;下页21三、小结极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值.驻点和不可导点统称为临界点.函数的极值必在临界点取得.判别法第一充分条件;第二充分条件;(注意使用条件)下页上页首页三、小结极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小值,极小值22注意最值与极值的区别.最值是整体概念而极值是局部概念.实际问题求最值的步骤.下页上页首页注意最值与极值的区别注意最值与极值的区别.最值是整体概念而极值是局部概念.实际问23思考题下命题正确吗？下页上页首页思考题思考题下命题正确吗？下页上页首页思考题24思考题解答不正确．例下页上页首页思考题解答思考题解答不正确．例下页上页首页思考题解答25在–1和1之间振荡故命题不成立．下页上页首页思考题解答在–1和1之间振荡故命题不成立．下页上页首页思考题解答26练习题下页上页首页练习题练习题下页上页首页练习题27下页上页首页练习题下页上页首页练习题28练习题答案下页上页首页练习题答案练习题答案下页上页首页练习题答案29一、函数极值的定义函数的极值及其求法下页上页首页一、函数极值的定义函数的极值及其求法下页上页首页30定义函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.下页上页首页定义

定义函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极31二、函数极值的求法定理1(必要条件)定义注意:例如,下页上页首页二、函数极值的求法定理1(必要条件)定义注意:例如,下页上页32(第一充分条件)(是极值点情形)下页上页首页第一充分条件(第一充分条件)(是极值点情形)下页上页首页第一充分条件33求极值的步骤:(不是极值点情形)下页上页首页求极值的步骤求极值的步骤:(不是极值点情形)下页上页首页求极值的步骤34例1解列表讨论极大值极小值下页上页首页例求f(x)=x3-3x2-9x+5的极值）例1解列表讨论极大值极小值下页上页首页例求f(x)=x3-335图形如下下页上页首页f(x)=x3-3x2-9x+5的图形图形如下下页上页首页f(x)=x3-3x2-9x+5的图形36第二充分条件：证同理可证(2).下页上页首页第二充分条件

第二充分条件：证同理可证(2).下页上页首页第二充分条件

37例2解图形如下下页上页首页求f(x)=x3+3x2-24x-20的极值例2解图形如下下页上页首页求f(x)=x3+3x2-24x-38注意:下页上页首页f(x)=x3+3x2-24x-20的图形注意:下页上页首页f(x)=x3+3x2-24x-20的图形39注意:函数的不可导点,也可能是函数的极值点.例3.求f(x)=的极值解:

x<0时,f'(x)<0,x>0时,f'(x)>0故得极小值f(0)=0xy0下页上页首页例3注意:函数的不可导点,也可能是函数的极值点.例3.求f40二、最值的求法下页上页首页二、最值的求法下页上页首页41步骤:1.求驻点和不可导点;2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大小,那个大那个就是最大值,那个小那个就是最小值;注意:如果区间内只有一个极值,则这个极值就是最值.(最大值或最小值)下页上页首页最值的求法步骤步骤:1.求驻点和不可导点;2.求区间端点及驻点和不可导点的42求f(x)=2x3+3x2-12x+14的最值例4解计算下页上页首页求f(x)=2x3+3x2-12x+14的最值例4解计算下页43比较得下页上页首页f(x)=2x3+3x2-12x+14的图形比较得下页上页首页f(x)=2x3+3x2-12x+14的图44例5.求f(x)=x48x2+2在[1,3]上的最大值和最小值.解：f'(x)=4x3

16x=4x(x2)(x+2)令f'(x)=0得驻点x1=0,x2=2,x3=2(舍去)计算f(0)=2,f(2)=14f(1)=5,f(3)=11所以最小值f(2)=14,最大值f(3)=11下页上页首页求f(x)=x4-8x2+2在[-1，3]上的最值例5.求f(x)=x48x2+2在[1,3]上的最45例6.求f(x)=x2ex的最大值和最小值.解：f(x)在定义域(,)上连续可导且f'(x)=x(2x)ex令f'(x)=0得驻点x=0,x=2有f(0)=0，f(2)=4e2且故f(x)在定义域内有最小值f(0)=0，无最大值.y=x2ex02下页上页首页求f(x)=x2e-x的最值例6.求f(x)=x2ex的最大值和最小值.解：f46点击图片任意处播放\暂停例7下页上页首页例题7点击图片任意处播放\暂停例7下页上页首页例题747解如图,下页上页首页解例题7解如图,下页上页首页解例题748解得下页上页首页解例题7解得下页上页首页解例题749实际问题求最值应注意:(1)建立目标函数;(2)求最值;下页上页首页实际问题求最值应注意实际问题求最值应注意:(1)建立目标函数;(2)求最值;下页50三、小结极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值.驻点和不可导点统称为临界点.函数的极值必在临界点取得.判别法第一充分条件;第二充分条件;(注意使用条件)下页上页首页三、小结极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小值,极小值51注意最值与极值的区别.最值是整体概念而极值是局部概念.实际问题求最值的步骤.下页上页首页注意最值与极值的区别注意最值与极值的区别.最值是整体概念而极值是局部概念.实际问52思考题下命题正确吗？下页