悬臂梁固有频率的计算

悬臂梁固有频率的计算试求在1=°处固定、X=l处自由的等截面悬臂梁振动的固有频率（求解前五阶）。解:法一：欧拉一伯努利梁理论悬臂梁的运动微分方程为：EI生回+pA地。=0dx4dt2.；悬臂梁的边界条件为:w(x=0)=0(1),—(x=0)=0(2)，空-dx0x2dd2w=0(3)项(EI--)

oxO2x=0(4)；X=l该偏微分方程的自由振动解为w（x,t）=W（x）T（t），将此解带入悬臂梁的运动微分方程可得到pAm2W(x)=Ccospx+Csinpx+Ccoshpx+Csinhpx，T(t)=Acoswt+Bsinwt；其中p4=-——将边界条件（1）、（2）带入上式可得C+C3=0,C2+C4=0；进一步整理可得W(x)=C(cospx—coshpx)+C(sinpx-sinhpx);再将边界条件(3)、(4)带入可得-C(cospl+coshpl)—C(sinpl+sinhpl)=0;-C(-sinpl+sinhpl)—C(cospl+coshpl)=0要求C和C有非零解，则它们的系数行列式必为零，即12-(cospl+coshpl)-(sinpl+sinhpl)-(-sinpl+sinhpl)-(cospl+coshpl)=0所以得到频率方程为：cos（pl）cosh（pl）=-1；该方程的根pn表示振动系统的固有频率：wn=（叩）2（务）；,n=1,2,...满足上式中的各pn（n=1，2，-）的值在书P443表8。4中给出，现罗列如下：pl=1.875104,pl=4.694091，pl=7.854757,pl=10.995541，pl=14.1372；若12345&C古丰二■斗,CCC、［主=斗,厂厂cosPI+coshPITOC\o"1-5"\h\z相对十n日勺2值表示为2n，根据式中的1n,2n可以表示为C=~C(nl)；因2n1nsinpl+sinhpl此W(x)=C(cospx-coshpx)—cosJ，0」弋?(sinpx-sinhpx),n=1,2,...由此可得到n1nn«sinpl+sinhplnrn/nn悬臂梁的前五阶固有频率，分别将n=1,2,3,4,5带入可得:EIiEIiEI1气=1.8751042(^-)2,也=4.6940912(^-)2,气=7.8547572(----)2,EI1EI1气=10.9955412(----)2，气=14.13722(----)2；法二、铁摩辛柯梁梁理论1.悬臂梁的自由振动微分方程:d4w(x,t),d2w(x,t)E、d4wp21合4w八TOC\o"1-5"\h\zEI+pA-pI(1+—)+=0dx4dt2kGdx2dt2kGdt4边界条件：w(x=0)=4(x=0)=0(1),业-。=西=0(2)；dxdxx=lx=l设方程的通解为：心t)=Csin学；易知边界条件Q)满足此通解，将通解带入上面的微分方程可/Pr4n2兀2r2n2兀2r2E、以2n4兀4IEI得到频率方程为:一咛1+-^+~i^用+~i^=°；其中r2=a‘以2=函；若转动惯量与剪切变形的影响均忽略，上式的频率方程简化为wnan2兀21EIn2兀2=「惯量与剪切变形的影响均忽略，上式的频率方程简化为wnan2兀21EIn2兀2=「--——；当n=1,2,3,4，5时可分别求得12\pA12固有频率为：w1EI丸2，wpA122'EI4兀2，:，w\pA123EI9兀2，wpA124■eT25兀2w5\pA12m等效质量：连续系统悬臂梁简化为5个相等的集中质量m1=m2=m3=m4=m5=正1。邓克莱法邓克莱公式为：—*am+am+•••+am，其中a=,a=f；1,a=〔：二,a=,a=^^，TOC\o"1-5"\h\z①2iii222555ii375EI22375EI33125EI44375EI553EIimEIimi=m2=m=m4=m5=宜；将其代入上式可求得系统的基频为：*=2.887(f)2i234551PAl4，此基频比用伯努EIi\o"CurrentDocument"w=I.875I042（）2与邓克莱法的推导预期相符.利-欧拉梁求得的一阶固有频率】PAl4偏小，误差为I7.42%,2.瑞利法系统的质量矩阵、刚度矩阵和柔度矩阵分别为375EI—口—I50EI-^13—375EIiil3750EI375EI与邓克莱法的推导预期相符.375EI—口—I50EI-^13—375EIiil3750EI375EIi50EI8l3375EIi4l3375EI41375EI2613375EI413375EIi413375EI9l3i25EI2713250EIi8l3i25EIiil3750EI41375EI2713250EI6413375EI8813375EI713375EI2613375EIi813i25EI8813375EI-l^-3EI一5i779—862793222i—2700045001225854i8ii8i—86279iii72i—i2447i94500—i5750586i93i8ii8iEL-3222i—i2447i5622i—26i63i422il35493322244—2700094500—26i6338279—82500i8ii8i223ii8i4500—i5750i422i—825006029_i8ii8i44i8i30_K=A-1m0000M=-0m00000m005000m00000m取静变形曲线为假设阵型，设A=(401412794366°°)『有AtMAAtMA=649418mATKA=1122000^顽ama=1328401503E75EI所以R(A)=AtKA8.64E/n八、AtMA8.57EI=,R(A)==，此基频比用伯努利-欧拉梁求得的一阶固有频AtMApl4iiA所以R(A)=，此基频比用伯努利-欧拉梁求得的一阶固有频①=1.8751042(-^)2率1PA14偏大，误差为15。23%，与瑞利法的推导预期相符。3.里茨法系统的质量矩阵和刚度矩阵由上面给出，设阵型为W]=(12345)T,w2=(13579)t；则可求出M*,K*分别为55m95mM*=wtMw=95m165m-78375EI57375E「-_1811318113K■—wTKw—57375EI78375EI_181l3181l3_将M*,K*代入(K*-w*2M*)A*=0得k*—w*2M*=0；可以求得:，w*==59.081w*，w*==59.081w*==3.53「亘；2\ml3以及人*(】)=1-0.578；,A*(2)r1\

一-0.29/所以系统前两阶主阵型的近似为-1.0000-0.63030.2607,A（2）=wA*（2）=0.71-0.1090-0.4787A（i）wA*（i）=0.4221.00001.59152.18312.77463.36624.雅克比法动力矩阵为D=AM=l3m

375EI

l3m

150EI

4hm

375EI

11l3m

750EI

7hm

375EIl3m

150EI

8hm

375EI

14hm

375EI

4hm

75EI

26hm

375EI4hm

375EI

14hm

375EI

9hm

125EI

27l3m

250EI

18hm

125EI11l3m

750EI

4hm

75EI27l3m250EI64l3m7hm

375EI

26hm

375EI18hm

125EI

88l3m375EI375EI88hml3m375EI3EI，由雅可比法求解其特征值和特征向量为：其固有频率2.93002.930000018.7000而00052.70*—0，阵型为，询300010