2020年天津卷(含答案)

绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟．第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。祝各位考生考试顺利！第I卷注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．2．本卷共9小题，每小题5分，共45分．参考公式：如果事件与事件互斥，那么．．如果事件与事件相互独立，那么球的表面积公式，其中表示球的半径．一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设全集，集合，则（）A.B.C.D.2.设，则“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.函数的图象大致为（）AB.C.D.4.从一批零件中抽取80个，测量其直径（单位：），将所得数据分为9组：，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间）内的个数为（A.10B.18C.20D.365.若棱长为的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）A.B.C.D.6.设，则的大小关系为（）A.B.C.D.7.设双曲线的方程为，过抛物线的焦点和点的直线为．若的方程为（）的一条渐近线与平行，另一条渐近线与垂直，则双曲线A.B.C.D.8.已知函数．给出下列结论：①②的最小正周期为；是的最大值；③把函数的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数的图象．其中所有正确结论的序号是A.①B.①③C.②③D.①②③9.已知函数取值范围是（）A.若函数恰有4个零点，则的B.C.D.绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上．2．本卷共11小题，共105分．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．10.是虚数单位，复数_________．11.在的展开式中，的系数是_________．12.已知直线_________．和圆相交于两点．若，则的值为13.已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为和．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为_________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_________．14.已知，且，则的最小值为_________．15.如图，在四边形中，，，且，则，则实数的值为_________，若是线段上的动点，且的最小值为_________．三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16.在中，角所对的边分别为．已知．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）求的值；（Ⅲ）求的值．17.如图，在三棱柱中，平面，，点分别在棱和棱上，且为棱的中点．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求二面角（Ⅲ）求直线的正弦值；与平面所成角的正弦值．18.已知椭圆的一个顶点为，右焦点为，且，其中为原点．（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）已知点19.已知满足，点在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线与以为圆心的圆相切于点，且为线段的中点．求直线的方程．为等差数列，为等比数列，．（Ⅰ）求和的通项公式；（Ⅱ）记的前项和为，求证：；（Ⅲ）对任意的正整数，设20.已知函数求数列的前项和．，为的导函数．（Ⅰ）当时，（i）求曲线在点处的切线方程；（ii）求函数（Ⅱ）当的单调区间和极值；，且时，求证：对任意的，有．2020年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学参考答案第I卷一、选择题(共45分)1.C2.A3.A4.B5.C6.D7.D8.B9.D1.【解析】由题意可知，则.故选：C.2.【解析】解二次不等式可得：或，据此可知：是的充分不必要条件.故选：A.3.【解析】由函数的解析式可得：标原点对称，选项CD4.【解析】根据直方图，直径落在区间，则函数为奇函数，其图象关于坐错误；当时，，选项B错误.故选A.之间的零件频率为：内零件的个数为：，区间,选B.5.【解析】这个球是正方体的外接球，其半径等于正方体的体对角线的一半，即，所以，这个球的表面积为.故选：C.，6.【解析】因为，，所以.故选：D.7.【解析】由题可知，抛物线的焦点为，所以直线的方程为，，即直线的斜率为，又双曲线的渐近线的方程为．故选：．，所以，因为，解得8.【解析】因为，所以周期，故①正确；，故②不正确；将函数的图象上所有点向左平移个单位长度，得到的图象，故③正确.故恰有3个实根即选：B.9.【解析】注意到可.令，所以要使恰有4个零点，只需方程，即与的图象有个不同交点.因为，当当时，此时，如图1，与与有个不同交点，不满足题意；恒有个不同交点，满足题意；时，如图2，此时当令时，如图3，当与相切时，联立方程得，得，解得（负值舍去），所以.综上，的取值范围为.故选：D.第Ⅱ卷二、填空题(共30分)10.11.1012.513.,14.415.,10.【解析】.故答案为：.11