数论十年重要进展课件

数论十年重要进展ABC猜想、孪生素数猜想和素数序列中的算术级数数论的起源

众所周知，数论和几何是数学中最古老的分支，分别肇始于亚历山大数学家丢番图（Diophantus）的《算术书》和欧几里得（Euclid）的《几何原本》。人类开始挣脱具体物理世界对数字和空间形态的研究。这些抽象的研究促进了早期哲学的发展，是科学与哲学的第一次苏醒。

序曲：Fermat大定理

著名的Fermat大定理和《算术书》有直接的渊源。当年Fermat在做法官的业余时间研究数学。1637年，Fermat在阅读Diophantus《算术书》拉丁文译本时，曾在第11卷第8命题旁写道：

序曲：Fermat大定理德国PaulWolfskehl(1856-1906),大学读过数学，痴狂的迷恋一个漂亮的女孩子，令他沮丧的是他被无数次被拒绝。感到无所依靠，于是定下了自杀的日子，决定在午夜钟声响起的时候，告别这个世界，再也不理会尘世间的事。

Wolfskehl在剩下的日子里依然努力的工作，当然不是数学，而是一些商业的东西，最后一天，他写了遗嘱，并且给他所有的朋友亲戚写了信。

序曲：Fermat大定理由于他的高效率，在午夜之前，他就搞定了所有的事情，剩下的几个小时，他就跑到了图书馆，随便翻起了数学书。很快,被Kummer解释Cauchy等前人做Fermat大定理为什么不行的一篇论文吸引住了。那是一篇伟大的论文，适合要自杀的数学家最后的时刻阅读。Wolf-skehl竟然发现了Kummer的一个bug，一直到黎明的时候，他做出了这个证明。序曲：Fermat大定理他自己狂傲不止，于是一切皆成云……这样他重新立了遗嘱，把他财产的10万马克设为一个奖，奖给在他逝世后一百年内，第一个证明该定理的人，吸引了不少人尝试并递交他们的“证明”。序曲：Fermat大定理人们开始尝试对Fermat大定理进行证明（这次是组队）。德国Gottingen大学1909-1934年的数学系主任是EdmundLandau(1877.2.14-1938.2.19)。Landau的工作习惯很奇怪，用6个小时工作，6个小时休息，如此交替。他收到过无穷多关于证明了Fermat大定理的信件，后来实在没有精力处理，就印了一批卡片，样子大概是这个样子的：

序曲：Fermat大定理尽管有很多的稿件都退了，据说剩下的还有3米多高。由于Fermat大定理的名声，在NewYork的地铁车站出现了乱涂在墙上的话：

xⁿ+yⁿ=zⁿ没有解对此我已经发现了一种真正美妙的证明，因为我的火车正在开来，时间太少了，写不下。序曲：Fermat大定理●Frey的猜想随即被California大学Berkel分校KennethRibet证实。此猜想显示了Fermat大定理与椭圆曲线及模形式的密切关系。●1995年，高手Wiles手起刀落，结束了358年的混乱。他的方法是实现了Frey的构思。序曲：Fermat大定理他们的证明刊在1995年的《AnnalsofMathematics》上：

AndrewWiles:ModularellipticcurvesandFermat'sLastTheorem,AnnalsofMathematics141(1995),pp.443-551.

R.TaylorandA.Wiles:RingtheoreticpropertiesofcertainHeckealgebras,AnnalsofMathematics141(1995),pp.553-572.费马小定理设是一个素数，那么对任意的正整数均有

欧拉定理设均为正整数，且那么

21世纪十余年数论重要进展

数论是这样一门学科，提出问题往往很容易，而解决起来常常有不可预测的困难。有些问题是人们的想象力没准备好，有些情况是数学还没来得急准备好迎接问题。

21世纪十余年数论重要进展●数论中的问题远远多于解决方法。在平庸无聊的问题和几乎无望求解的问题之间取得平衡是困难而微妙的。我们了解一些著名的数论难题，比如Riemann(黎曼)猜想，Goldbach（哥德巴赫）猜想，孪生素数猜想，Mersenne(梅森)素数猜想，奇完全数猜想等。21世纪十余年数论重要进展望月新一证明ABC猜想（2012）。YitangZhang(张益唐)证明（弱）孪生素数猜想（2013）。素数中的算术级数2004年，两位青年数学家B.Green和T.Tao（陶哲轩）在预印本网站发表论文《Theprimenumberscontainarbitrarilylongarithmeticprogressions》（即《素数包含任意长的等差数列》），这个结果也是后来T.Tao获得2006年Fields奖的第一论文（同时还有分析领域众多非常优秀的结果），同时这个结果现在被命名为Green-Tao定理。素数中的算术级数20岁获得普林斯顿大学博士学位。24岁成为加利福尼亚大学洛杉矶分校有史以来最年轻的正教授。2006年，31岁时获得数学界的诺贝尔奖“菲尔兹”奖。目前已发表超过230篇学术论文。据美国《探索》杂志报道，陶哲轩的智商介于220至230之间。素数中的算术级数首先我们从一个著名猜想开始，1934年，Erdos（1984年Wolf奖，同年获奖的是陈省身）和Turan提出下面猜想：

Erdos-Turan猜想：假设集合A=a1<a2<···是一个无穷正整数序列，并且满足各ai的倒数之和趋于无穷，则A包含任意长的等差数列。

素数中的算术级数1953年，K.Roth做出了第一步尝试，用解析数论中的Hardy-Littlewood方法（圆法），给出了k=3的证明（即长度为3的算术级数）。素数中的算术级数1969年，Szemeredi利用纯组合的方法，给出了的k=4的证明。Szemeredi再接再励，于1975证明了任意长的k，即完全证明了弱Erdos-Turan猜想，这个结果，被Erdos誉为组合领域的一大杰作。这个结果以他的名字命名为Szemeredi定理（文章发表于ActaArith)。素数中的算术级数1977年，H.Fustenberg利用遍历理论证明了Szemeredi定理，他的遍历证明为后来的Green-Tao定理的证明打下基础。同时Fustenberg的这个结果也是他在2007年获得Wolf奖的比较重要的一个结果，他在2010年的印度数学家大会上了做一小时报告。素数中的算术级数随后，Gowers和另外一组数学家独立的用超图的方法给出了Szemeredi定理的新证明，这样总共有关于Szemeredi定理四种不同的证明，也是后来B.Green和T.Tao证明他们划时代结果的源泉。素数中的算术级数Szemeredi定理的证明思路：（1）首先恰当的定义Pseudorandom(伪随机),通俗的讲就是：分布的比较平均，比如，奇数在正整数中分布就非常平均，是一个完美伪随机序列，而素数分布的无规律性，使得它的伪随机就没有奇数的那么好。素数中的算术级数（2）证明集合{1,2,···,N}的任意一个伪随机子集都包含一个k阶的等差数列，粗略的讲，因为伪随机子集分布大致平均，所以找等差数列比较好找一些。素数中的算术级数（3）假设A为{1,2,···,N}的子集满足|A|≥δN,且A不是一个伪随机子集（分布的不够平均，没有规律性），则存在一个等差数列P包含于{1,2,···,N}且其长度随着N趋于无穷大而跟着趋于无穷大，同时|A∩P|≥(δ+ε)|P|

素数中的算术级数从上式看出A在{1,2,···,N}的密度为δ，而A∩P在P中的密度为δ+ε,这样采用迭代法，密度越来越大，最终达到密度为1，这样最后找到的那个等差数列P就是我们寻求的目标，显然它是包含于A里面的。素数中的算术级数虽然Szemeredi定理很强悍，但是Szemeredi定理不能应用于素数(因为Szemeredi定理需要子集有正密度)。此外遍历版的Szemeredi定理也不能应用于素数。B.Green和T.Tao成功地对伪随机序列创造了一个能应用于素数版的全新刻画，证明了素数版的Szemeredi定理。素数中的算术级数Green-Tao定理：素数中存在任意长度的算术级数。其实，他们所获得的结论更强：素数中任意具有正密度的子集中存在任意长度的算术级数。有趣的是，这个结论和著名的Dirichlet定理遥相呼应：公差和首项互素的算术级数中有无穷多个素数。黎曼假设1859年，伟大的黎曼发表了他划时代的论文，在这篇仅8页的文章里提出了一系列超越他所处时代的思想和方法，即使我们现在所处时代的数学已远非他那个时代所比，但人们还是无法完全挖掘黎曼想法。

黎曼假设素数的分布是相当没有规律性的，相邻两个素数的间隔可以为2(这样的两个素数叫做孪生素数),间隔也可以任意大。但是黎曼在他划时代的论文里惊人的给出了素数个数的精确公式，即π(x)的精确表达式。黎曼假设

但人们是如此希望在看似无规律的素数列中寻找到多少可以谈论的分布规律。黎曼假设是猜想广义调和级数的非平凡零点全在的实部为1/2的直线上。黎曼假设黎曼假设：广义调和级数的零点必须满足s=1/2.ABC猜想2012年8月30日，43岁的日本数学家、京都大学教授望月新一（Mochizuki）在数学系主页上贴了4篇论文，通过总共长达512页的艰深推理（当代数学论文多为10~20页），他宣称自己解决了数学史上最富传奇色彩的未解猜想：ABC猜想。9月10日（教师节那天），英国《自然》杂志报道了这个振奋人心的结果。ABC猜想ABC猜想在27年前由Masser和Oesterlé分别独立提出。自那时以来，鲜有数学家敢于尝试证明它的正确性，而先前号称自己证明了该猜想的人，经由数学界检查，他们的证明也都因各种错漏而被否认。望月新一解决难题的能力广为人知，所以数学界必定会认真研究他的论文，从全局的思维过程到最细枝末节的精巧构造，就正确与否给出一个答案。ABC猜想但是，问题来了：谁能看得懂这套证明，并且明白证明背后建立起来的新数学理论的哲学？JamesD.Taylor在著名数学论坛Math

Overflow上发了一个帖子，很多数学家，包括菲尔兹奖得主陶哲轩和望月新一的好友、牛津大学教授金明迥也参与了讨论；最后大家得出的答案是：没人看得懂。ABC猜想美国哥伦比亚大学数学家DorianGoldfeld评价说：“ABC猜想如果被证明，将一举解决许多著名的Diophantine问题，包括费马大定理。如果Mochizuki的证明是正确的，这将是21世纪最令人震惊的数学成就之一。”ABC猜想望月新一的研究工作与前人的努力并没有太多关联。他建立了一套全新的数学方法，使用了一些全新的数学“对象”——这些抽象实体可类比为我们比较熟悉的几何对象、集合、排列、拓扑和矩阵，只有极少的数学家能够完全理解。就如同戈德费尔德所说：“在当今，他或许是唯一一个完全掌握这套方法的人。”ABC猜想康拉德认为，这项研究工作“包含着大量的深刻思想，数学界要想完全理解消化需要花很长的时间”。整个证明包含四个长篇论文，每一篇都是建立在之前论文的基础上。“需要花费大量的时间来研读并理解这些深奥的长篇证明，所以我们不能仅仅关注此证明的重要性，更重要的是沿着作者的证明思路进行研究。”ABC猜想什么是ABC猜想？

假如3个正整数A,B和C,满足A与B互素，且A+B=C那么C相对于乘积ABC的所有不同素因的积（记为rad(ABC)）不会太大。ABC猜想

定量地刻画,必有C<C(ε)rad(ABC)^(1+ε)其中ε是任意大于0的实数，C(ε)是仅与ε有关的常数。

ABC猜想ABC猜想将许多丢番图问题都包含在其中，比如Fermat大定理。同许多丢番图问题一样，ABC猜想完全是一个素数之间关系的问题。斯坦福大学布拉恩·康拉德（BrianConrad）曾说，“在A、B和A+B的素数因子之间存在着更深层的关联”。ABC猜想许多数学家都花费了大量的精力试图证明这一猜想。在2007年，法国数学家吕西安·施皮罗（LucienSzpiro）在1978年的研究工作的基础之上，首次宣布对ABC猜想的证明，但很快就发现证明中存在着缺陷。ABC猜想和施皮罗情况相似，英国数学家安德鲁·怀尔斯（AndrewWiles）曾在1994年对费马大定理做出了证明，但是望月新一曾运用椭圆曲线理论对这一问题提出过反驳——这一平滑曲线的代数表达式为y2=x3+ax+b。ABC猜想望月新一1969年3月29日出生于日本东京，16岁进入美国普林斯顿大学就读本科，三年后进入研究生院，师从著名德国数学家、1986年菲尔茨奖得主法尔廷斯，23岁（即1992年）获得数学博士学位。ABC猜想此后，他先是‘海归’成了京都大学数理解析研究所的研究助理，几个月后又前往美国哈佛大学从事了近两年的研究，然后重返京都大学。2002年，33岁的望月新一成为了京都大学数理解析研究所的教授。望月新一的学术声誉颇佳，曾获得过日本学术奖章等荣誉。ABC猜想和前人相比，望月新一遇到的情况却有点不同。他已经在ABC猜想的证明工作上独自思考了20年，建立起了他称之为“宇宙际Teichmüller理论”的新世界，定义了各种前所未有的神秘术语，比如第一篇论文讲了“霍奇影院”（HodgeTheater）的构造，第二篇论文则引入了“外星算数全纯结构”（alienarithmeticholomorphicstructures）。ABC猜想他自称为“宇宙数学家”，意思是他用他自己所创立的“远阿贝尔代数”和“宇宙际代数几何”工作。ABC猜想代数几何和数论领域的大多数资深数学工作者都认为，望月的理论过于玄妙，不值得花上几年时间去仔细阅读，弄清楚新定义的术语、推理的脉络和理论的结构。诚然，最坏的可能是，到头来大家发现这个新理论把自己绕进了死胡同；当然，最好的结果是，望月的证明建立起了新的数学分支，将代数几何和数论统一起来。ABC猜想虽然望月新一对于自己创立的新数学带有科幻意义的命名，但是，望月新一绝非普通意义下的“民科”。他的算术代数几何功底不是一般的深厚。师从名师法尔廷斯，在格罗腾迪克代数几何框架下，发表过若干有份量的数学论文。在发表ABC猜想证明之前，已经是目前世界上为数不多的算术代数几何顶尖学者之一。ABC猜想或许我们所能做的唯一的事情：等待另一个更疯狂的代数几何学者给望月新一做出有效的审稿。孪生素数猜想孪生素数猜想是数论中的著名未解决问题。这个猜想正式由希尔伯特在1900年国际数学家大会的报告上第8个问题中提出，可以被描述为“存在无穷个孪生素数”。即：存在无穷多个素数p,使得p+2也是素数。

孪生素数猜想例如3和5，5和7，11和13，…，和等等都是孪生素数。素数定理说明了素数在趋于无穷大时变得稀少的趋势。而孪生素数，与素数一样，也有相同的趋势，并且这种趋势比素数更为明显。孪生素数猜想因此，孪生素数猜想是反直觉的。由于孪生素数猜想的高知名度以及它与哥德巴赫猜想的联系，因此不断有学术共同体外的数学爱好者试图证明它。有些人声称已经证明了孪生素数猜想。然而，尚未出现能够通过专业数学工作者审视的证明。孪生素数猜想1849年，法国数学家阿尔方•波利尼亚克提出了“波利尼亚克猜想”：对所有自然数k，存在无穷多个素数对(p,p+2k)。k等于1时就是孪生素数猜想，而k等于其他自然数时就称为弱孪生素数猜想(即孪生素数猜想的弱化版)。因此，有人把波利尼亚克作为孪生素数猜想的提出者。孪生素数猜想1921年，英国数学家Hardy(华罗庚在剑桥留学的导师)和Littlewood提出一个与波利尼亚克猜想类似的猜想，现在通常称为“哈代-李特尔伍德猜想”或“强孪生素数猜想”(即孪生素数猜想的强化版)。这一猜想不仅提出孪生素数有无穷多对，而且还给出其渐近分布形式。

孪生素数猜想这个猜想是如此困难。人们沿着考虑相邻素数差趋于无穷时的下界（猜想是这个下界等于2），做了许多工作。其中必须指出的是Goldston的工作。他在解析数论中创造了Goldston截断函数，这个函数在素数的分布中做出了相当巨大的贡献，包括将要指出的张益唐的成果和此前提到的陶哲轩的成果，都或多或少地使用了Goldston函数。孪生素数猜想美国圣何塞州立大学数论教授Goldston和他的两个同事Pintz,Yíldírím在2009年发表在《AnnalsofMathematics》上的结果证明了相邻素数差趋于无穷时的下界小于无穷大。（从杂志和结果可以看出这个问题多么困难）孪生素数猜想2013年，5月14日，《自然》（Nature）杂志在线报道张益唐证明了“存在无穷多个之差小于7000万的素数对”，这一研究随即被认为在孪生素数猜想这一终极数论问题上取得了重大突破，甚至有人认为其对学界的影响将超过陈景润的“1+2”证明。孪生素数猜想孪生素数猜想可以弱化为“能不能找到一个正数，使得有无穷多对素数之差小于这个给定正数”，在孪生素数猜想中，这个正数就是2。而张益唐找到的正数是“7000万”。孪生素数猜想尽管从2到7000万是一段很大的距离，《自然》的报道还是称其为一个“重要的里程碑”。正如Goldston所言，“从7000万到2的距离（指猜想中尚未完成的工作）相比于从无穷到7000万的距离（指张益唐的工作）来说是微不足道的。”他同时感叹到“我还以为我有生之年看不到这个证明”。孪生素数猜想2013年5月13日，张益唐在美国哈佛大学发表主题演讲，介绍了他的这项研究进展。《自然》的报道称，如果这个结果成立，就是第一次有人正式证明存在无穷多组间距小于定值的素数对。换言之，张益唐将给孪生素数猜想证明开一个真正的“头”。孪生素数猜想张益唐的工作收录在文章《Boundedgapsofprimes》中，并且已经在世界顶级数学期刊《数学年刊》（AnnalsofMathematics）发表了，收到了广泛的认同。孪生素数猜想张益唐是北京大学78级毕业生，后来去了美国普渡大学读博士。博士读得相当艰辛，他是那种只想做“大问题”的人，博士论文题目是代数几何中至今没解决的“雅克比猜想”。但是，就在张益唐认为成功“证明”雅克比猜想的时候，出现了错误。他所引用的他的导师莫宗坚的结论被证实有不可回避的错误。所以，他博士读了7年才勉强毕业。孪生素数猜想毕业后，因为博士论文，找不到工作，住汽车，在快餐店送外卖，做会计，历经生活的种种艰辛和磨练。后来，依靠新罕布什尔大学的同学，在那里做了一个讲师。孪生素数猜想美国的“讲师”说白了就是临时教学职位，“收入比起同资历教授(包括助理教授)差很多，教学任务也远远比教授们重。”王若度说，“从科研上来说，则是完全得不到任何支持。例如我所在的学校，讲师往往由不具有博士学位的教师来担任，教学任务是普通终身教职系统内教员的两三倍。”这意味着，张益唐的科研时间“很难得到保证”。孪生素数猜想即使是在衡量基础研究的论文阵地上，张益唐也显得异常“低调”——在国际数学领域重要的检索系统的数据库（MR）