线性定常系统的反馈结构与状态观测器课件

2022/12/26AutomaticControlTheory11、线性定常系统的常用反馈结构及其对系统特性的影响（1）两种反馈结构：状态反馈与输出反馈1）状态反馈设系统的状态空间模型设系统的控制量：状态反馈系统的动态方程2022/12/20AutomaticControlTh2022/12/26AutomaticControlTheory2状态反馈后的传递函数矩阵：闭环系统：2022/12/20AutomaticControlTh2022/12/26AutomaticControlTheory32）输出反馈输出反馈到状态微分的反馈系统输出反馈两种输出反馈：（1）输出反馈到状态微分的反馈系统（2）输出反馈到参考输入的反馈系统2022/12/20AutomaticControlTh2022/12/26AutomaticControlTheory4传递函数：输出反馈到参考输入的反馈系统传递函数：2022/12/20AutomaticControlTh2022/12/26AutomaticControlTheory5如果输出反馈等价与状态反馈（2）反馈结构对系统性能的影响状态反馈、输出反馈都会改变系统的系数矩阵，会影响系统的可控性、可观测性、稳定性、响应特性等。1）对系统可控性和可观测性的影响定理1：状态反馈的引入不改变系统可控性，但可能改变系统的可观测性。状态反馈系统的动态方程2022/12/20AutomaticControlTh2022/12/26AutomaticControlTheory6定理2：输出反馈到状态微分的反馈系统，不改变系统可观测性，但可能改变系统的可控性。定理3：输出反馈到参考输入的反馈系统（即输出反馈），不改变系统可控性和可观测性。2）对系统稳定性的影响状态反馈系统的动态方程状态反馈和输出反馈都会改变系统的系数矩阵，所以其会影响系统的稳定性。2022/12/20AutomaticControlTh2022/12/26AutomaticControlTheory7若状态反馈系统是渐近稳定的，则要求（A-BK）的特征值均有负实部，则系统实现了状态反馈镇定若通过状态反馈使得闭环系统成为稳定系统，则称为镇定．定理4：当且仅当线性定常系统的不可控部分渐近稳定时，系统是状态可镇定的。由于系统{A,B}不完全可控，则有可控性结构分解引入状态反馈2022/12/20AutomaticControlTh2022/12/26AutomaticControlTheory8２、单输入－单输出系统的极点配置闭环系统的性能与闭环极点（特征值）密切相关。在经典控制理论中用调整开环增益、串联校正、并联校正来配置闭环极点，改善闭环系统的性能。状态空间方法：利用状态反馈、输出反馈来配置极点。状态反馈在形成最优控制、克服和抑制扰动作用、实现系统解耦控制等方面具有很多的应用。2022/12/20AutomaticControlTh2022/12/26AutomaticControlTheory9两个问题：（１）极点可配置的条件；（２）确定极点配置所需要的反馈增益矩阵。讨论单输入多输出系统线性定常系统的状态反馈和极点配置问题。定理5：用状态反馈任意配置闭环极点的充要条件：受控系统可控证明：（1）充分性设受控系统{A,b}是状态可控的，经非奇异变换将矩阵A、b可化为可控标准型，有2022/12/20AutomaticControlTh2022/12/26AutomaticControlTheory10变换后的状态反馈矩阵2022/12/20AutomaticControlTh2022/12/26AutomaticControlTheory112022/12/20AutomaticControlTh2022/12/26AutomaticControlTheory12通过选择可以满足方程中n个任意待定的参数

（２）必要性：若系统不可控，必有一部分状态与无关，不可能具有可控标准型，也就不可能得到全状态反馈，不可控部分的子系统的特征值不能重新配置。经过变换后的2022/12/20AutomaticControlTh2022/12/26AutomaticControlTheory13状态反馈的一些性质：（1）状态反馈不会改变系统的可控性，即经过状态反馈后系统仍然可控；（2）状态反馈可能会影响系统的可观性2022/12/20AutomaticControlTh2022/12/26AutomaticControlTheory14单输入－单输出系统的极点配置算法规范算法：给定可控系统{A,b}和期望的闭环特征值，要确定状态反馈增益向量，使闭环系统的动态矩阵的特征值为（１）计算Ａ的特征多项式（２）计算由所决定的希望特征多项式2022/12/20AutomaticControlTh2022/12/26AutomaticControlTheory15(4)计算变换阵(5)求P(6)计算反馈增益向量（３）计算2022/12/20AutomaticControlTh2022/12/26AutomaticControlTheory16例1：受控系统求状态反馈矩阵使系统的闭环极点为解：（1）列写状态空间表达式，能控标准型2022/12/20AutomaticControlTh2022/12/26AutomaticControlTheory172022/12/20AutomaticControlTh2022/12/26AutomaticControlTheory182022/12/20AutomaticControlTh2022/12/26AutomaticControlTheory19例2：受控系统求状态反馈矩阵研究使系统的闭环极点为的可能性。解：对象传递函数存在零极点对消，系统可控不可观，或系统不可控可观。若按可控标准型实现，则状态反馈矩阵设计结果和例1一致。现按可观标准型实现，设计状态反馈矩阵2022/12/20AutomaticControlTh2022/12/26AutomaticControlTheory202022/12/20AutomaticControlTh2022/12/26AutomaticControlTheory21上述方程与方程（1）是矛盾的，所以无解，表示系统状态不完全可控，无法用状态反馈实现闭环极点任意配置。2022/12/20AutomaticControlTh2022/12/26AutomaticControlTheory22例３已知系统状态方程求状态反馈向量，使系统的闭环特征值为解：系统的可控性判别矩阵2022/12/20AutomaticControlTh2022/12/26AutomaticControlTheory23系统的特征多项式希望特征多项式则可求得变换阵2022/12/20AutomaticControlTh2022/12/26AutomaticControlTheory242022/12/20AutomaticControlTh2022/12/26AutomaticControlTheory253、全维状态观测器及其设计状态观测器、状态估计器、状态重构器全维状态观测器的维数=被控对象的状态维数（1）全维状态观测器的构成方案被控对象动态方程：上述的模拟系统模型：由于两个系统的初始状态可能不同，即存在状态误差：输出误差：2022/12/20AutomaticControlTh2022/12/26AutomaticControlTheory26根据反馈控制原理：状态观测器的状态微分端KABCHABC状态观测器及其状态反馈结构图2022/12/20AutomaticControlTh2022/12/26AutomaticControlTheory27（２）全维状态观测器分析与设计由状态观测器的结构观测器系统矩阵：决定了观测器的特征值观测器设计是要求两个系统在任意的初始状态，都能保证上述也称为观测器存在的条件。2022/12/20AutomaticControlTh2022/12/26AutomaticControlTheory28考察状态误差动态方程由状态误差动态方程的解：所引入的输出反馈不起作用若输出反馈起作用若的特征值具有负实部，则2022/12/20AutomaticControlTh2022/12/26AutomaticControlTheory29定理：若系统（A，B，C）状态可观测，则状态可用的全维状态观测器给出估计值，其中H按任意配置极点的要求来选择，以决定状态误差的衰减速率。例：设被控对象试设计全维状态观测器，将极点配置到解：（1）列写状态空间模型，如考虑可控标准型2022/12/20AutomaticControlTh2022/12/26AutomaticControlTheory30（2）设计输出反馈阵观测器特征方程：期望观测器特征方程：2022/12/20AutomaticControlTh2022/12/26AutomaticControlTheory314、分离特性两个问题：（1）在状态反馈系统中，用状态估计值是否要重新计算状态反馈增益矩阵K？（2）当观测器被引入系统后，状态反馈部分会改变已经设计好的观测器的极点配置？设控制输入：全维状态观测器：2022/12/20AutomaticControlTh2022/12/26AutomaticControlTheory32构造2n维复合系统：引入状态误差动态方程：对2n维复合系统，引入非奇异变换：2022/12/20AutomaticControlTh2022/12/26AutomaticControlTheory33注意：对2n维复合系统的传递函数2022/12/20AutomaticControlTh2022/12/26AutomaticControlTheory34对2n维复合系统的特征值分离定理：若被控系统（Ａ，Ｂ，Ｃ）可控可观测，用状态观测器估值形成的状态反馈，其系统的极点配置和观测器设计可以分别进行．2022/12/20AutomaticControlTh2022/12/26AutomaticControlTheory35若，对于单输入/单输出系统，状态反馈只改变传递函数的分母，不会影响分子部分。由于实现系统极点任意配置，有可能出现分子、分母中的零、极点对消，从而破坏系统的可观性。当分子不含有零点，就不会出现零极点相消的情况。这时，系统经过状态反馈既能保持系统的可控性、又保持系统的可观性。2022/12/20AutomaticControlTh2022/12/26AutomaticControlTheory36输出反馈与极点配置多输入单输出系统，输出反馈到状态微分的反馈系统输出反馈2022/12/20AutomaticControlTh2022/12/26AutomaticControlTheory37定理：用输出反馈到状态微分，实现任意配置闭环极点的充要条件：受控系统可观测。输出反馈到状态微分的反馈系统的一些性质：（1）输出反馈不会改变系统的可观性，即经过输出反馈后系统仍然可观测，不会改变闭环零点；（2）输出反馈可能会影响系统的可控性2022/12/20AutomaticControlTh2022/12/26AutomaticControlTheory38输出反馈到参考输入的反馈系统2022/12/20AutomaticControlTh2022/12/26AutomaticControlTheory39状态反馈输出反馈到参考输入的反馈系统的一些性质：（1）h为常数矩阵时，不能任意配置闭环极点。（2）不会改变原系统的可控性和可观测性2022/12/20AutomaticControlTh2022/12/26AutomaticControlTheory402022/12/20AutomaticControlTh2022/12/26AutomaticControlTheory411、线性定常系统的常用反馈结构及其对系统特性的影响（1）两种反馈结构：状态反馈与输出反馈1）状态反馈设系统的状态空间模型设系统的控制量：状态反馈系统的动态方程2022/12/20AutomaticControlTh2022/12/26AutomaticControlTheory42状态反馈后的传递函数矩阵：闭环系统：2022/12/20AutomaticControlTh2022/12/26AutomaticControlTheory432）输出反馈输出反馈到状态微分的反馈系统输出反馈两种输出反馈：（1）输出反馈到状态微分的反馈系统（2）输出反馈到参考输入的反馈系统2022/12/20AutomaticControlTh2022/12/26AutomaticControlTheory44传递函数：输出反馈到参考输入的反馈系统传递函数：2022/12/20AutomaticControlTh2022/12/26AutomaticControlTheory45如果输出反馈等价与状态反馈（2）反馈结构对系统性能的影响状态反馈、输出反馈都会改变系统的系数矩阵，会影响系统的可控性、可观测性、稳定性、响应特性等。1）对系统可控性和可观测性的影响定理1：状态反馈的引入不改变系统可控性，但可能改变系统的可观测性。状态反馈系统的动态方程2022/12/20AutomaticControlTh2022/12/26AutomaticControlTheory46定理2：输出反馈到状态微分的反馈系统，不改变系统可观测性，但可能改变系统的可控性。定理3：输出反馈到参考输入的反馈系统（即输出反馈），不改变系统可控性和可观测性。2）对系统稳定性的影响状态反馈系统的动态方程状态反馈和输出反馈都会改变系统的系数矩阵，所以其会影响系统的稳定性。2022/12/20AutomaticControlTh2022/12/26AutomaticControlTheory47若状态反馈系统是渐近稳定的，则要求（A-BK）的特征值均有负实部，则系统实现了状态反馈镇定若通过状态反馈使得闭环系统成为稳定系统，则称为镇定．定理4：当且仅当线性定常系统的不可控部分渐近稳定时，系统是状态可镇定的。由于系统{A,B}不完全可控，则有可控性结构分解引入状态反馈2022/12/20AutomaticControlTh2022/12/26AutomaticControlTheory48２、单输入－单输出系统的极点配置闭环系统的性能与闭环极点（特征值）密切相关。在经典控制理论中用调整开环增益、串联校正、并联校正来配置闭环极点，改善闭环系统的性能。状态空间方法：利用状态反馈、输出反馈来配置极点。状态反馈在形成最优控制、克服和抑制扰动作用、实现系统解耦控制等方面具有很多的应用。2022/12/20AutomaticControlTh2022/12/26AutomaticControlTheory49两个问题：（１）极点可配置的条件；（２）确定极点配置所需要的反馈增益矩阵。讨论单输入多输出系统线性定常系统的状态反馈和极点配置问题。定理5：用状态反馈任意配置闭环极点的充要条件：受控系统可控证明：（1）充分性设受控系统{A,b}是状态可控的，经非奇异变换将矩阵A、b可化为可控标准型，有2022/12/20AutomaticControlTh2022/12/26AutomaticControlTheory50变换后的状态反馈矩阵2022/12/20AutomaticControlTh2022/12/26AutomaticControlTheory512022/12/20AutomaticControlTh2022/12/26AutomaticControlTheory52通过选择可以满足方程中n个任意待定的参数

（２）必要性：若系统不可控，必有一部分状态与无关，不可能具有可控标准型，也就不可能得到全状态反馈，不可控部分的子系统的特征值不能重新配置。经过变换后的2022/12/20AutomaticControlTh2022/12/26AutomaticControlTheory53状态反馈的一些性质：（1）状态反馈不会改变系统的可控性，即经过状态反馈后系统仍然可控；（2）状态反馈可能会影响系统的可观性2022/12/20AutomaticControlTh2022/12/26AutomaticControlTheory54单输入－单输出系统的极点配置算法规范算法：给定可控系统{A,b}和期望的闭环特征值，要确定状态反馈增益向量，使闭环系统的动态矩阵的特征值为（１）计算Ａ的特征多项式（２）计算由所决定的希望特征多项式2022/12/20AutomaticControlTh2022/12/26AutomaticControlTheory55(4)计算变换阵(5)求P(6)计算反馈增益向量（３）计算2022/12/20AutomaticControlTh2022/12/26AutomaticControlTheory56例1：受控系统求状态反馈矩阵使系统的闭环极点为解：（1）列写状态空间表达式，能控标准型2022/12/20AutomaticControlTh2022/12/26AutomaticControlTheory572022/12/20AutomaticControlTh2022/12/26AutomaticControlTheory582022/12/20AutomaticControlTh2022/12/26AutomaticControlTheory59例2：受控系统求状态反馈矩阵研究使系统的闭环极点为的可能性。解：对象传递函数存在零极点对消，系统可控不可观，或系统不可控可观。若按可控标准型实现，则状态反馈矩阵设计结果和例1一致。现按可观标准型实现，设计状态反馈矩阵2022/12/20AutomaticControlTh2022/12/26AutomaticControlTheory602022/12/20AutomaticControlTh2022/12/26AutomaticControlTheory61上述方程与方程（1）是矛盾的，所以无解，表示系统状态不完全可控，无法用状态反馈实现闭环极点任意配置。2022/12/20AutomaticControlTh2022/12/26AutomaticControlTheory62例３已知系统状态方程求状态反馈向量，使系统的闭环特征值为解：系统的可控性判别矩阵2022/12/20AutomaticControlTh2022/12/26AutomaticControlTheory63系统的特征多项式希望特征多项式则可求得变换阵2022/12/20AutomaticControlTh2022/12/26AutomaticControlTheory642022/12/20AutomaticControlTh2022/12/26AutomaticControlTheory653、全维状态观测器及其设计状态观测器、状态估计器、状态重构器全维状态观测器的维数=被控对象的状态维数（1）全维状态观测器的构成方案被控对象动态方程：上述的模拟系统模型：由于两个系统的初始状态可能不同，即存在状态误差：输出误差：2022/12/20AutomaticControlTh2022/12/26AutomaticControlTheory66根据反馈控制原理：状态观测器的状态微分端KABCHABC状态观测器及其状态反馈结构图2022/12/20AutomaticControlTh2022/12/26AutomaticControlTheory67（２）全维状态观测器分析与设计由状态观测器的结构观测器系统矩阵：决定了观测器的特征值观测器设计是要求两个系统在任意的初始状态，都能保证上述也称为观测器存在的条件。2022/12/20AutomaticControlTh2022/12/26AutomaticControlTheory68考察状态误差动态方程由状态误差动态方程的解：所引入的输出反馈不起作用若输出反馈起作用若的特征值具有负实部，则2022/12/20AutomaticControlTh2022/12/26AutomaticControlTheory69定理：若系统（A，B，C）状态可观测，则状态可用的全维状态观测器给出估计值，其中H按任意配置极点的要求来选择，以决定状态误差的衰减速率。例：设被控对象试设计全维状态观测器，将极点配置到解：（1）列写状态空间模型，如考虑可控标准型2022/12/20AutomaticControlTh2022/12/26AutomaticControlTheory70（2）设计输出反馈阵观测器特征方程：期望观测器特征方程：2022/12/20AutomaticControlTh2022/12/26AutomaticControlTheory714、分离特性两个问题：（1）在状态反馈系统中，用状态估计值是否要重新计算状态反馈增益矩阵K？（2）当观测器被引入系统后，状态反馈部分会改变已经设计好的观测器的极点配置？设控制输入：全维状态观测器：2022/12/20AutomaticControlTh2022/12/26AutomaticControlTheory72构造2n