16种常见概率分布概率密度函数意义及其应用

目录均匀分布1正态分布（高斯分布）2指数分布2Beta分布（分布）2Gammas布3倒Gamm分布.4TOC\o"1-5"\h\z威布尔分布（Weibull分布、韦伯分布、韦布尔分布）5Pareto分布6Cauchy分布（柯西分布、柯西-洛伦兹分布）7...2.分布（卡万分布）.7t分布8F分布9二项分布10泊松分布（Poisson分布）10..…对数正态分布11.均匀分布均匀分布X~U（a,b）就是无信息的，可作为无信息变量的先验分布f(x)

E(X)Var(X)(ba)12.正态分布(高斯分布)2)0正态分布为方差已知的正态分布当影响一个变量的因素众多，且影响微弱、都不占据主导地位时，这个变量很可能服从正态分布，记作2)0正态分布为方差已知的正态分布N(,2)的参数的共腕先验分布。f(x)(x)2

e22f(x)E(X)2Var(X).指数分布指数分布X〜Exp()就是指要等到一个随机事件发生，需要经历多久时间。其中0为尺度参数。指数分布的无记忆性：PXst|XsP{Xt}0f(x)exf(x)ex,x01E(X)-Var(X).Beta分布(分布)Beta分布记为X〜Be(a,b),其中Beta(1,1浒于均匀分布，其概率密度函数可凸也可凹。如果二项分布B(n,p)中的参数p的先验分布取Beta(a,b),实验数据(事件A发生y次,非事件A发生n-y次)，则p的后验分布Beta(ay,bny),即Beta分布为二项分布B(n,p)的参数p的共腕先验分布。(x)0txietdtf(x)(ab)a1b1f(x)X(1x)⑻(b)E(X)Var(X)abVar(X)ab(ab)2(ab1).Gamma布Gamma分布即为多个独立且相同分布的指数分布变量的与的分布，解决的问

题就是“要等到n个随机事件都发生，需要经历多久时间”，记为X~Ga(a,b)。其中a0为形状参数，b0为尺度参数。Gamma分布为指数分布Exp()的参数、Poisson分布P()的参数的共腕先验分布。af(x)——xa1ebx,x0(a)e(x)abVar(X)b2GamiFUi4/检|曲$房口第G4rv™DiiTnbijiiwi.Inrdn-rGamiFUi4/检|曲$房口第G4rv™DiiTnbijiiwi.Inrdn-rne^voLjc1^V6*626.倒Gamma布倒Gamma分布记为X~IGa(a,b)。若随机变量X~Ga(a,b),则1一~IGa(a,b)。其中a0为形状参数,b0为尺度参数。倒Gamma分布为指数X分布Exp()的参数工、均值已知的正态分布N(,2)的参数2的共腕先验分布。

f(x)Jf(x)J(a1)ebx,x0(a)E(X)2Var(X)bVar(X)2,a(a1)(a2)InvgannmaDistributionlamda=2IV■IIhttp;//bf&g.cs卅ne{ixin_41875052s7.威布尔分布(Weibull分布、书伯分布、书布尔分布)威布尔分布记为X〜W(m,)o其中m0为形状参数，0为尺度参数。当m1,它就是指数分布；m2时，就是Rayleighdistribution(瑞利分布)。常用于拟合风速分布，并用最小二乘法、平均风速估计法或极大似然法求解其参数。m1xmmxf(x)e,x01TOC\o"1-5"\h\zE(X)1一m2221Var(X)1-1-mm门\i\J4(tVa?>0,/(X；A,fc)=A\Ay—,工<o.

Weibulld.svmugn爆率至慢吊fKlortgrvupC)Weibulld.svmugn爆率至慢吊fKlortgrvupC)5,if»i艇1.壮1W134301Pareto分布Pareto分布记为X~Pa(a,b)。其中b0为门限参数,a0为尺度参数。Pareto分布就是一种厚尾分布。Pareto分布为均匀分布U(0,)的参数的共腕先验分布。a1abf(x)一—,xb

bxE(X)aba1，aE(X)aba1，aVar(X)abVar(X)ab(a1)2(a2)，aCauchy分布(柯西分布、柯西-洛伦兹分布)Cauchy分布记为X~Ca(a,b)。其中a为位置参数,b0为尺度参数。中位数Mode(X)a,期望、方差都不存在。如果Xi,X2,|||,Xn就是分别符合柯西分布的相互独立同分布随机变量，那么算术平均数X1,X2,|||,Xn/n服从同样的柯西分布。标准柯西分布Ca(0,1)就是t分布的一个自由度。这种分布更适合拟合那种比较扁、宽的曲线。(1.7f(x)1b一(1.7f(x)1b一b2(xa)205-432d0I13452分布(卡方分布)n设X1,X2，H|,Xn就是来自N(0,1)的样本，则称统计量2Xi2服从自由度i1为n的2分布，记为2~2(n)0ndx11:f(x)-x2e2,x022n2E(X)nt分布x设X~N(0,1),Y~2(n),且X,Y相互独立，则称随机变量t丁服从自由度为n的t分布。记为t~t(n)。当自由度n时,t分布将趋于N(0,1)。有时样本量很小，不知道总体白^标准偏差，则可以依赖t统计量(也称为t分数)的分布，其值由下式给出4—~t(n1),其中X就是样本均值…就是总体均值，s就是样本的sn标准偏差网就是样本大小。f(x)E(X)0Var(X)n^—,n2n2JW(OT3}€—,■n2m2)2(ni4)13.二项分布二项分布十分好理解，给您n次机会抛硬币，硬币正面向上的概率为p,问在这n次机会中有k次(k而)硬币朝上的概率为多少。记为X~B(n,p)。当n足包多大,且p不接近于0也不接近于1时，二项分布B(n,p)可用正态分布N(np,np(1p))来近似。P(Xp)-p[0,1]P(XE(X)npVar(X)np(1p)日ihomi日ihomi制aitTfibdtibn,忏914.泊松分布(Poisson分布)泊松分布解决的就是“在特定一段时间里发生n个事件的概率”，记为x~p()。当二项分布满足np时,二项分布近似为泊松分布。泊松分布P()

当足够大时,变成正态分布N(,)。

k

e

P(Xk),0k!E(X)15.Var(X)对数正态分布15.Var(X)对数正态分布对数正态分布就是对数为正态分布的任意随机变量的概率分布。如果Y就是正态分布的随机变量，则exp(Y)就是对数正态分布；同样，如果X就是对数正态分布，则ln(X)为正态分布，如果一个变量可以瞧成就是许多很小独立因子的乘积，则这个变量可以瞧作就是对数正态分布，如拟合风速分布模型，记为X〜LN(,2)0(lnx)2二-2f(x)一e2,x02E(X)e玄Var(X)(e21)e2216.瑞利分布当一个随机二维向量的两个分量呈独立的、有着相同的方差的正态分布时这个向量的模呈瑞利分布。x2.x7^f(x)—e2,x02i-也I

0*31=(f)/(X)JBAOfeM!ir<rnniliMin(at6)

ItVUt4MM0iUf(R)NrtAtivrMpetK^xiiKficCvii.«>,n>)HirK>inUI(n.llerwmlHip)14H)ly«(n.p.UZ”)inwrtrvlibaI(i*.X.(1)I11•1Ai/Xak埸闵八Arcaiii(,hkM|WArr(n)(wiih^|ait)•1»EdaiRla.n)l.Xi/X3Expoovtiti*U4w)N，iiEHndl(n,4)MinUmwsrMulh(H)llirM!TIAX(d-r)NoncealrnlLnp八enStandard女凶同IUylri«h|o)Pnirto(ArdirlmKMUr]Puwwrta.S)TSP(«.Kn“n.»oWctHlIU)iUf>r»r<iwnlsd)|K*<iHvnnnrentvalN<m<v«tral!»<■(，・'.6)•laidWhM(A)1yLyI入”■[Propcvrtio«:C:C'«ivi>lulitNi_=*CF:FuracifM)BMW4iL