天津市历届大学生数学竞赛试题

.PAGE.20XX天津市大学数学竞赛试题参考答案〔理工类填空：〔本题15分,每空3分。请将最终结果填在相应的横杠上面。1.函数在〔-∞,+∞上连续,则a=2。2.设函数y=y<x>由方程所确定,则。3.由曲线与x轴所围成的图形的面积A=。4.设E为闭区间[0,4π]上使被积函数有定义的所有点的集合,则。5．设L是顺时针方向的椭圆,其周长为l,则4l。二、选择题：〔本题15分,每小题3分。每个小题的四个选项中仅有一个是正确的,把你认为"正确选项"前的字母填在括号内。选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个,不得分。1.若且,则〔D 〔A存在；〔B 〔C不存在；〔DA、B、C均不正确。2.设,,则当时,〔A 〔A与为同阶但非等价无穷小；〔B与为等价无穷小； 〔C是比更高阶的无穷小；〔D是比更低阶的无穷小。3.设函数对任意x都满足,且,其中a、b均为非零常数,则在x=1处〔D〔A不可导；〔B可导,且；〔C可导,且；〔D可导,且。4.设为连续函数,且不恒为零,I=,其中s>0,t>0,则I的值〔C〔A与s和t有关；〔B与s、t及x有关；〔C与s有关,与t无关；〔D与t有关,与s无关。5.设u<x,y>在平面有界闭区域D上具有二阶连续偏导数,且满足及,则〔B。 〔Au<x,y>的最大值点和最小值点必定都在区域D的内部； 〔Bu<x,y>的最大值点和最小值点必定都在区域D的边界上； 〔Cu<x,y>的最大值点在区域D的内部,最小值点在区域D的边界上； 〔Du<x,y>的最小值点在区域D的内部,最大值点在区域D的边界上。以下各题的解答写在试题纸上,可以不抄题,但必须写清题号,否则解答将被视为无效。三、求极限。〔本题6分解：；；；由此得到：。四、计算。〔本题6分解： 命：,于是五、设函数的所有二阶偏导数都连续,,,求。〔本题6分解：两边对x求导,得到代入,求得 ,两边对x求导,得到 ,两边对x求导,得到 。 以上两式与已知联立,又二阶导数连续,所以,故。六、在具有已知周长2p的三角形中,怎样的三角形的面积最大？〔本题7分解：设三角形的三条边长分别为x、y、z,由海伦公式知,三角形的面积S的平方为则本题即要求在条件x+y+z=2p之下S达到的最大值。它等价于在相同的条件下S2达到最大值。设 ,问题转化成求在上的最大值。其中D中的第3个条件是这样得到的,由于三角形的任意两边之和大于第三边,故有x+y>z,而由假设x+y+z=2p,即z=2p－〔x+y,故有x+y>z=2p－〔x+y,所以有x+y>p。 由,求出在D内的唯一驻点。因在有界闭区域上连续,故在上有最大值。注意到在的边界上的值为0,而在D内的值大于0。故在D内取得它在上的最大值。由于在D内的偏导数存在且驻点唯一,因此最大值必在点M处取得。于是有,此时x=y=z=,即三角形为等边三角形。七、计算。〔本题8分解：先从给定的累次积分画出积分区域图,再交换累次积分次序,得到。八、计算曲面积分,其中Σ为上半球面的上侧。〔本题7分解：记S为平面z=0〔x2+y2≤a2>的下侧,Ω为Σ与S所围的空间区域,九、已知a>0,x1>0,定义求证：存在,并求其值。〔本题8分解：第一步：证明数列的极限存在： 注意到：当n≥2时,≥,因此数列有下界。又≤,即xn+1≤xn,所以单调递减,由极限存在准则知,数列有极限。第二步：求数列的极限 设：,则有≥。由,有,解得〔舍掉负根,即。十、证明不等式。〔本题7分证明：设,则。命,得到驻点x=0。由可知x=0为极小值点,亦即最小值点,最小值为,于是对任意有,即所证不等式成立。十一、设函数在闭区间[0,1]上连续,在开区间〔0,1内可导,且,求证：在开区间〔0,1内至少存在一点,使得。〔本题7分证明：由积分中值定理知,存在,使得又函数在区间上连续,内可导,由罗尔定理知,至少存在一点,使得。十二、设在区间上具有二阶导数,且,,。证明。〔本题8分证明：对任意的,及任意的h>0,使x+h∈<a,+∞>,于是有,其中。即 故 ,〔,h>0命,试求其最小值。命,得到,,所以,在处得极小值,亦即最小值,。故 ,〔。20XX天津市大学数学竞赛试题参考答案〔理工类填空：〔本题15分,每空3分。请将最终结果填在相应的横线上面。1．。2．设摆线方程为则此曲线在处的法线方程为。3．。4．设在点<－1,1>处沿方向的方向导数。5．设Σ为曲面介于0≤Z≤R的部分,则。二、选择题：〔本题15分,每小题3分。每个小题的四个选项中仅有一个是正确的,把你认为"正确选项"前的字母填在括号内。选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个,不得分。1.曲线的渐近线有〔B 〔A1条；〔B2条； 〔C3条；〔D4条。2.若,则当n>2时〔A〔A；〔B；〔C；〔D。3.已知函数f<x>在〔－∞,+∞内有定义,且x0是函数f<x>的极大值点,则〔C〔Ax0是f<x>驻点；〔B在〔－∞,+∞内恒有f<x>≤f<x0>；〔C－x0是－f<－x>的极小值点；〔D－x0是－f<x>的极小值点。4.设,则z=z<x,y>在点〔0,0〔D〔A连续且偏导数存在；〔B连续但不可微；〔C不连续且偏导数不存在；〔D不连续但偏导数存在。5.设,其中Ω：x2+y2+z2≤1,z≥0则〔D 〔A；〔B； 〔C；〔D。三、已知极限,试确定常数n和C的值。〔本题6分解：, 故。四、已知函数f<x>连续,,求。〔本题6分解：命u=t－x,则当t=0时,u=－x；t=x时,u=0,于是五、设方程,⑴当常数a,b满足何种关系时,方程有唯一实根？⑵当常数a,b满足何种关系时,方程无实根。〔本题7分解：设,－∞<x<+∞,求导得命得唯一驻点,又,故当时,y有最小值。且最小值为又当x→－∞时,y→＋∞；x→＋∞时,y→＋∞,因此,⑴当且仅当时,方程有唯一实根。⑵当时,方程无实根。六、在曲线y=x2〔x≥0上某点A作一切线,使之与曲线及x轴所围图形的面积为,试求：⑴A点的坐标；⑵过切点A的切线方程；⑶该图形绕x轴旋转一周所成旋转体的体积。〔本题8分解：⑴设A点坐标为<x0,y0>,则y0=x02,于是可知切线方程y―x02=2x0〔x―x0即。由题设,有故有。⑵切线方程为。⑶在上述切线方程中令y=0,得到,故所求旋转体的体积七、计算。〔本题7分解：解法1命,则有,于是有。同理,所以有。解法2 命,则八、设,其中具有连续的一阶偏导数,且。〔本题7分解：将y=sinx代入,得到,显然方程确定了z是x的隐含数z=z<x>,所以 又由,得到。九、求上的最大值与最小值。〔本题7分解：解法1在S上有,代入,得到因此命,得到,由于,,又,所以；。解法2构造,解方程组联合求解<3>、<4>,得到6个可能的极值点,因为,所以,。十、计算,其中区域D为：。〔本题7分解：如图,用直线将区域D分为D1和D2两个区域,则十一、证明：当0<x<1时,。〔本题7分证明：本题即证当0<x<1时,,命：,于是有,, 即在区间<0,1>内单调减少,而,故当x>0时,因而在区间<0,1>内单调减少,即,于是有,即。十二、设C是取正向的圆周,f<x>是正的连续函数,证明：〔本题8分证明：由格林公式有,其中D是由<x–1>2+<y–1>2=1所围成的区域。而,,即,所以。20XX天津市大学数学竞赛试题参考答案〔理工类填空：〔本题15分,每空3分。请将最终结果填在相应的横线上面。1．设对一切实数x和y,恒有,且知,则。2．设在x=0处连续,则a=。3．设,其中是由方程所确定的隐函数,则。4．。5．曲线在点M<1,1,1>处的切线方程为〔或。二、选择题：〔本题15分,每小题3分。每个小题的四个选项中仅有一个是正确的,把你认为"正确选项"前的字母填在括号内。选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个,不得分。当时,下列无穷小量①；②；③；④,从低阶到高阶的排列顺序为〔D 〔A①②③④；〔B③①②④； 〔C④③②①；〔D④②①③。设,在x=0处存在最高阶导数的阶数为〔B〔A1阶；〔B2阶；〔C3阶；〔D4阶。设函数在x=1处有连续的导函数,又,则x=1是〔B〔A曲线拐点的横坐标；〔B函数的极小值点；〔C函数的极大值点；〔D以上答案均不正确。设函数f,g在区间[a,b]上连续,且〔m为常数,则曲线和x=b所围平面图形绕直线y=m旋转而成的旋转体体积为〔A<A>；<B>；<C>；<D>。设,为在第一卦限中的部分,则有〔C〔A； 〔B；〔C；〔D。三、a,b,c为何值时,下式成立。〔本题6分解：注意到左边的极限中,无论a为何值总有分母趋于零,因此要想极限存在,分子必须为无穷小量,于是可知必有b=0,当b=0时使用诺必达法则得到,由上式可知：当时,若,则此极限存在,且其值为0；若a=1,则。综上所述,得到如下结论：,b=0,c=0；或a=1,b=0,c=－2。四、设函数,其中具有连续二阶导函数,且。⑴确定a的值,使在点x=0处可导,并求。⑵讨论在点x=0处的连续性。〔本题8分解：⑴欲使在点x=0处可导,在点x=0处必须连续,于是有即当时,在点x=0处连续。当时,；当x=0时,故：。⑵因为所以,在点x=0处连续。五、设正值函数在上连续,求函数的最小值点。〔本题6分解：注意到：在上,因此,当x>1时,。命：,得,解此方程得到唯一驻点x=2。又,当时,；当x>2时,,所以在点x=2处取得极小值,又因为x=2是唯一的极值点,所以x=2是的最小值点,最小值为。六、设,且,求。〔本题6分解：七、设变换,把方程化为,试确定a。〔本题7分解：计算一、二阶偏导数 代入方程,得到, 于是有,所以。八、设函数在xOy平面上具有连续一阶偏导数,曲线积分与路径无关,并且对任意的t恒有,求。〔本题7分解：由曲线积分与路径无关知, 所以,其中为待定函数。又；。 根据题设,有,上式两边对t求导,得到,于是知,即,故。九、设函数f<x>具有二阶连续导函数,且。在曲线y=f<x>上任意取一点作曲线的切线,此切线在x轴上的截距记作,求。〔本题8分解：过点的曲线y=f<x>的切线方程为：,注意到：由于,所以当时,。因此,此直线在x轴上的截距为。且。利用泰勒公式将在点处展开,得到。类似可得：。代入得十、设函数f<x>在闭区间上连续,在开区间<0,1>内可导,且f<0>=0,f<1>=1。试证明：对于任意给定的正数a和b,在开区间<0,1>内存在不同的ξ和η,使得。〔本题7分证明：取数,由连续函数介值定理知,存在,使得。在区间[0,C]与[C,1]上分别应用拉格朗日中值定理,有显然。由于,所以,即。从而,注意到：若取,则,并且,代入得。十一、设,试证明在区间上有且仅有两个实根。〔本题7分证明： 由于是偶函数,所以是奇函数,是偶函数,于是知为偶函数。又注意到：,〔当x>0时。 因此,函数在闭区间[0,1]上有且仅有唯一一个实根；又为偶函数,所以在闭区间上同样有且仅有唯一一个实根。于是知函数在闭区间上有且仅有两个实根。十二、设函数在单位圆域上有连续的偏导数,且在边界上的值恒为零。证明：其中：D为圆域。〔本题8分证明：取极坐标系,由,得到, 将上式两端同乘r,得到。于是有 由积分中值定理,有,其中。 故。20XX天津市大学数学竞赛试题参考答案〔理工类填空：〔本题15分,每空3分。请将最终结果填在相应的横线上面。1．设对一切实数x和y,恒有,且知,则。2．设在x=0处连续,则a=。3．设,其中是由方程所确定的隐函数,则。4．。5．曲线在点M<1,1,1>处的切线方程为〔或。二、选择题：〔本题15分,每小题3分。每个小题的四个选项中仅有一个是正确的,把你认为"正确选项"前的字母填在括号内。选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个,不得分。当时,下列无穷小量①；②；③；④,从低阶到高阶的排列顺序为〔D 〔A①②③④；〔B③①②④； 〔C④③②①；〔D④②①③。设,在x=0处存在最高阶导数的阶数为〔B〔A1阶；〔B2阶；〔C3阶；〔D4阶。设函数在x=1处有连续的导函数,又,则x=1是〔B〔A曲线拐点的横坐标；〔B函数的极小值点；〔C函数的极大值点；〔D以上答案均不正确。设函数f,g在区间[a,b]上连续,且〔m为常数,则曲线和x=b所围平面图形绕直线y=m旋转而成的旋转体体积为〔A<A>；<B>；<C>；<D>。设,为在第一卦限中的部分,则有〔C〔A； 〔B；〔C；〔D。三、a,b,c为何值时,下式成立。〔本题6分解：注意到左边的极限中,无论a为何值总有分母趋于零,因此要想极限存在,分子必须为无穷小量,于是可知必有b=0,当b=0时使用诺必达法则得到,由上式可知：当时,若,则此极限存在,且其值为0；若a=1,则。综上所述,得到如下结论：,b=0,c=0；或a=1,b=0,c=－2。四、设函数,其中具有连续二阶导函数,且。⑴确定a的值,使在点x=0处可导,并求。⑵讨论在点x=0处的连续性。〔本题8分解：⑴欲使在点x=0处可导,在点x=0处必须连续,于是有即当时,在点x=0处连续。当时,；当x=0时,故：。⑵因为所以,在点x=0处连续。五、设正值函数在上连续,求函数的最小值点。〔本题6分解：注意到：在上,因此,当x>1时,。命：,得,解此方程得到唯一驻点x=2。又,当时,；当x>2时,,所以在点x=2处取得极小值,又因为x=2是唯一的极值点,所以x=2是的最小值点,最小值为。六、设,且,求。〔本题6分解：七、设变换,把方程化为,试确定a。〔本题7分解：计算一、二阶偏导数 代入方程,得到, 于是有,所以。八、设函数在xOy平面上具有连续一阶偏导数,曲线积分与路径无关,并且对任意的t恒有,求。〔本题7分解：由曲线积分与路径无关知, 所以,其中为待定函数。又；。 根据题设,有,上式两边对t求导,得到,于是知,即,故。九、设函数f<x>具有二阶连续导函数,且。在曲线y=f<x>上任意取一点作曲线的切线,此切线在x轴上的截距记作,求。〔本题8分解：过点的曲线y=f<x>的切线方程为：,注意到：由于,所以当时,。因此,此直线在x轴上的截距为。且。利用泰勒公式将在点处展开,得到。类似可得：。代入得十、设函数f<x>在闭区间上连续,在开区间<0,1>内可导,且f<0>=0,f<1>=1。试证明：对于任意给定的正数a和b,在开区间<0,1>内存在不同的ξ和η,使得。〔本题7分证明：取数,由连续函数介值定理知,存在,使得。在区间[0,C]与[C,1]上分别应用拉格朗日中值定理,有显然。由于,所以,即。从而,注意到：若取,则,并且,代入得。十一、设,试证明在区间上有且仅有两个实根。〔本题7分证明： 由于是偶函数,所以是奇函数,是偶函数,于是知为偶函数。又注意到：,〔当x>0时。 因此,函数在闭区间[0,1]上有且仅有唯一一个实根；又为偶函数,所以在闭区间上同样有且仅有唯一一个实根。于是知函数在闭区间上有且仅有两个实根。十二、设函数在单位圆域上有连续的偏导数,且在边界上的值恒为零。证明：其中：D为圆域。〔本题8分证明：取极坐标系,由,得到, 将上式两端同乘r,得到。于是有 由积分中值定理,有,其中。 故。20XX天津市大学数学竞赛试题参考答案〔理工类填空：〔本题15分,每空3分。请将最终结果填在相应的横线上面。1．1。2．曲线,在点处的法线方程为2x＋y－1=0。3．设为连续函数,且,则。4．函数在点处,沿点A指向点方向的方向导数为。5．设<a×b>·c=2,则[<a+b>×<b+c>]·<c+a>=4。二、选择题：〔本题15分,每小题3分。每个小题的四个选项中仅有一个是正确的,把你认为"正确选项"前的字母填在括号内。选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个,不得分。设函数与在开区间<a,b>内可导,考虑如下的两个命题,⑴若,则；⑵若,则。则〔B〔A两个命题均正确；〔B两个命题均不正确；〔C命题⑴正确,命题⑵不正确；〔D命题⑴不正确,命题⑵正确。设函数连续,F<x>是的原函数,则〔A<A>当为奇函数时,F<x>必为偶函数；<B>当为偶函数时,F<x>必为奇函数；<C>当为周期函数时,F<x>必为周期函数；<D>当为单调递增函数时,F<x>必为单调递增函数。设平面位于平面：与平面：之间,且将此两平面的距离分为1:3,则平面的一个方程为〔D〔A；〔B；〔C；〔D。设为非零的连续函数,,则当t→0时〔C〔A与t为同阶无穷小；〔B与t2为同阶无穷小；〔C与t3为同阶无穷小；〔D是比t3高阶的无穷小。设函数满足等式,且,则在点处〔A。〔A取得极小值；〔B取得极大值；〔C在点的一个邻域内单调增加；〔D在点的一个邻域内单调减少。三、求函数的值域。〔本题6分解：要求的值域,只需求出函数的最大值与最小值即可。注意到：函数为偶函数,故只需考虑x≥0的情况。为计算方便,命t=x2,得到,显然,与有相同的值域。求的驻点：。命,得到驻点,其对应的函数值为,显然,当k=2m<m=0,1,2,…>时,,其中最大值为；当k=2m+1<m=0,1,2,…>时,,其中最小值为。于是得到函数的值域,亦即函数的值域为：。四、设,其中f具有二阶连续偏导数,g具有二阶连续导数。求。〔本题6分解：,五、设二元函数在有界闭区域D上可微,在D的边界曲线上,并满足,求的表达式。〔本题6分解：显然满足题目条件。下面证明只有满足题目条件。事实上,若不恒等于0,则至少存在一点,使得,不妨假设,同时,也必在D内至少存在一点,使为在D上的最大值。因为在D上可微,所以必有,于是得到。然而,由题设知,因此应有,这与的假设矛盾；同理可证：的情况。因此可知在D上。六、设二元函数具有一阶连续偏导数,且,求。〔本题7分解：注意到：被积函数,由于此积分与路径无关,所以必有,即有,从而有,代入原积分式,得到,即,。将上式两端对t求导,得到：,即,从而得到。 七、设曲线与交于点A,过坐标原点O和点A的直线与曲线围成一平面图形,试问：⑴当a为何值时,该图形绕x轴一周所得的旋转体体积最大？⑵最大体积为多少？〔本题7分解：当x≥0时,由,解得A点的坐标为,故直线OA的方程为。于是,平面图形绕x轴一周所得的旋转体体积为：。上式两边对a求导：。命,得到a=4。由于a=4是当时的唯一驻点,且由问题的实际意义可知存在最大体积,故在a=4时取最大值。其最大体积为：。八、设S为椭球面的上半部分,点,为S在点P处的切平面,为点到平面的距离,求。〔本题7分解：设为上任意一点,则的方程为,从而知。由,有,于是。所以。九、证明。〔本题8分证明：方法一〔利用积分估值定理命,对上式右端的第二个积分,取变换,则,于是注意到：被积函数的两个因子在区间上异号〔,,由积分估值定理得知必有I≤0,即知原不等式成立。方法二〔利用积分中值定理命,由积分中值定理,并在区间上取变换,同时注意到：,得十、设正值函数在闭区间[a,b]上连续,,证明：。〔本题8分证明：化为二重积分证明。记,则原式十一、设函数在闭区间[a,b]上具有连续的二阶导数,证明：存在ξ∈<a,b>,使得。〔本题7分证明：将函数在点处作泰勒展开,并分别取x=a和b,得到；。两式相加得到。由于连续,由介值定理知,存在使得,从而得,即。十二、设函数在闭区间[-2,2]上具有二阶导数,,且,证明：存在一点ξ∈<-2,2>,使得。〔本题8分证明：在区间[-2,0]和[0,2]上分别对函数应用拉格朗日中值定理；。注意到：,因此,。命：,则在区间[-2,2]上可导,且；；。故在闭区间上的最大值,且。由弗马定理知。而,故。由于,所以,从而。20XX天津市大学数学竞赛试题参考答案〔理工类填空：〔本题15分,每空3分。请将最终结果填在相应的横线上面。1．若是上的连续函数,则a=－1。2．函数在区间上的最大值为。3．。4．由曲线绕y轴旋转一周得到的旋转面在点处的指向外侧的单位法向量为。5．设函数由方程所确定,则。二、选择题：〔本题15分,每小题3分。每个小题的四个选项中仅有一个是正确的,把你认为"正确选项"前的字母填在括号内。选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个,不得分。设函数f<x>可导,并且,则当时,该函数在点处微分dy是的〔A〔A等价无穷小；〔B同阶但不等价的无穷小；〔C高阶无穷小；〔D低阶无穷小。设函数f<x>在点x=a处可导,则在点x=a处不可导的充要条件是〔C〔Af<a>=0,且；〔Bf<a>≠0,但；〔Cf<a>=0,且；〔Df<a>≠0,且。曲线〔B〔A没有渐近线；〔B有一条水平渐近线和一条斜渐近线；〔C有一条铅直渐近线；〔D有两条水平渐近线。设均为可微函数,且。已知是在约束条件下的一个极值点,下列选项中的正确者为〔D〔A若,则；〔B若,则；〔C若,则；〔D若,则。设曲面的上侧,则下述曲面积分不为零的是〔B〔A；〔B；〔C；〔D。三、设函数f<x>具有连续的二阶导数,且,,求。〔本题6分解：由题设可推知f<0>=0,,于是有。故。四、设函数由参数方程所确定,求。〔本题6分解：由,,得到,所以。而当x=9时,由及t>1,得t=2,故。五、设n为自然数,计算积分。〔本题7分解：注意到：对于每个固定的n,总有,所以被积函数在x=0点处有界〔x=0不是被积函数的奇点。又,于是有,上面的等式对于一切大于1的自然数均成立,故有。所以。六、设f<x>是除x=0点外处处连续的奇函数,x=0为其第一类跳跃间断点,证明是连续的偶函数,但在x=0点处不可导。〔本题7分证明：因为x=0是f<x>的第一类跳跃间断点,所以存在,设为A,则A≠0；又因f<x>为奇函数,所以。命：则在x=0点处连续,从而在上处处连续,且是奇函数：当x>0,则－x<0,；当x<0,则－x>0,,即是连续的奇函数,于是是连续的偶函数,且在x=0点处可导。又,即,所以是连续的偶函数,但在x=0点处不可导。七、设f<u,v>有一阶连续偏导数,,,证明：。〔本题7分解：设：,则类似可得,代入原式左边,得到八、设函数f<u>连续,在点u=0处可导,且f<0>=0,求：。〔本题7分解：记,应用球坐标,并同时注意到积分区域与被积函数的对称性,有于是有。九、计算,其中L为正向一周。〔本题7分解：因为L为,故其中D为L所围区域,故为D的面积。为此我们对L加以讨论,用以搞清D的面积。当时,；当时,；当时,；当时,,故D的面积为2×1=2。从而。十、⑴证明：当充分小时,不等式成立。⑵设,求。〔本题8分证明：⑴因为,又注意到当充分小时,,所以成立不等式。⑵由⑴知,当n充分大时有,,故,而,于是,由夹逼定理知。十一、设常数,证明：当x>0且x≠1时,。〔本题8分证明：设函数,故要证,只需证：当；当。显然：。命：,则。当x=2时,,x=2为唯一驻点。又,,所以x=2为的唯一极小值点,故为的最小值<x>0>,即当x>0时,从而严格单调递增。又因,所以当；当。十二、设匀质半球壳的半径为R,密度为μ,在球壳的对称轴上,有一条长为l的均匀细棒,其密度为ρ。若棒的近壳一端与球心的距离为a,a>R,求此半球壳对棒的引力。〔本题7分解：设球心在坐标原点上,半球壳为上半球面,细棒位于正z轴上,则由于对称性,所求引力在x轴与y轴上的投影及均为零。设k为引力常数,则半球壳对细棒引力在z轴方向的分量为：记。在球坐标下计算,得到若半球壳仍为上半球面,但细棒位于负z轴上,则。20XX天津市大学数学竞赛试题参考答案〔理工类填空：〔本题15分,每空3分。请将最终结果填在相应的横线上面。设函数,,且当x→0时,与为等价无穷小,则a=3。设函数在点处取得极小值,则。。曲线在点〔1,1,2处的切线方程为。。二、选择题：〔本题15分,每小题3分。每个小题的四个选项中仅有一个是正确的,把你认为"正确选项"前的字母填在括号内。选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个,不得分。1.设函数连续,则下列函数中必为偶函数的是〔A〔A；〔B；〔C；〔D。2.设函数具有一阶导数,下述结论中正确的是〔D〔A若只有一个零点,则必至少有两个零点；〔B若至少有一个零点,则必至少有两个零点；〔C若没有零点,则至少有一个零点；〔D若没有零点,则至多有一个零点。3.设函数在区间内具有二阶导数,满足,,又,则当时恒有〔B〔A；〔B；〔C；〔D。4.考虑二元函数在点处的下面四条性质：①连续；②可微；③与存在；④与连续。若用"PQ"表示可由性质P推出性质Q,则有〔B〔A②③①；〔B④②①；〔C②④①；〔D④③②。5.设二元函数具有一阶连续偏导数,曲线L：过第二象限内的点M和第四象限内的点N,Γ为L上从点M到点N的一段弧,则下列积分值为负的是〔C〔A；〔B；〔C；〔D。三、已知曲线与曲线在点<0,0>处具有相同的切线,写出该切线方程,并求极限。〔本题6分解：由已知,显然有,且在点<0,0>处故因此,所求切线方程为y=x。。四、证明：当x>2时,。〔本题7分证明：设,,。 又设：,则。由拉格朗日中值定理知,存在,使,而,又,故。从而,当x>2时,,即单调减少,从而。命题得证。五、设,求。〔本题7分解：利用牛顿—莱布尼兹公式：。设,注意到：；,,。故,于是有。六、设当时,,且,试确定常数a的值,使在x=0点处可导,并求此导数。〔本题7分解：首先写出在x<0附近的表达式：当时,。由知,,故有显然,在点x=0处连续,且,,。因在x=0点处可导的充要条件为：,即,且。七、设函数在区间内连续,且满足,⑴求；⑵计算,其中L是从原点O到点M〔1,3的任意一条光滑弧。〔本题7分解：⑴将原等式两边对x求导,得到,所以。命：,于是有。⑵因为,所以。于是可知I与积分路径无关,从而,命：,当x=0,y=0时,t=1；x=1,y=3时,t=12。故。八、求过第一卦限中的点<a,b,c>的平面,使之与三坐标平面所围成的四面体的体积最小。〔本题8分解：设所求平面的截距式方程为。因平面过点<a,b,c>,故有。四面体体积。应用拉格朗日乘数法,设,命：得到。显然,否则,这与题意不符。代入上述第四个方程,得到,从而是唯一驻点,也是唯一最小值点。故所求平面为。九、设,计算。〔本题7分解：将区域D分成三块：于是十、设函数,其中在点<0,0>的一个邻域内连续,证明：在点<0,0>处可微的充要条件是。〔本题8分证明：充分性已知,欲证在点<0,0>处可微,只需证。注意到：,所以。又,由夹逼定理知。从而在点<0,0>处可微,并且。必要性已知在点<0,0>处可微,故与都存在。而,其中当时,；当时,。由于存在,故。十一、计算,其中为一连续函数,Σ是平面在第四卦限部分的上侧。〔本题7分解：化为第一类曲面积分求解。设Σ的单位法向量,则其中。故。十二、设函数在闭区间[a,b]上连续,在开区间<a,b>内可导,且有,,则至少存在一点,使得。〔本题6分证明：由积分中值定理知,存在,使。又,故若设,显然满足罗尔定理的各个条件,从而至少存在一点使。而,从而有。20XX天津市大学数学竞赛试题参考答案〔理工类填空：〔本题15分,每空3分。请将最终结果填在相应的横线上面。1．。2．设摆线方程为则此曲线在处的法线方程为。3．。4．设在点<－1,1>处沿方向的方向导数。5．设Σ为曲面介于0≤Z≤R的部分,则。二、选择题：〔本题15分,每小题3分。每个小题的四个选项中仅有一个是正确的,把你认为"正确选项"前的字母填在括号内。选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个,不得分。1.曲线的渐近线有〔B 〔A1条；〔B2条； 〔C3条；〔D4条。2.若,则当n>2时〔A〔A；〔B；〔C；〔D。3.已知函数f<x>在〔－∞,+∞内有定义,且x0是函数f<x>的极大值点,则〔C〔Ax0是f<x>驻点；〔B在〔－∞,+∞内恒有f<x>≤f<x0>；〔C－x0是－f<－x>的极小值点；〔D－x0是－f<x>的极小值点。4.设,则z=z<x,y>在点〔0,0〔D〔A连续且偏导数存在；〔B连续但不可微；〔C不连续且偏导数不存在；〔D不连续但偏导数存在。5.设,其中Ω：x2+y2+z2≤1,z≥0则〔D 〔A；〔B； 〔C；〔D。三、已知极限,试确定常数n和C的值。〔本题6分解：, 故。四、已知函数f<x>连续,,求。〔本题6分解：命u=t－x,则当t=0时,u=－x；t=x时,u=0,于是五、设方程,⑴当常数a,b满足何种关系时,方程有唯一实根？⑵当常数a,b满足何种关系时,方程无实根。〔本题7分解：设,－∞<x<+∞,求导得命得唯一驻点,又,故当时,y有最小值。且最小值为又当x→－∞时,y→＋∞；x→＋∞时,y→＋∞,因此,⑴当且仅当时,方程有唯一实根。⑵当时,方程无实根。六、在曲线y=x2〔x≥0上某点A作一切线,使之与曲线及x轴所围图形的面积为,试求：⑴A点的坐标；⑵过切点A的切线方程；⑶该图形绕x轴旋转一周所成旋转体的体积。〔本题8分解：⑴设A点坐标为<x0,y0>,则y0=x02,于是可知切线方程y―x02=2x0〔x―x0即。由题设,有故有。⑵切线方程为。⑶在上述切线方程中令y=0,得到,故所求旋转体的体积七、计算。〔本题7分解：解法1命,则有,于是有。同理,所以有。解法2 命,则八、设,其中具有连续的一阶偏导数,且。〔本题7分解：将y=sinx代入,得到,显然方程确定了z是x的隐含数z=z<x>,所以 又由,得到。九、求上的最大值与最小值。〔本题7分解：解法1在S上有,代入,得到因此命,得到,由于,,又,所以；。解法2构造,解方程组联合求解<3>、<4>,得到6个可能的极值点,因为,所以,。十、计算,其中区域D为：。〔本题7分解：如图,用直线将区域D分为D1和D2两个区域,则十一、证明：当0<x<1时,。〔本题7分证明：本题即证当0<x<1时,,命：,于是有,, 即在区间<0,1>内单调减少,而,故当x>0时,因而在区间<0,1>内单调减少,即,于是有,即。十二、设C是取正向的圆周,f<x>是正的连续函数,证明：〔本题8分证明：由格林公式有,其中D是由<x–1>2+<y–1>2=1所围成的区域。而,,即,所以。20XX天津市大学数学竞赛试题参考答案〔理工类填空：〔本题15分,每空3分。请将最终结果填在相应的横线上面。。设,则使存在的最大n=4。0。设,,若与OZ轴垂直,则λ=2。设L为正向圆周在第一象限中的部分,则。二、选择题：〔本题15分,每小题3分。每个小题的四个选项中仅有一个是正确的,把你认为"正确选项"前的字母填在括号内。选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个,不得分。1.函数的第一类间断点的个数为〔C。〔A0；〔B1；〔C2；〔D3。2.设与具有任意阶导数,且,,,则〔A。〔A为函数的极小值；〔B为函数的极大值；〔C点〔0,1为曲线的拐点；〔D极值与拐点由确定。3.设函数,,又与都不存在,则下列结论正确的是〔D。〔A若不存在,则必不存在；〔B若不存在,则必存在；〔C若存在,则必存在；〔D若存在,则必不存在。4.设具有2阶连续偏导数,,,。若是由方程所确定的在点附近的隐函数,则是的极小值点的一个充分条件为〔B〔A；〔B；〔C；〔D。5.设L为折线的正向一周,则〔C。〔A－2sin2；〔B－1；〔C0；〔D1。三、设函数⑴a为何值时,在x=0点处连续；⑵a为何值时,x=0为的可去间断点。〔本题7分解：因为命：,即,解得。当时,,故在x=0点处连续。当时,,故x=0为的可去间断点。四、设〔n为正整数,⑴求在闭区间[0,1]上的最大值M〔n；⑵求。〔本题7分解：⑴命,得,。当时,；时,,故为的极大值点,为对应的极大值。又,故即为在闭区间[0,1]上的最大值：。⑵。五、计算。〔本题6分解：,其中,故。六、设对任意x,都有,且在x=0点处连续,,证明：在x=0点处也连续。〔本题6分证明：首先,由,知,从而。又由,知。又在x=0点处连续,,知,,于是有。即。所以,在x=0点处也连续。七、设,,计算。〔本题7分解：用曲线将区域D分成三部分则八、在椭球面上求一切平面,它在坐标轴的正半轴截取相等的线段。〔本题7分解：设,切点为〔x0,y0,z0,故该点处切平面的法向量为,,。切平面方程为,即。依题意,有截距,即。由于切点在椭球面上,故有,即,从而解得,于是有。切平面方程为。九、设为连续函数,求证,其中。〔本题7分证明：十、设函数在闭区间[a,b]上具有二阶导数,且,,。证明：存在一点ξ∈〔a,b使得。〔本题7分证明：因为在闭区间[a,b]上连续,且,,以及,故在开区间〔a,b内至少存在