江苏大数学分析-13-1一致收敛性课件

第十三章函数列与函数项级数第十三章函数列与函数项级数113.1函数项级数及一致收敛性一点态收敛二函数项级数（或函数序列）的基本问题三函数项级数（或函数列）的一致收敛性四一致收敛性判别

五小结13.1函数项级数及一致收敛性一点态收敛二函数2问题的提出问题:问题的提出问题:3（一）函数项级数的一般概念1.定义:一点态收敛现在我们将级数的概念从数推广到函数上去.（一）函数项级数的一般概念1.定义:一点态收敛现在我们42.收敛点与收敛域:2.收敛点与收敛域:5函数项级数的部分和余项(x在收敛域上)注意函数项级数在某点x的收敛问题,实质上是数项级数的收敛问题.3.和函数:(定义域是?)函数项级数的部分和余项(x在收敛域上)注意函数项级数在某点x6解由达朗贝尔判别法原级数绝对收敛.解由达朗贝尔判别法原级数绝对收敛.7原级数发散.收敛;发散;原级数发散.收敛;发散;84.函数项级数与其部分和在本质上是完全一致的。4.函数项级数与其部分和在本质上是完全一致的。9二函数项级数（或函数序列）的基本问题1.极限运算与无限求和运算交换次序问题二函数项级数（或函数序列）的基本问题1.极限运算与无限求102.求导运算与无限求和运算交换次序问题3.极限运算与无限求和运算交换次序问题2.求导运算与无限求和运算交换次序问题3.极限运算与无限求和111.函数列及其一致收敛性

三函数项级数（或函数列）的一致收敛性1.函数列及其一致收敛性三函数项级数（或函数列）的一致122.函数项级数的一致收敛性定义2.函数项级数的一致收敛性定义13xyo几何解释:xyo几何解释:14例2解余项的绝对值例2解余项的绝对值15江苏大数学分析-13-1一致收敛性课件16例3研究级数在区间(0,1]内的一致收敛性.解对于任意一个自然数例3研究级数在区间(0,1]内的一致收敛性.解对于任意17因此级数在(0,1)内不一致连续．说明:从下图可以看出:但虽然函数序列在(0,1)内处处在(0,1)内各点处收收敛于敛于零的“快慢”程度是不一致的．因此级数在(0,1)内不一致连续．说明:从下图可以看出18(1,1)1小结一致收敛性与所讨论的区间有关．(1,1)1小结一致收敛性与所讨论的区间有关．193.内闭一致收敛（1）概念（2）性质3.内闭一致收敛（1）概念（2）性质20四.一致收敛性判别

定理13-1（函数列一致收敛的柯西准则）2.一致收敛的柯西准则1．用定义

四.一致收敛性判别定理13-1（函数列一致收敛的柯西准则）21江苏大数学分析-13-1一致收敛性课件22江苏大数学分析-13-1一致收敛性课件23由上确界的定义，亦有由上确界的定义，亦有24江苏大数学分析-13-1一致收敛性课件25江苏大数学分析-13-1一致收敛性课件26江苏大数学分析-13-1一致收敛性课件27定理13-3（函数项级数一致收敛的柯西准则）定理13-3（函数项级数一致收敛的柯西准则）28江苏大数学分析-13-1一致收敛性课件29定理13.5（Weierstrass判别法）4.一致收敛性简便的判别法：定理13.5（Weierstrass判别法）4.一致收敛性简30证证31例4证明级数例4证明级数32证（2）由此判别法所得结果是绝对一致收敛的.证（2）由此判别法所得结果是绝对一致收敛的.335.5.34江苏大数学分析-13-1一致收敛性课件35江苏大数学分析-13-1一致收敛性课件36江苏大数学分析-13-1一致收敛性课件37江苏大数学分析-13-1一致收敛性课件38五、小结点态收敛函数项级数（或函数序列）的基本问题一致收敛性判别

函数项级数（或函数列）的一致收敛性作业：P351--6.五、小结点态收敛函数项级数（或函数序列）的基本问题一致收敛性39第十三章函数列与函数项级数第十三章函数列与函数项级数4013.1函数项级数及一致收敛性一点态收敛二函数项级数（或函数序列）的基本问题三函数项级数（或函数列）的一致收敛性四一致收敛性判别

五小结13.1函数项级数及一致收敛性一点态收敛二函数41问题的提出问题:问题的提出问题:42（一）函数项级数的一般概念1.定义:一点态收敛现在我们将级数的概念从数推广到函数上去.（一）函数项级数的一般概念1.定义:一点态收敛现在我们432.收敛点与收敛域:2.收敛点与收敛域:44函数项级数的部分和余项(x在收敛域上)注意函数项级数在某点x的收敛问题,实质上是数项级数的收敛问题.3.和函数:(定义域是?)函数项级数的部分和余项(x在收敛域上)注意函数项级数在某点x45解由达朗贝尔判别法原级数绝对收敛.解由达朗贝尔判别法原级数绝对收敛.46原级数发散.收敛;发散;原级数发散.收敛;发散;474.函数项级数与其部分和在本质上是完全一致的。4.函数项级数与其部分和在本质上是完全一致的。48二函数项级数（或函数序列）的基本问题1.极限运算与无限求和运算交换次序问题二函数项级数（或函数序列）的基本问题1.极限运算与无限求492.求导运算与无限求和运算交换次序问题3.极限运算与无限求和运算交换次序问题2.求导运算与无限求和运算交换次序问题3.极限运算与无限求和501.函数列及其一致收敛性

三函数项级数（或函数列）的一致收敛性1.函数列及其一致收敛性三函数项级数（或函数列）的一致512.函数项级数的一致收敛性定义2.函数项级数的一致收敛性定义52xyo几何解释:xyo几何解释:53例2解余项的绝对值例2解余项的绝对值54江苏大数学分析-13-1一致收敛性课件55例3研究级数在区间(0,1]内的一致收敛性.解对于任意一个自然数例3研究级数在区间(0,1]内的一致收敛性.解对于任意56因此级数在(0,1)内不一致连续．说明:从下图可以看出:但虽然函数序列在(0,1)内处处在(0,1)内各点处收收敛于敛于零的“快慢”程度是不一致的．因此级数在(0,1)内不一致连续．说明:从下图可以看出57(1,1)1小结一致收敛性与所讨论的区间有关．(1,1)1小结一致收敛性与所讨论的区间有关．583.内闭一致收敛（1）概念（2）性质3.内闭一致收敛（1）概念（2）性质59四.一致收敛性判别

定理13-1（函数列一致收敛的柯西准则）2.一致收敛的柯西准则1．用定义

四.一致收敛性判别定理13-1（函数列一致收敛的柯西准则）60江苏大数学分析-13-1一致收敛性课件61江苏大数学分析-13-1一致收敛性课件62由上确界的定义，亦有由上确界的定义，亦有63江苏大数学分析-13-1一致收敛性课件64江苏大数学分析-13-1一致收敛性课件65江苏大数学分析-13-1一致收敛性课件66定理13-3（函数项级数一致收敛的柯西准则）定理13-3（函数项级数一致收敛的柯西准则）67江苏大数学分析-13-1一致收敛性课件68定理13.5（Weierstrass判别法）4.一致收敛性简便的判别法：定理13.5（Weierstrass判别法）4.一致收敛性简69证证70例4证明级数例4证明级数71证（2）由此判别法所得结果是绝对一致收敛的.证（2）由此判别法所得结果是绝对一致收敛的.725.5.73江苏大数学分析-13-1一致收敛