2022年湘教版八下《角平分线的性质定理的逆定理》立体课件(公开课版)

第1章直角三角形

1.4角平分线的性质第2课时第1章直角三角形第2课时1学习目标1.理解角平分线性质定理的逆定理.(难点）2.掌握角平分线性质定理的逆定理的证明方法并应用其解题.（重点）3.学会判断一个点是否在一个角的平分线上.学习目标1.理解角平分线性质定理的逆定理.(难点）2复习回顾ODPP到OA的距离P到OB的距离角平分线上的点几何语言描述：∵

OC平分∠AOB，且PD⊥OA，PE⊥OB.∴

PD=PE.ACB角的平分线上的点到角的两边的距离相等.1.叙述角平分线的性质定理不必再证全等E复习回顾ODPP到OA的距离P到OB的距离角平分线上的点几何32.我们知道，角平分线上的点到角的两边的距离相等.那么到角的两边的距离相等的点是否在角的平分线上呢？到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.2.我们知道，角平分线上的点到角的两边的距离相等.那么到角的角平分线的性质定理的逆定理一PAOBCDE角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上．问题：交换角的平分线的性质中的条件和结论，你能得到什么命题，这个新命题正确吗？角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.∵OC平分∠AOB，且PD⊥OA，PE⊥OB∴PD=PE几何语言：猜想:思考：这个命题正确吗？角平分线的性质定理的逆定理一PAOBCDE角的内部到角的两边5已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E，PD=PE.求证：点P在∠AOB的平分线上.证明：作射线OP，

∴点P在∠AOB

的平分线上.在Rt△PDO和Rt△PEO

中，（全等三角形的对应角相等）.

OP=OP（公共边），PD=PE（已知），BADOPE∵PD⊥OA,PE⊥OB.∴∠PDO=∠PEO=90°，∴Rt△PDO≌Rt△PEO（HL）.∴∠AOP=∠BOP证明猜想已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E，PD=6角平分线性质定理的逆定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.PAOBCDE应用所具备的条件：（1）位置关系：点在角的内部；（2）数量关系：该点到角两边的距离相等.定理的作用：判断点是否在角平分线上.应用格式：∵PD⊥OA,PE⊥OB，PD=PE.∴点P在∠AOB的平分线上.知识总结角平分线性质定理的逆定理：PAOBCDE应用所具备的条件：（7典例精析

例1：如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路的距离相等，并且离公路与铁路交叉处距离为500米，这个集贸市场应建在何处（比例尺为1︰20000）？DCS解：作夹角的角平分线OC，截取OD=2.5cm,D即为所求.O方法点拨：根据角平分线的判定定理，要求作的点到两边的距离相等，一般需作这两边直线形成的角的平分线，再在这条角平分线上根据要求取点.典例精析例1：如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公8活动1分别画出下列三角形三个内角的平分线，你发现了什么？三角形的内角平分线二发现：三角形的三条角平分线相交于一点活动1分别画出下列三角形三个内角的平分线，你发现了什么？三9活动2分别过交点作三角形三边的垂线，用刻度尺量一量，每组垂线段，你发现了什么？发现：过交点作三角形三边的垂线段相等你能证明这个结论吗？活动2分别过交点作三角形三边的垂线，用刻度尺量一量，每组垂10已知：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等.证一证证明：过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，CA，垂足分别为D，E，F.∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，∴PD=PE.同理PE=PF.∴PD=PE=PF.即点P到三边AB，BC，CA的距离相等.D

E

F

A

B

C

P

N

M

已知：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，证一证证11想一想：点P在∠A的平分线上吗？这说明三角形的三条内角平分线有什么关系？点P在∠A的平分线上.

结论：三角形的三条内角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等.D

E

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C

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N

M

想一想：点P在∠A的平分线上吗？这说明三角形的三条内角平分线12MENABCPOD变式1：如图，在△ABC中，AP平分∠BAC，BD平分∠ABC;AP,BD交于点O，过点O作OM⊥AC,若OM＝4,(1)求点O到△ABC三边的距离和.温馨提示：不存在垂线段———构造应用12MENABCPOD变式1：如图，在△ABC中，AP平分∠BA解：连接OC，过O作ON⊥BC，OE⊥AB，垂足分别为N，E.MENABCPOD变式1：如图，在△ABC中，AP平分∠BAC，BD平分∠ABC;AP,BD交于点O，过点O作OM⊥AC,OM＝4.(2)若△ABC的周长为32，求△ABC的面积.解：连接OC，过O作ON⊥BC，OE⊥AB，垂足分别为N，E2.联系角平分线性质：距离面积周长知识与方法1.应用角平分线性质：存在角平分线涉及距离问题条件2.联系角平分线性质：距离面积周长知识与方法1.应用角平分线例2如图，在△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等．若∠A＝40°，则∠BOC的度数为(

)A．110°B．120°C．130°D．140°A解析：由已知，O到三角形三边的距离相等，所以O是三条内角平分线的交点，AO，BO，CO都是角平分线，所以有∠CBO＝∠ABO＝∠ABC，∠BCO＝∠ACO＝∠ACB，∠ABC＋∠ACB＝180°－40°＝140°，∠OBC＋∠OCB＝70°，∠BOC＝180°－70°＝110°.例2如图，在△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到16

由已知，O到三角形三边的距离相等，得O是三条内角平分线的交点，再利用三角形内角和定理即可求出∠BOC的度数．方法总结由已知，O到三角形三边的距离相等，得O是三条内角平17归纳总结角的平分线的性质图形已知条件结论PCPCOP平分∠AOBPD⊥OA于DPE⊥OB于EPD=PEOP平分∠AOBPD=PEPD⊥OA于DPE⊥OB于E角的平分线的判定归纳总结角的平分线的性质结论PCPCOP平分∠AOBPD⊥O181.如图，某个居民小区C附近有三条两两相交的道路MN、OA、OB，拟在MN上建造一个大型超市，使得它到OA、OB的距离相等，请确定该超市的位置P.小区CPAOBMN1.如图，某个居民小区C附近有三条两两相交的道路MN、OA192.如图所示，已知△ABC中，PE∥AB交BC于点E，PF∥AC交BC于点F，点P是AD上一点，且点D到PE的距离与到PF的距离相等，判断AD是否平分∠BAC，并说明理由．解：AD平分∠BAC．理由如下：∵D到PE的距离与到PF的距离相等，∴点D在∠EPF的平分线上．∴∠1＝∠2．又∵PE∥AB，∴∠1＝∠3．同理，∠2＝∠4．∴∠3＝∠4，∴AD平分∠BAC．ABCEFD((((3412P

2.如图所示，已知△ABC中，PE∥AB交BC于点E，PF203.已知：如图，OD平分∠POQ，在OP、OQ边上取OA＝OB，点C在OD上，CM⊥AD于M，CN⊥BD于N.求证：CM＝CN.证明：∵OD平分∠POQ，∴∠AOD=∠BOD.在△AOD与△BOD中，∵OA=OB，∠AOD=∠BOD，OD=OD，∴△AOD≌△BOD.∴∠ADO=∠BDO.∵CM⊥AD，CN⊥BD，∴CM=CN.3.已知：如图，OD平分∠POQ，在OP、OQ边上取OA＝O214.如图，已知∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，求证：点F在∠DAE的平分线上．

证明：过点F作FG⊥AE于G，FH⊥AD于H，FM⊥BC于M.∵点F在∠BCE的平分线上，FG⊥AE，FM⊥BC.∴FG＝FM.又∵点F在∠CBD的平分线上，FH⊥AD，FM⊥BC，∴FM＝FH，∴FG＝FH.∴点F在∠DAE的平分线上.

GHMABCFED4.如图，已知∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，证明：过22拓展思维5.如图,直线l1、l2、l3表示三条互相交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,可选择的地址有几处?画出它的位置.拓展思维5.如图,直线l1、l2、l3表示三条互相交叉的公23P1P2P3P4l1l2l3P1P2P3P4l1l2l324角平分线的判定定理内容角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上作用判断一个点是否在角的平分线上结论三角形的内角平分线相交于内部一点

角平分线内容角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上作252022年湘教版八下《角平分线的性质定理的逆定理》立体课件(公开课版)在学习”比尾巴”这一课时,京京用两张同样大小的纸,精心制作了两幅画,如下图所示.第一幅的画面大小与纸的大小相同,第二幅画的画面在纸的上,下方各留有米的空白.x米mx米(1)第一幅画的画面面积是_______(2)第二幅画的画面面积是_______mx×xmx×

=mx2在学习”比尾巴”这一课时,京京用两张同样大小的纸,精心制作了=3×a×b2×4×a×c=(3×4)×(a×a)×b2×c=12a2b²c

单项式与单项式相乘,把它们的系数、同底数幂分别相乘,其余字母连同它的指数不变,作为积的因式你能总结出单项式与单项式相乘的法则吗?=3×a×b2×4×a×c=(3×4)×(a例1:计算解:原式解:原式解:原式解:原式例1:计算解:原式解:原式解:原式解:原式京京用同样大小的纸制作了第三幅画,如下图所示.画面在纸的左右各留有米的空白.mx第三幅画的画面面积是_______x×(mx-)=x×mx-x×

=mx²-你能总结出单项式与多项式相乘的法则吗?

单项式与多项式相乘,就是用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加京京用同样大小的纸制作了第三幅画,如下图所示.画面在纸的左右例2:计算解:原式=解:原式=例2:计算解:原式=解:原式=注意：1注意多项式中每一项的符号

2注意单项式的符号

3积的符号的确定实质是：同号得正，异号得负

1积的项数等于多项式的项数

2不要漏乘多项式中的常数项最后结果要合并同类项，化成最简注意：1注意多项式中每一项的符号1积的项数等于多项1:P121课内练习2,3练习2:在括号内填上适当的式子,使等式成立1:P121课内练习2,3练习2:在括号内填上适当的式子总结1:单项式与单项式相乘,把它们的

分别相乘,其余

不变,作为积的因式2:单项式与多项式相乘,就是用单项式去乘,,再把所得的积相加系数、同底数幂字母连同它的指数多项式的每一项总结1:单项式与单项式相乘,把它们的1、若Xa=2,Xb=3,求(x3a+2b)2的值.2、46×256=（4×25）6=10123、[m2(x+1)]3=m6(x+1)34、-b(-b)2-(-b)b2=-b×b2+b×b2=-b3+b3=05、（-3a3)2=（-3）2（

a3）

2=9a61、已知：anbn=2

求：1）（ab)n=________2)a2nb2n=_______2、若a2nb2n=16(a>0,n是正整数）则anbn=__________1、若Xa=2,Xb=3,求(x3a+2b)2的值

再见再见第1章直角三角形

1.4角平分线的性质第2课时第1章直角三角形第2课时37学习目标1.理解角平分线性质定理的逆定理.(难点）2.掌握角平分线性质定理的逆定理的证明方法并应用其解题.（重点）3.学会判断一个点是否在一个角的平分线上.学习目标1.理解角平分线性质定理的逆定理.(难点）38复习回顾ODPP到OA的距离P到OB的距离角平分线上的点几何语言描述：∵

OC平分∠AOB，且PD⊥OA，PE⊥OB.∴

PD=PE.ACB角的平分线上的点到角的两边的距离相等.1.叙述角平分线的性质定理不必再证全等E复习回顾ODPP到OA的距离P到OB的距离角平分线上的点几何392.我们知道，角平分线上的点到角的两边的距离相等.那么到角的两边的距离相等的点是否在角的平分线上呢？到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.2.我们知道，角平分线上的点到角的两边的距离相等.那么到角的角平分线的性质定理的逆定理一PAOBCDE角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上．问题：交换角的平分线的性质中的条件和结论，你能得到什么命题，这个新命题正确吗？角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.∵OC平分∠AOB，且PD⊥OA，PE⊥OB∴PD=PE几何语言：猜想:思考：这个命题正确吗？角平分线的性质定理的逆定理一PAOBCDE角的内部到角的两边41已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E，PD=PE.求证：点P在∠AOB的平分线上.证明：作射线OP，

∴点P在∠AOB

的平分线上.在Rt△PDO和Rt△PEO

中，（全等三角形的对应角相等）.

OP=OP（公共边），PD=PE（已知），BADOPE∵PD⊥OA,PE⊥OB.∴∠PDO=∠PEO=90°，∴Rt△PDO≌Rt△PEO（HL）.∴∠AOP=∠BOP证明猜想已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E，PD=42角平分线性质定理的逆定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.PAOBCDE应用所具备的条件：（1）位置关系：点在角的内部；（2）数量关系：该点到角两边的距离相等.定理的作用：判断点是否在角平分线上.应用格式：∵PD⊥OA,PE⊥OB，PD=PE.∴点P在∠AOB的平分线上.知识总结角平分线性质定理的逆定理：PAOBCDE应用所具备的条件：（43典例精析

例1：如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路的距离相等，并且离公路与铁路交叉处距离为500米，这个集贸市场应建在何处（比例尺为1︰20000）？DCS解：作夹角的角平分线OC，截取OD=2.5cm,D即为所求.O方法点拨：根据角平分线的判定定理，要求作的点到两边的距离相等，一般需作这两边直线形成的角的平分线，再在这条角平分线上根据要求取点.典例精析例1：如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公44活动1分别画出下列三角形三个内角的平分线，你发现了什么？三角形的内角平分线二发现：三角形的三条角平分线相交于一点活动1分别画出下列三角形三个内角的平分线，你发现了什么？三45活动2分别过交点作三角形三边的垂线，用刻度尺量一量，每组垂线段，你发现了什么？发现：过交点作三角形三边的垂线段相等你能证明这个结论吗？活动2分别过交点作三角形三边的垂线，用刻度尺量一量，每组垂46已知：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等.证一证证明：过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，CA，垂足分别为D，E，F.∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，∴PD=PE.同理PE=PF.∴PD=PE=PF.即点P到三边AB，BC，CA的距离相等.D

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已知：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，证一证证47想一想：点P在∠A的平分线上吗？这说明三角形的三条内角平分线有什么关系？点P在∠A的平分线上.

结论：三角形的三条内角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等.D

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F

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想一想：点P在∠A的平分线上吗？这说明三角形的三条内角平分线48MENABCPOD变式1：如图，在△ABC中，AP平分∠BAC，BD平分∠ABC;AP,BD交于点O，过点O作OM⊥AC,若OM＝4,(1)求点O到△ABC三边的距离和.温馨提示：不存在垂线段———构造应用12MENABCPOD变式1：如图，在△ABC中，AP平分∠BA解：连接OC，过O作ON⊥BC，OE⊥AB，垂足分别为N，E.MENABCPOD变式1：如图，在△ABC中，AP平分∠BAC，BD平分∠ABC;AP,BD交于点O，过点O作OM⊥AC,OM＝4.(2)若△ABC的周长为32，求△ABC的面积.解：连接OC，过O作ON⊥BC，OE⊥AB，垂足分别为N，E2.联系角平分线性质：距离面积周长知识与方法1.应用角平分线性质：存在角平分线涉及距离问题条件2.联系角平分线性质：距离面积周长知识与方法1.应用角平分线例2如图，在△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等．若∠A＝40°，则∠BOC的度数为(

)A．110°B．120°C．130°D．140°A解析：由已知，O到三角形三边的距离相等，所以O是三条内角平分线的交点，AO，BO，CO都是角平分线，所以有∠CBO＝∠ABO＝∠ABC，∠BCO＝∠ACO＝∠ACB，∠ABC＋∠ACB＝180°－40°＝140°，∠OBC＋∠OCB＝70°，∠BOC＝180°－70°＝110°.例2如图，在△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到52

由已知，O到三角形三边的距离相等，得O是三条内角平分线的交点，再利用三角形内角和定理即可求出∠BOC的度数．方法总结由已知，O到三角形三边的距离相等，得O是三条内角平53归纳总结角的平分线的性质图形已知条件结论PCPCOP平分∠AOBPD⊥OA于DPE⊥OB于EPD=PEOP平分∠AOBPD=PEPD⊥OA于DPE⊥OB于E角的平分线的判定归纳总结角的平分线的性质结论PCPCOP平分∠AOBPD⊥O541.如图，某个居民小区C附近有三条两两相交的道路MN、OA、OB，拟在MN上建造一个大型超市，使得它到OA、OB的距离相等，请确定该超市的位置P.小区CPAOBMN1.如图，某个居民小区C附近有三条两两相交的道路MN、OA552.如图所示，已知△ABC中，PE∥AB交BC于点E，PF∥AC交BC于点F，点P是AD上一点，且点D到PE的距离与到PF的距离相等，判断AD是否平分∠BAC，并说明理由．解：AD平分∠BAC．理由如下：∵D到PE的距离与到PF的距离相等，∴点D在∠EPF的平分线上．∴∠1＝∠2．又∵PE∥AB，∴∠1＝∠3．同理，∠2＝∠4．∴∠3＝∠4，∴AD平分∠BAC．ABCEFD((((3412P

2.如图所示，已知△ABC中，PE∥AB交BC于点E，PF563.已知：如图，OD平分∠POQ，在OP、OQ边上取OA＝OB，点C在OD上，CM⊥AD于M，CN⊥BD于N.求证：CM＝CN.证明：∵OD平分∠POQ，∴∠AOD=∠BOD.在△AOD与△BOD中，∵OA=OB，∠AOD=∠BOD，OD=OD，∴△AOD≌△BOD.∴∠ADO=∠BDO.∵CM⊥AD，CN⊥BD，∴CM=CN.3.已知：如图，OD平分∠POQ，在OP、OQ边上取OA＝O574.如图，已知∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，求证：点F在∠DAE的平分线上．

证明：过点F作FG⊥AE于G，FH⊥AD于H，FM⊥BC于M.∵点F在∠BCE的平分线上，FG⊥AE，FM⊥BC.∴FG＝FM.又∵点F在∠CBD的平分线上，FH⊥AD，FM⊥BC，∴FM＝FH，∴FG＝FH.∴点F在∠DAE的平分线上.

GHMABCFED4.如图，已知∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，证明：过58拓展思维5.如图,直线l1、l2、l3表示三条互相交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,可选择的地址有几处?画出它的位置.拓展思维5.如图,直线l1、l2、l3表示三条互相交叉的公59P1P2P3P4l1l2l3P1P2P3P4l1l2l360角平分线的判定定理内容角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上作用判断一个点是否在角的平分线上结论三角形的内角平分线相交于内部一点

角平分线内容角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上作612022年湘教版八下《角平分线的性质定理的逆定理》立体课件(公开课版)在学习”比尾巴”这一课时,京京用两张同样大小的纸,精心制作了两幅画,如下图所示.第一幅的画面大小与纸的大小相同,第二幅画的画面在纸的上,下方各留有米的空白.x米mx米(1)第一幅画的画面面积是_______(2)第二幅画的画面面积是_______mx×xmx×

=mx2在学习”比尾巴”这一课时,京京用两张同样大小的纸,精心制作了=3×a×b2×4×a×c=(3×4)×(a×a)×b2×c=12a2b²c

单项式与单项式相乘,把它们的系数、同底数幂分别相乘,其余字母连同它的指数不变,作为积的因式你能总结出单项式与单项式相乘的法则吗?=3×a×b2×4×a×c=(3×4)×(a例1