广东省比赛课一等奖《垂直于弦的直径》课件

第二十四章24.1.2垂直于弦的直径广东省中学青年教师数学问题讲授核心片段展示10号选手第二十四章24.1.2垂直于弦的直径广东省中在圆上任取两点A、B,它们将圆分成了两部分小于半圆的部分叫劣弧大于半圆的部分叫优弧线段AB，叫弦这两段弧都是弦AB所对的弧1、回顾旧知一、温故知新AB在圆上任取两点A、B,小于半圆的部分叫劣弧大于半圆的部分叫优2一、温故知新2、动手操作每个同学拿出剪好的圆形纸片，沿着圆的任意一条直径所在的直线对折，重复做两次，你发现了什么？圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴.一、温故知新2、动手操作圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线3学生折纸视频一、温故知新学生折纸视频一、温故知新4一、温故知新3、观察发现平移一条直径平移一条直径它们还是轴对称图形吗？弦弦直径直径×√一、温故知新3、观察发现平移一条直径平移一条直径它们还是轴对5二、大胆猜想1、该图形是轴对称图形吗？——折纸验证2、你能在图中找到相等的量吗？3、你能证明你的结论吗？当直径CD与弦AB垂直时二、大胆猜想1、该图形是轴对称图形吗？——折纸验证当直径CD6三、证明猜想在Rt△OAM和Rt△OBM中∵OA=OB,OM=OM∴

Rt△OAM≌Rt△OBM（HL）∴AM=BM证明：连接OA，OB三、证明猜想在Rt△OAM和Rt△OBM中证明：连接OA，O7三、证明猜想三、证明猜想8①CD是直径②CD⊥AB可推得条件结论垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.

·OABCDM三、证明猜想几何语言：垂径定理：①CD是直径②CD⊥AB可推得条件结论垂直于弦的直径平分91、判断下列图形，能否使用垂径定理？××√四、应用新知×过圆心的线段注意：“垂”与“径”缺一不可注意：“垂”与“径”缺一不可1、判断下列图形，能否使用垂径定理？××√四、应用新知×过圆102、例题1.如图，在⊙O中，直径CD⊥弦AB于点E，AB=8，OA=5，求弦心距OE及ED的长．解：四、应用新知5∴OE=3在Rt△AOE中，根据勾股定理，得OE²=OA²-AE²即OE²=5²-4²=9.∴ED=5-3=2∵CD过圆心，CD⊥AB答：弦心距OE为3，ED为2.拱高44半弦半径弦心距32、例题1.如图，在⊙O中，直径CD⊥弦AB于点E，AB=811四、应用新知53数据变式1.如图，在⊙O中，直径CD⊥弦AB于点E，OE=3，OA=5，则AB的长为_____．2、例题1.如图，在⊙O中，直径CD⊥弦AB于点E，AB=8，OA=5，求弦心距OE及ED的长．8四、应用新知53数据变式1.如图，在⊙O中，直径CD⊥弦AB12四、应用新知434数据变式2.如图，在⊙O中，直径CD⊥弦AB于点E，AB=8，OE=3，则半径OA的长为___．2、例题1.如图，在⊙O中，直径CD⊥弦AB于点E，AB=8，OA=5，求弦心距OE及ED的长．5四、应用新知434数据变式2.如图，在⊙O中，直径CD⊥弦A13四、应用新知弦心距OE=半径-拱高=35322、例题1.如图，在⊙O中，直径CD⊥弦AB于点E，AB=8，OA=5，求弦心距OE及ED的长．数据变式3.如图，在⊙O中，直径CD⊥弦AB于点E，DE=2

，OA=5，则弦AB的长为___．半径弦心距半弦四、应用新知弦心距OE=半径-拱高=35322、例题1.如图14图形变式1．如图，在⊙O中，AB=8，圆心O到AB的距离为3，求⊙O的半径．解：过O点作OC⊥AB于点C，连接OA四、应用新知∴OA=5在Rt△AOC中，根据勾股定理，得OA²=AC²+OC²即OA²=3²+4²=25.∵OC过圆心，OC⊥AB答：半径为5.图形变式1．如图，在⊙O中，AB=8，圆心O到AB的距离为315图形变式2：如图，在以O为圆心的圆的一部分图形中，拱高为1，弦长AB为8，求半径的长.四、应用新知解：过O点作OC⊥AB，交AB于点C，交弧AB于点D解得r=5答：半径长为5.在Rt△AOC中，利用勾股定理，可得方程CD1∵OC过圆心，OC⊥AB44r²=(r-1)²+4²方程思想“半径半弦弦心距”三个量中已知一个量，另两个量之间的关系，应用勾股时，需借助方程解决.设半径OA=r，则OC=r-1rr-1图形变式2：如图，在以O为圆心的圆的一部分图形中，拱高为1，16图形变式3：如图，拱高为1，弦长AB为8，求拱形所在圆的半径的长.转化为四、应用新知OCD图形变式3：如图，拱高为1，弦长AB为8，求拱形所在圆的半径17图形变式3：如图，1400多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）是37m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.23m，求赵州桥主桥拱的半径（精确到0.1m）四、应用新知AB17.5rr-7.23设半径为r，则OA=r，则OD=r—7.23r²=(r-7.23)²+17.5²OD=半径—7.23ODCr=24.87.23图形变式3：如图，1400多年前，我国隋代建造的赵州石拱18数形结合添背景建模思想方程思想变图形转化思想变数据类比思想巧移线垂径定理五、归纳小结数形结合添背景建模思想方程思想变图形转化思想变数据类比思想巧19五、归纳小结垂径定理特别好，建立模型解题妙！半径半弦弦心距，知二求一用勾股，知一求二借方程，时刻牢记学轻松！五、归纳小结垂径定理特别好，建立模型解题妙！半径半弦弦心距，20谢谢您的倾听谢谢您的倾听21第二十四章24.1.2垂直于弦的直径广东省中学青年教师数学问题讲授核心片段展示10号选手第二十四章24.1.2垂直于弦的直径广东省中在圆上任取两点A、B,它们将圆分成了两部分小于半圆的部分叫劣弧大于半圆的部分叫优弧线段AB，叫弦这两段弧都是弦AB所对的弧1、回顾旧知一、温故知新AB在圆上任取两点A、B,小于半圆的部分叫劣弧大于半圆的部分叫优23一、温故知新2、动手操作每个同学拿出剪好的圆形纸片，沿着圆的任意一条直径所在的直线对折，重复做两次，你发现了什么？圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴.一、温故知新2、动手操作圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线24学生折纸视频一、温故知新学生折纸视频一、温故知新25一、温故知新3、观察发现平移一条直径平移一条直径它们还是轴对称图形吗？弦弦直径直径×√一、温故知新3、观察发现平移一条直径平移一条直径它们还是轴对26二、大胆猜想1、该图形是轴对称图形吗？——折纸验证2、你能在图中找到相等的量吗？3、你能证明你的结论吗？当直径CD与弦AB垂直时二、大胆猜想1、该图形是轴对称图形吗？——折纸验证当直径CD27三、证明猜想在Rt△OAM和Rt△OBM中∵OA=OB,OM=OM∴

Rt△OAM≌Rt△OBM（HL）∴AM=BM证明：连接OA，OB三、证明猜想在Rt△OAM和Rt△OBM中证明：连接OA，O28三、证明猜想三、证明猜想29①CD是直径②CD⊥AB可推得条件结论垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.

·OABCDM三、证明猜想几何语言：垂径定理：①CD是直径②CD⊥AB可推得条件结论垂直于弦的直径平分301、判断下列图形，能否使用垂径定理？××√四、应用新知×过圆心的线段注意：“垂”与“径”缺一不可注意：“垂”与“径”缺一不可1、判断下列图形，能否使用垂径定理？××√四、应用新知×过圆312、例题1.如图，在⊙O中，直径CD⊥弦AB于点E，AB=8，OA=5，求弦心距OE及ED的长．解：四、应用新知5∴OE=3在Rt△AOE中，根据勾股定理，得OE²=OA²-AE²即OE²=5²-4²=9.∴ED=5-3=2∵CD过圆心，CD⊥AB答：弦心距OE为3，ED为2.拱高44半弦半径弦心距32、例题1.如图，在⊙O中，直径CD⊥弦AB于点E，AB=832四、应用新知53数据变式1.如图，在⊙O中，直径CD⊥弦AB于点E，OE=3，OA=5，则AB的长为_____．2、例题1.如图，在⊙O中，直径CD⊥弦AB于点E，AB=8，OA=5，求弦心距OE及ED的长．8四、应用新知53数据变式1.如图，在⊙O中，直径CD⊥弦AB33四、应用新知434数据变式2.如图，在⊙O中，直径CD⊥弦AB于点E，AB=8，OE=3，则半径OA的长为___．2、例题1.如图，在⊙O中，直径CD⊥弦AB于点E，AB=8，OA=5，求弦心距OE及ED的长．5四、应用新知434数据变式2.如图，在⊙O中，直径CD⊥弦A34四、应用新知弦心距OE=半径-拱高=35322、例题1.如图，在⊙O中，直径CD⊥弦AB于点E，AB=8，OA=5，求弦心距OE及ED的长．数据变式3.如图，在⊙O中，直径CD⊥弦AB于点E，DE=2

，OA=5，则弦AB的长为___．半径弦心距半弦四、应用新知弦心距OE=半径-拱高=35322、例题1.如图35图形变式1．如图，在⊙O中，AB=8，圆心O到AB的距离为3，求⊙O的半径．解：过O点作OC⊥AB于点C，连接OA四、应用新知∴OA=5在Rt△AOC中，根据勾股定理，得OA²=AC²+OC²即OA²=3²+4²=25.∵OC过圆心，OC⊥AB答：半径为5.图形变式1．如图，在⊙O中，AB=8，圆心O到AB的距离为336图形变式2：如图，在以O为圆心的圆的一部分图形中，拱高为1，弦长AB为8，求半径的长.四、应用新知解：过O点作OC⊥AB，交AB于点C，交弧AB于点D解得r=5答：半径长为5.在Rt△AOC中，利用勾股定理，可得方程CD1∵OC过圆心，OC⊥AB44r²=(r-1)²+4²方程思想“半径半弦弦心距”三个量中已知一个量，另两个量之间的关系，应用勾股时，需借助方程解决.设半径OA=r，则OC=r-1rr-1图形变式2：如图，在以O为圆心的圆的一部分图形中，拱高为1，37图形变式3：如图，拱高为1，弦长AB为8，求拱形所在圆的半径的长.转化为四、应用新知OCD图形变式3：如图，拱高为1，弦长AB为8，求拱形所在圆的半径38图形变式3：如图，1400多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）是37m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.23m，求赵州桥主桥拱的半径（精确到0.1m）四、应用新知AB17.5rr-7.23设半径为r，则OA=r，则OD=r—7.23