压控电压源三阶全极点低通滤波器

压控电压源三阶全极点低通滤波器IIIZlZ2TZ3-!图1图1压控电压源3阶全极点低通滤波器图1是一个压控电压源3阶全极点有源低通滤波器的电路。这应该曾经是一种使用非常广泛的电路，出版时间较早的有源滤波器手册里面基本都有这个电路。笔者在设计电路的时候不假思索的就用上了这个电路，电路设计完之后没有马上计算参数，电路板下单之后才打算计算电路的参数。手里没有滤波器手册，到网上去查结果发现网上居然没有这种滤波器的资料。或许是因为过去运放成本高，所以能省则省；现在运放不值钱了，所以一般设计奇数阶有源滤波器都单独设计一个一阶节，再加一个运放缓冲。不得已，只好自己推导传递函数，然后解方程来计算电路的参数。现在电路参数已经计算出来，并经过仿真确认。既然花了时间计算，为了方便有同样需要点朋友，特写下这段文字给大家共享。经过推导（过程略），得到这个电路的传递函数：Hs-=s3Hs-=s3s2&RR1C1C3RR2R3c2c3RR2R3C1C2c3+sRC1+(R+R2+R3c3+1RR2RC1C2c3RR2R3C1C2c3全极点三阶低通滤波器传递函数一般形式为:(2)H(s)1=s3+a2s2+a1s+a0(2)两个传递函数响应相等的条件是：相同阶次的系数相等。于是:限+R3R1C1C3+(R+R2RC2c3a2-—-----R1R2R3cle2c3R1C1十(R1+R2+R3C3，a1—R1R2R3cle2c31a0=i―,R1R2R3C1C2C3在这组方程中，%、a1、a2是已知的，在确定滤波器传递函数类型的时候就确定了,比如三阶巴特沃茨滤波器有：a0=1、&=2、a2=2。这组参数可以由三阶巴特沃茨滤波器归一化零点位置计算出来，这里所谓的归一化参数是指截至频率的角频率切=1时的参数。虽然可以用实际滤波器的参数代入方程进行计算，不过通常都不这样做，因为大多数时

候我们得到的数据都是归一化参数，按归一化参数设计之后，再去归一化（标度）也是很方便的。方程中，除去三个已知数a0、a1、a2之外，G、C2、C3、Ri、R2、R都是未知数，我们可以先指定三个参数，然后解联立方程计算出另外三个参数。原则上可以先任意指定三个元件的参数，然后计算另外三个元件的参数。从元件的采购角度看，先确定电容值可能是比较好的选择，但方程很难解，笔者放弃了（笔者也不敢保证一定有解）。通常的做法（不知道是不是唯一的做法）是先固定电阻值，然后计算电容值。最简单的做法是设R=R1=r2=r3=1（阻抗归一化），然后计算出归一化的电容值。此时有:a22C1C32ca22C1C32c2c3aiC1C2C3CiC3CiC2c31(4)a0「CiC2c3三阶巴特沃茨低通滤波器:’2C1C3+2C2c3c

=2前面说过，三阶巴特沃茨低通滤波器有：a0’2C1C3+2C2c3c

=2CiC2c3C13C3-3=2CiC2c3q=1C1C2C3解这个方程（过程略，下同），可得:C1-1.392647(6)C2=3.546818(6)C3=0.202451式6就是图1做三阶巴特沃茨低通滤波器R=1时的归一化电容值，如果大家需要制作三阶巴特沃茨低通滤波器，可以将这个结果去归一化之后直接使用。比如，我们要做一个截至频率为1kHz的三阶巴特沃茨滤波器，设R=47k,则：Ci'=CiR1.3926472二Ci'=CiR1.3926472二10447103=4.715886104忙2'=C23.546818432二10447103_-8=1.20105010=6.85554810“°C3=6.85554810“°R2二10447103取最接近的标准值，则：C1=4.7nF,C2=12nF,C1=0.68nF。三阶贝塞尔低通滤波器：贝塞尔低通滤波器也是一种常见的全极点滤波器，三阶贝塞尔低通滤波器也同样可以由图1所示的电路来实现。在查阅到贝塞尔滤波器的极点位置为皆】：po=-1.3270,p12=—1.0509土j1.0025oTOC\o"1-5"\h\z这个滤波器的传递函数为：1Hs-=s-p0s-p1s-p2(8)1Hs一=is1.3270s1.0509j1.0025s1.0509-j1.0025(9)Hs--s33.4288s21.7500s2.7992(10)参数a。=2.7992、a1=1.75、a2=3.4288代入式(4)解得：C1=0.9881IC2=1.4237(11)C3=0.2539式11就是图1电路用做三阶贝塞尔低通滤波器R=1时的归一化电容值，原则上也可以去归一化后直接使用。需要说明的是，这里的零极点位置是在网上查到的，如果你打算直接使用这里的数据，建议自己确认一下零极点数据再使用这里的计算结果。其他三阶全极点滤波器：除了前面提到的巴特沃茨滤波器和贝塞尔滤波器，常见的全极点滤波器还有切比雪夫滤波器和线性相位滤波器。特别介绍一下线性相位滤波器。这种滤波器是在贝塞尔滤波器基础上改进的结果，它和贝塞尔滤波器之间的关系，恰好与切比雪夫滤波器和巴特沃茨滤波器之间的关系相同。巴特沃茨滤波器是幅频特性最平坦的滤波器，而贝塞尔滤波器是相频特性最平坦的滤波器。切比雪夫滤波器引入了通带内幅频特性固定幅度的纹波，结果得到了通带内幅度更小的最大增益误差，以及更好的带外衰减特性；线性相位滤波器则引入了通带内固定幅度的相位差，得到的是通带内更小幅度的最大相位误差。线性相位滤波器大多数时候有优于贝塞尔滤波器时延特性，和贝塞尔滤波器差不多的阶跃响应，以及优于贝塞尔滤波器的带外衰减特性。这两种滤波器有一个共同特点，实际上它们不是一种滤波器，而是一个滤波器系列，选择不同的纹波幅度，得到的传递函数是各不相同的。于是不太方便事先计算好结果给大家直接利用，下面简单讲一下如何计算滤波器的电容值的具体步骤。a0、a1a0、a1、a2。为了得到通用的计算公式，我们可以直接解方程式（4）,这样得到的就是以a0、a1、a2计算电容值的公式。为了简化公式，引入参数:C2co2c0co(12)Co根据式（4）和（12）可得:C1C3C2c3=k2(13)C13C3=k1(13)C1C2C3=ko从方程组中消去C1、C2，得:9C33—6k1c32k123k2C3-k1k2—k0)=0(14)另：C1-3C3(15)C2=k2-KCC2=k2-KC3_23C3C3(16)计算C3就变成了解式（14）这个三元一次方程的问题了，三元一次方程的解有四种情况，在这里基本上就一种情况：方程有一个实数解，一对共轲复数解。对于电容值来说，复数解是没有意义的，而实数解就是C3的值。下面就使用盛金公式，按方程有一个实数解，一对共轲复数解来计算，如果发现式（14）有3个实数解的情况，请自行处理。首先把方程改写成标准格式：3ax-bxcx-d=0其中：a=9(17)b=-6k1(17),2._d=k1+3k2、c=%-k1k2设:

A=b2-3acI«B=bc-9ad(18)C=c2-3bd_2，△=B-4AC如果△A0,则继续，否则请自行处理。令：-B,,.：Y),2=Ab+3a2(19)C33a(20)C33a(20)把解出来的C3代入式（14）、（15）得到Ci、C2o以上步骤稍显繁琐，但只要仔细一点很容易处理。更重要的是，这些步骤很容易用计算机完成，即使你不会编程序，用Execl公式也可以很容易的处理。大多数时候，我们首先得到的不是传递函数，而是极点位置。这时我们只要按式（8）、（9）、（10）的步骤计算出a0、a1、a2,再代入式（12）、（17）、（18）、（19）、（20）、（14）、（15）计算出结果。其他三阶全极点滤波器：前面的讨论都是按R=R1=R2=R3=1来考虑的，这是出于最直观的想法，并没有必须这么做的理由。当然，如果不这样做没什么好处，这里的讨论就没什么意义了。考察前面给出的截止频率为1kHz的三阶巴特沃茨低通滤波器，发现三个电容的容量各不相同；电容容量分布范围比较大，最大和最小容量的电容，容量差25倍还多。电容容量多，主要是给生产带来麻烦，生产原则是库存的元器件种类越少越好；而电容容量分布范围大，也会给生产带来麻烦，而且这也意味着电路适用的频率范围受影响。另外，这里实际上还有一个潜在的麻烦：市场上的电容容量是固定的，系列化的，有时候我们会发现很难选定一组参数，使得三个电容的容量都刚好是能买到的容量。考虑到上述的问题，笔者尝试调整电阻阻值比例，得到以下一组参数：‘R=21.15父103TOC\o"1-5"\h\z«R2=30.10父103（21）R3=74.65父103计算得：C1=10.1157父10冬4c2=10.1166父1