2016届高三一轮复习步步高光盘-理科-全书课件第九章

数学

A（理）§9.6双曲线第九章平面解析几何基础知识·自主学习题型分类·深度剖析思想方法·感悟提高练出高分1.双曲线定义平面内与两个定点F1，F2的

等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做______

，两焦点间的距离叫做

.距离的差的绝对值双曲线的焦点双曲线的焦距集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a、c为常数且a>0，c>0.(1)当

时，P点的轨迹是双曲线；(2)当

时，P点的轨迹是两条射线；(3)当

时，P点不存在.2a<|F1F2|2a＝|F1F2|2a>|F1F2|2.双曲线的标准方程和几何性质标准方程图形性质范围对称性对称轴：

对称中心：____顶点A1(－a,0)，A2(a,0)

A1(0，－a)，A2(0，a)

渐近线x≥a或x≤－a，y∈Rx∈R，y≤－a或y≥a坐标轴原点性质离心率e∈

，其中c＝实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝

；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝

；a叫做双曲线的实半轴长,b叫做双曲线的虚半轴长a，b，c的关系c2＝

(c>a>0，c>b>0)(1，＋∞)2a2ba2＋b2知识拓展巧设双曲线方程判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.(

)(2)方程

(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线.(

)思考辨析××(

)√(

)√(

)√返回题号答案解析12345

EnterACC1

2x2－y2＝1则a2＝1，b2＝4.又a>0，b>0，故a＝1，b＝2.解析例1

(1)与双曲线x2－2y2＝2有公共渐近线，且过点M(2，－2)的双曲线方程为__________.题型一双曲线的定义及标准

方程解析答案思维升华例1

(1)与双曲线x2－2y2＝2有公共渐近线，且过点M(2，－2)的双曲线方程为__________.题型一双曲线的定义及标准

方程解析答案思维升华例1

(1)与双曲线x2－2y2＝2有公共渐近线，且过点M(2，－2)的双曲线方程为__________.题型一双曲线的定义及标准

方程解析答案思维升华例1

(1)与双曲线x2－2y2＝2有公共渐近线，且过点M(2，－2)的双曲线方程为.题型一双曲线的定义及标准

方程解析答案思维升华例1

(1)与双曲线x2－2y2＝2有公共渐近线，且过点M(2，－2)的双曲线方程为

题型一双曲线的定义及标准

方程解析答案思维升华例1

(1)与双曲线x2－2y2＝2有公共渐近线，且过点M(2，－2)的双曲线方程为题型一双曲线的定义及标准

方程解析答案思维升华例1

(1)与双曲线x2－2y2＝2有公共渐近线，且过点M(2，－2)的双曲线方程为题型一双曲线的定义及标准

方程解析答案思维升华(2)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a的值，由定点位置确定c的值.思维点拨解析答案思维升华(2)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为____________________.思维点拨解析答案思维升华考虑定义法.(2)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为____________________.思维点拨解析答案思维升华(2)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为____________________.如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B.根据两圆外切的条件，得|MC1|－|AC1|＝|MA|，|MC2|－|BC2|＝|MB|，思维点拨解析答案思维升华(2)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为____________________.因为|MA|＝|MB|，所以|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|，即|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝2，思维点拨解析答案思维升华(2)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为____________________.所以点M到两定点C1、C2的距离的差是常数且小于|C1C2|.又根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大，与C1的距离小)，思维点拨解析答案思维升华(2)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为____________________.其中a＝1，c＝3，则b2＝8.思维点拨解析答案思维升华其中a＝1，c＝3，则b2＝8.(2)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为____________________.思维点拨解析答案思维升华(2)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为____________________.思维点拨解析答案思维升华(2)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为____________________.思维点拨解析答案思维升华(2)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为____________________.(2)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a的值，由定点位置确定c的值.又因为双曲线的一个焦点在直线y＝2x＋10上，所以－2c＋10＝0.所以c＝5.答案

A解析由题意知椭圆C1的焦点坐标为F1(－5,0)，F2(5,0)，设曲线C2上的一点P，则||PF1|－|PF2||＝8.由双曲线的定义知：a＝4，b＝3.答案

A题型二双曲线的几何性质依题意可求出a、c的值.思维点拨∵|AF2|＋|AF1|＝4，|AF2|－|AF1|＝2a，∴|AF2|＝2＋a，|AF1|＝2－a.在Rt△F1AF2中，∠F1AF2＝90°，∴|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2，答案

D分别表示出两方程对应的a、b、c的值比较即可.思维点拨解析因为0<k<9，所以两条曲线都表示双曲线.故两曲线只有焦距相等.故选A.答案

A思维升华

(1)求双曲线离心率或离心率范围的两种方法：一种是直接建立e的关系式求e或e的范围；另一种是建立a，b，c的齐次关系式，将b用a，e表示，令两边同除以a或a2化为e的关系式，进而求解.答案

C∴A为线段BF的中点，∴∠2＝∠3.又∠1＝∠2，∴∠2＝60°，答案

C题型三直线与双曲线的位置

关系例3已知双曲线C：x2－y2＝1及直线l：y＝kx－1.(1)若l与C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；思维升华解析题型三直线与双曲线的位置

关系例3已知双曲线C：x2－y2＝1及直线l：y＝kx－1.(1)若l与C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；解双曲线C与直线l有两个不同的交点，思维升华解析题型三直线与双曲线的位置

关系例3已知双曲线C：x2－y2＝1及直线l：y＝kx－1.(1)若l与C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；整理得(1－k2)x2＋2kx－2＝0.思维升华解析题型三直线与双曲线的位置

关系例3已知双曲线C：x2－y2＝1及直线l：y＝kx－1.(1)若l与C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；双曲线C与直线l有两个不同的交点时，思维升华解析题型三直线与双曲线的位置

关系例3已知双曲线C：x2－y2＝1及直线l：y＝kx－1.(1)若l与C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；(1)研究直线与双曲线位置关系问题的通法：将直线方程代入双曲线方程，消元，得关于x或y的一元二次方程.思维升华解析题型三直线与双曲线的位置

关系例3已知双曲线C：x2－y2＝1及直线l：y＝kx－1.(1)若l与C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；当二次项系数等于0时，直线与双曲线相交于某支上一点，这时直线平行于一条渐近线；当二次项系数不等于0时，用判别式Δ来判定.思维升华解析题型三直线与双曲线的位置

关系例3已知双曲线C：x2－y2＝1及直线l：y＝kx－1.(1)若l与C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；(2)用“点差法”可以解决弦中点和弦斜率的关系问题，但需要检验.思维升华解析思维升华解析解设交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l与y轴交于点D(0,－1)，由(1)知，C与l联立的方程为(1－k2)x2＋2kx－2＝0.思维升华解析当A，B在双曲线的一支上且|x1|>|x2|时，思维升华解析当A，B在双曲线的两支上且x1>x2时，思维升华解析思维升华解析思维升华解析思维升华解析思维升华解析(1)研究直线与双曲线位置关系问题的通法：将直线方程代入双曲线方程，消元，得关于x或y的一元二次方程.思维升华解析当二次项系数等于0时，直线与双曲线相交于某支上一点，这时直线平行于一条渐近线；当二次项系数不等于0时，用判别式Δ来判定.思维升华解析(2)用“点差法”可以解决弦中点和弦斜率的关系问题，但需要检验.解

设A(xA，yA)、B(xB，yB)，(3)在(2)的条件下，线段AB的垂直平分线l0与y轴交于M(0，m)，求m的取值范围.(3)在(2)的条件下，线段AB的垂直平分线l0与y轴交于M(0，m)，求m的取值范围.(3)在(2)的条件下，线段AB的垂直平分线l0与y轴交于M(0，m)，求m的取值范围.易错警示系列14

忽视“判别式”致误易

错

分

析规

范

解

答温

馨

提

醒由于“判别式”是判断直线与圆锥曲线是否有公共点的重要方法，在解决直线与圆锥曲线相交的问题时，有时不需要考虑判别式，致使有的考生思维定势的原因，任何情况下都没有考虑判别式，导致解题错误.易

错

分

析规

范

解

答温

馨

提

醒易

错

分

析规

范

解

答温

馨

提

醒解设点A(x1，y1)，B(x2，y2)在双曲线上，且线段AB的中点为(x0，y0)，若直线l的斜率不存在，显然不符合题意.2分

设经过点P的直线l的方程为y－1＝k(x－1)，即y＝kx＋1－k.3分

易

错

分

析规

范

解

答温

馨

提

醒6分

易

错

分

析规

范

解

答温

馨

提

醒8分

当k＝2时，方程①成为2x2－4x＋3＝0.Δ＝16－24＝－8<0，方程①没有实数解.11分

∴不能作一条直线l与双曲线交于A，B两点，且点P(1,1)是线段AB的中点.12分

(1)本题是以双曲线为背景，探究是否存在符合条件的直线，题目难度不大，思路也很清晰，但结论却不一定正确.错误原因是忽视对直线与双曲线是否相交的判断，从而导致错误，因为所求的直线是基于假设存在的情况下所得的.易

错

分

析规

范

解

答温

馨

提

醒(2)本题属探索性问题.若存在，可用点差法求出AB的斜率，进而求方程；也可以设斜率k，利用待定系数法求方程.(3)求得的方程是否符合要求，一定要注意检验.易

错

分

析规

范

解

答温

馨

提

醒返回方法与技巧双曲线标准方程的求法方法与技巧(2)当已知双曲线的渐近线方程bx±ay＝0，求双曲线方程时，可设双曲线方程为b2x2－a2y2＝λ(λ≠0)，据其他条件确定λ的值；失误与防范1.区分双曲线中的a，b，c大小关系与椭圆中的a，b，c大小关系，在椭圆中a2＝b2＋c2，而在双曲线中c2＝a2＋b2.2.双曲线的离心率e∈(1，＋∞)，而椭圆的离心率e∈(0,1).失误与防范4.若利用弦长公式计算，在设直线斜率时要注意说明斜率不存在的情况.失误与防范5.直线与双曲线交于一点时，不一定相切，例如：当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点，但不是相切；反之，当直线与双曲线相切时，直线与双曲线仅有一个交点.返回234567891012345678910123456789101答案

B3456789101234567891012答案

D4567891012345678910123由于直线l过双曲线的焦点且与对称轴垂直，因此直线l的方程为：x＝c或x＝－c，45678910123答案

B5678910123456789101234∴A(a，－b).由题意知右焦点到原点的距离为c＝4，56789101234答案

A678910123456789101234567891012345整理得3e2＋2e>e4，∴e(e3－3e－3＋1)<0，∴e(e＋1)2(e－2)<0，解得e∈(0,2)，又e>1，∴e∈(1,2)，故选B.答案

B57891012346将点(2,2)代入上式，得λ＝－3，57891012346其渐近线方程为y＝±2x.589101234675891012346758910123467设直线l：x－3y＋m＝0(m≠0)，因为|PA|＝|PB|，所以PC⊥l，所以kPC＝－3，化简得a2＝4b2.在双曲线中，c2＝a2＋b2＝5b2，59101234678解析不妨设|PF1|>|PF2|，则|PF1|－|PF2|＝2a，又∵|PF1|＋|PF2|＝6a，59101234678∴|PF1|＝4a，|PF2|＝2a.又在△PF1F2中，∠PF1F2＝30°，由正弦定理得，∠PF2F1＝90°，51012346789可设其方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，51012346789∴双曲线方程为x2－y2＝6.51012346789证明

∵点M(3，m)在双曲线上，∴32－m2＝6，∴m2＝3，(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：点M在以F1F2为直径的圆上；51012346789∴MF1⊥MF2，∴点M在以F1F2为直径的圆上.51012346789(3)在(2)的条件下求△F1MF2的面积.5123467891051234678910则a2＝3，c2＝4，再由a2＋b2＝c2，得b2＝1.5123467891051234678910由直线l与双曲线C2交于不同的两点，得51234678910设A(x1，y1)，B(x2，y2)，51234678910141516131211141516131211141516131211解析因为MF1的中点P在双曲线上，|PF2|－|PF1|＝2a，△MF1F2为正三角形，边长都是2c，答案

D141115161312141115161312解析由双曲线的对称性知，满足题意的这一对直线也关于x轴(或y轴)对称.又由题意知有且只有一对这样的直线，故该双曲线在第一象限