平稳时间序列模型概述课件

第一章

平稳时间序列模型

组长：李国凤组员：李俐芸孙炜指导教师：桂文林第一章平稳时间序列模型2方法平稳序列建模序列预测eviews软件演示本章结构2本章结构3方法AR模型（AutoRegressionModel）MA模型（MovingAverageModel）ARMA模型（AutoRegressionMovingAveragemodel）3方法AR模型（AutoRegressionMod4

时间序列的模型类型很多，我们这里只讨论平稳时间序列模型。这里讲的平稳是指宽平稳，其特性是序列的统计特性不随时间的平移而变化，即均值和协方差不随时间的平移而变化。4时间序列的模型类型很多，我们这里只讨论平稳时间纯随机性方差齐性各序列值之间没有任何相关关系，即为“没有记忆”的序列方差齐性根据马尔可夫定理，只有方差齐性假定成立时，用最小二乘法得到的未知参数估计值才是准确的、有效的返回本节首页白噪声序列的性质纯随机性方差齐性返回本节首页白噪声序列的性质数据的平稳性一.图示判断1.平稳时间序列在图形上表现处围绕其均值不断波动的过程；数据的平稳性一.图示判断2.根据相关图，若一个随机过程是平稳的，其特征根应都在单位圆外，倒数都在单位圆内；2.根据相关图，若一个随机过程是平稳的，其特征根应都在单位圆3.在分析相关图时，如果自相关函数衰减很慢，近似呈线性衰减，即可认为该序列是非平稳的。3.在分析相关图时，如果自相关函数衰减很慢，近似呈线性衰减，自回归AR模型具有如下结构的模型称为阶自回归模型，简记为特别当时，称为中心化模型自回归AR模型具有如下结构的模型称为阶自回归模型，简10第一节一阶自回归模型(AutoregressiveModel)一、一阶自回归模型如果时间序列后一时刻的行为主要与其前一时刻的行为有关，而与其前一时刻以前的行为无直接关系，即一期记忆，也就是一阶动态性。描述这种关系的数学模型就是一阶自回归模型:(2.1.1)

记作AR(1)。其中，为零均值(即中心化处理后的)平稳序列.为对的依赖程度，为随机扰动。10第一节一阶自回归模型一、一阶自回归模型如果时间序列111.一阶自回归模型的特点

AR(1)模型也把分解为独立的两部分：一是依赖于的部分；二是与不相关的部分(独立正态同分布序列)111.一阶自回归模型的特点AR(1)模型也把分解为独立122.AR(1)与普通一元线性回归的区别:

(1)普通线性回归模型需要一组确定性变量值和相应的观测值；

AR(1)模型只需要一组随机变量的观测值。(2)普通线性回归表示一个随机变量对另一个确定性变量的依存关系；而AR(1)表示一个随机变量对其自身过去值的依存关系。(3)普通线性回归是静态模型；AR(1)是动态模型。(4)二者的假定不同。(5)普通回归模型实质上是一种条件回归，AR(1)是无条件回归。122.AR(1)与普通一元线性回归的区别:(1)普通线133.相关序列的独立化过程(2.1.1)式的另一种形式为：(2.1.3)上式揭示了AR(1)的一个实质性问题：AR(1)模型是一个使相关数据转化为独立数据的变化器。由于就AR(1)系统来说，仅有一阶动态性，即在已知的条件下，主要表现为对的直接依赖性，显然，只要把中依赖于的部分消除以后，剩下的部分自然就是独立的了。133.相关序列的独立化过程(2.1.1)式的另一种形式为14二、AR(1)模型的特例——随机游动(Randomwalk)1.

时的AR(1)模型：此时(2.1.1)式的具体形式为也可以用差分表示或所谓差分，就是与其前一期值的差，从统计上讲，差分结果所得到的序列就是逐期增长量。一般地k阶差分记作差分可以使非平稳序列转化为平稳序列。Box-Jenkins(简称记为B-J)，就是利用类似于这种数学工具来处理非平稳序列的。。14二、AR(1)模型的特例——随机游动(Random15一阶自回归模型AR（1）

15一阶自回归模型AR（1）16

AR（1）模型的特例——随机游动

16AR（1）模型的特例——随机游动172.特例形式的特性：

(1)系统具有极强的一期记忆性，即惯性。也就是说，系统在t-1

和t时刻的响应，除随机扰动外，完全一致。差异完全是由扰动引起的。(2)在时刻t-1时，系统的一步超前预测就是系统在t-1时的响应，即(3)系统行为是一系列独立随机变量的和，即172.特例形式的特性：(1)系统具有极强的一期记忆性，即18

第二节一般自回归模型

对于自回归系统来说，当不仅与前期值有关，而且与相关时，显然，AR(1)模型就不再是适应模型了。如果对这种情形拟合AR模型，不仅对,而且对呈现出一定的相关性，因此，AR(1)模型就不适应了。18第二节一般19一、

的依赖性对当AR(1)模型中的与不独立时,我们将记为,于是可以分解为(2.2.1)从而(2.2.1)式的形式变为(2.2.2)可见，与和有关，所以(2.2.2)式是一个AR(2)模型。19一、的依赖性对当AR(1)模型中的与不独立时,我们将20二、AR(2)模型的假设和结构

1.AR(2)模型的基本假设:(1)假设与和有直接关系,而与无关;(2)是一个白噪声序列。这就是AR(2)模型的两个基本假设。2.AR(2)模型的结构:AR(2)模型是由三个部分组成的：第一部分是依赖于的部分，用表示;第二部分是依赖于的部分;用来表示.第三部分是独立于前两部分的白噪声.

20二、AR(2)模型的假设和结构1.AR(2)模型的基21三、一般自回归模型当AR(2)模型的基本假设被违背以后，我们可以类似从AR(1)到AR(2)模型的推广方法,得到更为一般的自回归模型AR(n)模型:上式还可以表示为可见，AR(n)系统的响应具有阶动态性。拟合AR(n)模型的过程也就是使相关序列独立化的过程。21三、一般自回归模型当AR(2)模型的基本假设被违背以AR模型平稳性判别方法特征根判别AR(p)模型平稳的充要条件是它的p个特征根都在单位圆内根据特征根和自回归系数多项式的根成倒数的性质，等价判别条件是该模型的自回归系数多项式的根都在单位圆外。AR模型平稳性判别方法移动平均MA模型具有如下结构的模型称为阶自回归模型，简记为特别当时，称为中心化模型移动平均MA模型具有如下结构的模型称为阶自回归模型24

第三节移动平均模型(MovingAverageModel)

AR系统的特征是系统在时刻的响应仅与其以前时刻的响应有关，而与之前时刻进入系统的扰动无关。如果一个系统在时刻的响应，与其以前时刻的响应无关，而与其以前时刻进入系统的扰动存在着一定的相关关系，那么，这一类系统则为MA系统。24第三节移动平均模型(Mov25一、一阶移动平均模型：MA(1)

对于一个MA系统来说，如果系统的响应刻进入系统的扰动仅与其前一时

存在一定的相关关系，我们就得到模型:其中：为白噪声。MA(1)模型的基本假设为：系统的响应仅与其前一时刻进入系统的扰动有一定的依存关系；而且为白噪声。25一、一阶移动平均模型：MA(1)对于一个MA系统来说，26二、一般移动平均模型类似与AR模型,当MA(1)的假设被违背时,我们把MA(1)模型推广到MA(2),进而再对广到更一般的MA(m)模型，即：仅与这时有关，而与无关，且为白噪声序列，这就是一般移动平均模型的基本假设。26二、一般移动平均模型类似与AR模型,当MA(1)的假设被MA模型的可逆性可逆MA模型定义

若一个MA模型能够表示称为收敛的AR模型形式，那么该MA模型称为可逆MA模型

一个自相关系数列唯一对应一个可逆MA模型。MA模型的可逆性可逆MA模型定义MA模型的可逆条件MA(q)模型的可逆条件是：MA(q)模型的特征根都在单位圆内等价条件是移动平滑系数多项式的根都在单位圆外MA模型的可逆条件MA(q)模型的可逆条件是：ARMA模型的定义具有如下结构的模型称为自回归移动平均模型，简记为特别当时，称为中心化模型ARMA模型的定义具有如下结构的模型称为自回归移动平均模型，30第四节自回归移动平均模型AutoregressiveMovingAverageModel一个系统，如果它在时刻t的响应，不仅与以前时刻的自身值有关，而且还与其以前时刻进入系统的扰动存在一定的依存关系，那么，这个系统就是自回归移动平均系统，相应的模型记作ARMA.

则对于这样的系统要使响应转化为独立序列，不仅要消除依赖于t时刻以前的自身部分，而且还必须消除依赖于t时刻以前进入系统的扰动的部分。30第四节自回归移动平均模型一个系统，如果它在时刻t的响31一、ARMA(2，1)模型

1.对和的相关性由于AR(1)模型：已不是适应模型，即与和不独立，所以，这里的剩余不是我们所假设的，将其记作,将其分解为:将上式代入AR(1)模型，得这就是ARMA(2,1)模型。31一、ARMA(2，1)模型1.对和的相关性由于322.ARMA(2,1)模型的基本假设

在ARMA模型中，若中确实除了对和系外，在和已知的条件下对的依存关和不存在相关关系，那么一定独立于当然也就独立于,这就是ARMA(2,1)模型的基本假设。322.ARMA(2,1)模型的基本假设在ARMA模型中，333.ARMA(2,1)模型的结构从模型中不难看出，ARMA(2,1)模型把分解成了独立的四个部分，所以，其结构是由一个AR(2)和一个MA(1)两部分构成的，具体地说，是由上述四部分构成的。333.ARMA(2,1)模型的结构从模型中不难看出，AR344.相关序列的独立化过程

将ARMA(2,1)模型如下变形：可见，ARMA(2,1)是通过从中消除对以及的依赖性之后，使得相关序列转化成为独立序列，即它是一个使相关序列转化为独立序列的变换器。344.相关序列的独立化过程将ARMA(2,1)模型如下变355.ARMA(2,1)与AR(1)的区别

从模型形式看，ARMA(2,1)比AR(1)的项数多；从模型的动态性看，ARMA(2,1)比AR(1)具有更长的记忆；从计算所需的资料看，ARMA(2,1)需要用t期以前的初期开始递，这就需要从归地计算出来，通常t＝0时的取序列的均值零；从参数估计来看，ARMA(2,1)比AR(1)困难得多。355.ARMA(2,1)与AR(1)的区别从模型形式看，36二、ARMA(2，1)模型的非线性回归为了计算的值，必须知道的值，然而在动态的条件下，本身又取决于和,则有上式是非线性的，那么估计参数时，只能用非线性最小二乘法，其基本思想就是在曲面上搜索使得剩余平方和最小的参数值，有计算程序，多次迭代即可。36二、ARMA(2，1)模型的非线性回归为了计算37三、ARMA(2，1)模型的其他特殊情形

1.ARMA(1，1)当ARMA(2，1)中的系数时，有即为ARMA(1，1)模型。2.MA(1)

当ARMA(2，1)中的系数时，有即为MA(1)模型。37三、ARMA(2，1)模型的其他特殊情形1.ARMA(383.AR(1)

模型当ARMA(2，1)中的时，有即为AR(1)模型。因此，在建立模型时，首先拟合一个ARMA(2.1)模型，然后根据其参数值和是否显著小这一信息，来寻找较合理的模型，然后拟合出那个较合理的模型，并检验其适应性。383.AR(1)模型当ARMA(2，1)中的39四、ARMA(n,n-1)模型

如果一个ARMA(2，1)模型是不适应的，则是违背了基本假设，按照和推导ARMA(2,1)模型相同的思路，可以考虑不仅依赖于和，可能比ARMA(2，1)的记忆长。按照这种思想，一直如此类推下去，便可得到ARMA(n,n-1)模型:作如下变形ARMA(n,n-1)模型使相关序列转化为独立序列39四、ARMA(n,n-1)模型如果一个ARMA(2，140五、ARMA(n,n-1)与ARMA(n,m)

1.建模策略

利用上述ARMA模型的生成过程及其特性，我们可以得到对某一系统的一系列动态观察数据拟合ARMA模型的基本策略。即通过逐渐增加ARMA(n,n-1)模型的阶数，使得越来越接近一组数据的依存关系，停止在不能使这种逼近更有效地得到改善的n的数值上。2.ARMA(n,m)模型ARMA(n,m)模型实际上是ARMA(n,n-1)模型的某些参数或为零的特殊情形，所以建模策略仍适应。40五、ARMA(n,n-1)与ARMA(n,m)1.建41六、ARMA(n,n-1)模型的合理性

第二、理论依据：用Hilbert空间线性算子的基本理论可以证明，对于任何平稳随机系统，我们都可以用一个ARMA(n,n-1)

模型近似到我们想要达到的程度；用差分方程的理论也可以证明，对于n阶自回归，MA模型的阶数应该是n-1。

第一、AR、MA、ARMA(n,m)模型都是ARMA(n,n-1)

模型的特殊情形。

第三、从连续系统离散化过程来看，ARMA(n,n-1)

也是合理的。在一个n阶自回归线性微分方程和任意阶的移动平均数的形式下，如果一个连续自回归移动平均过程在一致区间上抽样，那么，这个抽样过程的结果是ARMA(n,n-1)。41六、ARMA(n,n-1)模型的合理性平稳条件与可逆条件ARMA(p,q)模型的平稳条件P阶自回归系数多项式的根都在单位圆外即ARMA(p,q)模型的平稳性完全由其自回归部分的平稳性决定ARMA(p,q)模型的可逆条件q阶移动平均系数多项式的根都在单位圆外即ARMA(p,q)模型的可逆性完全由其移动平滑部分的可逆性决定平稳条件与可逆条件ARMA(p,q)模型的平稳条件ARMA模型相关性特征ARMA模型相关性特征43平稳时间序列建模与预测平稳时间序列建模平稳时间序列预测平稳时间序列建模与预测平稳时间序列建模第一节建模步骤平稳非白噪声序列计算样本相关系数模型识别参数估计模型检验模型优化序列预测YN第一节建模步骤平模型参数模型模序YN一、计算样本相关系数样本自相关系数样本偏自相关系数返回本节首页一、计算样本相关系数样本自相关系数样本偏自相关系数返回本节首二、模型识别基本原则二、模型识别基本原则模型定阶的困难因为由于样本的随机性，样本的相关系数不会呈现出理论截尾的完美情况，本应截尾的或仍会呈现出小值振荡的情况。由于平稳时间序列通常都具有短期相关性，随着延迟阶数增大，与都会衰减至零值附近作小值波动？当或在延迟若干阶之后衰减为小值波动时，什么情况下该看作为相关系数截尾，什么情况下该看作为相关系数在延迟若干阶之后正常衰减到零值附近作拖尾波动呢？模型定阶的困难因为由于样本的随机性，样本的相关系数不会呈现出模型定阶经验方法95％的置信区间模型定阶的经验方法如果样本(偏)自相关系数在最初的d阶明显大于两倍标准差范围，而后几乎95％的自相关系数都落在2倍标准差的范围以内，而且通常由非零自相关系数衰减为小值波动的过程非常突然。这时，通常视为(偏)自相关系数截尾。截尾阶数为d。模型定阶经验方法95％的置信区间三、参数估计待估参数非中心化ARMA(P,q)模型有个未知参数常用估计方法矩估计极大似然估计最小二乘估计返回本节首页三、参数估计待估参数返回本节首页1.矩估计原理样本自相关系数估计总体自相关系数样本一阶均值估计总体均值，样本方差估计总体方差1.矩估计原理2.极大似然估计原理在极大似然准则下，认为样本来自使该样本出现概率最大的总体。因此未知参数的极大似然估计就是使得似然函数（即联合密度函数）达到最大的参数值2.极大似然估计原理3.最小二乘估计原理使残差平方和达到最小的那组参数值即为最小二乘估计值3.最小二乘估计原理4.条件最小二乘估计实际中最常用的参数估计方法假设条件残差平方和方程解法迭代法4.条件最小二乘估计实际中最常用的参数估计方法四、模型检验模型的显著性检验整个模型对信息的提取是否充分参数的显著性检验模型结构是否最简返回本节首页四、模型检验模型的显著性检验返回本节首页1.模型的显著性检验目的检验模型的有效性（对信息的提取是否充分）检验对象残差序列判定原则一个好的拟合模型应该能够提取观察值序列中几乎所有的样本相关信息，即残差序列应该为白噪声序列反之，如果残差序列为非白噪声序列，那就意味着残差序列中还残留着相关信息未被提取，这就说明拟合模型不够有效1.模型的显著性检验目的假设条件原假设：残差序列为白噪声序列备择假设：残差序列为非白噪声序列假设条件原假设：残差序列为白噪声序列2.参数显著性检验目的检验每一个未知参数是否显著非零。删除不显著参数使模型结构最精简假设条件检验统计量2.参数显著性检验目的五、模型优化问题提出当一个拟合模型通过了检验，说明在一定的置信水平下，该模型能有效地拟合观察值序列的波动，但这种有效模型并不是唯一的。优化的目的选择相对最优模型返回本节首页五、模型优化问题提出返回本节首页问题同一个序列可以构造两个拟合模型，两个模型都显著有效，那么到底该选择哪个模型用于统计推断呢？解决办法确定适当的比较准则，构造适当的统计量，确定相对最优问题1.AIC准则最小信息量准则（AnInformationCriterion）指导思想似然函数值越大越好，未知参数的个数越少越好AIC统计量L为模型的极大似然值1.AIC准则最小信息量准则（AnInformation2.SBC准则AIC准则的缺陷在样本容量趋于无穷大时，由AIC准则选择的模型不收敛于真实模型，它通常比真实模型所含的未知参数个数要多SBC统计量2.SBC准则AIC准则的缺陷第二节序列预测误差分析AR（P）序列的预测MA（q）序列的预测ARMA（p,q）的预测修正预测第二节序列预测误差分析序列预测线性预测函数预测方差最小原则返回本节首页序列预测线性预测函数返回本节首页序列分解预测误差预测值返回本节首页序列分解预测误差预测值返回本节首页一.误差分析估计误差期望方差返回本节首页一.误差分析估计误差返回本节首页二.AR(p)序列的预测预测值预测方差95％置信区间返回本节首页二.AR(p)序列的预测预测值返回本节首页三、MA(q)序列的预测预测值预测方差返回本节首页三、MA(q)序列的预测预测值返回本节首页四、ARMA(p,q)序列预测预测值预测方差返回本节首页四、ARMA(p,q)序列预测预测值返回本节首页五.修正预测定义所谓的修正预测就是研究如何利用新的信息去获得精度更高的预测值方法在新的信息量比较大时——把新信息加入到旧的信息中，重新拟合模型在新的信息量很小时——不重新拟合模型，只是将新的信息加入以修正预测值，提高预测精度返回本节首页五.修正预测定义返回本节首页1.修正预测原理在旧信息的基础上，的预测值为假设新获得一个观察值，则的修正预测值为修正预测误差为预测方差为1.修正预测原理在旧信息的基础上，的预测值为2.一般情况假设新获得p个观察值，则的修正预测值为修正预测误差为预测方差为2.一般情况假设新获得p个观察值谢谢观看谢谢观看第一章

平稳时间序列模型

组长：李国凤组员：李俐芸孙炜指导教师：桂文林第一章平稳时间序列模型75方法平稳序列建模序列预测eviews软件演示本章结构2本章结构76方法AR模型（AutoRegressionModel）MA模型（MovingAverageModel）ARMA模型（AutoRegressionMovingAveragemodel）3方法AR模型（AutoRegressionMod77

时间序列的模型类型很多，我们这里只讨论平稳时间序列模型。这里讲的平稳是指宽平稳，其特性是序列的统计特性不随时间的平移而变化，即均值和协方差不随时间的平移而变化。4时间序列的模型类型很多，我们这里只讨论平稳时间纯随机性方差齐性各序列值之间没有任何相关关系，即为“没有记忆”的序列方差齐性根据马尔可夫定理，只有方差齐性假定成立时，用最小二乘法得到的未知参数估计值才是准确的、有效的返回本节首页白噪声序列的性质纯随机性方差齐性返回本节首页白噪声序列的性质数据的平稳性一.图示判断1.平稳时间序列在图形上表现处围绕其均值不断波动的过程；数据的平稳性一.图示判断2.根据相关图，若一个随机过程是平稳的，其特征根应都在单位圆外，倒数都在单位圆内；2.根据相关图，若一个随机过程是平稳的，其特征根应都在单位圆3.在分析相关图时，如果自相关函数衰减很慢，近似呈线性衰减，即可认为该序列是非平稳的。3.在分析相关图时，如果自相关函数衰减很慢，近似呈线性衰减，自回归AR模型具有如下结构的模型称为阶自回归模型，简记为特别当时，称为中心化模型自回归AR模型具有如下结构的模型称为阶自回归模型，简83第一节一阶自回归模型(AutoregressiveModel)一、一阶自回归模型如果时间序列后一时刻的行为主要与其前一时刻的行为有关，而与其前一时刻以前的行为无直接关系，即一期记忆，也就是一阶动态性。描述这种关系的数学模型就是一阶自回归模型:(2.1.1)

记作AR(1)。其中，为零均值(即中心化处理后的)平稳序列.为对的依赖程度，为随机扰动。10第一节一阶自回归模型一、一阶自回归模型如果时间序列841.一阶自回归模型的特点

AR(1)模型也把分解为独立的两部分：一是依赖于的部分；二是与不相关的部分(独立正态同分布序列)111.一阶自回归模型的特点AR(1)模型也把分解为独立852.AR(1)与普通一元线性回归的区别:

(1)普通线性回归模型需要一组确定性变量值和相应的观测值；

AR(1)模型只需要一组随机变量的观测值。(2)普通线性回归表示一个随机变量对另一个确定性变量的依存关系；而AR(1)表示一个随机变量对其自身过去值的依存关系。(3)普通线性回归是静态模型；AR(1)是动态模型。(4)二者的假定不同。(5)普通回归模型实质上是一种条件回归，AR(1)是无条件回归。122.AR(1)与普通一元线性回归的区别:(1)普通线863.相关序列的独立化过程(2.1.1)式的另一种形式为：(2.1.3)上式揭示了AR(1)的一个实质性问题：AR(1)模型是一个使相关数据转化为独立数据的变化器。由于就AR(1)系统来说，仅有一阶动态性，即在已知的条件下，主要表现为对的直接依赖性，显然，只要把中依赖于的部分消除以后，剩下的部分自然就是独立的了。133.相关序列的独立化过程(2.1.1)式的另一种形式为87二、AR(1)模型的特例——随机游动(Randomwalk)1.

时的AR(1)模型：此时(2.1.1)式的具体形式为也可以用差分表示或所谓差分，就是与其前一期值的差，从统计上讲，差分结果所得到的序列就是逐期增长量。一般地k阶差分记作差分可以使非平稳序列转化为平稳序列。Box-Jenkins(简称记为B-J)，就是利用类似于这种数学工具来处理非平稳序列的。。14二、AR(1)模型的特例——随机游动(Random88一阶自回归模型AR（1）

15一阶自回归模型AR（1）89

AR（1）模型的特例——随机游动

16AR（1）模型的特例——随机游动902.特例形式的特性：

(1)系统具有极强的一期记忆性，即惯性。也就是说，系统在t-1

和t时刻的响应，除随机扰动外，完全一致。差异完全是由扰动引起的。(2)在时刻t-1时，系统的一步超前预测就是系统在t-1时的响应，即(3)系统行为是一系列独立随机变量的和，即172.特例形式的特性：(1)系统具有极强的一期记忆性，即91

第二节一般自回归模型

对于自回归系统来说，当不仅与前期值有关，而且与相关时，显然，AR(1)模型就不再是适应模型了。如果对这种情形拟合AR模型，不仅对,而且对呈现出一定的相关性，因此，AR(1)模型就不适应了。18第二节一般92一、

的依赖性对当AR(1)模型中的与不独立时,我们将记为,于是可以分解为(2.2.1)从而(2.2.1)式的形式变为(2.2.2)可见，与和有关，所以(2.2.2)式是一个AR(2)模型。19一、的依赖性对当AR(1)模型中的与不独立时,我们将93二、AR(2)模型的假设和结构

1.AR(2)模型的基本假设:(1)假设与和有直接关系,而与无关;(2)是一个白噪声序列。这就是AR(2)模型的两个基本假设。2.AR(2)模型的结构:AR(2)模型是由三个部分组成的：第一部分是依赖于的部分，用表示;第二部分是依赖于的部分;用来表示.第三部分是独立于前两部分的白噪声.

20二、AR(2)模型的假设和结构1.AR(2)模型的基94三、一般自回归模型当AR(2)模型的基本假设被违背以后，我们可以类似从AR(1)到AR(2)模型的推广方法,得到更为一般的自回归模型AR(n)模型:上式还可以表示为可见，AR(n)系统的响应具有阶动态性。拟合AR(n)模型的过程也就是使相关序列独立化的过程。21三、一般自回归模型当AR(2)模型的基本假设被违背以AR模型平稳性判别方法特征根判别AR(p)模型平稳的充要条件是它的p个特征根都在单位圆内根据特征根和自回归系数多项式的根成倒数的性质，等价判别条件是该模型的自回归系数多项式的根都在单位圆外。AR模型平稳性判别方法移动平均MA模型具有如下结构的模型称为阶自回归模型，简记为特别当时，称为中心化模型移动平均MA模型具有如下结构的模型称为阶自回归模型97

第三节移动平均模型(MovingAverageModel)

AR系统的特征是系统在时刻的响应仅与其以前时刻的响应有关，而与之前时刻进入系统的扰动无关。如果一个系统在时刻的响应，与其以前时刻的响应无关，而与其以前时刻进入系统的扰动存在着一定的相关关系，那么，这一类系统则为MA系统。24第三节移动平均模型(Mov98一、一阶移动平均模型：MA(1)

对于一个MA系统来说，如果系统的响应刻进入系统的扰动仅与其前一时

存在一定的相关关系，我们就得到模型:其中：为白噪声。MA(1)模型的基本假设为：系统的响应仅与其前一时刻进入系统的扰动有一定的依存关系；而且为白噪声。25一、一阶移动平均模型：MA(1)对于一个MA系统来说，99二、一般移动平均模型类似与AR模型,当MA(1)的假设被违背时,我们把MA(1)模型推广到MA(2),进而再对广到更一般的MA(m)模型，即：仅与这时有关，而与无关，且为白噪声序列，这就是一般移动平均模型的基本假设。26二、一般移动平均模型类似与AR模型,当MA(1)的假设被MA模型的可逆性可逆MA模型定义

若一个MA模型能够表示称为收敛的AR模型形式，那么该MA模型称为可逆MA模型

一个自相关系数列唯一对应一个可逆MA模型。MA模型的可逆性可逆MA模型定义MA模型的可逆条件MA(q)模型的可逆条件是：MA(q)模型的特征根都在单位圆内等价条件是移动平滑系数多项式的根都在单位圆外MA模型的可逆条件MA(q)模型的可逆条件是：ARMA模型的定义具有如下结构的模型称为自回归移动平均模型，简记为特别当时，称为中心化模型ARMA模型的定义具有如下结构的模型称为自回归移动平均模型，103第四节自回归移动平均模型AutoregressiveMovingAverageModel一个系统，如果它在时刻t的响应，不仅与以前时刻的自身值有关，而且还与其以前时刻进入系统的扰动存在一定的依存关系，那么，这个系统就是自回归移动平均系统，相应的模型记作ARMA.

则对于这样的系统要使响应转化为独立序列，不仅要消除依赖于t时刻以前的自身部分，而且还必须消除依赖于t时刻以前进入系统的扰动的部分。30第四节自回归移动平均模型一个系统，如果它在时刻t的响104一、ARMA(2，1)模型

1.对和的相关性由于AR(1)模型：已不是适应模型，即与和不独立，所以，这里的剩余不是我们所假设的，将其记作,将其分解为:将上式代入AR(1)模型，得这就是ARMA(2,1)模型。31一、ARMA(2，1)模型1.对和的相关性由于1052.ARMA(2,1)模型的基本假设

在ARMA模型中，若中确实除了对和系外，在和已知的条件下对的依存关和不存在相关关系，那么一定独立于当然也就独立于,这就是ARMA(2,1)模型的基本假设。322.ARMA(2,1)模型的基本假设在ARMA模型中，1063.ARMA(2,1)模型的结构从模型中不难看出，ARMA(2,1)模型把分解成了独立的四个部分，所以，其结构是由一个AR(2)和一个MA(1)两部分构成的，具体地说，是由上述四部分构成的。333.ARMA(2,1)模型的结构从模型中不难看出，AR1074.相关序列的独立化过程

将ARMA(2,1)模型如下变形：可见，ARMA(2,1)是通过从中消除对以及的依赖性之后，使得相关序列转化成为独立序列，即它是一个使相关序列转化为独立序列的变换器。344.相关序列的独立化过程将ARMA(2,1)模型如下变1085.ARMA(2,1)与AR(1)的区别

从模型形式看，ARMA(2,1)比AR(1)的项数多；从模型的动态性看，ARMA(2,1)比AR(1)具有更长的记忆；从计算所需的资料看，ARMA(2,1)需要用t期以前的初期开始递，这就需要从归地计算出来，通常t＝0时的取序列的均值零；从参数估计来看，ARMA(2,1)比AR(1)困难得多。355.ARMA(2,1)与AR(1)的区别从模型形式看，109二、ARMA(2，1)模型的非线性回归为了计算的值，必须知道的值，然而在动态的条件下，本身又取决于和,则有上式是非线性的，那么估计参数时，只能用非线性最小二乘法，其基本思想就是在曲面上搜索使得剩余平方和最小的参数值，有计算程序，多次迭代即可。36二、ARMA(2，1)模型的非线性回归为了计算110三、ARMA(2，1)模型的其他特殊情形

1.ARMA(1，1)当ARMA(2，1)中的系数时，有即为ARMA(1，1)模型。2.MA(1)

当ARMA(2，1)中的系数时，有即为MA(1)模型。37三、ARMA(2，1)模型的其他特殊情形1.ARMA(1113.AR(1)

模型当ARMA(2，1)中的时，有即为AR(1)模型。因此，在建立模型时，首先拟合一个ARMA(2.1)模型，然后根据其参数值和是否显著小这一信息，来寻找较合理的模型，然后拟合出那个较合理的模型，并检验其适应性。383.AR(1)模型当ARMA(2，1)中的112四、ARMA(n,n-1)模型

如果一个ARMA(2，1)模型是不适应的，则是违背了基本假设，按照和推导ARMA(2,1)模型相同的思路，可以考虑不仅依赖于和，可能比ARMA(2，1)的记忆长。按照这种思想，一直如此类推下去，便可得到ARMA(n,n-1)模型:作如下变形ARMA(n,n-1)模型使相关序列转化为独立序列39四、ARMA(n,n-1)模型如果一个ARMA(2，1113五、ARMA(n,n-1)与ARMA(n,m)

1.建模策略

利用上述ARMA模型的生成过程及其特性，我们可以得到对某一系统的一系列动态观察数据拟合ARMA模型的基本策略。即通过逐渐增加ARMA(n,n-1)模型的阶数，使得越来越接近一组数据的依存关系，停止在不能使这种逼近更有效地得到改善的n的数值上。2.ARMA(n,m)模型ARMA(n,m)模型实际上是ARMA(n,n-1)模型的某些参数或为零的特殊情形，所以建模策略仍适应。40五、ARMA(n,n-1)与ARMA(n,m)1.建114六、ARMA(n,n-1)模型的合理性

第二、理论依据：用Hilbert空间线性算子的基本理论可以证明，对于任何平稳随机系统，我们都可以用一个ARMA(n,n-1)

模型近似到我们想要达到的程度；用差分方程的理论也可以证明，对于n阶自回归，MA模型的阶数应该是n-1。

第一、AR、MA、ARMA(n,m)模型都是ARMA(n,n-1)

模型的特殊情形。

第三、从连续系统离散化过程来看，ARMA(n,n-1)

也是合理的。在一个n阶自回归线性微分方程和任意阶的移动平均数的形式下，如果一个连续自回归移动平均过程在一致区间上抽样，那么，这个抽样过程的结果是ARMA(n,n-1)。41六、ARMA(n,n-1)模型的合理性平稳条件与可逆条件ARMA(p,q)模型的平稳条件P阶自回归系数多项式的根都在单位圆外即ARMA(p,q)模型的平稳性完全由其自回归部分的平稳性决定ARMA(p,q)模型的可逆条件q阶移动平均系数多项式的根都在单位圆外即ARMA(p,q)模型的可逆性完全由其移动平滑部分的可逆性决定平稳条件与可逆条件ARMA(p,q)模型的平稳条件ARMA模型相关性特征ARMA模型相关性特征116平稳时间序列建模与预测平稳时间序列建模平稳时间序列预测平稳时间序列建模与预测平稳时间序列建模第一节建模步骤平稳非白噪声序列计算样本相关系数模型识别参数估计模型检验模型优化序列预测YN第一节建模步骤平模型参数模型模序YN一、计算样本相关系数样本自相关系数样本偏自相关系数返回本节首页一、计算样本相关系数样本自相关系数样本偏自相关系数返回本节首二、模型识别基本原则二、模型识别基本原则模型定阶的困难因为由于样本的随机性，样本的相关系数不会呈现出理论截尾的完美情况，本应截尾的或仍会呈现出小值振荡的情况。由于平稳时间序列通常都具有短期相关性，随着延迟阶数增大，与都会衰减至零值附近作小值波动？当或在延迟若干阶之后衰减为小值波动时，什么情况下该看作为相关系数截尾，什么情况下该看作为相关系数在延迟若干阶之后正常衰减到零值附近作拖尾波动呢？模型定阶的困难因为由于样本的随机性，样本的相关系数不会呈现出模型定阶经验方法95％的置信区间模