北京市东城区2019届高三数学综合练习试题理

北京市东城区2018-2019学年度第?学期高三综合练习（一）数学（理科）本试卷共5页，共150分。考试时长120分钟。考?生务必定答案答在答题卡上，在试卷上作答?无效。考试结束后，将答题卡交回。第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每题5分，共40分。在每题列列出的四个选项中，选出符合题目要求的?一项。（1）已知会合Ax2x2x0，Bx2x10，则AIB（A）xx1（B）xx122（C）xx0（D）R（2）在复平?面内，若复数(2i)z对应的点在第?二象限，则z能够为（A）2（B）1（C）i（D）2+i（3）在平面直角坐标系XOY中，角以OX为始边，终边经过点P(1,m)(m0)，则以下各式的值必定为负的是(A)sincos(B)sincos(C)sincos(D)sintan4）正方体被一个平面截去?一部分后，所得几何体的三视图以以下图，则该截面图形的形状为A）等腰三角形（B）直角三角形C）平行四边形（D）梯形[]xy0（5）若x,y知足y10，则xy的最大值为y2x6（A）0（B）1（C）2（D）4（6）已知直线l过抛物线2y8x的焦点，与抛物线交于，两点，与其准线交于点C.若FAB点F是的AC中点，则线段BC的长为8(B)3(C)16(D)6(A)33（7）南北朝时代的伟大数学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的随意平面所截，假如截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.如图，夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为V1,V2，被平行于这两个平?面的随意平面截得的两个截面的面积分别为S1,S2，则“V1,V2相等”是“S1,S2总相等”的充分?而不不用要条件必需?而不不充分条件-1-充分必需条件既不不充分也不不用要条件（8）已知数列an知足：a1a，an+1=an1(nN*)，则以下对于an的判断正确的2an是（A）a0,n2,使得an2（B）a0,n2,使得anan1（C）a0,mN*,总有aman（D）a0,mN*,总有amnan第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每题5分，共30分。（9）在(2x)6的张开式中，x2的系数是.（用数字作答）（10）在ABC中，若bcosCcsinB0，则C=.（11）若曲线C:xacos（为参数）对于直线l:x1t(t为参数)对称，则y2siny22ta；此时原点O到曲线C上点的距离的最大值为.（12）已知向量=(1,3)，向量b为单位向量，且a·b=1，则2b-a与2b夹角为.a（13）已知函数f(x)4xx3，若x1,x2[a,b],x1x2都有2f(x1x2)f(2x1)f(2x2)成立，则知足条件的一个区间是.0,x，0,xB（14）设A,B是R中两个子集，对于xR，定义：m1,xn1,xB，A①若AB.则对随意xR，m(1n)；[]②若对随意xR，mn1，则A,B的关系为.三、解答题共6?小题，共80分。解答应写出?文字说明，演算步骤或证明过程。（15）（本小题13分）已知函数f(x)4acosxsin(x)，且f()1.63(Ⅰ)求a的值及f(x)的最小正周期；(Ⅱ)若f(x)在区间[0,m]上单一递加，求f(x)的最大值.（16）（本小题13分）改革开放40年年来，体育家产蓬勃发展反应了“健康中国”理念的普及．以以下图是我国2006年至2016年体育家产年增添值及年增速图．此中条形图为体育家产年增添值（单位：亿元），折线图为体育家产年增添率（％）．-2-（Ⅰ）从2007年至2016年随机选择1年，求该年体育家产年增添值比前一年的体育家产年增添值多亿元以上的概率；（Ⅱ）从2007年至2016年随机选择3年，设X是选出的三年中体育家产年增添率超出20%的年数，求X的散布列列与数学希望；（Ⅲ）由图判断，从哪年开始连续三年的体育家产年增添率方差最大？从哪年开始连续三年的体育家产年增添值方差最大？（结论不不要求证明）（17）（本小题14分）如图，在棱长均为2的三棱柱ABCA1B1C1中，点C在平面A1ABB1内的射影O为AB1与A1B的交点，E,F分别为BC,AC11的中点．（Ⅰ）求证：四边形A1ABB1为正方形；（Ⅱ）求直线EF与平面A1ACC1所成角的正弦值；（Ⅲ）在线段AB1上存在一点D，使得直线EF与平面A1CD没有公共点，求AD的值.DB1（18）（本小题13分）设函数f(x)ax2(a2)xlnx的极小值点为x0.（I）若x01，求a的值f(x)的单一区间；（II）若0x01，在曲线yf(x)上能否存在点P，使得点P位于X轴的下方？若存在，求出一个点P坐标，若不存在，说明原因.-3-（19）（本小题13分）已知椭圆C:x2y21(m0)与x轴交于两点A1,A2，与y轴的一个交点为B，BA1A24mm的面积为2.（Ⅰ）求椭圆C的方程及离心率；（Ⅱ）在y轴右边且平行于y轴的直线l与椭圆交于不一样样的两点P1,P2，直线A1P1与直线A2P2交于点P.以原点O为圆心，以A1B为半径的圆与x轴交于两点M,N（点M在点N的左侧），求PMPN的值.（20）（本小题14分）已知LN，数列，，，an中的项均为不大于L的正整数.ck表示a1,a2,L,an中kA:a1a2L的个数(k1，2，L，L).定义变换T，T将数列A变为数列T(A):t(a1),t(a2),L,t(an)此中t(k)Lc1c2Lck.n（Ⅰ）若L4，对数列A：1，1，2，3，3，4，写出ci(1i4)的值；（Ⅱ）已知对随意的k(k1,2,L,n)，存在A中的项am，使得amk.求证：（tai）ai(i1,2,L,n)的充分必需条件为cicj(i，j1，2，L，L)；（Ⅲ）若ln，对于数列A:a1,a2,L,an，令T(T(A)):b1,b2,L,bn求证：bit(ai)(i1,2,L,n).，-4-北京市东城区2018-2019学年度第二学期高三综合练习（一）2019.4数学（理科）参照答案及评分标准一、选择题（共8小题，每题5分，共40分）（1）C（2）B（3）D（4）A（5）D（6）C（7）B（8）D二、填空题（共6小题，每题5分，共30分）（9）（10）（11）（12）（13）(0,1)(答案不独一)（14）0三、解答题（共6小题，共80分）（15）（共13分）解：（Ⅰ）由已知，得，解得.x4cossinxx64cosx(3sinx1cosx)2223sinxcosx2cos2x3sin2xcos2x12sin(2x)16f(x)2sin(2x)1所以6.............................7

的最小正周期为分f(x)2sin(2x)1.（Ⅱ）由（Ⅰ）知6当x2x[,2m],[0,m]时，666若在区间上单一递加，则有，即.因此m的最大值为3.............................13分-5-16）（共13分）解:（Ⅰ）设A表示事件“从2007年至2016年随机选出1年，该年体育家产年增添值比前一年的体育家产年增加值多亿元以上”．由题意可知，2009年，2011年，2015年，2016年知足要求，故424分PA105．............................（Ⅱ）由题意可知，X的全部可能取值为0,1,2，3，且P(X0)C631P(X1)C14C6213=6；3=C10C102；C42C163C431P(X2)C103=10；P(X3)C103=30.因此X的散布列为：X0123P1131621030故X的期望E(X)113160123305．....................6210........10分（Ⅲ）从年或年开始连续三年的体育家产年增添率方差最大．从年开始连续三年的体育家产年增添值方差最大．............................13分17）（共14分）解：（Ⅰ）连接．因为C在平面A1ABB1内的射影O为与的交点，C1C因此平面．EF-6-BB1OA1A由已知三棱柱ABCA1B1C1各棱长均相等，因此，且为菱形.由勾股定理得，即.因此四边形为正方形......................5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知CO平面A1ABB1,COOA,COOA1.在正方形中，．如图成立空间直角坐标系．由题意得O(0,0,0),A1(2,0,0),A(0,2,0),B(2,0,0),C(0,0,2),C1(2,2,2)，E(222,22,0,),F(,)2222．uuuruuur因此A1A(2,2,0),AC(0,2,2).设平面A1ACC1的法向量为m(x,y,z),uuur2x2y0,mAA10,muuur0.2y2z0.AC则即令则于是．uuur322EF(,,0)又因为22，设直线EF与平面A1ACC1所成角为，则uuursin|cosuuurmEF30m,EF|uuur15mEF．因此直线与平面所成角的正弦值为.............................10分（Ⅲ）直线与平面没有公共点，即∥平面．设D点坐标为(0,y0,0)，D与O重合时不合题意，因此．uuuuruuur因为A1D(2,y0,0)，AC1(2,0,2)．设为平面的法向量，-7-uuuurnA1D0,2x1y0y10,uuur则nA1C0.2x12z10.即令，则，.n(1,2,1)于是y0.若∥平面，.uuur(32,2,0)EF又22，3222022y0因此，解得．[]此时平面，因此，.因此．......................14分18）（共13分）解：（Ⅰ）定义域为.f'(x)2ax(a2)12ax2(a2)x1(2x1)(ax1)xxx.由已知，得，解得.当a=1时，f'(x)(2x1)(x1),x当时，；当时，.因此的递减区间为，单一递加区间为因此时函数在处获得极小值.即f(x)的极小值点为1时a的值为1............................6分.（II）当0x01时，曲线yf(x)上不存在点P位于x轴的下方，原因以下：f'(x)(2x1)(ax1),由（I）知x当时，，因此在单一递减，不存在极小值点；当a0时，令x21xax10x，得.(0,1)a时，f(x)0，f(x)在区间上单一递减；当时，，在区间上单一递加.f(1)=lna+-1a因此a是在上的最小值.由已知，若，则有，即.当时，，且，.因此当0x01时，曲线yf(x)上全部的点均位于x轴的上方.-8-故当0x01时，曲线yf(x)上不存在点P位于x轴的下方.............................13分（19）（共13分）解：（Ⅰ）因为m0,由椭圆方程知：a24m,b2m,a2m,bm，SBAA12ab2mm2m2122，因此因此椭圆C的方程为.由，，得，因此椭圆C的离心率为.............................5分（Ⅱ）设点P(xP,yP),P1(x0,y0),P2(x0,y0)(x00),不如设A1(2,0),A2(2,0),P1A1:yy0x2P2A2:yy0x2x0设2，x02，yy02x2，xP4,x0x0yy0x2yP2y0.由x02得x0即x02(4)222xP4yP1又4y01，得4xP2，xP2yP21(xP0).化简得4因为A1(2,0),B(0,1)，因此A1B5，即M(5,0),N(5,0).因此点P的轨迹为双曲线的右支，两点恰为其焦点，为双曲线的极点，且A1A24，所以PMPN4.............................13分（20）（共14分）解：（Ⅰ）.......................-9-.....3分（Ⅱ）因为对随意的正整数k(1kL)，存在A中的项am，使得.因此均不为零.t(k)c1c2Lck必需性：若t(ai)ai(1in)，因为Ln，t(1)Lc11t(2)Lc1nc22t(3)Lc1c2c33t(L)Lc1c2LcL因此有n；；nLn.；；经过解此方程组，可得cicj(i，j1，2，L，L)成立.充分性：若cicj(i，j1，2，L，L)成立，不如设hcicj(i，j1，2，L，L)，能够获得.t(1)Lh1t(2)L2h2因此有：n；n；.；(3)L3；L所以成立.............................9分（Ⅲ）设A:a1，a2，L，an的全部不一样样取值为u1，u2，L，um，且知足：u1u2Lum.不如设A:u11，u12，L,u1r1，u21，u22，L，u2r2，L，um1，um2，L，umrm，此中u11u12=Lu1r1；u21u22Lu2r2；L；um1um2=Lumrm.t(u11)t(u12)Lt(u1r1)t(u1)cu1r1又因为Ln，依据变换T有：Ln；t(u21)t(u22)Lt(u2r2)t(u2)cu1cu2r1r2