厦门市2023学年高三第三次测评数学试卷（含答案解析）

2023高考数学模拟试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知抛物线的焦点为，对称轴与准线的交点为，为上任意一点，若，则（）A．30° B．45° C．60° D．75°2．若双曲线的渐近线与圆相切，则双曲线的离心率为()A．2 B． C． D．3．设，若函数在区间上有三个零点，则实数的取值范围是()A． B． C． D．4．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为（）A． B． C． D．5．“是函数在区间内单调递增”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件6．设点是椭圆上的一点，是椭圆的两个焦点，若，则（）A． B． C． D．7．是虚数单位，复数在复平面上对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限8．下列函数中，值域为的偶函数是（）A． B． C． D．9．已知数列为等差数列，为其前项和，，则（）A．7 B．14 C．28 D．8410．已知集合,，则A． B．C． D．11．如图所示的程序框图输出的是126，则①应为（）A． B． C． D．12．若x,y满足约束条件的取值范围是A．[0,6] B．[0,4] C．[6, D．[4,二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知直线被圆截得的弦长为2，则的值为__14．在平面直角坐标系中，若函数在处的切线与圆存在公共点，则实数的取值范围为_____．15．已知函数的定义域为R，导函数为，若，且，则满足的x的取值范围为______.16．已知半径为的圆周上有一定点，在圆周上等可能地任意取一点与点连接，则所得弦长介于与之间的概率为__________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在中，设、、分别为角、、的对边，记的面积为，且．（1）求角的大小；（2）若，，求的值．18．（12分）在中，角所对的边分别是，且.（1）求角的大小；（2）若，求边长.19．（12分）我们称n（）元有序实数组（，，…，）为n维向量，为该向量的范数.已知n维向量，其中，，2，…，n.记范数为奇数的n维向量的个数为，这个向量的范数之和为.（1）求和的值；（2）当n为偶数时，求，（用n表示）.20．（12分）在中，角所对的边分别是，且.（1）求；（2）若，求.21．（12分）如图，在直角中，，通过以直线为轴顺时针旋转得到（）.点为斜边上一点.点为线段上一点，且.（1）证明：平面；（2）当直线与平面所成的角取最大值时，求二面角的正弦值.22．（10分）在△ABC中，分别为三个内角A、B、C的对边，且(1)求角A；(2)若且求△ABC的面积．

2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．C【答案解析】

如图所示：作垂直于准线交准线于，则，故，得到答案.【题目详解】如图所示：作垂直于准线交准线于，则，在中，，故，即.故选：.【答案点睛】本题考查了抛物线中角度的计算，意在考查学生的计算能力和转化能力.2．C【答案解析】

利用圆心到渐近线的距离等于半径即可建立间的关系.【题目详解】由已知，双曲线的渐近线方程为，故圆心到渐近线的距离等于1，即，所以，.故选：C.【答案点睛】本题考查双曲线离心率的求法，求双曲线离心率问题，关键是建立三者间的方程或不等关系，本题是一道基础题.3．D【答案解析】令，可得.在坐标系内画出函数的图象（如图所示）.当时，.由得.设过原点的直线与函数的图象切于点，则有，解得.所以当直线与函数的图象切时.又当直线经过点时，有，解得.结合图象可得当直线与函数的图象有3个交点时，实数的取值范围是.即函数在区间上有三个零点时，实数的取值范围是.选D.点睛：已知函数零点的个数（方程根的个数）求参数值（取值范围）的方法(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解，对于一些比较复杂的函数的零点问题常用此方法求解.4．C【答案解析】

由三视图可知，几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是底边为，高为的等腰三角形，侧棱长为，利用正弦定理求出底面三角形外接圆的半径，根据三棱柱的两底面中心连线的中点就是三棱柱的外接球的球心，求出球的半径，即可求解球的表面积.【题目详解】由三视图可知，几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是底边为，高为的等腰三角形，侧棱长为，如图：由底面边长可知，底面三角形的顶角为，由正弦定理可得，解得，三棱柱的两底面中心连线的中点就是三棱柱的外接球的球心，所以，该几何体外接球的表面积为：.故选：C【答案点睛】本题考查了多面体的内切球与外接球问题，由三视图求几何体的表面积，考查了学生的空间想象能力，属于基础题.5．C【答案解析】，令解得当，的图像如下图当，的图像如下图由上两图可知，是充要条件【考点定位】考查充分条件和必要条件的概念，以及函数图像的画法.6．B【答案解析】∵∵∴∵，∴∴故选B点睛：本题主要考查利用椭圆的简单性质及椭圆的定义.求解与椭圆性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.7．D【答案解析】

求出复数在复平面内对应的点的坐标，即可得出结论.【题目详解】复数在复平面上对应的点的坐标为，该点位于第四象限.故选：D.【答案点睛】本题考查复数对应的点的位置的判断，属于基础题.8．C【答案解析】试题分析：A中，函数为偶函数，但，不满足条件；B中，函数为奇函数，不满足条件；C中，函数为偶函数且，满足条件；D中，函数为偶函数，但，不满足条件，故选C．考点：1、函数的奇偶性；2、函数的值域．9．D【答案解析】

利用等差数列的通项公式，可求解得到，利用求和公式和等差中项的性质，即得解【题目详解】，解得．．故选：D【答案点睛】本题考查了等差数列的通项公式、求和公式和等差中项，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.10．D【答案解析】

因为,,所以,,故选D．11．B【答案解析】试题分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加S=2+22+…+2n的值，并输出满足循环的条件．解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加S=2+22+…+2n的值，并输出满足循环的条件．∵S=2+22+…+21=121，故①中应填n≤1．故选B点评：算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．12．D【答案解析】解：x、y满足约束条件，表示的可行域如图：目标函数z=x+2y经过C点时，函数取得最小值，由解得C（2，1），目标函数的最小值为：4目标函数的范围是[4，+∞）．故选D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．1【答案解析】

根据弦长为半径的两倍，得直线经过圆心，将圆心坐标代入直线方程可解得．【题目详解】解：圆的圆心为（1，1），半径，

因为直线被圆截得的弦长为2，

所以直线经过圆心（1，1），

，解得．故答案为：1．【答案点睛】本题考查了直线与圆相交的性质，属基础题．14．【答案解析】

利用导数的几何意义可求得函数在处的切线,再根据切线与圆存在公共点,利用圆心到直线的距离满足的条件列式求解即可.【题目详解】解：由条件得到又所以函数在处的切线为,即圆方程整理可得：即有圆心且所以圆心到直线的距离,即.解得或,故答案为：．【答案点睛】本题主要考查了导数的几何意义求解切线方程的问题,同时也考查了根据直线与圆的位置关系求解参数范围的问题,属于基础题.15．【答案解析】

构造函数，再根据条件确定为奇函数且在上单调递减，最后利用单调性以及奇偶性化简不等式，解得结果.【题目详解】依题意，，令，则，故函数为奇函数，故函数在上单调递减，则，即，故，则x的取值范围为.故答案为：【答案点睛】本题考查函数奇偶性、单调性以及利用函数性质解不等式，考查综合分析求解能力，属中档题.16．【答案解析】在圆上其他位置任取一点B，设圆半径为R，其中满足条件AB弦长介于与之间的弧长为•2πR，则AB弦的长度大于等于半径长度的概率P==；故答案为：．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（1）；（2）【答案解析】

（1）由三角形面积公式，平面向量数量积的运算可得，结合范围，可求，进而可求的值．（2）利用同角三角函数基本关系式可求，利用两角和的正弦函数公式可求的值，由正弦定理可求得的值．【题目详解】解：（1）由，得，因为，所以，可得：．（2）中，，所以.所以：，由正弦定理，得，解得，【答案点睛】本题主要考查了三角形面积公式，平面向量数量积的运算，同角三角函数基本关系式，两角和的正弦函数公式，正弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．18．（1）；（2）.【答案解析】

（1）把代入已知条件，得到关于的方程，得到的值，从而得到的值.（2）由（1）中得到的的值和已知条件，求出，再根据正弦定理求出边长.【题目详解】（1）因为，，所以，，所以，即.因为，所以，因为，所以.（2）.在中，由正弦定理得，所以，解得.【答案点睛】本题考查三角函数公式的运用，正弦定理解三角形，属于简单题.19．（1），.（2），【答案解析】

（1）利用枚举法将范数为奇数的二元有序实数对都写出来，再做和；（2）用组合数表示和，再由公式或将组合数进行化简，得出最终结果.【题目详解】解：（1）范数为奇数的二元有序实数对有：，，，，它们的范数依次为1，1，1，1，故，.（2）当n为偶数时，在向量的n个坐标中，要使得范数为奇数，则0的个数一定是奇数，所以可按照含0个数为：1，3，…，进行讨论：的n个坐标中含1个0，其余坐标为1或，共有个，每个的范数为；的n个坐标中含3个0，其余坐标为1或，共有个，每个的范数为；的n个坐标中含个0，其余坐标为1或，共有个，每个的范数为1；所以，.因为，①，②得，，所以.解法1：因为，所以..解法2：得，.又因为，所以.【答案点睛】本题考查了数列和组合，是一道较难的综合题.20．（1）（2）【答案解析】

（1）根据正弦定理到，得到答案.（2）计算，再利用余弦定理计算得到答案.【题目详解】（1）由，可得,因为，所以，所以.（2），又因为，所以.因为，所以，即.【答案点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理，意在考查学生的计算能力.21．（1）见解析；（2）【答案解析】

（1）先算出的长度，利用勾股定理证明，再由已知可得，利用线面垂直的判定定理即可证明；（2）由（1）可得为直线与平面所成的角，要使其最大，则应最小，可得为中点，然后建系分别求出平面的法向量即可算得二面角的余弦值，进一步得到正弦值.【题目详解】（1）在中，，由余弦定理得，∴，∴，由题意可知：∴，，，∴平面，平面，∴，又，∴平面.（2）以为坐标原点，以，，的方向为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系.∵平面，∴在平面上的射影是，∴与平面所成的角是，∴最大时，即，点为中点