复数与复变函数

第一章复数与复变函数(Complexnumberandfunctionofthecomplexvariable)第一讲授课题目：§1.1复数§1.2复数的三角表示教学内容：复数的概念、复数的四则运算、复平面、复数的模和辐角、复数的三角不等式、复数的表示、复数的乘方与开方.学时安排：2学时教学目标：12、切实理解掌握复数的辐角3、掌握复数的表示教学重点：复数的乘方、开方运算及它们的几何意义教学难点：复数的辐角教学方式：多媒体与板书相结合.

思考题：1、2、3.习题一：1-927板书设计：一、复数的模和辐角二、复数的表示三、复数的乘方与开方参考资料：1、《复变函数》，西交大高等数学教研室，高等教育出版社.2课后记事：1、基本掌握复数的乘方、开方运算2、不能灵活掌握复数的辐角（要辅导）3、能灵活运用复数的三角表示进行复数的运算教学过程：引言复数的产生和复变函数理论的建立1、1545Cardan17、1821777Euler现了复指数函数和三角函数之间的关系，创立了复变函数论的iEuler319CauchyRiemannWeierstrass知直到今天都是比较完善的.420与亚纯函数理论、解析函数的边值问题、复变函数逼近论、黎曼曲面、单叶解析函数论等等，并广泛用于理论物理、弹性物理和天体力学、流体力学、电学等领域.5推广和发展，在学习过程中要注意它们相似之处和不同之处的比较.第一章复数与复变函数§1.1复数(Complexnumber)一、复数的概念（Theconceptofcomplex）11xiyxyRi1常记为zxiy；

是虚数单位；通2xyzxRez，yImz；3xyzxiy(xyR为纯虚数；当Imz0zxiyImz0zx就是一个实数；4、两个复数相等：复数z

xiy

x

相等是指它1 1 1 2 2 2们的实部与虚部分别相等.5zzzxiyxiy为复数z的共轭复数（Conjugate，记作zx1：例如，设i0，则ii0i，即10，矛盾.200i0二、复数的四则运算（Complexnumberarithmetic）设za1 1

ib1

za2

ib 则2z z1 2

(a1

ib1

)(a2

ib2

)(a1

a)i(b2

b)2zz (a12 1

ib1

)(a2

ib2

)(aa1

bb12

)i(ab12

ab)21z1(a

) aa b2

abab)

z01 1 1

12i 2

12 （ ）z (a2 2

ib2

) a2

b2

a2b2 22 2容易验证下列公式：

z z (1)zz

zz

，(2)zz

zz

，(3)

1)

z0，1 2 1 2

1 2 1

z z 22 2(4)zz2Re(z),zz2iIm(z)，zzx2y2(Rez)2(Imz)2，zz zz (5)Rez

, ，(6)zz.2 显然，复数的运算满足交换律、结合律和分配律.C三、复平面（Complexplane）作映射：CR2:zxiy(x,y)，则在复数集与平面R21-1虚轴；把实轴和虚轴决定的整个坐标平面我们称为复平面（Complexplane）或Z平面.3zw-平面等.§1.2(Therepresentationofcomplexnumber)一、复数的模和辐角（ComplexmodulusandArgument）zxiy用向量op来表示.向量的长度称为复x2y2数zxiy的模，记作：|zx2y2向量与正实轴之间的夹角称为复数zxiy辐角（ArgumentArz.P(x,y)yzrox xo由于任意非零复数有无限多个辐角，用argz表示符合条件argz的一个角，称为复数zxiy主辐角（MainArgument）.即的主值，于是Argzargz2k k0,2,z此时有z

z ArgzArgz. z

zz4当z0时辐角无意义.z0（argz

arctan

y）arctan

y,当x0,y0;x

2 x 2 , 当x0y2 yargz

arctan

,当x0,y0;z0 arctany

,当x0,y0;其中

arctany2 x 2例1求Arg(2i)及Arg(-34i)解 Arg(22i)arg(22i)2k2arctan22k2 2k (k0,2,)Arg3)ar3)arctan42k3 4(2karctan3

(k0,1,2,)二、复数模的三角不等式（Pluraltriangleinequality）关于两个复数z 与z1 2

的和与差的模，有下列不等式：（1）|zz1 （3）|zz1

z1z1

||z2||z2

|（2）|zz1 |（4）|zz1

z1z1

||z2||z2

||；||；（5）|Rez|z|,|Imz|z|（6）|z|2zz.例2设zz1 2

是两个复数，求证：|zz1 2

|2|z1

|2|z2

|22Re(zz),12证明z1

z2

z1

z2

z2z21

z 2

zz z12

z2z1 1

z 2

zz1

zz12z21

z 2

2Rezz12三、复数的三角表示（Representationofcomplexnumbers）1、复数的点表示（PluralPoint）zxiyy，另一方面，在平面直y也对应有序实数对，因此复数zxiy可yzz同义2、复数的向量表示（Complexvectorthat）我们已经知道复数zxiy等同于平面中的向量op复数zxiy可用向量op来表示，3、复数的三角表示（Complextrianglethat）z0z的模为rz角，则zisin),z的注5：一个复数的三角表示不是唯一的例3写出复数1i的三角表示解因为1i

i242

，所以 1i 2cos isin 4 4也可以表示为 1i 2cos isin 4 4例4设zrcosisin 1求复数

的三角表示z解因为1 z, zr,zisin，所以z z211isin1iz r r4、复数的指数表示（Saidpluralindex）由欧拉公式，可得复数zisinz例5将复数1cosisin化为指数式解

0 1cosisin2sin2 2isin cos 2 2 22sinsinicos22 22sincosisin

2 2 2

2 2 2sin

e2 2 2四、用复数的三角表示作乘除法（Withthecomplextrianglethatmakemultiplicationanddivision）利用复数的三角表示，我们表示复数的乘法与除法：设z，1z 是两个非零复数，则有2z |z1 1

|(cos1

isin) z1

|z2

|(cos2

isin)2则有zz |z ||z |[cos( )isin( )]12 1 2 1 2 1 2有|zz1 2

||z1

||z2

|，Arg(zz12

)Argz1

Argz2

，后一个式子应理解为集合相等.同理，对除法有z1zz1 [cos(z1zz 1

)isin(2

)]2即|z1z2

2z1z，z1z2

2z1)Argzz 12

，后一个式子也应理2解为集合相等.五、复数的乘方与开方（Involutionandevolutionofcomplexnumbers）1、复数的乘方（Apowercomplex）设复数zrcosisin，则对正整数nznrnisinn （1）当r1时，即icosnisinn （2）（2）式称为棣莫弗（DeMoivre）公式2、复数的开方（Evolutionofcomplexnumbers）开方是乘方的逆运算，设wnzwzzn次方根.记作nz1wzn （z0）nz1令zisin wisin于是就有

ncoisinnrcoisi由此推出1rn,1

12kn

k0,1,2,故得1wzn1

n|z|[cos(12kisin(12kn nk2, （3）当k1w有n个互不相同的值.（3）可写成1wzn1

n|z|[cos(12kisin(12kn nk2,,n1 （4）例6求

的所有值4(14(1i)解：由于1i 2(cos isin )，所以有4 44(14(1i)82[cos (

2k)

1isin (

2k)]4 4 4 44i) k 4i)82[cos( )isin( 16 2 16 2k0,1,2,3.7z23iz(3i)0 94(3i)解z2 94(3i)z

3i(2i) 2 2 z1(22i)1i, z1 2

1(24i)121、复数的概念（zxiy）2、复数的四则运算3、复平面4、复数的模和辐角x2yx2y2Argzargz2k k2,5、复数的三角不等式6、复数的表示法（代数表示、三角表示、指数表示）7、复数的乘方与开方znrn

isin

zn

znArgzn

nArgz1wzn1

|z|[cos(12kisin(12knn nnk0,1,2,2 1§1.3平面点集的一般概念§1.4复球面与无穷大§1.5复变函数开集与闭集、区域、平面曲线、复球面、复变函数的概念、复变函数的极限与连续、一致连续性、有界闭区域E上连续函数的性质.1、了解复平面上点集的一般概念2、理解复球面与复平面的关系3、充分理解关于单值函数、多值函数的概念4、理解复变函数的极限与连续性的概念复变函数的概念、极限与连续无穷大与复球面讲授法多媒体与板书相结合P习题一：10-1628一、复球面与无穷大二、复变函数的概念、极限与连续三、有界闭区域E《复变函数与积分变换学习辅导与习题全解1、基本掌握复变函数的极限运算2、能够理解关于单值函数、多值函数的概念3、基本理解复球面与复平面的关系第二讲授课题目：§1.3平面点集的一般概念§1.4复球面与无穷大§1.5复变函数复变函数的极限与连续、一致连续性、有界闭区域E上连学时安排：2学时教学目标：1、了解复平面上点集的一般概念2、理解复球面与复平面的关系3、充分理解关于单值函数、多值函数的概念4、理解复变函数的极限与连续性的概念教学重点：复变函数的概念、极限与连续教学难点：无穷大与复球面教学方式：多媒体与板书相结合作业布置：P习题一：10-1628板书设计：一、复球面与无穷大二、复变函数的概念、极限与连续E参考资料：1、《复变函数》，西交大高等数学教研室，高等教育出版社.2等教育出版.课后记事：1、基本掌握复变函数的极限运算2、能够理解关于单值函数、多值函数的概念3、基本理解复球面与复平面的关系教学过程：§1.3复平面上点集的一般概念(Elementaryconceptionofpointsetincomplexplane)一、开集与闭集（Opensetandclosedset）设zC,0，点集0{z||zz ,zC},0称为点z0

的邻域，记作U(z0

,)注1：U(a,r){z||zz ,zC},设GC,zC，0 0若0，使得U(z,)G，则称z 为G的内点0 0（Interiorpoint；若0,U(z,G中既有属于G的点，又有不属于0G的点，则称z0

为G的边界点（Boundarypoints；集G的全部边界点所组成的集合称为G的边界（r记为；若0U(z,G{zz为G的孤0 0 0立点（Outlier；的一定是G的（Boundarypoints）如果G的所有点都是它的内点，那么称G为开集；如果0GU(0,,则称G是（Boundedset，否则称G是无界集；例1圆盘U(z0

,)是有界开集；2集合G{z||zz0|rz0r的圆周，G是圆盘U(z

,r)和闭圆盘U(z0

,r)的边界.03复平面、实轴、虚轴是无界集，复平面是无界开集.4点集Gz|0zz}z0 0是点集G的边界点.它是G的孤立点，二、区域（Region）复平面C上的点集D是一个区域，如果满足：（1）D是开集；DD线连起来.换句话说：区域就是连通的开集区域D内及其边界上全部点所组成的点集称为 闭区域（Closedarea）.记作G5点集Gz|2Rez通的无界区域，其边界为直线Rez2及Rez3.例6点集G{z|2arg(zi)3}为一角形区域，它是一个连通无界区域，其边界为半射线arg(zi2及arg(zi3三、平面曲线（Planecurve）设zz(t)(atb) 如果Rez(t) 和Imz(t都在闭区间[a,b上连续，则称点集{z(t|t[a,b]}为一条连续曲线（Continuouscurve）.如果对[a,b]上任意不同两点t及t1 2

，但不同时是[a,b]的端点，我们有z(t1

)z(t2

)，那么上述点集称为一条简单连续曲线（Simplecontinuousclosedcurve，或约当曲线（curvez(a)zb)（continuousclosedcurve，或约当闭曲线（Jordancurve）.约当定理（JordanTheorem：复平面分成两个没有公共点的区域：一个有界的称为该区域的界.光滑曲线（SmoothcurvextRezt)和Imz(t都在闭区间[a,b上连续，且有连续的导函数，在[a,b]z'(t)0{z(t|t[a,b为一（Smoothcurve由有限条光滑曲线连接而成的连续曲线成为逐段光滑曲线.设D为复平面上的区域，若在D内无论怎样划简单闭曲线，其内部仍全含于DD为单连通区域（Simplyconnected（Multi-connectedregion）7集合{z|2|zi}|zi2及|zi2.§1.4复球面与无穷大1、复球面（Complexsphere）在点坐标是(x,y,u) 的三维空间中，把XOY面看作就是z平面.考虑单位球面Sx2y2u21O（南极）zOz平面的直线与球面交于一点Nz平面上的点y,0的直线,即复平面上的点Ax,y,0都对应球面上的点.反过来也成立.那么N(0,0,1)与复平面上的哪一点对应？约定:在复平面上有一个理想的点,称之为无穷远点,其投影为N(0,0,1).（下图形是错的）A'(x',y',u')A(x,y,0)

uNyxOS(0,0,1)2、无穷大（Infinity）N引入一个新的非正常复数无穷远点C{为扩充复平面（Extendedcomplexplane，记为C复球面（Complexsphere；.关于新“数”无穷大（Infinity），作如下几点规定其实部、虚部、辐角无意义，模等于；基本运算为（a为有限复数：aa； aa (a0)；aa

aa平面包含点.注：扩充复平面上无穷远点的邻域，包括无穷远点自身在内且满足zM0的所有点的集合:zM称为无穷远点的邻域.不包括无穷远点自身在内且满足zM0的所有点的集合:zM称为无穷远点的去心邻域§1.5复变函数(Complexanalysis)一、复变函数的概念（Theconceptofcomplexfunction）CGzxiyG，如果存在一fwuivCfG上的一个单值复变数函数，简称为复变函数，记为wf(z).不是单值复变数函数的复变数函数称为多值复变数函数.点集G称为复变数函数wf(z体称为复变数函数wf(zD注：一个复变函数等价于两个实变量的实值函数：zxiywRef(ziImf(z)u(xyiv(xy)，则wf(z等价于两个二元实变函数uu(xy和vv(xy.wf(zGD把集合G表示在一个复平面上，称为zwf(zw-平面.wf(z)z0

G映射成为wf(z0 0

)D，wAz0

和G的象，而称z0

和GwD0的原象.8f(z)

x1

1 x2y2

iy1

1 x2y2将f(z)表示成z的函数.解1 1设zxiy,则x

(zz),y2

(zz)2i

f(z)z1.z二、复变函数的极限与连续（LimitsandcontinuityofComplexfunctions）复变函数的极限定义（Definition）1.1设函数wf(z)在点z 的去心邻0域z0|zz 内有定义，A是一个确定的复常数A.0如果任给0，总存在正数()0，对任意z：0|zz0

|，有|f(z)A，则称A为函数f(z)当z趋于z 时的极限（limits，记作：0limf(z)A或f(z)A(当zz).zz 00类似于实函数极限的性质，有设limf(z)A limg(z)B,则zz0

zz 0lim f(z)gz AB0zz0limf(z)gzABzz0fz A(3)limzz0

gz

B0.B定理1.1f(z)u(x,yiv(xy在点集G上有定义，z0

x iy0

AaiblimfzAaib的zzG(z0G充要条件是

lim u(x,y)

lim v(x,y)(x,y)(x0

,y)00

(x,

,y)00(x,y0证明（略