2022-2023学年人教版九年级数学专题《旋转》旋转时坐标与图形变换《求绕原点旋转一定角度的点的坐标》含答案解析

专题旋转优选提升题一：坐标与图形变换—旋转题型三：求绕原点旋转一定角度的点的坐标一、单选题1．（2022·河南新乡·九年级期末）如图，矩形的顶点，，若矩形绕点逆时针旋转，每秒旋转60°，则第2021秒时，矩形的对角线交点的坐标为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】如图，由题意知，点的运动轨迹为以为圆心，以为半径的圆，作，垂足为，，由可知第2021秒时，矩形的对角线交点在点处，且，得到关于轴对称，进而可求的坐标．【详解】解：如图，由题意知，点的运动轨迹为以为圆心，以为半径的圆，作，垂足为∴∴∵∴可知第2021秒时，矩形的对角线交点在点处，且∴关于轴对称∴故选A．【点睛】本题考查了正切值，旋转角的计算，关于轴对称的点坐标等知识．解题的关键在于确定第2021秒时，矩形的对角线交点的位置．二、填空题2．（2021·河南南阳·九年级期末）如图，平行四边形OABC的顶点，，点C在x轴的正半轴上，延长BA交y轴于点D．将△ODA绕点O顺时针旋转得到，当点D的对应点落在OA上时，的延长线恰好经过点C，则点C的坐标为______．【答案】（2，0）【分析】延长′交y轴于点E，延长，由题意D′A′的延长线经过点C，利用点A的坐标可求得线段AD，OD，OA的长，由题意：△OA′D′≌△OAD，可得对应边相等；利用⊥，OA平分∠，可得△为等腰三角形，可得OE==，==1；利用△∽△CEO，得到比例式可求线段OC，则点C坐标可得．【详解】解：延长交y轴于点E，延长，由题意知，的延长线经过点C，如图，∵A（1，2），∴AD=1，OD=2，∴OA===．由题意知：△≌△OAD，∴=AD=1，=OA=，=OD=2，=∠ADO=90°，．则⊥，OA平分∠，∴△为等腰三角形．∴OE==，==1．∵EO⊥OC，⊥EC，，∴△∽△CEO．∴．∴．∴OC=2．∴C（2，0）．故答案为：（2，0）．【点睛】此题考查了旋转的性质、坐标与图形的性质、三角形全等判定与性质、三角形相似判定与性质、等腰三角形的判定与性质，解题的关键是利用点的坐标表示出相应线段的长度和利用线段的长度表示相应点的坐标．3．（2021·全国·九年级期末）如图，正方形的边长为2，点在轴的正半轴上，点在轴的负半轴上，将正方形绕点逆时针旋转30°至正方形的位置，与相交于点，则点的坐标为______．【答案】【分析】连接OM，由旋转性质知OD=OB′=2，∠BOB′=30°，∠B′OD=60°，证Rt△ODM≌Rt△OB′M得∠DOM=∠B′OD=30°，由DM=ODtan∠DOM可得答案．【详解】解：如图，连接OM，∵将边长为2的正方形OBCD绕点O逆时针旋转30°得到正方形OB′C′D′，∴OD=OB′=2，∠BOB′=30°，∴∠B′OD=60°，在Rt△ODM和Rt△OB′M中，，∴Rt△ODM≌Rt△OB′M（HL），∴∠DOM=∠B′OM=∠B′OD=30°，∴DM=ODtan∠DOM=2×=，∴点M的坐标为（-2，），故答案为：（-2，）．【点睛】本题主要考查了旋转的性质、正方形的性质，解题的关键是掌握旋转变换的不变性与正方形的性质、全等三角形的判定与性质及三角函数的应用．三、解答题4．（2022·天津红桥·九年级期末）在平面直角坐标系中，点，点，点．以点O为中心，逆时针旋转，得到，点的对应点分别为．记旋转角为．(1)如图①，当点C落在上时，求点D的坐标；(2)如图②，当时，求点C的坐标；(3)在（2）的条件下，求点D的坐标（直接写出结果即可）．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）如图，过点D作DE⊥OA于点E．解直角三角形求出OE，DE，可得结论；（2）如图②，过点C作CT⊥OA于点T，解直角三角形求出OT，CT可得结论；（3）如图②中，过点D作DJ⊥OA于点J，在DJ上取一点K，使得DK=OK，设OJ=m．利用勾股定理构建方程求出m，可得结论．(1)如图，过点作，垂足为．∵，，∴，，．∵，∴．在中，由，得．解得．∴，．∵是由旋转得到的，∴，．∴．∴．∴．在中，．∴点的坐标为．(2)如图，过点作，垂足为．由已知，得．∴．∴．∵是由旋转得到的，∴．在中，由，得．∴点的坐标为．(3)如图②中，过点D作DJ⊥OA于点J，在DJ上取一点K，使得DK=OK，设OJ=m．∵∠DOC=30°，∠COT=45°，∴∠DOJ=75°，∴∠ODJ=90°-75°=15°，∵KD=KO，∴∠KDO=∠KOD=15°，∴∠OKJ=∠KDO+∠KOD=30°，∴OK=DK=2m，KJ=m，∵OD2=OJ2+DJ2，∴22=m2+（2m+m