《平面向量的运算》平面向量及其应用课件(第3课时向量的数乘运算)

本例若把条件“向量b=e1+λe2(λ∈R)”改为“向量b=2me1+ne2(m，n∈R)”其他条件不变，试求m+n的值.【解析】(方法一)连接CN，则ANDC，(1)向量的线性运算类似于代数多项式的运算，主要是“合并同类项”“提取公因式”，但这里的“同类项”“公因式”指向量，实数是向量的系数.②中，左=2a+2b-2b+a=3a成立，故②正确；如图所示，已知▱ABCD的边BC，CD上的中点分别为因为(-3)·2a=-6a，故①正确；【解析】(方法一)连接CN，则ANDC，【解析】将3x-y=b两边同乘2，=a+b.(2)因为ke1+e2与e1+ke2共线，方向相反且模是6a的模的.所以存在λ，使ke1+e2=λ(e1+ke2)，即(k-λ)e1=b，又试用a、b表示③(a+2b)-(2b+a)=0.即：b+a++(-a)=0，如图，ABCD是一个梯形，AB∥CD，且AB=2CD，M，N分-b，=3a+b，=a-3b，求证：A，B，C三点共线.即e1+λe2=u(2e1-e2)=2ue1-ue2.所以与共线，且有公共端点B，所以A，B，C提示：不能，数乘向量中的λ，μ都是实数，只有λ，μ都是实数时，运算律才成立.(1)向量的线性运算类似于代数多项式的运算，主要是“合并同类项”“提取公因式”，但这里的“同类项”“公因式”指向量，实数是向量的系数.向量的线性运算的主要方法是什么？下列计算正确的个数是 ()6.2平面向量的运算6.2.3

向量的数乘运算第一页，共57页。本例若把条件“向量b=e1+λe2(λ∈R)”改为“向量b=1.向量的数乘运算定义：一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa.规定：(1)|λa|=|λ||a|.第二页，共57页。1.向量的数乘运算第二页，共57页。(2)当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ=0时，λa=0.第三页，共57页。(2)当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa【思考】向量数乘运算的结果是什么？提示：数乘向量的结果仍是一个向量，它既有大小又有方向.第四页，共57页。【思考】第四页，共57页。2.向量数乘的运算律设λ，μ为实数，则(1)λ(μa)=λμa；(2)(λ+μ)a=λa+μa；(3)λ(a+b)=λa+λb.特别地，我们有(-λ)a=-(λa)=λ(-a)，λ(a-b)=λa-λb.第五页，共57页。2.向量数乘的运算律第五页，共57页。【思考】这里的条件“λ，μ为实数”能省略吗？为什么？提示：不能，数乘向量中的λ，μ都是实数，只有λ，μ都是实数时，运算律才成立.第六页，共57页。【思考】第六页，共57页。3.向量的线性运算向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.4.共线向量定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b=λa.第七页，共57页。3.向量的线性运算第七页，共57页。【思考】(1)共线向量定理中的“a≠0”是否多余，能去掉吗？提示：不能，定理中之所以限定a≠0是由于若a=b=0，λ存在，但不唯一，若a=0，b≠0，则λ不存在.第八页，共57页。【思考】第八页，共57页。(2)反之，“若存在一个实数λ，使b=λa(a≠0)，则a与b共线”成立吗？提示：成立.第九页，共57页。(2)反之，“若存在一个实数λ，使b=λa(a≠0)，则a与【素养小测】1.思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)(1)-3a的方向与6a的方向相反，且-3a的模是6a的模的

(a≠0). (

)(2)a与-λa的方向相反. (

)第十页，共57页。【素养小测】第十页，共57页。(3)若a，b共线，则存在唯一的实数λ，使a=λb.(

)第十一页，共57页。(3)若a，b共线，则存在唯一的实数λ，使a=λb.第十一页提示：(1)√.因为-3<0，所以-3a与a方向相反且|-3a|=3|a|.所以6a与a方向相同且|6a|=6|a|，所以-3a与6a方向相反且模是6a的模的.(2)×.当λ<0时，a与-λa的方向相同.(3)×.若b=0时不成立.第十二页，共57页。提示：(1)√.因为-3<0，所以-3a与a方向相反且|-32.下列计算正确的个数是 (

)①(-3)·2a=-6a；②2(a+b)-(2b-a)=3a；③(a+2b)-(2b+a)=0.

A.0 B.1 C.2 D.3第十三页，共57页。2.下列计算正确的个数是 ()第十三页，共57页。【解析】选C.因为(-3)·2a=-6a，故①正确；②中，左=2a+2b-2b+a=3a成立，故②正确；③中，左=a+2b-2b-a=0≠0，故③错误.第十四页，共57页。【解析】选C.因为(-3)·2a=-6a，故①正确；第十四页求x+y的值.如图，ABCD是一个梯形，AB∥CD，且AB=2CD，M，N分因为向量a与b共线，所以存在唯一实数-b，=3a+b，=a-3b，求证：A，B，C三点共线.【解析】(方法一)连接CN，则ANDC，=-b，所以四边形ANCD是平行四边形.因为向量a与b共线，所以存在唯一实数类型二用已知向量表示相关向量如图所示，四边形OADB是平行四边形，=a，=与5x+2y=a相加，-b，=3a+b，=a-3b，求证：A，B，C三点共线.类比实数运算中合并同类项的方法化简.本例若把条件“向量b=e1+λe2(λ∈R)”改为“向量b=2me1+ne2(m，n∈R)”其他条件不变，试求m+n的值.类比实数运算中合并同类项的方法化简.【解析】(方法一)连接CN，则ANDC，因为(x-a)-(b-x)=2x-(a+b)，所以2x-a-b=x-a-b，【解析】设λ则则+3e1-3e2=5(e1+e2)=5(3)λ(a+b)=λa+λb.这里的条件“λ，μ为实数”能省略吗？为什么？(1)向量的线性运算类似于代数多项式的运算，主要是“合并同类项”“提取公因式”，但这里的“同类项”“公因式”指向量，实数是向量的系数.原式=(a+4b-4a+2b)=(6b-3a)(2)反之，“若存在一个实数λ，使b=λa(a≠0)，则a与b共线”成立吗？【解析】因为向量a与b共线，所以存在唯一实数u，使类型一向量的线性运算【典例】1.(2019·临沂高一检测)化简

[(2a+8b)-(4a-2b)]的结果是 (

)

A.2a-b B.2b-aC.b-a D.a-b第十五页，共57页。求x+y的值.类型一向量的线性运算第十五页，共57页。2.已知向量a，b，x，且(x-a)-(b-x)=x-(a+b)，则x=________.

第十六页，共57页。2.已知向量a，b，x，且(x-a)-(b-x)=x-(a+【思维·引】1.类比实数运算中合并同类项的方法化简.2.利用解方程的方法求解.第十七页，共57页。【思维·引】1.类比实数运算中合并同类项的方法化简.第十七页【解析】1.选B.原式=(a+4b-4a+2b)=(6b-3a)=2b-a.2.因为(x-a)-(b-x)=2x-(a+b)，所以2x-a-b=x-a-b，即x=0.答案：0第十八页，共57页。【解析】1.选B.原式=(a+4b-4a+2b)=【内化·悟】1.向量的线性运算的主要方法是什么？提示：去括号，合并“同类项”.第十九页，共57页。【内化·悟】第十九页，共57页。2.解含有向量的方程时，可以把向量当成普通未知量求解吗？提示：可以.第二十页，共57页。2.解含有向量的方程时，可以把向量当成普通未知量求解吗？第二【类题·通】向量线性运算的方法(1)向量的线性运算类似于代数多项式的运算，主要是“合并同类项”“提取公因式”，但这里的“同类项”“公因式”指向量，实数是向量的系数.第二十一页，共57页。【类题·通】第二十一页，共57页。(2)向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算.第二十二页，共57页。(2)向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解【习练·破】已知a=4d，b=5d，c=-3d，则2a-3b+c等于 (

)A.10d B.-10d

C.20d D.-20d【解析】选B.2a-3b+c=8d-15d-3d=-10d.第二十三页，共57页。【习练·破】第二十三页，共57页。【加练·固】已知向量a，b，且5x+2y=a，3x-y=b，求x，y.第二十四页，共57页。【加练·固】第二十四页，共57页。【解析】将3x-y=b两边同乘2，得6x-2y=2b.与5x+2y=a相加，得11x=a+2b，即x=

a+

b.所以y=3x-b=3=a-b.第二十五页，共57页。【解析】将3x-y=b两边同乘2，第二十五页，共57页。类型二用已知向量表示相关向量【典例】1.(2019·长沙高一检测)设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD=AB，BE=BC.若=λ1+λ2(λ1，λ2为实数)，则λ1+λ2的值为_______.

第二十六页，共57页。类型二用已知向量表示相关向量第二十六页，共57页。第二十七页，共57页。第二十七页，共57页。2.如图所示，已知▱ABCD的边BC，CD上的中点分别为K，L，且=e1，=e2，试用e1，e2表示第二十八页，共57页。2.如图所示，已知▱ABCD的边BC，CD上的中点分别为第二【思维·引】1.先用向量表示向量，然后计算“系数”和.2.先把视为未知量，再利用已知条件找等量关系，列方程(组)，通过解方程(组)求出第二十九页，共57页。【思维·引】1.先用向量表示向量，然后【解析】1.由已知

所以λ1=-，λ2=，从而λ1+λ2=.答案：

第三十页，共57页。【解析】1.由已知第三十页，共57页。2.设=x，=y，则=e1=x-y，=e2=x-y，由第三十一页，共57页。2.设=x，=y，第三十一页，共57页。解得即==第三十二页，共57页。解得第三十二页，共57页。方向相反且模是6a的模的.当λ=0时，λa=0.【解析】将3x-y=b两边同乘2，线，则当且仅当λ的值为 世纪金榜导学号()方向相反且模是6a的模的.关于A，B，C三点共线条件的变形式这里的条件“λ，μ为实数”能省略吗？为什么？(1)向量的线性运算类似于代数多项式的运算，主要是“合并同类项”“提取公因式”，但这里的“同类项”“公因式”指向量，实数是向量的系数.(方法二)因为=0，(1)由已知量表示未知量时，要善于利用三角形法则、平行四边形法则以及向量线性运算的运算律.向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b=λa.b，又试用a、b表示设λ，μ为实数，则(1)λ(μa)=λμa；这里的条件“λ，μ为实数”能省略吗？为什么？所以(a-b)，【解析】设λ则则(1)由已知量表示未知量时，要善于利用三角形法则、平行四边形法则以及向量线性运算的运算律.K，L，且=e1，=e2，试用e1，e2表示-b，=3a+b，=a-3b，求证：A，B，C三点共线.如图所示，四边形OADB是平行四边形，=a，=(λk-1)e2，由于e1与e2不共线，类型一向量的线性运算方向相反且模是6a的模的.原式=(a+4b-4a+2b)=(6b-3a)本例若把条件“向量b=e1+λe2(λ∈R)”改为“向量b=2me1+ne2(m，n∈R)”其他条件不变，试求m+n的值.【内化·悟】分析切入问题时，对条件应怎样理解？提示：看作是用向量、表示向量的结果.第三十三页，共57页。方向相反且模是6a的模的.【内化·悟】第三十三页，共5【类题·通】(1)由已知量表示未知量时，要善于利用三角形法则、平行四边形法则以及向量线性运算的运算律.(2)当直接表示较困难时，应考虑设出未知向量，表示出已知向量，建立方程组，利用方程(组)求解.第三十四页，共57页。【类题·通】第三十四页，共57页。【习练·破】如图，ABCD是一个梯形，AB∥CD，且AB=2CD，M，N分别是DC和AB的中点，已知=a，=b，试用a，b表示第三十五页，共57页。【习练·破】第三十五页，共57页。【解析】(方法一)连接CN，则ANDC，第三十六页，共57页。【解析】(方法一)连接CN，则ANDC，第三十六页，共5所以四边形ANCD是平行四边形.=-b，又因为=0，所以=b-a，所以=-b+a=a-b.第三十七页，共57页。所以四边形ANCD是平行四边形.第三十七页，共57页。(1)由已知量表示未知量时，要善于利用三角形法则、平行四边形法则以及向量线性运算的运算律.(1)-3a的方向与6a的方向相反，且-3a的模是6a的模的【解析】(方法一)连接CN，则ANDC，b，又试用a、b表示向量的线性运算的主要方法是什么？(2)反之，“若存在一个实数λ，使b=λa(a≠0)，则a与b共线”成立吗？所以y=3x-b=3=a-b.当λ=0时，λa=0.因为(x-a)-(b-x)=2x-(a+b)，所以2x-a-b=x-a-b，【解析】将3x-y=b两边同乘2，即e1+λe2=u(2e1-e2)=2ue1-ue2.【思维·引】利用向量共线定理解答.向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b=λa.【解析】将3x-y=b两边同乘2，关于A，B，C三点共线条件的变形式本例若把条件“向量b=e1+λe2(λ∈R)”改为“向量b=2me1+ne2(m，n∈R)”其他条件不变，试求m+n的值.所以所以m+n=0.先用向量表示向量，然后②中，左=2a+2b-2b+a=3a成立，故②正确；利用解方程的方法求解.如图所示，四边形OADB是平行四边形，=a，=因为-3<0，所以-3a与a方向相反且|-3a|先用向量表示向量，然后(方法二)因为=0，即：a++(-a)+(-b)=0，所以=b-a，又因为在四边形ADMN中，有=0，即：b+

a+

+(-

a)=0，所以

=

a-b.第三十八页，共57页。(1)由已知量表示未知量时，要善于利用三角形法则、平行四边形【加练·固】如图所示，四边形OADB是平行四边形，=a，=b，又试用a、b表示第三十九页，共57页。【加练·固】第三十九页，共57页。【解析】因为=a-b，所以(a-b)，所以=b+(a-b)=b+a-b=a+

b.又由=+=a+b，得第四十页，共57页。【解析】因为=a-b，第四十页，共5=a+b.所以=(a+b)-(a+b)

=a-b.第四十一页，共57页。=a+类型三向量共线定理及应用角度1求参数问题【典例】(2019·天水高一检测)设e1，e2是两个不共线的向量，若向量a=2e1-e2，与向量b=e1+λe2(λ∈R)共线，则当且仅当λ的值为 世纪金榜导学号(

)

A.0 B.-1 C.-2 D.-第四十二页，共57页。类型三向量共线定理及应用第四十二页，共57页。【思维·引】利用向量共线定理解答.第四十三页，共57页。【思维·引】利用向量共线定理解答.第四十三页，共57页。【解析】选D.因为向量a与b共线，所以存在唯一实数u，使b=ua成立.即e1+λe2=u(2e1-e2)=2ue1-ue2.所以

解得λ=-.第四十四页，共57页。【解析】选D.因为向量a与b共线，所以存在唯一实数第四十四页【素养·探】本题主要考查向量共线条件的应用，突出考查了数学运算的核心素养.本例若把条件“向量b=e1+λe2(λ∈R)”改为“向量b=2me1+ne2(m，n∈R)”其他条件不变，试求m+n的值.第四十五页，共57页。【素养·探】第四十五页，共57页。【解析】因为向量a与b共线，所以存在唯一实数u，使b=ua成立.即2me1+ne2=u(2e1-e2)=2ue1-ue2.所以所以m+n=0.第四十六页，共57页。【解析】因为向量a与b共线，所以存在唯一实数u，使第四十六页角度2三点共线问题【典例】设a，b是不共线的两个非零向量，若=2a-b，=3a+b，=a-3b，求证：A，B，C三点共线.世纪金榜导学号第四十七页，共57页。角度2三点共线问题第四十七页，共57页。【思维·引】利用向量共线定理解答.第四十八页，共57页。【思维·引】利用向量共线定理解答.第四十八页，共57页。【证明】由题意，得=(3a+b)-(2a-b)=a+2b，=(a-3b)-(3a+b)=-2a-4b=-2，所以与共线，且有公共端点B，所以A，B，C三点共线.第四十九页，共57页。【证明】由题意，得=(3a+b)-(【类题·通】关于向量共线定理的应用(1)向量共线定理：b与a(a≠0)共线与b=λa是一个等价定理，因此用它既可以证明点共线或线共线问题，也可以根据共线求参数的值.第五十页，共57页。【类题·通】第五十页，共57页。(2)证明三点共线，往往要转化为证明过同一点的两个有向线段表示的向量共线，必须说明构造的两个向量有公共点，否则两向量所在的直线可能平行，解题时常常会因忽视对公共点的说明而丢分.第五十一页，共57页。(2)证明三点共线，往往要转化为证明过同一点的两个有向线段表所以6a与a方向相同且|6a|=6|a|，所以-3a与6a【解析】(方法一)连接CN，则ANDC，先用向量表示向量，然后(2)a与-λa的方向相反.线，则当且仅当λ的值为 世纪金榜导学号()下列计算正确的个数是 ()=a-b.(1)共线向量定理中的“a≠0”是否多余，能去掉吗？因为向量a与b共线，所以存在唯一实数设=x，=y，(2)反之，“若存在一个实数λ，使b=λa(a≠0)，则a与b共线”成立吗？λ1+λ2(λ1，λ2为实数)，则λ1+λ2的值为得11x=a+2b，即x=a+b.所以x+y=1+λ-λ=1.【思维·引】利用向量共线定理解答.关于A，B，C三点共线条件的变形式当λ=0时，λa=0.(方法二)因为=0，利用解方程的方法求解.[(2a+8b)-(4a-2b)]的结果是 ()的向量，若向量a=2e1-e2，与向量b=e1+λe2(λ∈R)共规定：(1)|λa|=|λ||a|.【发散·拓】关于A，B，C三点共线条件的变形式平面上三点A，B，C共线的充要条件是：存在实数α，β，使得=α+β，其中α+β=1，O为平面内任意一点.第五十二页，共57页。所以6a与a方向相同且|6a|=6|a|，所以-3a与6a【【延伸·练】已知A，B，P三点共线，O为直线外任意一点，若求x+y的值.第五十三页，共57页。【延伸·练】第五十三页，共57页。【解析】设λ则则所以x+y=1+λ-λ=1.第五十四页，共57页。【解析】设λ则则【习练·破】已知非零向量e1，e2不共线.(1)如果=e1+e2，=2e1+8e2，=3(e1-e2)，求证：A，B，D三点共线.(2)欲使ke1+e2和e1+ke2共线，试确定实数k的值.第五十五页，共57页。【习练·破】第五十五页，共57页。【解析】(1)因为=e1+e2，=2e1+8e2+3e1-3e2=5(e1+e2)=5所以，共线，且有公共点B，所以A，B，D三点共线.第五十六页，共57页。【解析】(1)因为=e1+e2，(2)因为ke1+e2与e1+ke2共线，所以存在λ，使ke1+e2=λ(e1+ke2)，即(k-λ)e1=(λk-1)e2，由于e1与e2不共线，只能有所以k=±1.第五十七页，共57页。(2)因为ke1+e2与e1+ke2共线，第五十七页，共57本例若把条件“向量b=e1+λe2(λ∈R)”改为“向量b=2me1+ne2(m，n∈R)”其他条件不变，试求m+n的值.【解析】(方法一)连接CN，则ANDC，(1)向量的线性运算类似于代数多项式的运算，主要是“合并同类项”“提取公因式”，但这里的“同类项”“公因式”指向量，实数是向量的系数.②中，左=2a+2b-2b+a=3a成立，故②正确；如图所示，已知▱ABCD的边BC，CD上的中点分别为因为(-3)·2a=-6a，故①正确；【解析】(方法一)连接CN，则ANDC，【解析】将3x-y=b两边同乘2，=a+b.(2)因为ke1+e2与e1+ke2共线，方向相反且模是6a的模的.所以存在λ，使ke1+e2=λ(e1+ke2)，即(k-λ)e1=b，又试用a、b表示③(a+2b)-(2b+a)=0.即：b+a++(-a)=0，如图，ABCD是一个梯形，AB∥CD，且AB=2CD，M，N分-b，=3a+b，=a-3b，求证：A，B，C三点共线.即e1+λe2=u(2e1-e2)=2ue1-ue2.所以与共线，且有公共端点B，所以A，B，C提示：不能，数乘向量中的λ，μ都是实数，只有λ，μ都是实数时，运算律才成立.(1)向量的线性运算类似于代数多项式的运算，主要是“合并同类项”“提取公因式”，但这里的“同类项”“公因式”指向量，实数是向量的系数.向量的线性运算的主要方法是什么？下列计算正确的个数是 ()6.2平面向量的运算6.2.3

向量的数乘运算第一页，共57页。本例若把条件“向量b=e1+λe2(λ∈R)”改为“向量b=1.向量的数乘运算定义：一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa.规定：(1)|λa|=|λ||a|.第二页，共57页。1.向量的数乘运算第二页，共57页。(2)当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ=0时，λa=0.第三页，共57页。(2)当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa【思考】向量数乘运算的结果是什么？提示：数乘向量的结果仍是一个向量，它既有大小又有方向.第四页，共57页。【思考】第四页，共57页。2.向量数乘的运算律设λ，μ为实数，则(1)λ(μa)=λμa；(2)(λ+μ)a=λa+μa；(3)λ(a+b)=λa+λb.特别地，我们有(-λ)a=-(λa)=λ(-a)，λ(a-b)=λa-λb.第五页，共57页。2.向量数乘的运算律第五页，共57页。【思考】这里的条件“λ，μ为实数”能省略吗？为什么？提示：不能，数乘向量中的λ，μ都是实数，只有λ，μ都是实数时，运算律才成立.第六页，共57页。【思考】第六页，共57页。3.向量的线性运算向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.4.共线向量定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b=λa.第七页，共57页。3.向量的线性运算第七页，共57页。【思考】(1)共线向量定理中的“a≠0”是否多余，能去掉吗？提示：不能，定理中之所以限定a≠0是由于若a=b=0，λ存在，但不唯一，若a=0，b≠0，则λ不存在.第八页，共57页。【思考】第八页，共57页。(2)反之，“若存在一个实数λ，使b=λa(a≠0)，则a与b共线”成立吗？提示：成立.第九页，共57页。(2)反之，“若存在一个实数λ，使b=λa(a≠0)，则a与【素养小测】1.思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)(1)-3a的方向与6a的方向相反，且-3a的模是6a的模的

(a≠0). (

)(2)a与-λa的方向相反. (

)第十页，共57页。【素养小测】第十页，共57页。(3)若a，b共线，则存在唯一的实数λ，使a=λb.(

)第十一页，共57页。(3)若a，b共线，则存在唯一的实数λ，使a=λb.第十一页提示：(1)√.因为-3<0，所以-3a与a方向相反且|-3a|=3|a|.所以6a与a方向相同且|6a|=6|a|，所以-3a与6a方向相反且模是6a的模的.(2)×.当λ<0时，a与-λa的方向相同.(3)×.若b=0时不成立.第十二页，共57页。提示：(1)√.因为-3<0，所以-3a与a方向相反且|-32.下列计算正确的个数是 (

)①(-3)·2a=-6a；②2(a+b)-(2b-a)=3a；③(a+2b)-(2b+a)=0.

A.0 B.1 C.2 D.3第十三页，共57页。2.下列计算正确的个数是 ()第十三页，共57页。【解析】选C.因为(-3)·2a=-6a，故①正确；②中，左=2a+2b-2b+a=3a成立，故②正确；③中，左=a+2b-2b-a=0≠0，故③错误.第十四页，共57页。【解析】选C.因为(-3)·2a=-6a，故①正确；第十四页求x+y的值.如图，ABCD是一个梯形，AB∥CD，且AB=2CD，M，N分因为向量a与b共线，所以存在唯一实数-b，=3a+b，=a-3b，求证：A，B，C三点共线.【解析】(方法一)连接CN，则ANDC，=-b，所以四边形ANCD是平行四边形.因为向量a与b共线，所以存在唯一实数类型二用已知向量表示相关向量如图所示，四边形OADB是平行四边形，=a，=与5x+2y=a相加，-b，=3a+b，=a-3b，求证：A，B，C三点共线.类比实数运算中合并同类项的方法化简.本例若把条件“向量b=e1+λe2(λ∈R)”改为“向量b=2me1+ne2(m，n∈R)”其他条件不变，试求m+n的值.类比实数运算中合并同类项的方法化简.【解析】(方法一)连接CN，则ANDC，因为(x-a)-(b-x)=2x-(a+b)，所以2x-a-b=x-a-b，【解析】设λ则则+3e1-3e2=5(e1+e2)=5(3)λ(a+b)=λa+λb.这里的条件“λ，μ为实数”能省略吗？为什么？(1)向量的线性运算类似于代数多项式的运算，主要是“合并同类项”“提取公因式”，但这里的“同类项”“公因式”指向量，实数是向量的系数.原式=(a+4b-4a+2b)=(6b-3a)(2)反之，“若存在一个实数λ，使b=λa(a≠0)，则a与b共线”成立吗？【解析】因为向量a与b共线，所以存在唯一实数u，使类型一向量的线性运算【典例】1.(2019·临沂高一检测)化简

[(2a+8b)-(4a-2b)]的结果是 (

)

A.2a-b B.2b-aC.b-a D.a-b第十五页，共57页。求x+y的值.类型一向量的线性运算第十五页，共57页。2.已知向量a，b，x，且(x-a)-(b-x)=x-(a+b)，则x=________.

第十六页，共57页。2.已知向量a，b，x，且(x-a)-(b-x)=x-(a+【思维·引】1.类比实数运算中合并同类项的方法化简.2.利用解方程的方法求解.第十七页，共57页。【思维·引】1.类比实数运算中合并同类项的方法化简.第十七页【解析】1.选B.原式=(a+4b-4a+2b)=(6b-3a)=2b-a.2.因为(x-a)-(b-x)=2x-(a+b)，所以2x-a-b=x-a-b，即x=0.答案：0第十八页，共57页。【解析】1.选B.原式=(a+4b-4a+2b)=【内化·悟】1.向量的线性运算的主要方法是什么？提示：去括号，合并“同类项”.第十九页，共57页。【内化·悟】第十九页，共57页。2.解含有向量的方程时，可以把向量当成普通未知量求解吗？提示：可以.第二十页，共57页。2.解含有向量的方程时，可以把向量当成普通未知量求解吗？第二【类题·通】向量线性运算的方法(1)向量的线性运算类似于代数多项式的运算，主要是“合并同类项”“提取公因式”，但这里的“同类项”“公因式”指向量，实数是向量的系数.第二十一页，共57页。【类题·通】第二十一页，共57页。(2)向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算.第二十二页，共57页。(2)向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解【习练·破】已知a=4d，b=5d，c=-3d，则2a-3b+c等于 (

)A.10d B.-10d

C.20d D.-20d【解析】选B.2a-3b+c=8d-15d-3d=-10d.第二十三页，共57页。【习练·破】第二十三页，共57页。【加练·固】已知向量a，b，且5x+2y=a，3x-y=b，求x，y.第二十四页，共57页。【加练·固】第二十四页，共57页。【解析】将3x-y=b两边同乘2，得6x-2y=2b.与5x+2y=a相加，得11x=a+2b，即x=

a+

b.所以y=3x-b=3=a-b.第二十五页，共57页。【解析】将3x-y=b两边同乘2，第二十五页，共57页。类型二用已知向量表示相关向量【典例】1.(2019·长沙高一检测)设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD=AB，BE=BC.若=λ1+λ2(λ1，λ2为实数)，则λ1+λ2的值为_______.

第二十六页，共57页。类型二用已知向量表示相关向量第二十六页，共57页。第二十七页，共57页。第二十七页，共57页。2.如图所示，已知▱ABCD的边BC，CD上的中点分别为K，L，且=e1，=e2，试用e1，e2表示第二十八页，共57页。2.如图所示，已知▱ABCD的边BC，CD上的中点分别为第二【思维·引】1.先用向量表示向量，然后计算“系数”和.2.先把视为未知量，再利用已知条件找等量关系，列方程(组)，通过解方程(组)求出第二十九页，共57页。【思维·引】1.先用向量表示向量，然后【解析】1.由已知

所以λ1=-，λ2=，从而λ1+λ2=.答案：

第三十页，共57页。【解析】1.由已知第三十页，共57页。2.设=x，=y，则=e1=x-y，=e2=x-y，由第三十一页，共57页。2.设=x，=y，第三十一页，共57页。解得即==第三十二页，共57页。解得第三十二页，共57页。方向相反且模是6a的模的.当λ=0时，λa=0.【解析】将3x-y=b两边同乘2，线，则当且仅当λ的值为 世纪金榜导学号()方向相反且模是6a的模的.关于A，B，C三点共线条件的变形式这里的条件“λ，μ为实数”能省略吗？为什么？(1)向量的线性运算类似于代数多项式的运算，主要是“合并同类项”“提取公因式”，但这里的“同类项”“公因式”指向量，实数是向量的系数.(方法二)因为=0，(1)由已知量表示未知量时，要善于利用三角形法则、平行四边形法则以及向量线性运算的运算律.向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b=λa.b，又试用a、b表示设λ，μ为实数，则(1)λ(μa)=λμa；这里的条件“λ，μ为实数”能省略吗？为什么？所以(a-b)，【解析】设λ则则(1)由已知量表示未知量时，要善于利用三角形法则、平行四边形法则以及向量线性运算的运算律.K，L，且=e1，=e2，试用e1，e2表示-b，=3a+b，=a-3b，求证：A，B，C三点共线.如图所示，四边形OADB是平行四边形，=a，=(λk-1)e2，由于e1与e2不共线，类型一向量的线性运算方向相反且模是6a的模的.原式=(a+4b-4a+2b)=(6b-3a)本例若把条件“向量b=e1+λe2(λ∈R)”改为“向量b=2me1+ne2(m，n∈R)”其他条件不变，试求m+n的值.【内化·悟】分析切入问题时，对条件应怎样理解？提示：看作是用向量、表示向量的结果.第三十三页，共57页。方向相反且模是6a的模的.【内化·悟】第三十三页，共5【类题·通】(1)由已知量表示未知量时，要善于利用三角形法则、平行四边形法则以及向量线性运算的运算律.(2)当直接表示较困难时，应考虑设出未知向量，表示出已知向量，建立方程组，利用方程(组)求解.第三十四页，共57页。【类题·通】第三十四页，共57页。【习练·破】如图，ABCD是一个梯形，AB∥CD，且AB=2CD，M，N分别是DC和AB的中点，已知=a，=b，试用a，b表示第三十五页，共57页。【习练·破】第三十五页，共57页。【解析】(方法一)连接CN，则ANDC，第三十六页，共57页。【解析】(方法一)连接CN，则ANDC，第三十六页，共5所以四边形ANCD是平行四边形.=-b，又因为=0，所以=b-a，所以=-b+a=a-b.第三十七页，共57页。所以四边形ANCD是平行四边形.第三十七页，共57页。(1)由已知量表示未知量时，要善于利用三角形法则、平行四边形法则以及向量线性运算的运算律.(1)-3a的方向与6a的方向相反，且-3a的模是6a的模的【解析】(方法一)连接CN，则ANDC，b，又试用a、b表示向量的线性运算的主要方法是什么？(2)反之，“若存在一个实数λ，使b=λa(a≠0)，则a与b共线”成立吗？所以y=3x-b=3=a-b.当λ=0时，λa=0.因为(x-a)-(b-x)=2x-(a+b)，所以2x-a-b=x-a-b，【解析】将3x-y=b两边同乘2，即e1+λe2=u(2e1-e2)=2ue1-ue2.【思维·引】利用向量共线定理解答.向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b=λa.【解析】将3x-y=b两边同乘2，关于A，B，C三点共线条件的变形式本例若把条件“向量b=e1+λe2(λ∈R)”改为“向量b=2me1+ne2(m，n∈R)”其他条件不变，试求m+n的值.所以所以m+n=0.先用向量表示向量，然后②中，左=2a+2b-2b+a=3a成立，故②正确；利用解方程的方法求解.如图所示，四边形OADB是平行四边形，=a，=因为-3<0，所以-3a与a方向相反且|-3a|先用向量表示向量，然后(方法二)因为=0，即：a++(-a)+(-b)=0，所以=b-a，又因为在四边形ADMN中，有=0，即：b+

a+

+(-

a)=0，所以

=

a-b.第三十八页，共57页。(1)由已知量表示未知量时，要善于利用三角形法则、平行四边形【加练·固】如图所示，四边形OADB是平行四边形，=a，=b，又试用a、b表示第三十九页，共57页。【加练·固】第三十九页，共57页。【解析】因为=a-b，所以(a-b)，所以=b+(a-b)=b+a-b=a+

b.又由=+=a+b，得第四十页，共57页。【解析】因为=a-b，第四十页，共5=a+b.所以=(a+b)-(a+b)

=a-b.第四十一页，共57页。=a+类型三向量共线定理及应用角度1求参数问题【典例】(2019·天水高一检测)设e1，e2是两个不共线的向量，若向量a=2e1-e2，与向量b=e1+λe2(λ∈R)共线，则当且仅当λ的值为 世纪金榜导学号(

)

A.0 B.-1 C.-2 D.-第四十二页，共57页。类型三向量共线定理及应用第四十二页，共57页。【思维·引】利用向量共线定理解答.第四十三页，共57页。【思维·引】利用向量共线定理解答.第四十三页，共57页。【解析】选D.因为向量a与b共线，所以存在唯一实数u，使b=ua成立.即e1+λe2=u(2e1-e2)=2ue1-ue2.所以

解得λ=-.第四十四页，共57页。【解析】选D.因为向量a与b共线，所以存在唯一实数第四十四页【素养·探】本题主要考查向量共线条件的应用，突出考查了数学运算的核心素养.本例若把条件“向量b=e1+λe2(λ∈R)”改为“向量b=2me1+ne2(m，n∈R)”其他条件不变，试求m+n的值.第四十五页，共57页。【素养·探】第四十五页，共57页。【解析】因为向量a与b共线，所以存在唯一实数u，使b=ua成立.即2me