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文档简介
第1讲导数的概念及运算A
2.函数f(x)的导函数
若f(x)对于区间(a,b)内任一点都可导,则f(x)在各点的导数也随着自变量x的变化而变化,因而也是自变量x的函数.该函数称为f(x)的导函数,记作f′(x).(x0,f(x0)
3.基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f(x)=C(C为常数)f′(x)=f(x)=xn(n∈Q*)f′(x)=f(x)=sinxf′(x)=f(x)=cosxf′(x)=f(x)=exf′(x)=f(x)=ax(a>0,a≠1)f′(x)=0nxn-1cos
x-sin
xexaxlnaf′(x)±g′(x)
f′(x)g(x)+f(x)g′(x)
辨
析
感
悟1.对导数概念的理解
(1)f′(x0)是函数y=f(x)在x=x0附近的平均变化率.(×) (2)f′(x0)与[f(x0)]′表示的意义相同. (×)2.对导数的几何和物理意义的理解
(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点. (√) (4)物体的运动方程是s=-4t2+16t,在某一时刻的速度为0,则相应时刻t=0. (×) (5)曲线y=f(x)在点P(x0,y0)处的切线与过点P(x0,y0)的切线相同. (×)
[感悟·提升]1.一个区别曲线y=f(x)“在点P(x0,y0)处的切线”与“过点P(x0,y0)的切线”的区别:曲线y=f(x)在点P(x0,y0)处的切线是指P为切点,切线唯一,若斜率存在时,切线的斜率k=f′(x0);曲线y=f(x)过点P(x0,y0)的切线,是指切线经过P点,点P可以是切点,也可以不是切点,而且这样的直线可能有多条.2.三个防范
一是并不是所有的函数在其定义域上的每一点处都有导数,如函数y=|x|在x=0处就没有导数. 二是曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个,这和研究直线与二次曲线相切时有差别,如(3). 三是对函数求导要看准自变量,是对自变量的求导,而不是对其它参数的求导,如(6).规律方法
(1)进行导数运算时,要牢记导数公式和导数的四则运算法则,切忌记错记混.(2)求导前应利用代数、三角恒等变形将函数先化简,然后求导,这样可以减少运算量,提高运算速度,减少差错.
考点二利用导数的几何意义求曲线的切线
方程【例2】已知函数f(x)=x3-4x2+5x-4. (1)求曲线f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;
(2)求经过点A(2,-2)的曲线f(x)的切线方程. 审题路线(1)求f′(x)⇒求f′(2)⇒求f(2)⇒由点斜式写出切线方程.
(2)设切点P(x0,y0)⇒求f′(x0)⇒由点斜式写出过点A的切线方程⇒把点P代入切线方程⇒求x0⇒再代入求得切线方程.规律方法
利用导数的几何意义求曲线的切线方程时,注意区分是曲线在某点处的切线,还是过某点的切线.曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线方程是y-f(x0)=f′(x0)(x-x0).求过某点的切线方程时需设出切点坐标,进而求出切线方程.【训练2】(1)(2014·扬州期末)设a为实数,函数f(x)=x3+ax2+(a-3)x的导函数为f′(x),且f′(x)是偶函数,则曲线y=f(x)在原点处的切线方程为________.
(2)曲线y=x(3lnx+1)在点(1,1)处的切线方程为________.考点三利用曲线的切线方程求参数【例3】
(2013·新课标全国Ⅰ卷改编)设函数f(x)=ex(ax+b)-x2-4x,曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=4x+4.求a,b的值. 解f′(x)=aex+ex(ax+b)-2x-4
=ex(ax+a+b)-2x-4,∴f′(0)=a+b-4=4, 又f(0)=b=4,∴a=4.规律方法
已知曲线在某点处的切线方程求参数,是利用导数的几何意义求曲线的切线方程的逆用,解题的关键是这个点不仅在曲线上也在切线上.1.在对导数的概念进行理解时,特别要注意f′(x0)与(f(x0))′是不一样的,f′(x0)代表函数f(x)在x=x0处的导数值,不一定为0;而(f(x0))′是函数值f(x0)的导数,而函数值f(x0)是一个常量,其导数一定为0,即(f(x0))′=0.2.对于函数求导,一般要遵循先化简再求导的基本原则.求导时,不但要重视求导法则的应用,而且要特别注意求导法则对求导的制约作用,在实施化简时,首先必须注意变换的等价性,避免不必要的运算失误.
易错辨析3——求曲线切线方程考虑不周【典例】
(2014·杭州质检)若存在过点O(0,0)的直线l与曲线f(x)=x3-3x2+2x和y=x2+a都相切,则a的值是________.
[错解]
∵点O(0,0)在曲线f(x)=x3-3x2+2x上, ∴直线l与曲线y=f(x)相切于点O.
则k=f′(0)=2,直线l的方程为y=2x.
又直线l与曲线y=x2+a相切, ∴x2+a-2x=0满足Δ=4-4a=0,a=1.
[答案]
1[错因]
(1)片面理解“过点O(0,0)的直线与曲线f(x)=x3-3x2+2x相切”.这里有两种可能:一是点O是切点;二是点O不是切点,但曲线经过点O,解析中忽视后面情况.(2)本题还易出现以下错误:一是O(0,0)不是切点,无法与导数的几何意义沟通起来;二是盲目设直线l的方程,导致解题复杂化,求解受阻.[正解]易知点O(0,0
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