2023年新高考数学二轮专题复习过关训练单元过关检测七　立体几何与空间向量

2023年新高考数学二轮专题复习过关训练单元过关检测七立体几何与空间向量一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2022·山东潍坊模拟]在空间中，下列命题是真命题的是()A．经过三个点有且只有一个平面B．平行于同一平面的两直线相互平行C．如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等D．如果两个相交平面垂直于同一个平面，那么它们的交线也垂直于这个平面2．[2022·辽宁沈阳模拟]已知圆锥的表面积为3π，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为()A.eq\r(3)πB.eq\f(\r(3),3)C.eq\f(\r(3),3)πD.eq\r(3)3．[2022·湖南雅礼中学月考]已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列判断正确的是()A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则直线m与n一定平行B．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则直线m与n可能相交、平行或异面C．若m⊥α，n∥α，则直线m与n一定垂直D．若m⊂α，n⊂β，α∥β，则直线m与n一定平行4.如图，E是正方体ABCD­A1B1C1D1的棱C1D1上的一点(不与端点重合)，若BD1∥平面B1CE，则()A．BD1∥CEB．AC1⊥BD1C．D1E＝2EC1D．D1E＝EC15．[2022·广东汕头模拟]在四面体A­BCD中，AB⊥底面BCD，AB＝BD＝eq\r(2)，CB＝CD＝1，则四面体A­BCD的外接球的表面积是()A．πB．2πC．3πD．4π6.[2022·河北沧州模拟]如图，已知AB，CD分别是圆柱上、下底面圆的直径，且AB⊥CD，若该圆柱的侧面积是其上底面面积的2eq\r(3)倍，则AB与平面BCD所成的角为()A.eq\f(π,6)B.eq\f(π,4)C.eq\f(π,3)D.eq\f(5π,12)7.如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，则以下结论错误的是()A．BD∥平面CB1D1B．AD⊥平面CB1D1C．AC1⊥BDD．异面直线AD与CB1所成的角为45°8．如图，在△ABC中，AB＝BC＝4，∠BAC＝30°，D为AC的中点，将△ABD沿BD折起到△PBD的位置，使得二面角P­BD­C为60°，则三棱锥P­BDC的体积为()A．2eq\r(3)B．4C.eq\r(3)D．2二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．[2022·湖北黄冈中学月考]若α、β是两个相交平面，则在下列命题中，正确的是()A．若直线m⊥α，则在平面β内，一定不存在与直线m平行的直线B．若直线m⊥α，则在平面β内，一定存在无数条直线与直线m垂直C．若直线m⊂α，则在平面β内，一定存在与直线m异面的直线D．若直线m⊂α，则在平面β内，一定存在与直线m垂直的直线10．[2022·福建漳州模拟]已知α，β是两个不同的平面，a，b是两条不同的直线，则下列结论正确的是()A．若α∥β，a⊂α，b⊂β，则a∥bB．若b∥α，b⊂β，α∩β＝a，则a∥bC．若a⊂α，b⊂β，a⊥b，则α⊥βD．若a∥α，b⊥β，a∥b，则α⊥β11．[2022·山东日照模拟]已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1，过对角线BD1作平面α交棱AA1于点E，交棱CC1于点F，以下结论正确的是()A．四边形BFD1E不一定是平行四边形B．平面α分正方体所得两部分的体积相等C．平面α与平面DBB1可以垂直D．四边形BFD1E面积的最大值为eq\r(2)12．[2021·新高考Ⅰ卷]在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AA1＝1，点P满足eq\o(BP,\s\up6(→))＝λeq\o(BC,\s\up6(→))＋μeq\o(BB1,\s\up6(→))，其中λ∈[0,1]，μ∈[0,1]，则()A．当λ＝1时，△AB1P的周长为定值B．当μ＝1时，三棱锥P－A1BC的体积为定值C．当λ＝eq\f(1,2)时，有且仅有一个点P，使得A1P⊥BPD．当μ＝eq\f(1,2)时，有且仅有一个点P，使得A1B⊥平面AB1P三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．13．[2022·湖北荆州模拟]某圆柱的侧面展开图是面积为4π2的正方形，则该圆柱一个底面的面积为________．14．如图所示的是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中，棱________所在的直线与棱AB所在的直线是异面直线且互相垂直．15．[2022·北京101中学月考]如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，底面是以∠ABC为直角的等腰三角形，AC＝2，BB1＝3，D是A1C1的中点，点F在线段AA1上，当AF＝________时，CF⊥平面B1DF.16．[2022·山东济宁模拟]农历五月初五是中国的传统节日——端午节，民间有吃粽子的习俗，粽子又称“粽粒”，故称“角黍”．同学们在劳动课上模拟制作“粽子”，如图(1)的平行四边形形状的纸片是由六个边长为1的正三角形组成的，将它沿虚线折起来，可以得到如图(2)的粽子形状的六面体，则该六面体的体积为________；若该六面体内有一球，则该球的体积的最大值为________．四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(10分)[2022·山东潍坊四中月考]如图所示，斜三棱柱ABC­A1B1C1中，点D1为A1C1上的中点．(1)求证：BC1∥平面AB1D1；(2)设三棱锥A－A1B1D1的体积为V1，三棱柱ABC­A1B1C1的体积为V2，求eq\f(V1,V2).18．(12分)[2022·北京三中月考]如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为DD1的中点．(1)求证：BD1∥平面ACE；(2)求直线AD与平面ACE所成角的正弦值．19.(12分)[2022·广东湛江模拟]如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝2，点E是棱PB的中点．(1)证明：平面ACE⊥平面PBC.(2)若BC＝3，求二面角A­CE­D的余弦值．20．(12分)[2021·新高考Ⅰ卷]如图，在三棱锥A­BCD中，平面ABD⊥平面BCD，AB＝AD，O为BD的中点．(1)证明：OA⊥CD；(2)若△OCD是边长为1的等边三角形，点E在棱AD上，DE＝2EA，且二面角E­BC­D的大小为45°，求三棱锥A­BCD的体积．21．(12分)[2022·河北唐山模拟]在四棱锥P­ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝1，AD＝eq\r(2)，CD＝2，PD⊥BC，AC⊥PB.(1)证明：PD⊥平面ABCD；(2)若二面角D­PB­C的余弦值为eq\f(\r(17),17)，求直线PB与平面PCD所成角的正弦值．22．(12分)[2022·山东菏泽模拟]如图①所示，平面五边形ABCDE中，四边形ABCD为直角梯形，∠B＝90°且AD∥BC，若AD＝2BC＝2，AB＝eq\r(3)，△ADE是以AD为斜边的等腰直角三角形，现将△ADE沿AD折起，连接EB，EC得如图②的几何体．图①图②(1)若点M是ED的中点，求证：CM∥平面ABE；(2)若EC＝2，在棱EB上是否存在点F，使得二面角E­AD­F的大小为60°？若存在，求出点F的位置；若不存在，请说明理由．单元过关检测八平面解析几何一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2022·河北石家庄二中月考]若直线x－2y＋5＝0与直线2x＋my－6＝0互相垂直，则实数m等于()A．－1B．1C.eq\f(1,2)D．－eq\f(1,2)2．已知双曲线E：eq\f(x2,3)－eq\f(y2,b2)＝1(b>0)的渐近线方程为y＝±eq\f(\r(3),3)x，则E的焦距等于()A.eq\r(2)B．2C．2eq\r(2)D．43．[2021·新高考Ⅱ卷]抛物线y2＝2px(p>0)的焦点到直线y＝x＋1的距离为eq\r(2)，则p＝()A．1B．2C．2eq\r(2)D．44．[2022·山东省实验中学模拟]已知两圆相交于两点A(1,3)，B(t，－1)，两圆圆心都在直线x＋2y＋c＝0上，则t＋c的值为()A．－3B．－2C．0D．15．[2022·福建莆田模拟]已知抛物线x2＝2py(p≠0)的准线与圆x2＋(y－2)2＝9相切，则p＝()A．2B．6或－6C．－2或10D．2或－106．已知F1是双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左焦点，点P在双曲线上，直线PF1与x轴垂直，且|PF1|＝a，那么双曲线的离心率是()A.eq\r(2)B.eq\r(3)C．2D．37．[2022·湖北武汉模拟]某菱形的一组对边所在的直线方程分别为x＋2y＋1＝0和x＋2y＋3＝0，另一组对边所在的直线方程分别为3x－4y＋c1＝0和3x－4y＋c2＝0，则|c1－c2|＝()A．2eq\r(3)B．2eq\r(5)C．2D．48．已知椭圆eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,7)＝1的右焦点为F，A是椭圆上一点，点Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，4))，则△AMF的周长最大值为()A．14B．16C．18D．20二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．已知双曲线C：9x2－16y2＝144的左右焦点分别为F1、F2，点P为C上的一点，且|PF1|＝6，则下列说法正确的是()A．△PF1F2的周长为30B．双曲线的渐近线方程为3x±4y＝0C．双曲线的离心率为eq\f(5,3)D．点P在椭圆eq\f(x2,100)＋eq\f(y2,75)＝1上10．[2022·辽宁沈阳模拟]已知曲线C:eq\f(x2,m)－eq\f(y2,n)＝1(mn≠0)，则下列命题中为真命题的是()A．若m＋n＝0，则C是圆B．若m>0，n<0，且m＋n≠0，则C是椭圆C．若mn>0，则C是双曲线，且渐近线方程为y＝±eq\r(\f(n,m))xD．若0<m<1，n<－1，则C是椭圆，其离心率为eq\r(1＋\f(n,m))11．[2021·新高考Ⅱ卷]已知直线l：ax＋by－r2＝0与圆C：x2＋y2＝r2，点A(a，b)，则下列说法正确的是()A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切12．[2022·湖南益阳模拟]已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F到准线的距离为2，过点F的直线与抛物线交于P，Q两点，M为线段PQ的中点，O为坐标原点，则()A．C的准线方程为y＝－1B．线段PQ长度的最小值为4C．S△OPQ≥2D.eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(OQ,\s\up6(→))＝－3三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．13．[2022·河北保定模拟]若抛物线C：y2＝2pxeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(p>0))上的一点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,4)，y1))到它的焦点的距离为6，则p＝________.14．[2022·山东青岛模拟]若圆C：x2＋y2＋6x－2y＋n＝0截直线l：(2＋m)x＋(2m－1)y－5m＝0所得的最短弦长为4eq\r(2)，则实数n＝________.15．[2022·湖南岳阳模拟]已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的焦距为2eq\r(5)，且双曲线的一条渐近线与直线2x＋y＝0垂直，则该双曲线的方程为________．16．已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的焦点F1(－c,0)，F2(c,0)(c>0)，过右焦点F2的直线l与圆x2＋y2＝b2相切于点P，与椭圆相交于A，B两点，点A在x轴上方，且切点P恰为线段AF2的中点，则椭圆的离心率为________，直线l的斜率为________．四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(10分)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线为l，过抛物线上一点B向x轴作垂线，垂足恰好为抛物线C的焦点F，且|BF|＝4.(1)求抛物线C的方程；(2)设l与x轴的交点为A，过x轴上的一个定点(1,0)的直线m与抛物线C交于D，E两点．记直线AD，AE的斜率分别为k1，k2，若k1＋k2＝eq\f(1,3)，求直线m的方程．18．(12分)[2022·河北邯郸模拟]已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的焦距为2eq\r(3)，且过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)，\f(1,2))).(1)求椭圆方程；(2)设直线l：y＝kx＋m(k≠0)交椭圆C于A，B两点，且线段AB的中点M在直线x＝eq\f(1,2)上，求证：线段AB的中垂线恒过定点N.19．(12分)[2022·辽宁实验中学模拟]已知点A(－2,0)，B(2,0)，动点M(x，y)满足直线AM和BM的斜率之积为－eq\f(1,4)，记M的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)问在第一象限内曲线C上是否存在点P使得∠PBA＝2∠PAB，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．20．(12分)已知椭圆C：eq\