专题01函数多选题（解析版）

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备战新高考狂练新题型之高三数学提升捷径专题01

函数多选题

典

型

母

题题源

2021山东高三期中

试题内容已知函数yfx是r上的奇函数，对任意xr，都有22fxfxf成立，当12,0,1xx，且12xx时，都有12120fxfxxx，则下列结论正确的有(

)a．12320210ffff

b．直线5x是函数yfx图象的一条对称轴c．函数yfx在7,7上有5个零点d．函数yfx在7,5上为减函数试题解析由奇函数可得(0)0f.由(2)()(2)fxfxf令2x可得(2)0f，则()(2)fxfx,()fx的图象关于直线1x对称.()(2)(2)[(22)](4)fxfxfxfxfx，所以()fx是周期为4的周期函数.当12,0,1xx，且12xx时，都有12120fxfxxx，所以()fx在区间0,1上单调递增.依据以上信息可画出函数()fx的草图如图所示.

选项a,易得(1)(3)(2021)(2021)0ffff，(2)(4)(2021)0fff，

所以12320210ffff，a正确.选项b，直线5x是函数yfx图象的一条对称轴，b正确.选项c，函数yfx在7,7上有7个零点，c不正确.选项d，函数yfx在7,5上为减函数，d正确.故选：abd.试题点评本题综合性较强，难度较大。综合考查函数的性质（单调性、奇偶性、周期性、对称性等性质），函数的零点，抽象函数的求值问题。

方法归纳函数有关的选择题，一般就是考查函数性质的运用。这类题应从题中所给的条件挖掘函数的性质，依据题中的条件及推出的结论，考虑选项的对错。要留意函数图象的运用，函数图象可能是依据题中的条件及推出的结论画出的草图，也可能是特别的函数的图象。解决函数选择题的方法一般有：

数形结合法，特值检验法，顺推破解法，正难则反法，逐项验证法。

【针对训练】

1.（2021枣庄市第三中学高三月考）以a表示值域为r的函数组成的集合，b表示具有如下性质的函数x组成的集合：对于函数x，存在一个正数m，使得函数x的值域包含于区间,mm。例如，当31xx，2sinxx时，1xa，2xb。则下列命题中正确的是：（

）

a．设函数fx的定义域为d，则"fxa'的充要条件是"br，ad，fab'b．函数fxb的充要条件是fx有最大值和最小值c．若函数fx，gx的定义域相同，且fxa，gxb，则fxgxb

d．若函数2ln22,1xfxaxxarx有最大值，则fxb

【答案】acd【解析】对a，"()fxa'即函数()fx值域为r，"br，ad，fab'表示的是函数可以在r中任意取值，故有：设函数()fx的定义域为d，则"()fxa'的充要条件是"br，ad，fab'，命题a是真命题；

对b，若函数()fxb，即存在一个正数m，使得函数()fx的值域包含于区间,mm．()mfxm剟．例如：函数()fx满意2()5fx，则有5()5fx剟，此时，()fx无最大值，无最小值．命题b"若函数()fxb，则()fx有最大值和最小值．'是假命题；对c，若函数()fx，()gx的定义域相同，且()fxa，()gxb，则()fx值域为r，()(,)fx，并且存在一个正数m，使得()mgxm剟，()()fxgxr，则()()fxgxb．命题c是真命题．对d，函数2()(2)(2,)1xfxalnxxarx有最大值，假设0a，当x时，201xx，(2)lnx，(2)alnx，则()fx，与题意不符；

假设0a，当2x时，2215xx，(2)lnx，(2)alnx，则()fx，与题意不符.0a，即函数2()(2)1xfxxx，当0x时，12xx，11012xx，即10()2fx；当0x时，()0fx；当0x时，12xx，11012xx，即1()02fx．11()22fx，即()fxb，故命题d是真命题．故选：acd.2.（2021山东高三期中）已知函数222,0,0xxxfxlogxx,若1234xxxx,且1234fxfxfxfx,则下列结论正确的是（

）

a．121xx

b．341xx

c．412x

d．12340

1xxxx

【答案】bcd【解析】画出函数fx的大致图象如下图，得出1223242,

xxlogxlogx,则341xx,故a错误,b正确;由图可知412x,故c正确;由于112112

1,2xxxxx221112110,1xxx,所以1234120,1xxxxxx,故d正确.则结论正确的是bcd，故选：bcd.

3.（2021山东高三期末）在平面直角坐标系xoy中，如图放置的边长为2的正方形abcd沿x轴滚动（无滑动滚动），点d恰好经过坐标原点，设顶点,bxy的轨迹方程是yfx，则对函数yfx的推断正确的是(

)

a．函数yfx是奇函数b．对任意的xr，都有44fxfx

c．函数yfx的值域为0,22d．函数yfx在区间6,8上单调递增【答案】

bcd【解析】由题意，当42x时，顶点,bxy的轨迹是以点(2,0)a为圆心，以2为半径的14圆；

当22x时，顶点,bxy的轨迹是以点(0,0)d为圆心，以22为半径的14圆；当24x时，顶点,bxy的轨迹是以点(2,0)c为圆心，以2为半径的14圆；当46x，顶点,bxy的轨迹是以点(4,0)a为圆心，以2为半径的14圆，与42x的外形相同，因此函数yfx在4,4恰好为一个周期的图像；所以函数yfx的周期是8；其图像如下：

a选项，由图像及题意可得，该函数为偶函数，故a错；b选项，由于函数的周期为8，所以(8)()fxfx，因此(4)(4)fxfx；故b正确；c选项，由图像可得，该函数的值域为0,22；故c正确；d选项，由于该函数是以8为周期的函数，因此函数yfx在区间6,8的图像与在区间2,0图像外形相同，因此，单调递增；故d正确；故选：bcd.4.（2021山东菏泽一中高三月考）设函数()fx的定义域为d，xd，yd，使得()()fyfx成立，则称()fx为"漂亮函数'.下列所给出的函数，其中是"漂亮函数'的是（

）

a．2yx=

b．11yxc．ln23yx

d．23yx

【答案】

bcd【解析】由题意知，函数fx的定义域为d，xd，yd，使得()()fyfx成立，所以函数fx的值域关于原点对称，对于a中，函数2yx=的值域为[0,)，不关于原点对称，不符合题意；对于b中，函数11yx的值域为(,0)(0,)，关于原点对称，符合题意；对于c中，函数ln23yx的值域为r，关于原点对称，符合题意；对于d中，函数23yx的值域为r，关于原点对称，符合题意，故选bcd.5.（2021山东高三期末）已知函数fx是定义在r上的奇函数，当0x时，1xfxex，则下列命题正确的是（

）

a．当0x时，1xfxex

b．函数fx有3个零点c．0fx的解集为,10,1

d．12,xxr，都有122fxfx

【答案】

bcd【解析】（1）当0x时，0x，则由题意得1xfxex，∵函数fx是奇函数，00f，且0x时，fxfx1xex1xex，a错；1,00,01,0xxexxfxxexx，（2）当0x时，由10xfxex得1x，当0x时，由10xfxex得1x，函数fx有3个零点1,0,1，b对；（3）当0x时，由10xfxex得1x，当0x时，由10xfxex得01x，0fx的解集为,10,1，c对；（4）当0x时，由1xfxex得"2xfxex，由"20xfxex得2x，由"20xfxex得20x，函数fx在,2上单调递减，在2,0上单调递增，函数在,0上有最小值22fe，且1xfxex0011e，又∵当0x时，10xfxex时1x，函数在,0上只有一个零点，当0x时，函数fx的值域为2,1e，

由奇函数的图象关于原点对称得函数fx在r的值域为221,,1ee1,1，对12,xxr，都有122fxfx，d对；故选：bcd．6.（2021夏津第一中学高三月考）定义新运算，当ab时，aba；当ab时，2abb，则函数12fxxxx，2,2x的值可以等于（

）．a．6

b．1c．6d．4

【答案】

bcd【解析】由题意知32,21122,12xxfxxxxxx，易知函数fx在2,2x上单调递增，所以4,6fx，所以函数12fxxxx，2,2x的值可以等于为4,1,6.故选：

bcd.7.（2021荆门市龙泉中学高三月考（理））已知函数22sin122xfxxxx.下列命题为真命题的是（

）

a．函数fx是周期函数b．函数fx既有最大值又有最小值c．函数fx的定义域是r，且其图象有对称轴d．对于任意(1,0)x，()fx单调递减【答案】

bc【解析】由函数2222122(1)(1)1sinxsinxfxxxxxxa.函数f（x）是周期函数不正确，由于分母随着自变量的远离原点，趋向于正穷大，所以函数图象无限靠近于x轴，故不是周期函数；b.令gx22122xxx，"32""2"4662,62210gxxxxgxxxgx

单调递增，又102g且gx对称轴是x＝12，故gx在12x取得最小值，又sinhxx在12x取

得最大值，故函数fx有最大值；另一方面，当0,0xgx恒成立，且由于sinyx0在1,2,3,4,

恒成立，故fx的最小值在1,2x

取得，由"1h，"12,1,2gfx单增，又0,fx

fx单调递减，同理32x，在""330,022ghfx单调递减，""000,,xhxgx

fx在01,x

单调递减，在03,2x单增，故0minfxfx

故f（x）有最大值又有最小值；b正确．c.函数f（x）的定义域是r，且1,fxfx故其对称轴是x＝12，此命题正确；d，f（12）1613，f（13）813500，f（12）＜f（13），故d不正确，综上，bc8.（2021山东高三月考）对于函数()yfx，若存在区间[,]ab，当[,]xab时，()fx的值域为[,](0)kakbk，则称()yfx为k倍值函数.下列函数为2倍值函数的是（

）

a．2()fxx

b．32()22fxxxx

c．()lnfxxx

d．()xxfxe

【答案】

abd【解析】由题意可得,若函数()yfx为2倍值函数,需要()2fxx在定义域内至少有两个不相等的实数根,a2()2fxxx,xr解得0x或2x满意题意;b32()222fxxxxx解得2x或0x满意题意;c()ln2fxxxx无解,不满意题意;d()2xxfxxe解得0x或1ln2x满意题意.故选:abd.9.（2021山东高三期中）已知函数2,0()(1),0xxemxmxfxexx（e为自然对数的底），若()()()fxfxfx=+-且()fx有四个零点，则实数m的取值可以为（

）

a．1b．ec．2ed．3e【答案】

cd

【解析】由于()()()fxfxfx=+-，可得()()fxfx，即()fx为偶函数，由题意可得0x时，()fx有两个零点，当0x时，0x，()2xfxemxm

即0x时，()22xxxxfxxeeemxmxemxm，由()0fx，可得20xxemxm，由,21xyxeymx相切，设切点为,ttte，

xyxe的导数为(1)x