322《复数代数形式的乘除运算》课件1-优质公开课-人教A版选修1-2

3.2.2

复数代数形式的乘除运算3.2.2问题引航1.复数乘法、除法的运算法则是什么？共轭复数概念的定义是什么？2.复数乘法的多项式运算与实数的多项式运算法则是否相同

？如何应用共轭复数的性质解决问题？问题1.复数乘法、除法的运算法则是什么？共轭复数概念的定义是1．复数代数形式的乘法法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝____________________.(ac－bd)＋(ad＋bc)i1．复数代数形式的乘法法则(ac－bd)＋(ad＋bc)i2．复数乘法的运算律对任意复数z1，z2，z3∈C，有交换律z1·z2＝______结合律(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)分配律z1(z2＋z3)＝_________z2·z1z1z2＋z1z32．复数乘法的运算律交换律z1·z2＝______结合律(z3.共轭复数已知z1=a+bi，z2=c+di，a，b，c，d∈R，则(1)z1，z2互为共轭复数的充要条件是__________.(2)z1，z2互为共轭虚数的充要条件是_____________.复数代数形式的除法法则：(a+bi)÷(c+di)=__________________(c+di≠0).a=c且b=-da=c且b=-d≠03.共轭复数a=c且b=-da=c且b=-d≠01.判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个复数互为共轭复数是它们的模相等的必要条件.()(2)若z1，z2∈C，且z12+z22=0，则z1=z2=0.()(3)两个共轭虚数的差为纯虚数.()1.判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)【解析】(1)错误.举反例：如复数2和2i，它们的模相等，但不是共轭复数．(2)错误.例如z1=1，z2=i，显然z12+z22=0，但z1≠z2≠0.(3)正确.设两个共轭虚数分别为z1=a+bi，=a－bi(a，b∈R，b≠0)，差z1－=2bi(b≠0)为纯虚数.答案：(1)×(2)×(3)√【解析】(1)错误.举反例：如复数2和2i，它们的模相等，2.做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)复数(2)复数z＝(2－i)i在复平面内对应的点位于第_____象限.(3)复数2-的共轭复数是________.2.做一做(请把正确的答案写在横线上)【解析】(1)答案：(2)z＝(2－i)i＝2i－i2＝1＋2i，故复数z＝(2－i)i在复平面内对应的点为(1，2)，位于第一象限．答案：一(3)因为2-＝2+i，所以其共轭复数为2－i.答案：2－i【解析】(1)【要点探究】

知识点1复数代数形式的乘除运算1.复数的乘法(1)类比多项式运算：复数的乘法运算与多项式乘法运算很类似，可仿多项式乘法进行，但结果要将实部、虚部分开(i2换成－1)．【要点探究】(2)运算律：多项式乘法的运算律在复数乘法中仍然成立，乘法公式也适用．(3)常用结论：①(a±bi)2＝a2±2abi－b2(a，b∈R)；②(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)；③(1±i)2＝±2i.(2)运算律：多项式乘法的运算律在复数乘法中仍然成立，乘法公2．对复数除法的两点说明(1)实数化：①在进行复数除法运算时，通常先把(a＋bi)÷(c＋di)写成商的形式，即(a＋bi)÷(c＋di)＝②分子、分母同乘以分母的共轭复数c－di，化简后即得结果，这个过程实际上就是把分母实数化，这与根式除法的分母“有理化”很类似．(2)代数式：注意最后结果要将实部、虚部分开．2．对复数除法的两点说明【知识拓展】复数乘法的推广复数的乘法可以推广到若干个因式连乘，且满足乘法的交换律、结合律、分配律.【知识拓展】复数乘法的推广【微思考】(1)a∈R，z∈C，a2＝|a|2与z2＝|z|2都成立吗？提示:a2＝|a|2成立；z2＝|z|2不一定成立．例如z＝i，z2＝－1，|z|2＝1，z2≠|z|2.(2)z2＝|z|2成立的条件是什么？提示:当且仅当z∈R时，z2＝|z|2成立．【微思考】【即时练】若复数z＝1＋i，i为虚数单位，则(1＋z)·z＝()A．1＋3i

B．3＋3iC．3－i

D．3【解析】选A.因为z＝1＋i，所以(1＋z)·z＝(2＋i)(1＋i)＝1＋3i.【即时练】知识点2共轭复数1.共轭复数的注意点(1)结构特点：实部相等，虚部互为相反数.(2)几何意义：在复平面内两个共轭复数的对应点关于实轴对称.2.共轭复数的性质(1)实数的共轭复数是它本身，即z∈R(2)相关结论：知识点2共轭复数【微思考】(1)若z≠0且z＋＝0，则z是否为纯虚数？提示:是纯虚数，因为z≠0，又实数的共轭是它本身，则由z≠0且z＋＝0知z不是实数，设z1=a+bi，=a－bi(a，b∈R)，和z1+=2a=0，故z为纯虚数.利用这个性质，可证明一个复数为纯虚数．(2)复数共轭的共轭是否为复数本身？提示:根据复数的概念，复数共轭的共轭是复数本身.【微思考】【即时练】若则复数等于()A．－2－i

B．－2＋iC．2－i

D．2＋i【解析】选D.由故=2＋i.【即时练】【题型示范】

类型一复数代数形式的乘法运算【典例1】(1)已知x，y∈R，i为虚数单位，且xi-y=-1+i，则(1+i)x+y的值为()A.2B.-2i

C.-4D.2i(2)已知复数(i为虚数单位)，复数z2的虚部为2，且z1·z2是实数，求z2.【题型示范】【解题探究】1.如何求解x+y？2.z1的代数形式如何？z1·z2的虚部是多少？【探究提示】1.利用复数相等.2.的虚部为0.【解题探究】1.如何求解x+y？【自主解答】(1)选D.由xi-y=-1+i，得x=1，y=1，所以(1+i)x+y=(1+i)2=2i.(2)设z2＝a＋2i，a∈R，则z1·z2＝(2－i)·(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a)i，因为z1z2∈R，所以a＝4，所以z2＝4＋2i.【自主解答】(1)选D.由xi-y=-1+i，得x=1，y=【方法技巧】复数的乘法运算法则的应用(1)复数的乘法运算可以把i看作字母，类比多项式的乘法进行，注意要把i2化为－1，进行最后结果的化简．(2)对于能够使用乘法公式计算的两个复数的乘法，用乘法公式更简便.例如，平方差公式、完全平方公式等．【方法技巧】复数的乘法运算法则的应用【变式训练】(2014·豫南九校高二检测)定义一种运算如下：复数(i是虚数单位)对应的复数是()【解析】选A.由题意，得【警示误区】注意分析新定义的运算规则中字母的顺序.【变式训练】(2014·豫南九校高二检测)定义一种运算如下：【补偿训练】投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m和n，则复数(m+ni)(n-mi)为实数的概率为___________.【解析】因为(m+ni)(n-mi)=2mn+(n2-m2)i为实数，所以n2=m2，故m=n，则由列举法得出投掷结果共有36种可能，相同点数的有6种，则概率为答案：【补偿训练】投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m和n，类型二复数代数形式的除法运算【典例2】(1)如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是则复数对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限(2)计算：①②类型二复数代数形式的除法运算【解题探究】1.复数z1，z2的代数形式为什么？2.观察式子的特征，应如何计算？【探究提示】1.由复数的几何意义知，z1=－2－i，z2=i.2.第一个式子分子复杂，第二个式子分母复杂，可先化简再运算.【解题探究】1.复数z1，z2的代数形式为什么？【自主解答】(1)选B.由复数的几何意义知，z1=－2－i，z2=i，所以对应的点在第二象限.【自主解答】(1)选B.由复数的几何意义知，z1=－2－i，【方法技巧】复数除法运算法则的应用复数除法一般先写成分式形式，再把分母实数化，即分子、分母同乘以分母的共轭复数，若分母为纯虚数，则只需同乘以i.【方法技巧】复数除法运算法则的应用【变式训练】(2014·湖北高考)i为虚数单位，()A.1B.-1C.i

D.-i【解析】选B.【变式训练】(2014·湖北高考)i为虚数单位，【补偿训练】已知复数z=1-i，则=()A．2i

B．-2i

C．2D．-2【解析】选B.将z=1-i代入得，【补偿训练】已知复数z=1-i，则=(类型三共轭复数【典例3】(1)(2013·山东高考)复数z满足(z-3)(2-i)=5(i为虚数单位)，则z的共轭复数为()A.2+i

B.2-i

C.5+i

D.5-i(2)已知复数z的共轭复数为且求z.类型三共轭复数【解题探究】1.如何依据题中等式计算z-3的表达式？2.复数z的代数表达式如何？如何求复数z的实部与虚部？【探究提示】1.2.复数z的代数表达式为a+bi(a，b∈R)，可用复数相等的方法建立a，b的方程组，求解a，b.【解题探究】1.如何依据题中等式计算z-3的表达式？【自主解答】(1)选D.因为(z-3)(2-i)=5，所以所以(2)设z＝a＋bi(a，b∈R)，则又所以a2＋b2－3i(a＋bi)＝所以a2＋b2＋3b－3ai＝1＋3i，所以所以所以z＝－1，或z＝－1－3i.【自主解答】(1)选D.因为(z-3)(2-i)=5，【方法技巧】化复为实当已知条件出现复数等式时，常设出复数的代数形式，利用相等复数的充要条件转化为实数问题求解．【方法技巧】化复为实【变式训练】(2014·陕西高考)已知复数z=2-i，则z·的值为()A.5B.C.3D.【解题指南】求出复数z的共轭复数，代入表达式求解即可.【解析】选A.由已知得=2+i，则z·=(2-i)(2+i)=22-i2=5，故A正确.【变式训练】(2014·陕西高考)已知复数z=2-i，则z·【补偿训练】复数的共轭复数对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C.第三象限D．第四象限【解析】选A.因为所以其共轭复数为对应的点为故选A.【补偿训练】复数的共轭复数对应的点位于(【拓展类型】复数的正整数指数幂的应用【备选例题】(1)(2014·滨州高二检测)复数的共轭复数在复平面内对应的点在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限(2)设(i是虚数单位)，求z+2z2+3z3+4z4+5z5+6z6.【拓展类型】复数的正整数指数幂的应用【解析】(1)选C.所以其对应的点在第三象限.(2)设S=z+2z2+3z3+4z4+5z5+6z6，zS=z2+2z3+3z4+4z5+5z6+6z7，两式相减得，(1-z)S=z+z2+z3+z4+z5+z6-6z7=所以因为故z6=1，所以【解析】(1)选C.【方法技巧】复数的正整数指数幂的应用(1)求和公式：等差、等比数列的求和公式在复数集C中仍适用，i的周期性要记熟，即in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N*)．(2)熟记结论：记住以下结果，可提高运算速度．①i4n-3＝i，i4n-2＝-1，i4n-1＝－i，i4n＝1(n∈N*)【方法技巧】复数的正整数指数幂的应用【规范解答】复数的计算【典例】(12分)已知z2=8+6i，求【审题】抓信息，找思路【规范解答】复数的计算【点题】警误区，促提升失分点1：不化简而求值若不进行①处与其后的变形化简，而直接求出z的值后代入，则会使运算变得非常烦琐，进而出现错误而不得分.失分点2：漏解在②处方程组的解应为两组，求解时需注意不要漏掉一组解而使本例的最终结果漏解，否则最多得6分.失分点3：化代数式在③处，对于复数运算的最终结果，要把它化为z=a+bi(a，b∈R)的形式，这是复数运算的基本要求.【点题】警误区，促提升【悟题】提措施，导方向1．差异分析的意识在解题时，要善于分析条件与结论之间的差异，通过差异分析构建二者之间的联系，努力促使二者向统一的方向转化，往往能够使问题获得简捷的解决，如本例的条件为z2=8+6i，这就要根据这个条件求出z，然后再求解.2．化繁为简的意识对于条件求值问题，何时使用条件，应根据具体的问题而定，但在一般情况下，应该先化简再求值，如本例需要把所求值的代数式先化简，然后再把复数z代入求解，而不是直接代入求解.【悟题】提措施，导方向【类题试解】(2013·天津高考改编)已知a，b∈R，i是虚数单位.若(a+i)(1+i)=bi，求a+bi.【解析】因为(a+i)(1+i)=a－1+(a+1)i=bi，所以a－1=0，a+1=b，即a=1，b=2，所以a+bi=1+2i.【类题试解】(2013·天津高考改编)已知a，b∈R，i是虚3.2.2

复数代数形式的乘除运算3.2.2问题引航1.复数乘法、除法的运算法则是什么？共轭复数概念的定义是什么？2.复数乘法的多项式运算与实数的多项式运算法则是否相同

？如何应用共轭复数的性质解决问题？问题1.复数乘法、除法的运算法则是什么？共轭复数概念的定义是1．复数代数形式的乘法法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝____________________.(ac－bd)＋(ad＋bc)i1．复数代数形式的乘法法则(ac－bd)＋(ad＋bc)i2．复数乘法的运算律对任意复数z1，z2，z3∈C，有交换律z1·z2＝______结合律(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)分配律z1(z2＋z3)＝_________z2·z1z1z2＋z1z32．复数乘法的运算律交换律z1·z2＝______结合律(z3.共轭复数已知z1=a+bi，z2=c+di，a，b，c，d∈R，则(1)z1，z2互为共轭复数的充要条件是__________.(2)z1，z2互为共轭虚数的充要条件是_____________.复数代数形式的除法法则：(a+bi)÷(c+di)=__________________(c+di≠0).a=c且b=-da=c且b=-d≠03.共轭复数a=c且b=-da=c且b=-d≠01.判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个复数互为共轭复数是它们的模相等的必要条件.()(2)若z1，z2∈C，且z12+z22=0，则z1=z2=0.()(3)两个共轭虚数的差为纯虚数.()1.判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)【解析】(1)错误.举反例：如复数2和2i，它们的模相等，但不是共轭复数．(2)错误.例如z1=1，z2=i，显然z12+z22=0，但z1≠z2≠0.(3)正确.设两个共轭虚数分别为z1=a+bi，=a－bi(a，b∈R，b≠0)，差z1－=2bi(b≠0)为纯虚数.答案：(1)×(2)×(3)√【解析】(1)错误.举反例：如复数2和2i，它们的模相等，2.做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)复数(2)复数z＝(2－i)i在复平面内对应的点位于第_____象限.(3)复数2-的共轭复数是________.2.做一做(请把正确的答案写在横线上)【解析】(1)答案：(2)z＝(2－i)i＝2i－i2＝1＋2i，故复数z＝(2－i)i在复平面内对应的点为(1，2)，位于第一象限．答案：一(3)因为2-＝2+i，所以其共轭复数为2－i.答案：2－i【解析】(1)【要点探究】

知识点1复数代数形式的乘除运算1.复数的乘法(1)类比多项式运算：复数的乘法运算与多项式乘法运算很类似，可仿多项式乘法进行，但结果要将实部、虚部分开(i2换成－1)．【要点探究】(2)运算律：多项式乘法的运算律在复数乘法中仍然成立，乘法公式也适用．(3)常用结论：①(a±bi)2＝a2±2abi－b2(a，b∈R)；②(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)；③(1±i)2＝±2i.(2)运算律：多项式乘法的运算律在复数乘法中仍然成立，乘法公2．对复数除法的两点说明(1)实数化：①在进行复数除法运算时，通常先把(a＋bi)÷(c＋di)写成商的形式，即(a＋bi)÷(c＋di)＝②分子、分母同乘以分母的共轭复数c－di，化简后即得结果，这个过程实际上就是把分母实数化，这与根式除法的分母“有理化”很类似．(2)代数式：注意最后结果要将实部、虚部分开．2．对复数除法的两点说明【知识拓展】复数乘法的推广复数的乘法可以推广到若干个因式连乘，且满足乘法的交换律、结合律、分配律.【知识拓展】复数乘法的推广【微思考】(1)a∈R，z∈C，a2＝|a|2与z2＝|z|2都成立吗？提示:a2＝|a|2成立；z2＝|z|2不一定成立．例如z＝i，z2＝－1，|z|2＝1，z2≠|z|2.(2)z2＝|z|2成立的条件是什么？提示:当且仅当z∈R时，z2＝|z|2成立．【微思考】【即时练】若复数z＝1＋i，i为虚数单位，则(1＋z)·z＝()A．1＋3i

B．3＋3iC．3－i

D．3【解析】选A.因为z＝1＋i，所以(1＋z)·z＝(2＋i)(1＋i)＝1＋3i.【即时练】知识点2共轭复数1.共轭复数的注意点(1)结构特点：实部相等，虚部互为相反数.(2)几何意义：在复平面内两个共轭复数的对应点关于实轴对称.2.共轭复数的性质(1)实数的共轭复数是它本身，即z∈R(2)相关结论：知识点2共轭复数【微思考】(1)若z≠0且z＋＝0，则z是否为纯虚数？提示:是纯虚数，因为z≠0，又实数的共轭是它本身，则由z≠0且z＋＝0知z不是实数，设z1=a+bi，=a－bi(a，b∈R)，和z1+=2a=0，故z为纯虚数.利用这个性质，可证明一个复数为纯虚数．(2)复数共轭的共轭是否为复数本身？提示:根据复数的概念，复数共轭的共轭是复数本身.【微思考】【即时练】若则复数等于()A．－2－i

B．－2＋iC．2－i

D．2＋i【解析】选D.由故=2＋i.【即时练】【题型示范】

类型一复数代数形式的乘法运算【典例1】(1)已知x，y∈R，i为虚数单位，且xi-y=-1+i，则(1+i)x+y的值为()A.2B.-2i

C.-4D.2i(2)已知复数(i为虚数单位)，复数z2的虚部为2，且z1·z2是实数，求z2.【题型示范】【解题探究】1.如何求解x+y？2.z1的代数形式如何？z1·z2的虚部是多少？【探究提示】1.利用复数相等.2.的虚部为0.【解题探究】1.如何求解x+y？【自主解答】(1)选D.由xi-y=-1+i，得x=1，y=1，所以(1+i)x+y=(1+i)2=2i.(2)设z2＝a＋2i，a∈R，则z1·z2＝(2－i)·(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a)i，因为z1z2∈R，所以a＝4，所以z2＝4＋2i.【自主解答】(1)选D.由xi-y=-1+i，得x=1，y=【方法技巧】复数的乘法运算法则的应用(1)复数的乘法运算可以把i看作字母，类比多项式的乘法进行，注意要把i2化为－1，进行最后结果的化简．(2)对于能够使用乘法公式计算的两个复数的乘法，用乘法公式更简便.例如，平方差公式、完全平方公式等．【方法技巧】复数的乘法运算法则的应用【变式训练】(2014·豫南九校高二检测)定义一种运算如下：复数(i是虚数单位)对应的复数是()【解析】选A.由题意，得【警示误区】注意分析新定义的运算规则中字母的顺序.【变式训练】(2014·豫南九校高二检测)定义一种运算如下：【补偿训练】投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m和n，则复数(m+ni)(n-mi)为实数的概率为___________.【解析】因为(m+ni)(n-mi)=2mn+(n2-m2)i为实数，所以n2=m2，故m=n，则由列举法得出投掷结果共有36种可能，相同点数的有6种，则概率为答案：【补偿训练】投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m和n，类型二复数代数形式的除法运算【典例2】(1)如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是则复数对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限(2)计算：①②类型二复数代数形式的除法运算【解题探究】1.复数z1，z2的代数形式为什么？2.观察式子的特征，应如何计算？【探究提示】1.由复数的几何意义知，z1=－2－i，z2=i.2.第一个式子分子复杂，第二个式子分母复杂，可先化简再运算.【解题探究】1.复数z1，z2的代数形式为什么？【自主解答】(1)选B.由复数的几何意义知，z1=－2－i，z2=i，所以对应的点在第二象限.【自主解答】(1)选B.由复数的几何意义知，z1=－2－i，【方法技巧】复数除法运算法则的应用复数除法一般先写成分式形式，再把分母实数化，即分子、分母同乘以分母的共轭复数，若分母为纯虚数，则只需同乘以i.【方法技巧】复数除法运算法则的应用【变式训练】(2014·湖北高考)i为虚数单位，()A.1B.-1C.i

D.-i【解析】选B.【变式训练】(2014·湖北高考)i为虚数单位，【补偿训练】已知复数z=1-i，则=()A．2i

B．-2i

C．2D．-2【解析】选B.将z=1-i代入得，【补偿训练】已知复数z=1-i，则=(类型三共轭复数【典例3】(1)(2013·山东高考)复数z满足(z-3)(2-i)=5(i为虚数单位)，则z的共轭复数为()A.2+i

B.2-i

C.5+i

D.5-i(2)已知复数z的共轭复数为且求z.类型三共轭复数【解题探究】1.如何依据题中等式计算z-3的表达式？2.复数z的代数表达式如何？如何求复数z的实部与虚部？【探究提示】1.2.复数z的代数表达式为a+bi(a，b∈R)，可用复数相等的方法建立a，b的方程组，求解a，b.【解题探究】1.如何依据题中等式计算z-3的表达式？【自主解答】(1)选D.因为(z-3)(2-i)=5，所以所以(2)设z＝a＋bi(a，b∈R)，则又所以a2＋b2－3i(a＋bi)＝所以a2＋b2＋3b－3ai＝1＋3i，所以所以所以z＝－1，或z＝－1－3i.【自主解答】(1)选D.因为(z-3)(2-i)=5，【方法技巧】化复为实当已知条件出现复数等式时，常设出复数的代数形式，利用相等复数的充要条件转化为实数问题求解．【方法技巧】化复为实【变式训练】(2014·陕西高考)已知复数z=2-i，则z·的值为()A.5B.C.3D.【解题指南】求出复数z的共轭复数，代入表达式求解即可.【解析】选A.由已知得=2+i，则z·=(2-i)(2+i)=22-i2=5，故A正确.【变式训练】(2014·陕西高考)已知复数z=2-i，则z·【补偿训练】复数的共轭复数对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C.第三象限D．第四象限【解析】选