数学高考练习第9讲外接球、内切球、棱切球问题（解析版）

第9讲外接球、内切球、棱切球问题一、单选题（2022•河南•平顶山市第一高级中学模拟预测（理））在三棱锥中，平面的，平面ABC,PAYPB,AB=BC=AC=4,则该三棱锥外接球的表面积是（）【答案】B【解析】【分析】作出辅助线，找到外接球的球心位置，求出外接球半径，进而求出表面积.【详解】如图所示：其中。为48的中点，。为aABC外接圆的圆心，•.•AB=BC=AC=4,在C£>上，iLOD=-CD=-x>/42-22^3 3 3OC=OA=OB=-CD=—.3 3vAB=BC=AC=4,。为AB的中点，.-.CD1AB,,平面MBJ■平面ABC,平面R4BC平面=CDu平面A8C,\CDA平面出8.又D4,DB,OPu平面出8,CDIDA,CD工DB,CD工DP.在中，PA1PB.。为A8的中点，:.DA=DB=DP.OA=OB=OP=JAD2+OD?=3O即为三棱锥P-ABC外接球的球心，且外接球半径R=迪647T"V647T"V该三棱锥夕卜接球的表面积S=4兀R?=4tcx故选：B【点睛】三棱锥的外接球问题，要选择一个特殊的平面，找到球心在这个平面的投影，然后找到球心的位置，利用半径，设出未知数，列出方程，求出半径，进而求出表面积或体积.（2022・全国•模拟预测（理））直角aABC中，AB=2,BC=1,O是斜边AC上的一动点，沿将翻折到使二面角A'-BD-C为直二面角，当线段A'C的长度最小时，四面体A8CD的外接球的表面积为（）131 r14〃 八131 12乃A.B.C. D. 4 3 3 5【答案】D【解析】【分析】作 CM±BD,NH//CM,CN〃MH、设Z_AbD=3、则有AC?=5-2sin2。，从而求解即可.【详解】作A7/_L3£>,CMLED,NH//CM,CN//MH,设N4'BZ)=，，A'H=2sin0,CM=cos0,CN=MH=2cos^—sin^.在RtZ\A'〃N中，A'N2=A'H2+HN2,在R/aAMT中，A'C2=A'N2+CN2,A'C2=A'N2+CN2=A'H2+HN2+CN2=(2s\n0)2+cos2O+(2cos0-sine)2=5-2sin20.TT当叫”"'C最小•设△BCD,VA'8。的外接圆半径分别为彳，r29_CDX_^2-_Vio、_A7) 32_2>/io._Vio八~sinZCfiD~^2~~ =~6~，"sinZA'BD~ ~3"=丁TOC\o"1-5"\h\zV Tn八瓦•"八Vio 2 2& “ I,(1gY x/2BD= sin/BCD= x-=■= ,OE—Ar,——BD=—•3 3 75 3 2 V<2 ) 6R2=O.B2+OO；=O,B2+O.E21 1 ' 2 9186, 714•1-S外接球=4ttR-=4^-x-=—.故选:D.3.(2022•江西•模拟预测(文))如图所示几何体48CDE/，底面ABC。为矩形，A8=4,BC=2,△AOE与A8CF是等边三角形，EFHAB,AB=2EF,则该几何体的外接球的表面积为()【答案】C【解析】【分析】找到球心及球心在平面A8C。上的投影，根据题干信息得到各边长，设出8=x,利用半径列出方程，求出x,进而求出半径，外接球表面积.【详解】连接AC,8。交于点O,过。点作0(9」平面ABCC,交EF与M.因为四边形A8CO为长方形，所以外接球的球心在。用直线上，设O'为外接球的球心，取AO,BC的中点分别为G,H,连接EG,FH,因为EF"AB,AB//GH,可得所〃G4,因为△8FC,△£&£）为等边三角形，所以切_LBC,因为BCLG”,EHCGH=H,所以BCL平面EFHG,因为AB=4=2防，所以AO=^，EF=2,所以£M=1,EO'=AO'=R,因为尸”=G，所以E尸到平面A8CO的距离为〃=&,设O（7=x,则MO'=&土x，所以AO"=AO2+OO",EO'2=EM2+MCf2,所以/+5=1+（啦±x『，即5+》2=1+2—2岳+X?,解得:x=孝，所以R?=AO"uACf+oo"=5+-=—,22所以4兀/?2=22兀.【点睛】立体几何中的外接球问题，要能画出图形，找到球心和球心在某些特殊平面上的投影，利用半径建立方程，求出半径，再求解表面积或体积.（2022•河南•高三阶段练习（理））在三棱锥尸-MC中，aABC是边长为4石的等边三角形，E4=PC=4,二面角P-AC-B是150。，则三棱锥尸-ABC外接球的表面积是（）A.16（ll-45/3）7t B.4（ll-4>/3）7rC.4（ll+4x/3）n D.2（ll+4>/3）7t【答案】A【解析】【分析】根据题意画出简图，通过作图分析出几何体外接球的球心位置，算出半径，即可求出表面积.【详解】如图，作PE_L平面A8C,垂足为£,连接8E,记BEcAC=£>,连接PD.由题意可得。为AC的中点.在中，PA=PC=4,。为AC的中点，..PDYAC因为4c=4石，所以A£»=2>/5,则PD=JPA2-AD2=7甲-(26尸=2.因为二面角P-AC-B是150。，所以NPDE=30。，所以PE=1,DE=y/3.因为aABC是边氏为46的等边一角形，耳。为AC的中点，所以80=6.设。1为aABC外接圆的圆心，则«8=2«。=4.设三棱锥P-ABC外接球的球心为O,因为qp2=0E+p£；2=(>/i+2y+12=8+4&<16,所以O在平面ABC下方，连接。。，OB,OP,作OHJLPE,垂足为“，则O〃=O1E=G+2,PH=PE+OOx.设三棱锥P-ABC外接球的半彳仝为R,/？2=O//2+ph" R?=。。；+4~，n，„„2 __2'BP" ,r\2/ 2,解得R)=44-16函，[R-=OO[+OtB-^R2=(V3+2)+(1+00,)'故三棱锥P-ABC外接球的表面积是4兀片=16(11-46)兀.故选：A.71(2022•湖南•长沙县第一中学模拟预测)已知三棱锥S-A8C中，ZBAC=~,SBLAB,5C1AC,SB=SC=3,,三棱锥S-ABC体积为生叵，则三棱锥S—ABC外接球的表面积为3()5Tt【答案】C205Tt【答案】C20兀25兀D.1007T【解析】【分析】观察ASBA、ASCA均为直角三角形，得到点P为三棱锥S-48C外接球的球心，且棱锥P一A8C为正三棱锥，可以通过设高|PO|结合匕“pc求得底面正AABC的边长”，从而得到外接球半径|以|,最后求得表面积.【详解】解：如图，取SA中点P,SBYAB,SCIAC,则△SBA,ASCA均为直角三角形，PA=PB=PC=PS,即点?为三棱锥S-4BC外接球球心，即为外接球半径,JT又SB=SC,故AB=AC且NB4C=-=4ABC为等边三角形又必=P8=PC=三棱锥P-A8C为正三棱锥；作POL平面ABC,垂足为O,连接04则。为△A8C的外心，设正三角形A8C的边长为a,则04=348=里，SA2=AB2+SB2=a2+323 3BPPA2=-(aBPPA2=-(a2+9),4V/外接球表面积为1+9)兀故排除A：.,-0<a2<27.故排除D：若.+9)兀=20n,则/="，代入方程不成立,故排除B；若(6+9)兀=25兀，则/=16,代入方程成立，所以C正确,故选：C（2022•河南•洛宁县第一高级中学高一阶段练习）如图，在棱长为2的正四面体ABCO中,点N,M分别为aABC和的重心，P为线段CM上一点.（）A.AP+BP的最小为2B.若OP_L平面ABC,^\CP=—CM4C.若OP,平面A8C,则三棱锥P—A8C外接球的表面积为竽2D.若尸为线段EN的中点，且£>P〃MF,则【答案】D【解析】【分析】A选项由线面垂直证得CMLBM,CM1AM,进而由点P与点M而合时即可判断；B选项3利用内切球求得OP=：ON即可判断：C选项找到球心，由勾股定理求得半径，即可判断:D选项由空间向量的线性运算即可判断.【详解】易得。E_LAB,CE_LAB,又£>EcCE=E，则AB面CDE,又CMu面，则AB1CM,同理可得CMJ.BO,ABr\BD=B,则CMJ_平面A8〃，乂 u平面abd,所以CM_L8M,CMLAM.则当点P与点M重合时，AP+8P取得最小值，又AM=BM=DM/DE=<亚丁=空,则最小值为4M+8M=迪，A错误.3 3 3

DD在正四面体ABC。中，因为。尸，平面ABC,易得P在DV上，所以ONcCA/=P,又点N,M也是aABC和△48。的内心，则点P为正四面体A8CO内切球的球心.cn=2cE=2亘，DN=^CD2-CN2=—.设3 3 3正四面体4BCO内切球的半径为r,因为VD-ABC=VP-ABC+VP-ABO+VP-BCD+VP-ACD，所以；Saabc.DN= .r+^SAAflD-r+^5ABCD-r+^SA4CD解得r=NP=2^=亚，^DP=-DN,故而=3两'，B错误.4 6 4 4设三棱锥P-ABC外接球的球心为O,半径为R,易得球心0在直线DN匕且ONINC,则R2=OC-=CN2+(OP-NP)2,解得r=娅，故三棱锥尸一A8C外接球的表面积为4万片=%，C错误.TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"2若广为线段EN的中点，则历=:EN=』EC,2 6MF=ME+-EC^-DE+-W+-DC=-DE+-DC=-DM+-DC.6 3 6 6 6 6 4 6设丽=4祝，则而=丽+2祝=丽+/而+2反=(1-/1)的+/1觉.因为。/>〃叱，所以设砺=〃而，则，-=(1-2)^,解得，7=却，62=|所以设砺=〃而，则，-=(1-2)^,解得，7=却，6〃=-，12故选：D.（2022•全国•高一单元测试）已知在矩形ABCD中，将△ABO沿对角线80所在的直线进行翻折，在三棱锥A-BCO中，一定不成立的是（）A.NADC为锐角AC1BDCD1.平面D.三棱锥A-BCD外接球的体积不变【答案】C【解析】【分析】A由翻折过程中AO+CO>AC,结合余弦定理即可判断；B当AB=A£>时应用线面垂直的判定及性质可判断；C应用反证法，由CDL平面/3£>"]■得CDLBO仃矛盾：DIIIAO=BO=CO=DO,根据球体体积公式判断.【详解】在矩形ABCO中，设AB=m、A£）=〃，连接AC交BD于点0,翻折后AO+CO=y/r^+n2>AC，4'(4)AD2+CD2-AC2m2+n2-AC2ncosZADC= = >0,2xADxCD 2mn/ADC一定为锐角，A成立，当机=〃时，BD1AO、BD1CO,AOnCO=O,8。JL平面AOC,又ACu平面AOC,ACA.BD,B成立，若8_1_平面4如，B£>u平面ABD,则C£>_L8。，所以NBQ为宜角，与CDtjBD•定不垂直矛盾，C不成立，；AO=BO=CO=DO,...点。为三棱锥A-8c。外接球的球心，外接球的直径为而币7,•••在翻折过程中外接球的体积不变，D成立.故选：C.

（2022•全国•模拟预测）己知四边形A8CD为菱形，且ZABC=120,现将△ABO沿30折起至△依£>,并使得M与平面8CO所成角的余弦值为巫，此时三棱锥P-88外接球的3体积为86］，则该三棱锥的表面积为（）B.1B.165/3D.16x/6C.12>/6【答案】B【解析】【分析】设AB=a,在：棱锥P-BCD中，取B£）的中点E,连接CE,过点尸在平面PCE内作PO，CE.垂足为点0,连接08,推导出点。为正△BCD的中心,可得出三棱锥P-BCD是边长为a的正四面体，可求得该正四面体外接球半径，结合球体体枳公式可求得。的值，由此可求得正四面体P8CE）的表面积.【详解】在菱形A8C0中，NABC=120,设相="，则△AB0和△8CO均为边长为a的正三角形.将△AB。折起后，PB=PD=a,取8。的中点E,连接CE、PE,如图.因为PB=PD=BC=CD,则CEJ.8O,PELBD,又因为CEcPE=E,平面PCE,过点「在平面PCE内作POLCE,垂足为点。，连接。8,POu平面PCE,则BDLPO.又因为PO_LCE,CE[}BD=E,r.PO_L平面BCD,•.♦O8u平面BCD,..PO1.OB,所以，直线PB与平面BCD所成角为NP80,在RtZXPQB中，cosZPBO=—=—,所以08=立“，PO=ylPB2-OB2=—a.PB3 3 3在RIaPOE中，PE=—a,PO=—a,所以OE=《PE?-PO,=迫。,则OE=gCE,2 3 6 3因此点。为正△BCD的中心，所以三棱锥尸-BCD是棱长为。的正四面体.将正四面体PBCD补成正方体PMCN-GBHD,则正方体PMCN-GBHD的棱长为立•“，2 22 2 4三棱锥P-BCD外接球的体积为丫=2兀R'=显+=8右,解得a=4,3 8因此，正四面体PBCD的表面积为4x3x42=1664故选：B.【点睛】方法点睛：解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下：（1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径；（2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系），达到空间问题平面化的目的：（3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解.（2022•广东佛山•三模）已知四棱锥P-ABCO中，底面ABC。是边长为4的正方形，平面PA8，平面ABC。，且△PAB为等边三角形，则该四棱锥的外接球的表面积为（）112B.112B.——n3256

D. n3C.32C.32万3【答案】B【解析】【分析】取侧面和底面正方形ABCD的外接圆的圆心分别为。「。2，分别过。1,O?作两个平面的垂线交于点O,得到点。即为该球的球心，取线段AB的中点E,得到四边形。£。?。为矩形，分别求得OR，。/，结合球的截面圆的性质，即可求解.【详解】如图所示，在四棱锥P-A8CD中，取侧面△P45和底面正方形ABCD的外接圆的圆心分别为q,O2,分别过。1,。2作两个平面的垂线交于点。则由外接球的性质知，点。即为该球的球心，取线段AB的中点E,连02E,O2D,OD,则四边形。£。2。为矩形,在等边△「相中，可得PE=2>5，则qe=2叵，即。。2=孚，在正方形ABC。中，因为A8=4,可得。2。=20,22在直角A。。：。中，可得DO? ,即箝=二，所以四棱锥P-ABCD外接球的衣面积为S=4乃片=咛.故选:B.（2022•吉林吉林•模拟预测（文））半正多面体（semiregularsolid'）亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美.二十四等边体就是一种半多正多面体.如图，棱长为夜的正方体截去八个一样的四面体，就得到二十四等边体,则下列说法错误的是（）A.该几何体外接球的表面积为4兀B.该几何体外接球的体积为7C.该几何体的体积与原正方体的体积比为2：3D.该几何体的表面积比原正方体的表面积小【答案】C【解析】【分析】由题意求该几何体的体积与表面积，由外接球的半径求体积与表面积，对选项逐一判断【详解】由题意得该几何体外接球的球心为原正方体的中心，故外接球半径为1,外接球的表面积为，,一,47c4兀，体积为了，故A,B正确对■于C,该几何体的体积V=匕卜：方体-8%而体=（a）*-8xgx；x（¥）3=~~~,正方体体积为2/，故该几何体的体积与原正方体的体积比为5:6,故C错误，对于D,该几何体有6个面为正方形，8个面为等边三角形=6xl2+8x-^-xl=6+2^3<12,故D正确故选：C11.（2022•四川•宜宾市叙州区第一中学校模拟预测（理））直角“IBC中AB=2,BC=1,D是斜边AC上的一动点，沿8。将△A3。翻折到VABO,使二面角A'-3D-C为直二面角，当线段A'C的长度最小时，四面体ABCD的外接球的表面积为（）13乃 21万 -，13% c14%A. B. C. D. 4 5 3 3【答案】D【解析】【分析】如图，过点A'作A'”_L8£）交8。延长线于“，过点C作CML3。交8。于M,再作NH//CM,CN//MH.使得CN与HN交于点N,设4$£）=6,进而得AH=2sin0,BW=2cos^,BM=sin0,CMcos0,MH-2cos0—sin0,故AC=j5-2sin2eS当且仅当。=?时等号成立，再根据题意，以//为坐标原点，以而，丽,画的方向为正方向建立空间直角坐标系，设四间体488的外接球的球心为O（x,y,z）,进而利用坐标法求球心坐标，进而求出四面体外接球的半径，表面积.【详解】解：根据题意，图I的直角三角形沿BD将△他。翻折到VABZ）使二面角A—SD-C为直二面角，所以，过点4作交BO延长线于“，过点C作CM_L6O交BOfM,再作NH〃CM,CN//MH,使得CN与HN交于息N,所以，由二面角A'-BD-C为直二面角可得CM

jr设ZAB£>=e,即ZA'8O=e,则NCBO=5-e,因为AB=2,BC=1,所以AB=2,BC=1,所以，在Rt^ABR中,A”=2sin"B4=2cos。，在RtZXBCAf中，BM=cos(]—9)=sin"CM=sin(/—e]=cos。,所以MH=BH—BM=2cos6»-sin0,所以AC=>]a'H2+MH2+CM2=V5-4sin6>cos6»=j5—2sin26>g>当且仅当26=工，即9=2时等号成立，TOC\o"1-5"\h\z2 4此时，AH=4i,BH=0BM=—fCM=—,A/H=—,2 2 2jr在图1中，由于夕=:，即3。为角8的角平分线，所以黑=黑=2,即叵，DCBC 3所以AO=短，所以，dh=^Ad2-Ah2=^,3 3由题知，两两垂直，故以H为坐标原点，以丽，丽，血的方向为正方向建立空间直角坐标系，所以，设四面体ABC0的外接球的球心为O(x,y,z),即,解得y=X=Z=延，即。(半半6 3 13即,解得y=X=Z=延，即。(半半6 3 13 6 3JX=Z-V2x+1=-V2y,也x+&y=23 9所以四面体48CD的外接球的半径为六=/+y2+卜-0丫=，,所以四面体A88的外接球的表面枳为S=4"炉=三

故选:D【点睛】本题考查空间几何折叠问题中的距离最值问题，儿何体的外接内切问题，考查空间想象能力，运算求解能力，是难题,本题解您的关键在于由二面角4-C为直二面角构造辅助线（过点4作AH上BD交8。延长线于H,过点C作CM1B0交8。于M，再作NH〃。/,CN〃M〃，使得CN与"N交于点N）,进而通过NAB£>=6表示A'C,空间几何体的外接球的半径的求解利用坐标法求解即可.（2022•新疆昌吉•二模（文））在三棱锥P-ABC中，PA=PC=6,且cosNBAC=g,AB=AC=4f>,二面角P-AC-8的大小为120。，则三棱锥P-ABC的外接球体积为（）A.必^乃 B.10兀 C.9万 D.（4+26卜【答案】A【解析】【分析】本题结合球的基本性质可知：过三棱锥其中两个面的三角形的外接圆圆心，作该面的垂线，两条垂线的交点即为三棱锥的球心，结合三角形的相关知识分析求得三棱锥P-ABC的外接球的半径.【详解】如图。I、R分别为RS附C、AABC的外接圆圆心，作。O|J•平面出8,OO2，平面A8C,则0为三棱锥P-ABC的外接球的球心.正 …八AB正 …八AB2+AC2-BC2，上△ABC中，cosZBAC= 2AB.AC，即L处回W

3 2&R，可得：8c=2&-由正弦定理可得：2。代』=3,即。小|,又.普为线段AC的中点'则可得。「坐’“。入AU。⑼；C，二面角P—AC—8的大小的平面角即为/O2O,P=120°,则/QOQ=30Pop=也不-。.=*,O0=i.，三校锥尸-ABC的外接球的半径R={OO；+OW=叵则三棱锥P-ABC的外接球体积为仁g则三棱锥P-ABC的外接球体积为仁g5回兀3故选：A.（2022•辽宁・大连市普兰店区高级中学模拟预测）如图，在三棱锥。-ABC中，/ToZDAC=ZBCA=/BCD=90。，。0=加，45=3,且直线48与0。所成角的余弦值为卫,19则该三棱锥的外接球的体积为（）B.75万~4~CB.75万~4~C125乃, 6651D.亍【答案】C【解析】【分析】由题意，将三棱锥。-ABC放入对应的长方体中，根据已知条件建立关于长方体的长、宽、高的边长。，江，的方程组，求解得"+从+°2=25,进而可得外接球的直径即为长方体的体对角线长，从而根据球的体积公式即可求解.【详解】解：由题意知ACJ_BC,DC1BC,则BCJ■平面ACC,所以8CLAO,又A0J.AC,ACn8C=C，所以平面A8C,将三棱锥。—ABC放入对应的长方体中，如图：DD易知EB〃Z）C,所以/4BE为直线A8与。。所成的角，所以AE?=A^+B炉一2AR8E.COSZABE，解得4E=后.设长方体的长、宽、高分别为“，b,c,则/+//=9,a2+c2=22<b2+c2=\9>三式相加得/+b2+c2=25,所以长方体的外接球的半径为J"。+>+/=5,2 2所以该三棱锥的外接球的体积为丫=1万（g）=等.故选：C.（2022•全国•模拟预测）已知点P、A、B、。是球O的球面上的四个点，PA,PB、PC两两垂直且长度均为26，M是AP的中点，记过点M与平面ABC平行的平面a,则球。被平面a截得的截面面积等于（）TOC\o"1-5"\h\z9 5A.5兀 B.4兀 C.—兀 D.—n4 4【答案】A【解析】【分析】根据以、PB、PC两两垂直且长度均为2石可求球O的半径.连接OP,交平面A8C于点E,交平面a于点凡根据正方体的几何性质可求OE、PE、PF,从而可求OF,于是可求截面圆的半径和面积.【详解】,：PA.PB、尸C两两垂直且长度均为26,球。为棱氏是2曲的正方体的外接球，设球的半彳仝为R,则R=gxGx2石=3.连接。尸，交平面48c于点E,交平面a于点尸，则。P为正方体体对角线的一半，则易证QP，平面ABC,则QPJ■平面a,OP=3,易知△A8C为等边三角形，E为AABC的中心，CE=2x@x2#=2&,32OE=\oc2-CE，=旧-（2扬2=1,pe=OP-OE=3-\=2>；历是AP的中点，平面ABC〃平面a,/.PF=-PE=1,OF=2,2即球心O到平面a的距离为2,截面圆的半径r=）9-4=e,二.截面面积为5兀.故选：A.（2022・四川成都・三模（理））已知三棱台A8C-AgG的六个顶点都在球。的球面上，e=84=CG=Ji6,aAbc和"bg分别是边长为g和26的正三角形，则球o的体积为（）.a327r 20逐兀 「水 八4071071A. B. C.367t D. 3 3 3【答案】B【解析】【分析】分别求出正三楂台ABC-A4G的上下两个底面的外接圆的半径，然后由球的性质得：OO,2+\=R2,(3-00,)2+4=R2,解出R,即可求得球。的体积.【详解】设点。2，01分别足正△A4G，"BC的中心，球的半径为R,且。-02,0三点共线,正：.棱台ABC-ABG的高为。。2,在等边aABC中，由AB=JL由正弦定理可得：ccAABgr1-sin60。一行一，得AQ=1，在等边786中，由44=26，由正弦定理可~22Ao=^^=也得：外2-sin60。-73，得A°2=2,如下图，过点a作AN，A02,则在三角形A^NTAN=1,AA=所，所以A7V=aQ=J10—l=3,所以正三棱台ABC-的高为3,在R〃kOO|A中,OO：+《*=*,即OO：+1=R2,在RtZkOOzA中，OO22+02A^=R2,即（3-。&）2+4=/?2,两式解得：R=y[5,所以球。的体积为：卜=2]*=型叵.3 3故选：B.Bi（2022•四川省宜宾市第四中学校三模（理））函数/（》）=1罂设球。的半径为/（x）cos0-?）,则（）A.球。的表面积随x增大而增大 B.球。的体积随x增大而减小47r 4/rC.球。的表面积最小值为号 D,球。的体积最大值为空e~ 3e3【答案】D【解析】【分析】设函数，=sin2x,xw（09,利用导数判断其单调性，从而判断〃力=1察（0vx<5）的单调性，进而判断球。的半径/（x）cos［的单调性，由此可判断A,B,结合单调性可求得球的表面积以及体积的最值，判断CQ.【详解】7T令，=sin2x,光£（0,万）,则rw（O,l）,TOC\o"1-5"\h\z故函数g（f）==/£（0,1）,屋"）==>0,e e即g⑴=:/€（0,1）为单调增函数，e而£=国112工,工€（0,当在（0；）上递增，在（二,当上递减,2 4 42故〃力=噤［。—<弓在（0,勺上递增，在6，勺上递减，

e1乙）4 42.又丫=«»（》-少在（0。）上递增，在（；；）上递减，4 4 42且/（*）=三2（0<*<3是正值,y=cos（x-：）也是正值,故y=f（x）cos（x-?）任（0,：）上递增，在（：，］）上递减，即球O的半径/（x）cos（x-?）在（0日）上递增，在（：，/上递减，故A,B错误；由以上分析可知当X=；时，球O的半径f（x）cosx-?取到最大值为二g.cosO=J，TOC\o"1-5"\h\z\ 、） sin— Pe21 47r故球。的表面积最大值为4兀x3=与，无最小值，故C错误；ee〜47r1 47r同时球。的体积最大值为胃xj=茅，故D正确；故选：D【点睛】本题将球的相关计算和导数综合在一起考查，综合性较强，考查综合分析，解决问题的数学素养以及能力，解答的关键是要判断球的半径的变化规律，也就是要结合导数判断复合函数的单调性.二、多选题（2022•河北衡水•高三阶段练习）已知在平行四边形ABC。中，AB=3,4）=2,44=60。，把aABO沿折起使得4点变为4,则（）A.BD=>fiB.三棱锥A'-8c。体积的最大值为更2C.当A'C=8O时，三棱锥A-BC3的外接球的半径为典2D.当A，C=8。时，ZA'BC=60°【答案】ACD【解析】【分析】A选项，利用余弦定理进行求解；B选项，先得到当平面45。L平面B8时，三棱锥A'-BCD的体积最大，利用等体积法求出点4到平面8C。的距离，从而求出最大体积；C选项，对棱相等的三棱锥可补形为长方体，求出长方体的体对角线的一半即为外接球半径,设出长方体的长宽高，列出方程组，进行求解：D选项，由余弦定理进行求解.【详解】对于选项A,由余弦定理得BI）:nAZy+ABZ-ZAZhABcosAuZ'+SZ-ZxZxScosbO。：？，:.BD=yH,故选项A正确：为「选项B,当平面480,平面BCO时，二棱锥A-BCD的体枳最大，设此时点A'到平面BCD的距离为h,则;x2x3xsin60o=gx〃x«,解得：〃=通7；.三棱锥A'—8CD体积的最大值V=1x延Llx2x3xsin60o=9,3 7 2 14故选项B错误；时「选项C,当A，C=BO时，把三棱锥A'-BCD补成一个长方体，三棱锥的外接球就是长方体的外接球，设长方体的三条棱长分别为x,y,z,外接球的半径为R,x2+y2=22则，x2+z2=32,y2+z2=l：.（2R^=x2+y2+z2=\0,解得R=巫，故选项C正确；2224q2_7 1对于选项D,由cosNA'BCn"?--= 且0<N/T8c（万，得NA'BC=60°,故选项D2x2x3 2正确.H故选：ACD【点睛】对于对棱相等的三棱锥的外接球问题，要将此三棱锥的棱长对应某一个长方体的面对角线,此时长方体的外接球即为次三棱锥的外接球.（2022・全国•高三专题练习）已知梯形ABC。，AB=AD=-BC^\,ADIIBC,AD±AB,2P是线段BC上的动点；将△ABO沿着8。所在的直线翻折成四面体ABC£>,翻折的过程中下列选项中正确的是（）A.不论何时，80与A'C都不可能垂直B.存在某个位置，使得平面A'BCC.直线A7>与平面88所成角存在最大值D.四面体ABCZ）的外接球的表面积的最小值为4万【答案】AD【解析】【分析】利用反证法可判断AB选项的正误；分别取8£>、BC的中点。、M,连接QM、A'O,以点。为坐标原点，OB、OM所在直线分别为x、N轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可判断C选项的正误：设四面体A'8。的外接球心为Q[0,5>,z）求出四面体A'BCD外接球半径的最小值，可判断D选项的正误.【详解】对于A选项，在梯形ABC。中，AB=AD=-BC=\,AD//BC,AD±AB,2BD=>]AB2+AD2=72>且NABO=7,则NCB£>=：,因为BC=2,由余弦定理可得CD2=BC2+BD2-2BCBDcos-=2,4.-.BD2+CD2=BC2,：.BD±CD,若BOLA'C,且ACnCD=C,.•.30,平面ACC，TT・.・AOu平面A'CO，事实上NA7）8=1,矛盾，4故不论何时，8。与A'C都不可能垂直，A选项正确；对于B选项，若A'£）_L平面A'BC,4Cu平面4BC,则A'OLA'C,所以，A'C=^CDr-AHJr=1,而A'8=l,BC=2,即A'B+A'C=BC,则A、B、C无法构成三角形，不合乎题意，B选项错误；对于C选项，分别取B。、8c的中点。、M,连接。M、A'O,则OM〃CD,

\CD1BD,OM//CD,则BD10M..A'B=AD,。为8。的中点，则A'O_LBD,•：A!O[}OM=O,故8。J.平面A'OM,以点。为坐标原点，08、OM所d'［线分别为X、y轴建、7：如卜图所示的空间直角坐标系,、B设三棱锥A-8CE＞的球心为号,z与o,o]、、B设三棱锥A-8CE＞的球心为号,z与o,o]、D由|B0=|AQ|可得=1+Z2,解得z=-COS。&sin6, 7T设三棱锥4-BCD的外接球半价为r，则r=ViTF21，当且仅当。=1时，等号成立,因此，四面体ABCD的外接球的表面积的最小值为4*D选项正确.对于C选项，设方=4丽=2（0,-夜,0）=（0）,前=前=丽+丽7=（&尢一而,0）+-立也cos。,巫sin6»

22 2-^-,^-cos0-42A,^-sin0易知平面BCD易知平面BCD的一个法向量为n=（0,0,1）,sin。 sin。 立sin。= ,< 1 =―,血，J4J--22(l+cose)+l立1+cosO[(1+cos。)-+1^4-(1+cos0)-，2sin2(9 2-2cos26> 2(cos6>+1)、 4小，、而 7= 5—=- =2 G(O,1),4-(l+cose)~3-2cos0-cos-0cos0+3 cosO+3&sin。即当0<。</时，/, 二无最大值,进而可知直线4尸与平面BCD所成角对使^4-(1+cos(9)'值，C选项错误.故选：AD.【点睛】方法点睛：解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下：(1)定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径；(2)作截面：选准最佳角度做出截面(要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系)，达到空间问题平面化的目的；(3)求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解.(2022•辽宁•模拟预测)在三棱锥M-ABC中，底面ABC是等边三角形，MC=4,点H为的垂心，且A"_L侧面则下列说法正确的是()BC±AMMCJ"平面AB"MA,MB,MC互不相等D.当三棱锥M-ABC的体积最大时，其外接球的体积为36岳【答案】AB【解析】【分析】对于A,延长MH交BC于点D,连接AC,由线面垂直的性质可判断：对于B,连接并延长交MC于点£,连接4E,由线面垂直的判定可判断；对于C,过M作MO1.A0,垂足为O,则MO_L平面4BC,延长CO交A8于点F,连接MF,可得M4=M8=MC,由此可判断；对于D,由三棱锥用-ABC为正三棱锥，得时，△MBC的面积最大，MAL平面M8C时，一棱锥M-ABC的体积最大，将：:棱锥A-MBC补成正方体AEFG-MBDC,求得三棱锥A-MBC的外接球半径R,由球体的体积公式计算可判断.【详解】解：对于A,如图，延长交BC于点。，连接AC,

M因为，为△M8C的垂心，则8C_LM£),又 BCu平面M8C,所以BC_LAH,又AHcMD=H，所以BC_L平面MA。，又A”u平面AMO,所以BC_LAM,A项正确；对于B,因为8CJ_AO,乂aABC为等边三角形，所以。为BC的中点，连接8〃并延长交MC于点E,连接AE,则BELA/C,因为AHL平面MBC,MCu平面MBC,所以A//_LA/C,又A〃nBE="，所以MCL平面A8H,B项正确；对于C,因为A8i平面A8E,所以A8AMC,过M作MOJ_AO,垂足为O,则例O_L平面ABC,又ABi平面A8C,所以MOLAB,延长CO交AB于点凡连接M兄因为MOcMC=M,所以AB_L平面MCF,因为MF,C/u平面MCF,则M/_LAB，CF1AB.得M4=M8，所以M4=A/B=MC,C项错误；对于D,因为三棱锥A7-ABC为正三棱锥，当MB_LMC时，△M8C的面积最大，“1M4工平面一例8c时，三棱锥M-ABC的体积最大，将三棱锥A-M8C补成正方体AEFG-MBDC.此时正方体AEFG-MBDC的体对角线长即为三棱锥A-M8C的外接球的宜衿，设三棱锥A-A必。的外接球直径为2R,则2R=，M42+MB?+A/C」=4G，即火=2百，因此三棱锥M-ABC的外接球的体积V=等^=yx（2x/3）3=32&,D项错误.故选：AB.三、双空题（2022•山东•烟台二中模拟预测）已知等边aABC的边长为2,将其绕着8c边旋转角度凡使点A旋转到A'位置.记四面体4'ABC的内切球半径和外接球半径依次为r,R,当四面体A/8C的表面积最大时，A'A=,3=.【答案】 2& 2-6##-豆+2【解析】【分析】先判断出当NA'BA=］时四面体A'ABC的表面积最大，即可求得AA=2&;先求出表面积,再得到A'A的中点。为四面体AABC的外接球球心，即可求得R,再求出四面体的体枳，由丫=；.（4+20/■即可求得r,即可求解.【详解】A!TT易得aABCaA'BC的面积为定值，又aWmaACA',显然当NA'BA=一时，此时2i.ABA'^ACA'面积最大，即四面体A'ABC的表面积最大，此时A'A=2啦;当四面体A'ABC的表面积最大时，易知四面体AABC的表面积最大值为1x22x—x2+-x2x2x2=4+2>/3.设A'A的中点为。，2 2 2易知。8=。。=：44',.•.OB=OC=OA=Q4'=&,即。为四面体A'ABC的外接球球心,，四面体A'ABC的外接球半彳仝/?=&,

'：OB=OC=W且BC=2,•*.BC2=OB2+OC2,：.4BOC=g由OC_LOB,OC_LA4',O8,A4'u平面AAB,O8cA4'=O,可得OCJ"平面A'AB，.•.四面体AA8C的体积为丫=、5八八屋0。=述*2国…学y平3*2国…学y平乂丫=§^D-ABC"十耳Sqy/C.-§S0_"8"+§^D-AAfC解得r=4^,2+J3,••5=事=2-6故答案为：2&;2-5/3.(2022・四川•宜宾市叙州区第一中学校高三阶段练习(理))正方体ABCQ-ABCQ的棱长为2,动点P在对角线上，过点P作垂直于的平面a,记平面a截正方体得到的截面多边形(含三角形)的周长为y=/(x),设BP=x,xe(0,23).(1)下列说法中，正确的编号为.①截面多边形可能为四边形；②f冷=3五;③函数/")的图象关于》=石对称.(2)当x=6时，三棱锥P-ABC的外接球的表面积为.【答案】 ②③％r【解析】【分析】(I)连接A环片CAC,证明平面做C,探讨x取值范|1；|所为应截面形状及〃x)的表达式即可求解作答.(2)点P为中点，利用球面的性质求出三棱锥P-ABC的外接球半径即可计算作答.【详解】(1)在正方体A8CO-A4GA中，连接4综BC，AC,8。，如图，BDlAC,DDt_L平面ABCD,ACu平面ABCD,则DD、1AC,BD^\DDX=D,BD,DDtu平面B。。，因此，4cL平面B。。，BRu平面8。。，AC1BDt,同理Aq_LB。，而AB|ri4C=A,A81,ACu平面ABC，则BRL平面AB,C,连接AR,G。，A。，同理B""L平面4G。，又PwBD、,Pwa，BDJa,当平面A8c为平面a时，忆《1c=；,亨(2&)%=：•W=g,解得x=2叵，3当平面AG。为平面a时，》=华，"'lO<x4逆或型Vx<2w时，平面(与正方体A8CO-A4GR共点:的三个面相交，截3 3面为三角形，当0<xW这时，平面。截正方体ABCO-ABCA所得截面为正△EFG,令BE=t,3由Vr-efg=；S^efg，x=~BE，得：^-(y/2t)2.x= ,解得t=>j3x,则f(x)=3\flt=3限x,当时，同理得以x)=3瓜Q&-x),当亚<x(生叵时，平面a与正方体ABC。-A&GA的六个面相交，截面为六边形3 3MNTQRS,令4历二〃(。<〃<2),\N\NT=QR=MS=®4,TQ=RS=MN=6Q-u),有f(x)=60,因此，平面。截正方体ABC。-ASGA所得截面为三角形或六边形，①不正确；35/6x,0<xW 3fM=</(—)=fM=</(—)=3>/2,②正确;3 33疯2痒x),华4x<显然xw(0,2石)，有丁(26-x)=/(x)恒成立，函数f(x)的图象关于*=道对称，③正确.(2)当x=G时，点P为8。中点，令ACnSQ=O,连PO,显然尸0,平面ABC,三棱锥P-ABC的外接球截平面ABC所得小圆圆心为点O,此小圆半径为V2，则有三棱锥P-A8C的外接球球心在宜线P。上，设球半径为r,而PO=1,球心到平面A8C的距离d=|r-l|,于是有：产=1+(0)2,即产=(.1)2+2,解得2r=3,所以三棱锥P-ABC的外接球的表面积为41产=〃(2r)2=9〃.故答案为：②③；9万【点睛】关键点睛：几何体的外接球的表面积、体积计算问题，借助球的截面小圆性质确定出球心位置或者球半径是解题的关键.(2022•江苏连云港•模拟预测)在四棱锥尸-"CQ中，底面ABC。是矩形，侧面附8是等边三角形，侧面底面ABC。，AB=26,若四棱锥P-A8C£)存在内切球，则内切球的体积为,此时四棱锥P-ABCD的体积为.【答案】 86【解析】【分析】过点尸作出四棱锥P-A8CD的内切球截面大圆，确定球半径表达式，再借助四棱锥体枳求出球半径计算作答.【详解】取A8中点M,CD中点N,连接PM,PN,MN,如图，因4PAB是正三角形，则RW_L,乂ABCD是矩形，有MV_LAB,而平面PA8_L平面ABCD,平面PABc平面ABCD=A5,尸例u平面PAB,MVu平面ABCD，因此PAfJ_平面ABCD,MNJ■平面E4B，又ADUMNUBC,则A£)_L平面力$,BCJ"平面 即有AD_LPA,BC_LP8,PMcMN=M,PM,MNu平面PMN,有A8_L平面EMV,PNu平面PMN,AB1PN,而AB〃C。，则CDJ.PN,显然aPAOmaPBC,由球的对称性及四棱锥P-ABC£>的特征知，平面加截四棱锥ABC。的内切球。得截面大圆，此圆是RtZXPMN的内切圆，切MN,分别于E,F,有四边形O£MF为正方形，令AD=X,而PM=3,PAf=V7+9-则球半径厂=加『=3。+3->/.2+9),四棱锥产一ABC3的表面积为S=S„.„+25PAn+S.„rn+S二=3G+4限+百心+9,由V-8=；rS=；SMc/＞PM得：*+3-&+9).而3+4〃+&+9)=2任.3,整理得：6x(3+4x+Vx2+9)=12x-(x+3+Vx2+9)«即2x-3=&+9，解得x=4,因此，r=l,内切球的体积丫=亨，=与，四棱锥P-ABC。体积匕＞_他„,=86.故答案为：；8-75【点睛】结论点睛：一个多面体的表面积为s,如果这个多面体有半径为/■的内切球，则此多面体的体积V满足：V=1sr.(2022•全国•高三专题练习)定义：若A,B,C,。为球面上四点，E,尸分别是48,C。的中点，则把以E尸为直径的球称为AB,C。的“伴随球”♦已知A,B,C,。是半径为2的球面上四点，AB=CD=2。则AB,8的“伴随球”的直径取值范围为:若A,B,C,。不共面，则四面体A8CD体积的最大值为.【答案】(0,2] 4【解析】【分析】设。为48,C,。所在球面的球心，则由题可知E、F均是以。为球心，1为半径的球面上的2点，据此即可求出EF范围；根据乙伙"=2匕"£=§S”7»「d(d为点A到平面COE距离，),求出\CD£,J的最大值即可得体积最大值.【详解】解：设。为A,B,C,。所在球面的球心，\OA=OC=2.•；AB=CD=25且E,尸分别是A8,C£＞的中点，：.OEVAB,OELCD,且4E=CF=5..OE=OF=1,则E、F均是以O为球心，1为半径的球面上的点，若以EF为直径作球，则0<EFWOE+OF=2,即AB.CO的伴随球的直径取值范围是（0,2］：__ 2,•aE是AB1I，点»*0-^A-BCD=2匕一CDE=§S^CDE,dfd为点A到平面CQE距离，d,、AE=6,又〃为点E到6距离，2,当且仅当£,O,F三点共线，旦A3_L8时，等号成立.故答案为：（0,2］：4.【点睛】本题关键是根据已知条件确定E和F的轨迹,数形结合可得EF的范围；根据E是AB中点，则A与8到平面CDE的距离相等，据此将三棱锥A-BCD的体积转化为三棱锥A-CDE体积的2倍，再数形结合即可求得最值.对空间想象能力的要求很高，属于难题.四、填空题（2022•重庆•高二期末）如图，在三棱锥A-BCD中，AB=AC=BC=BD=CD,二面角A-BC-。的余弦值为-g,若三棱锥A-BCO的体积为g,则三棱锥A-8CO外接球的表面积为.【答案】47t【解析】【分析】取8c的中点E,连接AE,DE，过点4作AH_L£>E,垂足为“，设43=2”，利用三角形的边角关系求出AH，利用锥体的体积公式求出。的值，确定三棱锥外接球的球心，求解外接球的半径，由表面积公式求解即可.【详解】取BC的中点E,连接AE,DE,过点A作A〃_L£)E，交OE的延长线于点〃，所以NA£D为二面角A-BC-。的平面角，设AB—2a>则AE=DE=6a•cos^AED―――,TOC\o"1-5"\h\z所以sinZAEH=sinZAED= ,3所以44=侦a,EH=-AE=—a,3 3 3因为三棱锥A-BCD的体积为；，所以且x(2a)2x3色a=j，解得：a=^-.EH=立~,34 3 3 2 6设△BCD外接圆的圆心为01三棱锥A-BC。外接球的球心为。，连接OO'.0C,O'C,过点。作 于点F,则O'C=O'O=2oe=迈，O'E=-DE=—,OrH=OF,3 3 3 6OA=OC,设O<y=FH=h,贝IJ4F=A4一F"=拽一〃，OF=O'H=O'E+EH=—,由3 3勾股定理得：/+（乎）=［羊一〃+半），解得：八邛，所以三棱锥A—BCD外接球的半径R满足R2=o,o2+092=1，则三棱锥A-BCD的外接球的表面积为4nR2=4兀.故答案为；47t.【点睛】本题考查了几何体的外接球问题，棱锥的体积公式的理解与应用，解题的关键是确定外接球球心的位置，三棱锥的外接球的球心在过各面外心且与此面垂直的直线匕由此结论可以找到外接球的球心，（2022•河南•高三开学考试（理））如图，在aABC中，BC=2AC,ZACB=120°,CQ是ZAC8的角平分线，沿CD将△AC。折起到△A'C£＞的位置，使得平面A'CDJ"平面BCD.若A'B=643,则三棱锥A-BCD外接球的表面积是.【答案】1287t【解析】【分析】先利用角平分线及4'8=66求出各边长，进而找到球心及球心在平面8C。上的投影,利用半径相等列出方程，求出半径，进而求出外接球表面积.【详解】过点4'作A'EJLCD,连接8E.设AC=2。，则AE=AC・sin60。=百a,CE=AC-cos60°=a>BC=4a.在aBCE中，由余弦定理可得B£=J（4a）2+a2-2x4/xg=底.因为平面AC。，平面BCD,交线为CD,所以A'E_L平面BCD,因为BEU平面8CD,所以A'E±BE,则48=J3a2+\3a2=4a=6B解得：a=空,从而AC=4C=3G.在aABC中，由余弦定理可得2AB=小可+倒厨-2x36x66x(-g)=3⑨.因为CO是NAC8的角平分线，所以NA8=NBC£>=60。，由正弦定理得：———=———，———=———.而sinNACO=sin/BCD,所以sinZADCsinZACDsinZBDCsinZBCDA'D=AD=42i，BD=2后.因为AC?+CO?-2AC-CDcos600=AO),且CD2+BC2-2CD-BCcos60°=BD2.所以CC=2且.设△BCD外接圆的圆心为O',半径为r,则r 空『2近，点0到直线CD的距离］=、/-仕c。］=5.设三棱锥2sin60° V(2 )A-88外接球的球心为O,半径为凡则於=00'2+，=0，炉+（4£-。0，）2,即R2=OO"+28=独一6+52+(--OO,|,解得：K=32,故三楂锥A'—BC。外接球的表面积是4兀店=128兀.【点睛】三棱锥的外接球问题，需要先找到球心在一个平面上的投影，即三角形的外心，进而利用半径相等列出等量关系，求出答案.（2022•重庆•模拟预测）在三棱锥P—ABC中，AB=BC=4,PC=8,异面直线B4,BC所成角为ABA.PA,AB1BC,则该三棱锥外接球的表面积为.【答案】80兀【解析】【分析】作出辅助线，找到球心的位置，求出半径，利用外接球表面积公式进行求解，注意存在两种情况，需要分类讨论..【详解】过点A作AC〃BC,过点C作CQ〃A8,A。与CO相交于点。，连接尸C,因为4BLBC,所以AOLC。，乂AB=BC=4,所以四边形A8CO为正方形，所以C£>=A£>=4,异面直线JT，冗用,BC所成角为/印所以NPAO=§或3,因为A8LBC,所以A8LAO,又因为PAr>AD=A,所以48_1_平面附。，因为尸Du平面用力，所以ABJ_尸力，故C£）J_P£）,因为PC=8,由勾股定理得：PD=y/82-42=4^-当NP4D=?时，如图，在aBW中，由余弦定理得：cosNPAD=尸四二巾=』解3 2PAAD2得：PA=8,则PD?+AD?=RV,所以/|大|为ADr>AB=A,所以尸DJ_平面4BCD,取P8中点O,对角线4C,8。相交于点E,则£为8。中点，连接OE,则OE〃P£）,所以OE_L平面48co，则点O即为该三棱锥外接球的球心，其中OE=；PO=2百，EB=2&，由勾股定理得：OB=>/12+8=26,即半径r=2>5，外接球衣面积为4兀产=80兀.当NPAO="时，如图，在△力力中，由余弦定理得：cosZPAD=pa2+ad2-pd~=_1,3 2PAAD2解得；EA=4,则过点P作PMLAO交D4的延长线于点N,则NRW=],故AN=gpA=2,PN=2石，因为ABL平面以。，PNu平面用O,所以AB_LPN,因为A£）cAB=A,所以PN_L平面ABCO,对角线AC,B。相交于点E,根据aABC为直角三角形，AC为斜边，故E为球心O在平面ABC的投影，即OEJ_平面A8CO,过点。作OM1_/W于点M,连接EN,OP,0C,则OM=EMOE=MN,0C=。尸且为外接球半径，其中NMAE=135。，由余弦定理得：EN=>JAN2+AE2-2AN-AEcosZNAE=2布•设OE=MN=h,由勾股定理得：PM2+OM2=OE2+EC2.即（2月一6）一+（2遥）一=/+（20）2,解得：〃=2豆，代入上式，解得0P=2有，即半径r=2/,外接球表面积为4+=80兀.故答案为：80ti【点睛】对于求解立体几何的外接球问题，需要先找到球心的位置，结合立体几何的特征来求解，比如棱柱和圆柱的外接球球心在其中心位置，而稍微难一些的棱柱的外接球问题，需要先找到一个特殊的平面，找到球心在这个平面的投影，再找到球心的位置，结合题干条件求出半径即可.（2022•全国•高三专题练习）三棱锥A-8C。中，aABC为边长为3的等边三角形，BC1CD,CO=而，且面ABCJ■面BC。，则三棱锥A-BCO的外接球的体积为【解析】【分析】根据面面垂直的性质定理得出。平面ABC,进而找到三角形ABC的外心。与三角形8C。的外心。2,然后过。作平面A8C的垂线，过02作平面BCD的垂线，两条垂线的交点即为外接球心，最后解出答案.【详解】如图，因为平面ACC_L平面A8C,且交于8C,而。CLBC,所以£>CJ•平面A8C,取正三角形A8C的外心（也为重心）。/,过。引平面ABC的垂线，取直角三角形BCQ的外心。，则0/为BD中点，过02引平面BCD的垂线，设两条垂线交于O,则O为三棱锥的A-BCD的外接球心.

取BC中点。，连接因为。印。分别为B2BC的中点，所以且所以。2。,平面ABC,因为OOi^l•平面ABC,所以易知AO»。：点共线，且ADLBC,又因为平面AC。，平面4BC,且交于BC,所以A3,平面BCQ,而。。2,平面BCD,所以O/ZV/OO2，于是四边形O。。。?足矩形，且OOt=O2D=-DC=-连接AO,在正三角形A8C中，其边长为3,所以AD=迈,AQ=2aO=G，2 13由勾股定理：外接球半径AO=J4Q：+OO：=启+3=?,所以外接球体积1)故答案为：――兀.6【点睛】多面体外接球心比较常见的一种找法是选取多面体的两个特殊面（通常为等边三角形、等腰三角形和直角三角形），然后找到两个面的外心，进而通过外心引各自所在面的垂线，垂线的交点即为球心，然后构造几何图形求出外接球半径即可，本题比较典型，可以作为范题进行总结.（2022•江苏•高三专题练习）在长方体ABC。-A4GA中，AB=CC、=曰BC=1,点M在正方形COD©内，GM_L平面ACM,则三棱锥M-AC6的外接球表面积为.【答案】Ibr【解析】先由GM_L平面ACM,得出点M为正方形CORG对角线的交点，再由正方体中△〃小；是等腰直角：.角形，设E是CCJi点，则E是△MCG的外心，取尸是B耳中点，则三棱锥的外接球的球心。在直线E尸上，计算出A尸和CF后得。在EF的延长线上，求得球半径后可得表面积.【详解】解：如图所示：

•.♦CMJ.平面ACM,连接C",又CDDG为正方形,点M为正方形CDD£对角线的交点，则△MCG是等腰直角三角形，M是直角顶立，设E是CC,中点，则E是△MCG的外心，取尸是8片中点，则所〃8C,而8CJ■平面OCCQ,A三棱锥M-ACG的外接球的球心。在直线EF上,.•.。在£尸的延长线上，设。尸=》，则由OA=OC得（萼]+x2=（x+i）2+（q],解得x=；,故答案为：Ibr.【点睛】关键点点睛：本题考查求球的表面积，关键是确定球心位置求得球半径.利用三棱锥的性质可得球心位置，三棱锥外接球心一定在过各面外心且与该面垂直的直线上.（2022•安徽•合肥市第八中学模拟预测（文））在三棱锥S-ABC中，NSAC=NSBC=],NAC8=年,AC=8C=1.若三棱锥S-ABC的体积为1,则该三棱锥外

接球的表面积为.【答案】52»【解析】【分析】由条件可知aASC和4BSC为以SC为斜边的直角三角形，则SC的中点。为外接球的球心.过S做S"J"平面ABC,垂足为H,由三棱锥的体积可求出高S4=46,根据三角形全等可证明”在.NA8C的用平分线上，即NHC4=60。，由线面垂直的定理可知AC_LH4,从而可计算C〃=2,勾股可知SC的长，从而计算外接球的半径和表面积.【详解】7T因为nsac=nsbc=],所以aASC和aBSC为以sc为斜边的直角三角形，则sc的中点o到各个顶点的距离都相等，则。为外接球的球心.即sc为直径.过S做S〃_L平面ABC,垂足为H,连结，8，HA，则匕/=！xSHxLlxlx3=1,解得：SH=46.3—/loL3 2 2TT■：AC^BC=\,ZSAC=^SBC=-,SC=SC,:YSAC充SBC,则SA=SB2AH,BH分别为SA,SB在平面ABC内的射影，所以有AH=BH，乂AC=BC, 为公共边，所以 则NHC4=N4C8,所以“在NA8C的角平分线上，N〃C4=60"，AC±SA,AC1SH.SAnS"=S，所以有AC_L平面S〃4,AHu平面SH4,则有AC_L"4,因为AC=1,ZHCA=60°.所以CH=2,则SC=/SH。+CH?=2月,则R=而故外接球的表面积为S=4万代=52].C故答案为：52万（2022•浙江师范大学附属中学高一期末）在三棱锥O-ABC中，“A钻是边长为2的正三角形，且平面£>AB_L底面ABC,BC=4,Zfi4c=60%则该三棱锥的外接球表面积为

【答案】68%【答案】68%

~3~【解析】【详解】如国，。是三极锥ABC外接球的球心，。|是aABC外接网的圆心，由球的性质可得。。1平面48。；又••・平面八4B_L平面ABC,取AB的中点M,连接又•.•△ABD是边长为2的等边三角形，故ZW_LAB且OM=石，又平面D4Bc平面ABC=AB.DMu平面£)A3*..DM_L平面ABC,\DM//OO,,连结QM过。点作ON〃O、M所以四边形QMNO是平行四边形，\MN=OO、Q、M=ON；在“BC中，BC=^BAC60-由正弦定理可得2/=而嬴=焉=爰即:4°'A=・忑设三棱锥D-ABC外接球的半径为R\MN=■八4\MN=在放aAQQ中，AO=R,AO]=-j=故oq=v3在△ARB中，•且〃是A8的中点，故161, 4 /1616在RNAO】M中，AM=-AB=1,AO、=-j=故QM=J—-1=在用aDVO中，OD=RQN=事故。N=^R2-yQDN+MN=DM所以三棱锥力-MC外接球的表面积为5=4p/?2=4p?y等故答案为：等=3-25/3?=3-25/3?+若（2022•云南曲靖•二模（文））已知三棱锥P-ABC三条侧棱F,PB,尸C两两互相垂直,且PA=PB=PC=2,M,N分别为该三棱锥的内切球和外接球上的动点，则M,N两点间距离的最小值为【答案】--2##-2+^【解析】【分析】将二棱锥P-ABC补成正方体APB。-AC8Q,计算出内切球的半径以及点尸到平面ABC的距离，即可求得M、N两点间距离的最小值.【详解】由已知可将该上棱锥补成正方体4尸连接「A，如图所示.设三棱锥P-ABC的内切球球心为。1,外接球球心为。2,内切球勺平面A5C的切点为G,易知。口仇、G三点均在巴，在正方体 中，DD,L^APBD,ABu平面APBD,，AB，OR,因为四边形为正方形，则AfiJLPD,vDD,[}PD=P, AB_L平面PDDt,•./。（=平面「力。，则尸。LAB,同理可证PRJ.AC,•.•ABoAC=A,J.PRJ•平面ABC,设内切球的半径为r，外接球的半径为R,则R五万百=6.由等体积法可得3(Sjcp+S.RCP+SJBP+S&ABC)r=—S扒BP-PC,r S^abp•PC = 2x2 ।_6Smcp+S4bcp+Smbp+Smbc2x3+--x^2\/2)2 3由等体积法可得1S"PG=g$凶1PPC,得PG=*【点睛】关键点点睛：本题解题关键是将三棱锥置入正方体中，数形结合得到外接球和内切球半径,是一道有一定难度的题.(2022•河南•商丘市第一高级中学高一期中)已知正三棱锥S-ABC,SA=SB=SC=2^,AB=3,球。与三棱锥S—ABC的所有棱相切，则球。的表面积为.【答案】(19-8^)7t##197t-8x/37t【解析】【分析】画出图形，找到棱切球的球心，列出方程，求出半径，求出表面积【详解】取等边AABC的中心E,连接SE,则SEL平面ABC,连接AE并延长，交BC于点D,则。为8c中点，且ADLBC,在SE上找到棱切球的球心。，连接。£),则即为棱切球的半径，过点O作OFLS47点F,则OF也是棱切球的半径，设O£>=O尸=R,因为sa=sb=sc=2G,ab=3,所以求得ao=^^,ae=G,oe=3,2 2由勾股定理得：SE=V12^3=3,且NA5E=30°,设。E=〃，OD=Joe，+ED2=收+；,SO=3-/i,OF=g(3-〃)，由题意得：旧+；=；(3叫,解得：人=6-1或-"6,当八g时,2+鸿—26此时球。的表面积为Q9-8技兀；当棱切球的半径最大时，切点为4,B,C,由于NASE=30。，SA=SB=SC=20可求得最大半径R=2百tan30。=2,I— ,)319r~而当人=一百一1时，/?-=A【答案】10万或26万【解析】【答案】10万或26万【解析】【分析】。为BC中点，连接皿尸£>,根据已知条件可知P-ABC外接球的球心。在这。垂直于面ABC的直线匕并求得P到面ABC的山离，应用线面垂直、面面.垂宜判定可得面一48。，面以£),则有P在面ABC上的射影落在直线AO上，进而可得N/HD=45。、4%。=135。两种情况，分别求出外接球半径，即可求其表面积.【详解】由ABLAC,AB=AC=2,则△ABC为等腰直角三角形，若。为8c中点，连接则AD_LBC,且。为面ABC的外接圆圆心，所以P-ABC外接球的球心。在过。垂直于面ABC的丸线上，44髭然不成立，故〃=—75-1舍去，综上：球。的表面积为(19-84)兀故答案为：(19-8/)兀【点睛】对于立体几何中内切球，外接球或棱切球问题，要画出图形，找到球心和球心在一些特殊平面的投影，利用半径列出方程，求出半径，从而求出体积或表面积.(2022•全国•模拟预测)已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球。的表面上，AB1AC,PA1BC,AB=AC^2,PA=\.若三棱锥P-ABC的体积为之，则球。的表面积为由：极锥P-ABC的体积为也，1LSasc=2,故尸到面A8C的距离d="，3 2又FA_LBC,E4cA£)=A,则8cl.面PAO,又BCu面ABC,所以面48(7_1面皿)，且面A8CD面加=4),则尸在面ABC上的射影落在直线AO上，乂出=1,则/24£>=45。或"40=135。，若外接球的半径为R,OD=h,当NP4£)=45。，如下图示：OP=OA=OB=OC=R,PD=.+(AD-争=1<&，易知NPD4=45°,则NP£X9=135。，所以尸DZ+oDZ-Zpo.oncosZPDOuAOZ+off,可得［+同=2,即〃='所以R=y/AD2+OD2=叵，此时外接球表面积为4%正=10万；2当ZE4£>=135。，如下图示：OP=OA=OB=OC=R,PD=J"?+(AD+^y-)2=>/5>>/2•易知cosZPDO=sinZPDA= ,所以PZ)2+OO2-2POO£>cosZP£)O=AO2+oo2,可得5-&人=2，即6=逑,2所以R=Jm+O》=叵,此时外接球表面积为4万店=26］；2综上，外接球表面积为10乃或26乃.故答案为：10万或26乃【点睛】关键点点睛：由底面是等腰直角三角形确定棱锥球心的位置，根据体积求产到血ABC的即离，结合月4=1判断P的位置情况，根据已知条件求出外接球半径.（2022•江西抚州•高二阶段练习（理））勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动（如图甲），利用这一原理，科技人员发明了转子发动机.勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体如图乙所示，若正四面体ABC。的棱长为2,则下列说法正确的是.①勒洛四面体被平面ABC截得的截面面积是8（7-石）②勒洛四面体ABCD内切球的半径是4-布③勒洛四面体的截面面积的最大值为21-④勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为2-直甲 乙【答案】③@【解析】【分析】求出勒洛四面体A8CO被平面ABC截得的截面面积判断①，③；求出勒洛四面体ABCD内切球的半径判断②，④作答.【详解】观察几何体知，勒洛四面体的最大截面是经过正四面体ABCD的住意：.个顶点的平面截勒洛四面体而得，勒洛四面体ABC。被平面ABC截得的截面是正aABC及外面拼接上以各边为弦的三个弓形,弓形弧是以正aABC各顶点为圆心，边长为半径且所含圆心角为&T的扇形弧，如图，

因此，截面面积为：3xlx-AB2-2x^AB2=27t-2x/3.①不正确，③正确:23 4由对称性知，勒洛四面体ABC。内切球球心是正四面体ABCD的内切球、外接球球心。，如图,手，正四面体图,手，正四面体ABCD的高=QABJOB