《图像变换》教学课件

《图像变换》幻灯片本课件PPT仅供大家学习使用学习完请自行删除，谢谢！本课件PPT仅供大家学习使用学习完请自行删除，谢谢！本课件PPT仅供大家学习使用学习完请自行删除，谢谢！本课件PPT仅供大家学习使用学习完请自行删除，谢谢！《图像变换》幻灯片本课件PPT仅供大家学习使用第三章图像变换3.1引言3.2空域变换3.3图像的频域变换3.4离散傅立叶变换3.5离散余弦变换3.6KL变换3.7其他正交变换第三章图像变换3.1引言3.1引言图像的数学变换的特点在于其有准确的数学背景，是许多图像处理技术的根底。在这些变换中，一种是在空间域上进展的，这些变换根据处理操作的特点，可以分为图像的代数运算和几何运算，它们都是利用对输入图像进展加工而得到输出图像。另一种重要的数学变换那么是将原定义在图像空间的图像以某种形式转换到另外一些空间，并利用输入图像在这些空间的特有性质有效而快速地对图像进展处理和分析。最典型的变换有离散傅立叶变换，它把空域中的图像信号看作二维时间序列，将其变换到频率域来分析图像的频谱特性。空域变换有如加法、减法等的代数变换，也有如旋转、拉伸等的几何变换；频域变换除了傅立叶变换外，常用的非空域的变换还有离散余弦变换等。无论是在空域中的数学变换还是频域中的数学变换，它们在图像分析、滤波、增强、压缩等处理中都有着非常典型而重要的应用。3.1引言图像的数学变换的特点在于其有准确3.2空域变换1.代数变换图像的代数变换是指对两幅图像进展点对点的四那么运算而得到一幅新的输出图像。图像的代数运算在图像处理中有着广泛的应用，它除了可以实现自身所需要的算术操作，还能为许多复杂的图像处理提供准备。1〕加法运算2〕减法运算〔差分〕3.2空域变换1.代数变换+=+==—=—线性变换非线性变换3〕其他灰度变换灰度变换的变换函数曲线如以下图：线性变换非线性变换3〕其他灰度变换(1)图象求反0255255(1)图象求反0255255(2)比照度拉伸(2)比照度拉伸(3)动态范围压缩0255255(3)动态范围压缩02552552.几何变换图像在生成过程中，由于系统本身具有非线性或拍摄角度不同，会使生成的图像产生几何失真。几何失真一般分为系统失真和非系统失真。系统失真是有规律的、能预测的；非系统失真那么是随机的。几何变换可以改变图像中物体之间的空间关系。这种运算可以看成是图像内的各物体在图像内移动的过程。例如，物体的转动、扭曲、倾斜、拉伸等等，都是几何运算的结果。如以下图：2.几何变换1〕平移2〕放缩1〕平移2〕放缩3〕旋转0,0xy3〕旋转0,0xy0,0xy4〕水平镜像0,0xy4〕水平镜像0,0xy5〕垂直镜像0,0xy5〕垂直镜像6〕一般的几何变换以下图显示了在失真和相应的校正图像中的四边形区域，四边的顶点是相应的“控制点〞。假设四边形区域中的几何形变过程用双线性方程对来建模，即：FDCBAFDCAB6〕一般的几何变换FDCBAFDCAB7〕几何变换中灰度插值对图像作定量分析时，就要对失真的图像进展几何校正〔即将存在几何失真的图像校正成无几何失真的图像〕，以免影响分析精度。根本方法是先建立几何校正的数学模型；其次利用条件确定模型参数；最后根据模型对图像进展几何校正。通常分为两步：(1)图像空间的坐标变换；(2)确定校正空间各象素的灰度值。输出象素通常被映射到输入图像中的非整数位置，即位于四个输入象素之间。因此，为了决定与该位置相对应的灰度值，必须进展插值运算。常用的插值方法有3种：(1)最近邻插值(NearestNeighborInterpolation)(2)双线性插值(BilinearInterpolation)(3)三次立方插值7〕几何变换中灰度插值(1)最近邻插值(NearestNeighborInterpolation)最简单的插值方法是最近邻插值，即选择离它所映射到的位置最近的输入象素的灰度值为插值结果。数学表示为：(2)双线性插值(BilinearInterpolation)双线性插值法是对最近邻法的一种改进，即用线性内插方法，根据点的四个相邻点的灰度值，分别在x和y方向上进展两次线性插值插值。如下图：(1)最近邻插值(NearestNeighborInt首先，在x方向上作线性插值，对上端的两个顶尖进展线性插值得：类似的，对于底端两个顶点进展线性插值有：y方向上作线性插值，以确定：最后得到双线性插值公式为：首先，在x方向上作线性插值，对上端的两个顶尖进展线性插值得：(3)三次立方插值该方法利用三次多项式来逼近理论上的最正确插值函数，其数学表达式为：上式中的是周围象素沿方向离原点的距离。待求象素的灰度值由其周围16个点的灰度值加权内插得到。可推导出待求象素的灰度值计算式为：其中：(3)三次立方插值其中：.2.1012S(x)x三次立方插值原理图0uv(x,y)(i,j)(i+1,j)(i+1,j+1)(i,j+1)(i.1,j.1)(i.1,j+2)(i+2,j.1)(i+2,j+2).2.10

3.3图像频域变换线性系统系统的定义：承受一个输入，并产生相应输出的任何实体。系统的输入是一个或两个变量的函数，输出是一样变量的另一个函数。线性系统定义对于特定的系统，有：X1(t)y1(t)X2(t)y2(t)该系统是线性的当且仅当：1.图像的频域变换的理论根底3.3图像频域变换线性系统线性系统定义1.图像的频域x1(t)+x2(t)y1(t)+y2(t)从而有：a·x1(t)a·y1(t)线性系统移不变性的定义对于某线性系统，有：x(t)y(t)当输入信号沿时间轴平移T，有：x(t-T)y(t-T)那么称该线性系统具有移不变性。x1(t)+x2(t)y1(t)卷积的定义对于一个线性系统的输入f(t)和输出y(t)，其间必定存在关系：

h(t)

称为线性系统的单位冲激响应函数，其含义为：当线性系统输入f(t)为单位脉冲函数时，线性系统的输出响应。上式称之为卷积积分。

卷积的定义h(t)称为线性系统的单位冲激响应函数脉冲函数的极限定义：脉冲函数可以看成是一系列函数的极限，这些函数的振幅逐渐增大，持续时间逐渐减少，而保持面积不变。

脉冲函数的定义(也叫δ函数):脉冲函数的极限定义：脉冲函数可以看成是一系列函数的极限，这些《图像变换》教学课件离散一维卷积二维卷积的定义离散二维卷积离散一维卷积二维卷积的定义离散二维卷积相关的定义任意两个信号的相关函数定义为：相关与卷积的关系：相关的定义相关与卷积的关系：2.正交变换正交变换连续函数集合的正交性当C=1时，称集合为归一化正交函数集合,即每一个向量为单位向量其物理意义为多维空间坐标的基轴方向互相正交。2.正交变换正交变换当C=1时，称集合为归一化正交正交函数集合的完备性假设f(x)是定义在t0和t0+T区间的实值信号，平方可积。可以表示为：对任意小的ε＞0，存在充分大的N，用N个有限展开式估计f(x)时：正交函数集合的完备性假设f(x)是定义在t0和t0可有：那么称函数U集合是完备的。正交函数集合完备性的物理意义任何数量的奇函数累加仍为奇函数任何数量的偶函数累加仍为偶函数因此．为了能用累加展开式来表示一个任意函数，就要求这个函数集合中既有奇函数又有偶函数可有：那么称函数U集合是完备的。正交函数集合完备性的物理意正交函数集合完备性图例(a)完备(b)不完备正交函数集合完备性图例(a)完备正交函数的离散情况N个正交向量当C＝1时，成为归一正交化正交函数的离散情况N个正交向量当C＝1时，成为归一正交化正交函数的离散情况N个正交向量矩阵必满足：一维正交变换对于一维向量f，用上述正交矩阵进展运算：假设要恢复f，那么以上过程称为正交变换。正交函数的离散情况N个正交向量矩阵必满足：一维正交变换对于一般范式—酉变换假设A为复数矩阵，正交的条件为：其中A*为A的复数共轭矩阵，满足这个条件的矩阵为酉矩阵(unitarymatrix)。对于任意向量f的运算称为酉变换(unitarytransform)：一般范式—酉变换假设A为复数矩阵，正交的条件为：其中A*为A二维酉变换N×N二维函数可以类似于一维用正交序列展开和恢复。

二维酉变换N×N二维函数可以类似于一维用正交序列展开变换核的可别离性为一维完备正交基向量的集合。用矩阵表示：通常选择A=B。二维酉变换，A=B时，二维酉变换正变换表示为：变换核的可别离性为一维完备正交基向量的集合。用矩阵表示：通常用矩阵表示：类似的，对于M×N的二维函数f(x,y)基图像对反变换

——可看成是基图像——权因子

用矩阵表示：类似的，对于M×N的二维函数f(x,y)基图像酉变换的性质1.酉矩阵是正交阵

4.酉变换能量的紧缩正交酉变换往往趋于将信号能量压缩到相,对少的变换系数中，由于总能量保持不变，因此许多变换系数将包含很少的能量K－L变换可以到达最大的能量紧缩。酉变换的性质1.酉矩阵是正交阵

4.酉变换能量的紧缩K－5.酉变换去相关当输入向量元素间高度相关时，变换系数趋向于去相关，这意味着协方差矩阵的非对角项和对角项相比趋于变小。K－L变换可以到达完全的去相关。

那么F(u,v)的均值为：F(u,v)的协方差为：5.酉变换去相关K－L变换可以到达完全的去相关。

那么F(u7.其他性质：(1)A为酉阵，那么其行列式值|A|=1(2)假设a为向量，那么作酉变换后向量模保持不变：b=Aa，那么|b|=|a|。7.其他性质：《图像变换》教学课件将图像看成是线性叠加系统；图像在空域上具有很强的相关性；图像变换是将图像从空域变换到其它域如频域的数变换；借助于正交变换的特性可使在空域上的复杂计算转换到频域后得到简化；借助于频域特性的分析，将更有利于获得图像的各种特性和进展特殊处理。图像变换定义可进展图像变换的根本条件满足正交、完备两个条件的函数集合或矩阵才能用于图象的分析。常用的几种变换：傅里叶变换、WALSH变换、哈达玛变换、K-L变换等，都满足正交性和完备性两个条件。3.离散图像变换将图像看成是线性叠加系统；图像变换定义可进展图像变换的根本条将离散图象的正交变换为图象信号在一组二维离散完备正交基上的展开,这种正交基展示具有无损重构的性质,以及图象能量的集中和图象信号元素的去相关性能,在图象处理中具有重要的作用。假设离散图象f(m,n)及其在离散完备正交基{a(u,v;m,n)}上的展开系数为g(u,v)，即：离散图像的正交变换将离散图象的正交变换为图象信号在一组二维离散完备正交基上的展1、二维离散完备正交基{a(u,v;m,n)}的正交性满足离散图像正交变换的特性正交性保证变换后图象的紧缩性，图象的去相关性和保证任何被截断的级数展开将使均方误差和为最小。2、二维离散完备正交基{a(u,v;m,n)}的完备性满足

完备性保证变换后图象无失真的重构，即保证了当包括了全部系数时，重构误差将为零。1、二维离散完备正交基{a(u,v;m,n)}的正交性满足离3.4离散傅立叶变换调谐信号(欧拉公式)：傅立叶积分：其中t代表时间，f代表频率。根本数学概念1.连续傅立叶变换3.4离散傅立叶变换调谐信号(欧拉公式)：傅立叶积分：其f(x)为连续可积函数，其傅立叶变换定义为：R(u)，I(u)分别称为傅里叶变换F(u)的实部和虚部。傅立叶变换的定义(一维)其反变换为：通常f(x)的傅里叶变换为复数，可有通用表示式为：f(x)为连续可积函数，其傅立叶变换定义为：R(u)，I(u可进一步写为指数形式：其中：称之为f(x)的幅度谱、振幅谱或富里叶谱。称之为f(x)的相位谱、相位角。可进一步写为指数形式：其中：称之为f(x)的幅度谱、振幅谱变换分析的直观说明：把一个信号的波形分解为许多不同频率正弦波之和。变换分析的直观说明：把一个信号的波形分解为许多不同频率正弦波一维傅立叶变换举例：方波信号：经过傅立叶变换后：一维傅立叶变换举例：方波信号：经过傅立叶变换后：几种特殊函数的傅里叶变换：矩形函数：矩形函数的傅里叶变换：几种特殊函数的傅里叶变换：矩形函数：矩形函数的傅里叶变换：sin(x)/x类函数：sin(x)/x类函数的傅里叶变换：sin(x)/x类函数：sin(x)/x类函数的傅里叶变换：常数函数：常数函数的傅里叶变换：常数函数：常数函数的傅里叶变换：脉冲函数：脉冲函数的傅里叶变换：脉冲函数：脉冲函数的傅里叶变换：余弦函数：余弦函数的傅里叶变换：余弦函数：余弦函数的傅里叶变换：一维离散傅立叶变换(DFT)一维离散傅立叶变换公式为：逆变换为：二维离散傅立叶变换(2DFT)二维傅立叶变换由一维傅立叶变换推广而来：一维离散傅立叶变换(DFT)一维离散傅立叶变换公式为：逆变换2〕2D傅立叶变换傅立叶变换可推广到二维函数。如果二维函数f(x,y)满足狄里赫莱条件，那么存在下面的二维傅立叶变换对：类似于一维傅立叶变换，二维傅立叶变换的幅度谱和相位谱：2〕2D傅立叶变换类似于一维傅立叶变换，二维傅立叶变换的幅度2.离散傅立叶变换如果x(n)为一数字序列，0≤n≤N-1,那么其离散傅立叶变换定义如下：其中，u,m均取0,1,…,M-1；v,n均取0,1,…,N-1；W1=exp(-j2π/M)；W2=exp(-j2π/N)〕。二维离散傅立叶变换：2.离散傅立叶变换其中，u,m均取0,1,…,M-1；v,n3.离散傅立叶变换的性质傅立叶变换有许多重其要的性质，这些性质为实际应用提供了诸多便利。下面以二维傅立叶变换为例，介绍几个主要的性质。1〕可别离性令：那么：3.离散傅立叶变换的性质2〕线性傅立叶变换是线性变换，满足线性变换的叠加性：3〕共轭对称性如果F(u,v)是f(x,y)的傅立叶变换，F*(-u,-v)是傅立叶变换的共轭函数，那么：4〕旋转性如果空间域函数旋转的角度为θ0,那么在变换域中此函数的傅立叶变换也旋转同样的角度，即：2〕线性3〕共轭对称性4〕旋转性5〕比例变换性如果如果是的傅立叶变换，a和b是两个标量，那么：6〕Parseval定理这个性质也称为能量保持定理。如果F(u,v)是f(x,y)的傅立叶变换，那么有下式成立：这个性质说明变换前后的能量保持不变。5〕比例变换性6〕Parseval定理这个性质说明变换前后的7〕相关定理两个二维函数f(x,y),g(x,y)的相关函数定义如下：符号“ο〞表示相关运算。傅立叶变换的一个重要性质是相关定理：8〕卷积定理两个二维函数f(x,y),g(x,y)的卷积运算定义如下：符号“*〞表示卷积运算。根据上面的定义，傅立叶变换的卷积定理如下：7〕相关定理符号“ο〞表示相关运算。傅立叶变换的一个重要性质4.快速傅立叶变换1965年，库利—图基提出把原始的N点序列依次分解成一系列短序列，然后求出这些短序列的离散傅立叶变换，以此来减少乘法运算，这就是快速傅立叶变换〔FastFourierTransform,FFT〕。对于一个有限长序列{x(n)}，0≤n≤N-1,,按n的奇偶把x(n)分解为两个N/2点的子序列:其傅立叶变换为：4.快速傅立叶变换前一半的值

后一半的值前一半的值后一半的值复乘：复加：一次分解后的运算量：

点DFT

点DFT复乘：复加：一次分解后点DFT点DFT每个点DFT分解成两个点DFT。

点DFT

点DFT

点DFT

点DFT每个点DFT分解成两个点DFT。第一级第二级第三级所需的运算量：第一级第二级第三级所需的上面称为DIT-FFT算法。也可以在频域进展分解，相应算法是

DIF-FFT，其蝶形分解图如下：上面称为DIT-FFT算法。也可以在频域进展分解，相应算法是5.离散傅立叶变换的显示以下图是一个图的DFT频谱图：5.离散傅立叶变换的显示《图像变换》教学课件离散傅立叶变换的显示——对称平移后离散傅立叶变换对称平移方法离散傅立叶变换对称平移后频谱离散傅立叶变换的显示——对称平移后离散傅立叶变换对称平移方法其他几个图像的频谱图：其他几个图像的频谱图：《图像变换》教学课件注意观察对应关系注意观察对应关系JeanBuptisteJosephFourier和他的付立叶变换(a)输入图像(b)幅值谱(c)相位谱(d)由幅值谱重构的图象(e)由相位谱重构的图象结论：相位谱可能具有更重要的应用JeanBuptisteJosephFourier和他3.5离散余弦变换1D离散余弦变换的正变换余弦变换为：其中，反变换为：3.5离散余弦变换1D离散余弦变换的正变换2.2D离散余弦变换的正变换正变换为：其中，a(v)与a(u)定义类似。反变换为：2.2D离散余弦变换的正变换3.2DDCT基图像二维DCT基图像3.2DDCT基图像二维DCT基图像DCT变换举例：DCT变换举例：3.6KL变换1.离散KL变换KL〔Karhunen-Loeve〕或〔DKT〕，也称为Hotelling变换、特征向量变换(Eigenvector-BasedTransform)、主分量〔PCA〕变换等。它是一种利用图像的统计性质/统计模型的变换。常用在数据压缩、特征提取等方面。1〕定义设图像fNN(x,y),采样了M次，得到集合{fi(x,y),i=1,2,…,M}。对每个图像按行或按列依次排列，得采样图像：Xi=(xi1,xi2,…,xiN2)T,那么有：Mx为均值向量：Mx=E{X}，CX为协方差矩阵：CX=E{(X-Mx)(X-Mx)T},近似表示：3.6KL变换1.离散KL变换近似表示：令ei,i,i=1,2,…,N2分别表示矩阵的特征矢量与特征值，将i减序排列，1>i2>…N2,构造变换矩阵：KL变换：KL反变换：变换后均值为0，方差为：2〕性质令ei,i,i=1,2,…,N2分别表示矩阵的特征矢量2.应用1〕压缩CX实对称矩阵，总可以找到标准正交的特征向量集合构成A，A-1=A’，由Y利用X=A’Y+MX重建X。压缩时，取k个大的i，并构造出Ak,，那么离散K-L变换在最小平方误差的意义上最优。特点：1〕比其它方法图像压缩的效率高；2〕图像标准化〔旋转〕。其缺点是：1〕非别离，需要计算CX，及其特征值、特征向量；2〕无快速算法。2.应用特点：1〕比其它方法图像压缩的效率高；2〕图像旋转第一基向量与数据中最大变化的方向相对应。假设目标已抽出，希望与某个标准的、或不变的方向对准。需要处理目标中各像素的坐标。如以下图所示：x1(a)y1y2x20e1e2(b)y1y1(c)y1y1二维目标的旋转。(a)原始数据的散布指明单位特征向量的方向；(b)利用变换Y=AX作数据旋转；(c)利用变换Y=A(X-MX)作数据旋转和中心化2〕图像旋转x1(a)y1y2x20e1e2(b)y1y1(减少数据量、运算量人脸图像样本库人脸特征样本库待识人脸图像变换矩阵特征变化特征匹配K-L变换身份确认3〕KL变换用于图像压缩-----人脸识别，称为特征脸减少数据量、运算量人脸图像人脸特征待识人脸图像变换矩阵特征变1．正交变换的一般形式2.Walsh-Hadamard变换3．Haar变换4．斜变换5.DST变换6.Hartley变换

3.7其他正交变换1．正交变换的一般形式3.7其他正交变换1．正交变换的一般形式在图像处理技术中，离散图像的正交变换被广泛地应用于图像的特征提取、增强、复原、分割和描述，以及图像的编码和压缩中。这种变换一般是线性的，其根本运算是严格可逆的，并满足一定的正交条件，有时候也称为酉变换。而傅立叶变换、余弦变换就是正交变换的两种，除此之外，还有其他类型的正交变换。正交变换的一般形式为：其反变换为：其中，分别是正变换核函数和反变换核函数。对于2D，有：1．正交变换的一般形式如果正变换核是可别离的，那么有：如果反变换核是可别离的，那么有：如果，那么称此核是加法对称的。离散傅立叶变换中，因此，傅立叶变换是正交对称变换。如果正变换核是可别离的，那么有：如果反变换核是可别离的，那么2．Walsh-Hadamard变换正交变换可写成矩阵形式：其中F是图像，Ac是g1元素构成的行变换矩阵，AR是由g2元素构成的列变换矩阵。T是变换的结果。反变换矩阵形式：Walsh变换矩阵为：Hadamard变换矩阵为：递推式为：2．Walsh-Hadamard变换正交变换可写成矩阵形式3．Haar变换

Haar变换的核函数为：

4×4的Haar变换矩阵为：3．Haar变换

Haar变换的核函数为：

8×8的Haar变换矩阵为：8×8的Haar变换矩阵为：4．斜〔Slant〕变换

其变换矩阵为：由2×2矩阵，通过下面的方式产生N×N矩阵：其中，4．斜〔Slant〕变换

其变换矩阵为：由2×2矩阵，通过5．DST变换

其正变换为：反变换为：核函数为：5．DST变换

其正变换为：反变换为：核函数为：6．Hartley变换反变换为：其中，正变换为：核函数为：6．Hartley变换反变换为：其中，正变换为：核函数为：《图像变换》幻灯片本课件PPT仅供大家学习使用学习完请自行删除，谢谢！本课件PPT仅供大家学习使用学习完请自行删除，谢谢！本课件PPT仅供大家学习使用学习完请自行删除，谢谢！本课件PPT仅供大家学习使用学习完请自行删除，谢谢！《图像变换》幻灯片本课件PPT仅供大家学习使用第三章图像变换3.1引言3.2空域变换3.3图像的频域变换3.4离散傅立叶变换3.5离散余弦变换3.6KL变换3.7其他正交变换第三章图像变换3.1引言3.1引言图像的数学变换的特点在于其有准确的数学背景，是许多图像处理技术的根底。在这些变换中，一种是在空间域上进展的，这些变换根据处理操作的特点，可以分为图像的代数运算和几何运算，它们都是利用对输入图像进展加工而得到输出图像。另一种重要的数学变换那么是将原定义在图像空间的图像以某种形式转换到另外一些空间，并利用输入图像在这些空间的特有性质有效而快速地对图像进展处理和分析。最典型的变换有离散傅立叶变换，它把空域中的图像信号看作二维时间序列，将其变换到频率域来分析图像的频谱特性。空域变换有如加法、减法等的代数变换，也有如旋转、拉伸等的几何变换；频域变换除了傅立叶变换外，常用的非空域的变换还有离散余弦变换等。无论是在空域中的数学变换还是频域中的数学变换，它们在图像分析、滤波、增强、压缩等处理中都有着非常典型而重要的应用。3.1引言图像的数学变换的特点在于其有准确3.2空域变换1.代数变换图像的代数变换是指对两幅图像进展点对点的四那么运算而得到一幅新的输出图像。图像的代数运算在图像处理中有着广泛的应用，它除了可以实现自身所需要的算术操作，还能为许多复杂的图像处理提供准备。1〕加法运算2〕减法运算〔差分〕3.2空域变换1.代数变换+=+==—=—线性变换非线性变换3〕其他灰度变换灰度变换的变换函数曲线如以下图：线性变换非线性变换3〕其他灰度变换(1)图象求反0255255(1)图象求反0255255(2)比照度拉伸(2)比照度拉伸(3)动态范围压缩0255255(3)动态范围压缩02552552.几何变换图像在生成过程中，由于系统本身具有非线性或拍摄角度不同，会使生成的图像产生几何失真。几何失真一般分为系统失真和非系统失真。系统失真是有规律的、能预测的；非系统失真那么是随机的。几何变换可以改变图像中物体之间的空间关系。这种运算可以看成是图像内的各物体在图像内移动的过程。例如，物体的转动、扭曲、倾斜、拉伸等等，都是几何运算的结果。如以下图：2.几何变换1〕平移2〕放缩1〕平移2〕放缩3〕旋转0,0xy3〕旋转0,0xy0,0xy4〕水平镜像0,0xy4〕水平镜像0,0xy5〕垂直镜像0,0xy5〕垂直镜像6〕一般的几何变换以下图显示了在失真和相应的校正图像中的四边形区域，四边的顶点是相应的“控制点〞。假设四边形区域中的几何形变过程用双线性方程对来建模，即：FDCBAFDCAB6〕一般的几何变换FDCBAFDCAB7〕几何变换中灰度插值对图像作定量分析时，就要对失真的图像进展几何校正〔即将存在几何失真的图像校正成无几何失真的图像〕，以免影响分析精度。根本方法是先建立几何校正的数学模型；其次利用条件确定模型参数；最后根据模型对图像进展几何校正。通常分为两步：(1)图像空间的坐标变换；(2)确定校正空间各象素的灰度值。输出象素通常被映射到输入图像中的非整数位置，即位于四个输入象素之间。因此，为了决定与该位置相对应的灰度值，必须进展插值运算。常用的插值方法有3种：(1)最近邻插值(NearestNeighborInterpolation)(2)双线性插值(BilinearInterpolation)(3)三次立方插值7〕几何变换中灰度插值(1)最近邻插值(NearestNeighborInterpolation)最简单的插值方法是最近邻插值，即选择离它所映射到的位置最近的输入象素的灰度值为插值结果。数学表示为：(2)双线性插值(BilinearInterpolation)双线性插值法是对最近邻法的一种改进，即用线性内插方法，根据点的四个相邻点的灰度值，分别在x和y方向上进展两次线性插值插值。如下图：(1)最近邻插值(NearestNeighborInt首先，在x方向上作线性插值，对上端的两个顶尖进展线性插值得：类似的，对于底端两个顶点进展线性插值有：y方向上作线性插值，以确定：最后得到双线性插值公式为：首先，在x方向上作线性插值，对上端的两个顶尖进展线性插值得：(3)三次立方插值该方法利用三次多项式来逼近理论上的最正确插值函数，其数学表达式为：上式中的是周围象素沿方向离原点的距离。待求象素的灰度值由其周围16个点的灰度值加权内插得到。可推导出待求象素的灰度值计算式为：其中：(3)三次立方插值其中：.2.1012S(x)x三次立方插值原理图0uv(x,y)(i,j)(i+1,j)(i+1,j+1)(i,j+1)(i.1,j.1)(i.1,j+2)(i+2,j.1)(i+2,j+2).2.10

3.3图像频域变换线性系统系统的定义：承受一个输入，并产生相应输出的任何实体。系统的输入是一个或两个变量的函数，输出是一样变量的另一个函数。线性系统定义对于特定的系统，有：X1(t)y1(t)X2(t)y2(t)该系统是线性的当且仅当：1.图像的频域变换的理论根底3.3图像频域变换线性系统线性系统定义1.图像的频域x1(t)+x2(t)y1(t)+y2(t)从而有：a·x1(t)a·y1(t)线性系统移不变性的定义对于某线性系统，有：x(t)y(t)当输入信号沿时间轴平移T，有：x(t-T)y(t-T)那么称该线性系统具有移不变性。x1(t)+x2(t)y1(t)卷积的定义对于一个线性系统的输入f(t)和输出y(t)，其间必定存在关系：

h(t)

称为线性系统的单位冲激响应函数，其含义为：当线性系统输入f(t)为单位脉冲函数时，线性系统的输出响应。上式称之为卷积积分。

卷积的定义h(t)称为线性系统的单位冲激响应函数脉冲函数的极限定义：脉冲函数可以看成是一系列函数的极限，这些函数的振幅逐渐增大，持续时间逐渐减少，而保持面积不变。

脉冲函数的定义(也叫δ函数):脉冲函数的极限定义：脉冲函数可以看成是一系列函数的极限，这些《图像变换》教学课件离散一维卷积二维卷积的定义离散二维卷积离散一维卷积二维卷积的定义离散二维卷积相关的定义任意两个信号的相关函数定义为：相关与卷积的关系：相关的定义相关与卷积的关系：2.正交变换正交变换连续函数集合的正交性当C=1时，称集合为归一化正交函数集合,即每一个向量为单位向量其物理意义为多维空间坐标的基轴方向互相正交。2.正交变换正交变换当C=1时，称集合为归一化正交正交函数集合的完备性假设f(x)是定义在t0和t0+T区间的实值信号，平方可积。可以表示为：对任意小的ε＞0，存在充分大的N，用N个有限展开式估计f(x)时：正交函数集合的完备性假设f(x)是定义在t0和t0可有：那么称函数U集合是完备的。正交函数集合完备性的物理意义任何数量的奇函数累加仍为奇函数任何数量的偶函数累加仍为偶函数因此．为了能用累加展开式来表示一个任意函数，就要求这个函数集合中既有奇函数又有偶函数可有：那么称函数U集合是完备的。正交函数集合完备性的物理意正交函数集合完备性图例(a)完备(b)不完备正交函数集合完备性图例(a)完备正交函数的离散情况N个正交向量当C＝1时，成为归一正交化正交函数的离散情况N个正交向量当C＝1时，成为归一正交化正交函数的离散情况N个正交向量矩阵必满足：一维正交变换对于一维向量f，用上述正交矩阵进展运算：假设要恢复f，那么以上过程称为正交变换。正交函数的离散情况N个正交向量矩阵必满足：一维正交变换对于一般范式—酉变换假设A为复数矩阵，正交的条件为：其中A*为A的复数共轭矩阵，满足这个条件的矩阵为酉矩阵(unitarymatrix)。对于任意向量f的运算称为酉变换(unitarytransform)：一般范式—酉变换假设A为复数矩阵，正交的条件为：其中A*为A二维酉变换N×N二维函数可以类似于一维用正交序列展开和恢复。

二维酉变换N×N二维函数可以类似于一维用正交序列展开变换核的可别离性为一维完备正交基向量的集合。用矩阵表示：通常选择A=B。二维酉变换，A=B时，二维酉变换正变换表示为：变换核的可别离性为一维完备正交基向量的集合。用矩阵表示：通常用矩阵表示：类似的，对于M×N的二维函数f(x,y)基图像对反变换

——可看成是基图像——权因子

用矩阵表示：类似的，对于M×N的二维函数f(x,y)基图像酉变换的性质1.酉矩阵是正交阵

4.酉变换能量的紧缩正交酉变换往往趋于将信号能量压缩到相,对少的变换系数中，由于总能量保持不变，因此许多变换系数将包含很少的能量K－L变换可以到达最大的能量紧缩。酉变换的性质1.酉矩阵是正交阵

4.酉变换能量的紧缩K－5.酉变换去相关当输入向量元素间高度相关时，变换系数趋向于去相关，这意味着协方差矩阵的非对角项和对角项相比趋于变小。K－L变换可以到达完全的去相关。

那么F(u,v)的均值为：F(u,v)的协方差为：5.酉变换去相关K－L变换可以到达完全的去相关。

那么F(u7.其他性质：(1)A为酉阵，那么其行列式值|A|=1(2)假设a为向量，那么作酉变换后向量模保持不变：b=Aa，那么|b|=|a|。7.其他性质：《图像变换》教学课件将图像看成是线性叠加系统；图像在空域上具有很强的相关性；图像变换是将图像从空域变换到其它域如频域的数变换；借助于正交变换的特性可使在空域上的复杂计算转换到频域后得到简化；借助于频域特性的分析，将更有利于获得图像的各种特性和进展特殊处理。图像变换定义可进展图像变换的根本条件满足正交、完备两个条件的函数集合或矩阵才能用于图象的分析。常用的几种变换：傅里叶变换、WALSH变换、哈达玛变换、K-L变换等，都满足正交性和完备性两个条件。3.离散图像变换将图像看成是线性叠加系统；图像变换定义可进展图像变换的根本条将离散图象的正交变换为图象信号在一组二维离散完备正交基上的展开,这种正交基展示具有无损重构的性质,以及图象能量的集中和图象信号元素的去相关性能,在图象处理中具有重要的作用。假设离散图象f(m,n)及其在离散完备正交基{a(u,v;m,n)}上的展开系数为g(u,v)，即：离散图像的正交变换将离散图象的正交变换为图象信号在一组二维离散完备正交基上的展1、二维离散完备正交基{a(u,v;m,n)}的正交性满足离散图像正交变换的特性正交性保证变换后图象的紧缩性，图象的去相关性和保证任何被截断的级数展开将使均方误差和为最小。2、二维离散完备正交基{a(u,v;m,n)}的完备性满足

完备性保证变换后图象无失真的重构，即保证了当包括了全部系数时，重构误差将为零。1、二维离散完备正交基{a(u,v;m,n)}的正交性满足离3.4离散傅立叶变换调谐信号(欧拉公式)：傅立叶积分：其中t代表时间，f代表频率。根本数学概念1.连续傅立叶变换3.4离散傅立叶变换调谐信号(欧拉公式)：傅立叶积分：其f(x)为连续可积函数，其傅立叶变换定义为：R(u)，I(u)分别称为傅里叶变换F(u)的实部和虚部。傅立叶变换的定义(一维)其反变换为：通常f(x)的傅里叶变换为复数，可有通用表示式为：f(x)为连续可积函数，其傅立叶变换定义为：R(u)，I(u可进一步写为指数形式：其中：称之为f(x)的幅度谱、振幅谱或富里叶谱。称之为f(x)的相位谱、相位角。可进一步写为指数形式：其中：称之为f(x)的幅度谱、振幅谱变换分析的直观说明：把一个信号的波形分解为许多不同频率正弦波之和。变换分析的直观说明：把一个信号的波形分解为许多不同频率正弦波一维傅立叶变换举例：方波信号：经过傅立叶变换后：一维傅立叶变换举例：方波信号：经过傅立叶变换后：几种特殊函数的傅里叶变换：矩形函数：矩形函数的傅里叶变换：几种特殊函数的傅里叶变换：矩形函数：矩形函数的傅里叶变换：sin(x)/x类函数：sin(x)/x类函数的傅里叶变换：sin(x)/x类函数：sin(x)/x类函数的傅里叶变换：常数函数：常数函数的傅里叶变换：常数函数：常数函数的傅里叶变换：脉冲函数：脉冲函数的傅里叶变换：脉冲函数：脉冲函数的傅里叶变换：余弦函数：余弦函数的傅里叶变换：余弦函数：余弦函数的傅里叶变换：一维离散傅立叶变换(DFT)一维离散傅立叶变换公式为：逆变换为：二维离散傅立叶变换(2DFT)二维傅立叶变换由一维傅立叶变换推广而来：一维离散傅立叶变换(DFT)一维离散傅立叶变换公式为：逆变换2〕2D傅立叶变换傅立叶变换可推广到二维函数。如果二维函数f(x,y)满足狄里赫莱条件，那么存在下面的二维傅立叶变换对：类似于一维傅立叶变换，二维傅立叶变换的幅度谱和相位谱：2〕2D傅立叶变换类似于一维傅立叶变换，二维傅立叶变换的幅度2.离散傅立叶变换如果x(n)为一数字序列，0≤n≤N-1,那么其离散傅立叶变换定义如下：其中，u,m均取0,1,…,M-1；v,n均取0,1,…,N-1；W1=exp(-j2π/M)；W2=exp(-j2π/N)〕。二维离散傅立叶变换：2.离散傅立叶变换其中，u,m均取0,1,…,M-1；v,n3.离散傅立叶变换的性质傅立叶变换有许多重其要的性质，这些性质为实际应用提供了诸多便利。下面以二维傅立叶变换为例，介绍几个主要的性质。1〕可别离性令：那么：3.离散傅立叶变换的性质2〕线性傅立叶变换是线性变换，满足线性变换的叠加性：3〕共轭对称性如果F(u,v)是f(x,y)的傅立叶变换，F*(-u,-v)是傅立叶变换的共轭函数，那么：4〕旋转性如果空间域函数旋转的角度为θ0,那么在变换域中此函数的傅立叶变换也旋转同样的角度，即：2〕线性3〕共轭对称性4〕旋转性5〕比例变换性如果如果是的傅立叶变换，a和b是两个标量，那么：6〕Parseval定理这个性质也称为能量保持定理。如果F(u,v)是f(x,y)的傅立叶变换，那么有下式成立：这个性质说明变换前后的能量保持不变。5〕比例变换性6〕Parseval定理这个性质说明变换前后的7〕相关定理两个二维函数f(x,y),g(x,y)的相关函数定义如下：符号“ο〞表示相关运算。傅立叶变换的一个重要性质是相关定理：8〕卷积定理两个二维函数f(x,y),g(x,y)的卷积运算定义如下：符号“*〞表示卷积运算。根据上面的定义，傅立叶变换的卷积定理如下：7〕相关定理符号“ο〞表示相关运算。傅立叶变换的一个重要性质4.快速傅立叶变换1965年，库利—图基提出把原始的N点序列依次分解成一系列短序列，然后求出这些短序列的离散傅立叶变换，以此来减少乘法运算，这就是快速傅立叶变换〔FastFourierTransform,FFT〕。对于一个有限长序列{x(n)}，0≤n≤N-1,,按n的奇偶把x(n)分解为两个N/2点的子序列:其傅立叶变换为：4.快速傅立叶变换前一半的值

后一半的值前一半的值后一半的值复乘：复加：一次分解后的运算量：

点DFT

点DFT复乘：复加：一次分解后点DFT点DFT每个点DFT分解成两个点DFT。

点DFT

点DFT

点DFT

点DFT每个点DFT分解成两个点DFT。第一级第二级第三级所需的运算量：第一级第二级第三级所需的上面称为DIT-FFT算法。也可以在频域进展分解，相应算法是

DIF-FFT，其蝶形分解图如下：上面称为DIT-FFT算法。也可以在频域进展分解，相应算法是5.离散傅立叶变换的显示以下图是一个图的DFT频谱图：5.离散傅立叶变换的显示《图像变换》教学课件离散傅立叶变换的显示——对称平移后离散傅立叶变换对称平移方法离散傅立叶变换对称平移后频谱离散傅立叶变换的显示——对称平移后离散傅立叶变换对称平移方法其他几个图像的频谱图：其他几个图像的频谱图：《图像变换》教学课件注意观察对应关系注意观察对应关系JeanBuptisteJosephFourier和他的付立叶变换(a)输入图像(b)幅值谱(c)相位谱(d)由幅值谱重构的图象(e)由相位谱重构的图象结论：相位谱可能具有更重要的应用JeanBuptisteJosephFourier和他3.5离散余弦变换1D离散余弦变换的正变换余弦变换为：其中，反变换为：3.5离散余弦变换1D离散余弦变换的正变换2.2D离散余弦变换的正变换正变换为：其中，a(v)与a(u)定义类似。反变换为：2.2D离散余弦变换的正变换3.2DDCT基图像二维DCT基图像3.2DDCT基图像二维DCT基图像DCT变换举例：DCT变换举例：3.6KL变换1.离散KL变换KL〔Karhunen-Loeve〕或〔DKT〕，也称为Hotelling