理论力学-课件第2章

第2章

平面力学第2章平面力学1本章内容

1力在轴上的投影与力对点的矩

2力偶矩

平面力偶系的简化

3平面力系的简化4平面力系的平衡条件与平衡方程式5平面力系平衡方程式的应用举例6物系的平衡

静定与超静定的概念7滑动摩擦及其平衡问题本章内容1力在轴上的投影与力对点的矩2力偶矩平2第二章平面力系力系平面力系空间力系各力作用线共面的力系各力作用线不共面的力系本章将详细地讨论平面力系的简化和平衡问题。第二章平面力系力系平面力系空间力系各力作用线共面的力系各3第一节力在轴上的投影与力对点的矩一、力在轴上的投影如图2-1所示，已知力F与轴x，称力F与轴x的单位向量i的数量积为力F在轴x上的投影，记为

。于是有图2-1从几何上看，是过力矢的起点A和终点B分别向轴x引垂线所得到的有向线段的长度。第一节力在轴上的投影与力对点的矩一、力在轴上的投影如4图2-1力在轴上的投影是一个代数量，其正负号可由力F与轴x的正向夹角来反映。由式（2-1）知：当时，当时，通过几何上判断其正负号如图2-1所示。当有向线段

与x轴正向一致时，

为正，反之为负。力在轴上的投影在两种情况下等于零：①力等于零；②力与轴垂直，即当

时，

。图2-1力在轴上的投影是一个代数量，由式（2-1）知：当5为了计算上的方便，经常取力在平面直角坐标轴上的投影，如图2-2所示。此时有图2-2反表示力F的大小与方向，即之，若已知力F在一对直角坐标轴上的投影

与

，就可由它们来F的大小与方向，即式中：

，

——分别表示力F与x轴和y轴的夹角。为了计算上的方便，经常取力在平面直角坐标轴上的投影，如图2-6力在平面直角坐标轴上的投影与力沿这两个方向的分力的大小在数值上是相等的根据合矢量投影规则，可以得到一个重要的结论，即合力投影定理

力系的合力在某轴上的投影等于各分力在该轴上投影的代数和。设一平面力系由组成，其合力记为。称为该力系的主矢。力在平面直角坐标轴上的投影与力沿这两个方向的分力的大小根据合7力系的合力

与主矢

是有区别的证合力

的大小和方向与主矢

是相同的，故，

与

在任一轴上的投影相等。根据合力投影定理，可得（2-3）力系的合力与主矢是有区别的证合力的大小和方向与8故（2-4）式中：

，

——分别表示合力

与x轴和y轴的夹角。故（2-4）式中：，——分别表示合力与x轴和y9二、力对点的矩例用扳手拧螺母时，螺母的转动效果除与力F的大小和方向有关外，还与点O到力作用线的距离h有关。距离h越大，转动效果就越明显，反之亦然，如图2-3所示。图2-3可以用力对点的矩这样一个物理量来描述力使物体转动的效果。二、力对点的矩例用扳手拧螺母时，螺母的转动效果除与力F的大小10力F对某点O的矩等于力的大小与点O到力的作用线的距离h的乘积，并冠以适当的正、负号，记作其中，点O称为矩心；h称为力臂；Fh表示力使物体绕点O转动效果的大小；是一个代数量。规定：使物体逆时针方向转动的力矩为正，反之为负。根据定义图2-3所示的力

对点O的矩为由定义知：力对点的矩与矩心的位置有关，同一个力对不同点的矩是不同的。因此，对力矩要指明矩心。力F对某点O的矩等于力的大小与点O到力的作用线的距离h的乘积11在计算力系的合力对某点的矩时，常用到所谓合力矩定理，即平面力系的合力对某点O之矩等于各分力对同一点之矩的代数和。设平面力系由

组成，该力系合力为

，则有例如果计算力F对点O的矩，如图2-5所示，由合力矩定理，有图2-5在计算力系的合力对某点的矩时，常用到所谓合力矩定理，平面力系12第二节力偶矩平面力偶系的简化力偶是由一对等值、反向、不共线的平行力组成的特殊力系。它对物体的作用效果是使物体转动。力偶中的两个力对其作用面内某点之矩的代数和，称为该力偶的力偶矩，记为

，简记为M。第二节力偶矩平面力偶系的简化力偶是由一对等值、反向、不13如图2-6所示：与组成一个力偶，两力之间的距离d，称为力偶臂。在力偶作用面内任选一点O，设点O到力

的距离为a；按定义，该力偶的力偶距

为图2-6如图2-6所示：与组成一个力偶，两力之间的距离d，称14力偶矩与矩心无关，这是力偶矩区别于力对点的矩的一个重要特性。正是由于这一点，写力偶矩时不必写出矩心，只记作

或M即可，有力偶中两个力在任意轴上的投影的代数和都为零，这也是力偶所特有的性质力偶不能与单个力等效，也不能与单个力相平衡力和力偶是静力学中的两个基本要素。力偶矩与矩心无关，这是力偶矩区别于力对点的矩的一个重要特性。15根据力偶的特性，可以得到一个重要的结论，即同平面内力偶的等效定理：同一平面内的两个力偶等效的唯一条件是其力偶矩相等。该定理等价于下列事实：（1）力偶矩是力偶作用的唯一量度。（2）在力偶矩不变的前提下，可以在作用面内任意移动和转动力偶。（3）在力偶矩不变的前提下，可以同时改变力偶中力的大小和力

偶臂的长短。根据力偶的特性，可以得到一个重要的结论，即同平面内力偶的等效16讨论平面力偶系的简化问题设平面力偶系由n个力偶组成，其力偶矩分别为图2-7平面力偶系的简化（1）保持各力偶矩不变，同时调整其力与力偶臂，使其有共同的臂长d。由于

，所以有讨论平面力偶系的简化问题设平面力偶系由n个力偶组成，其力偶矩17（2）将各力偶在平面内移动和转动，使各对力的作用线分别共线。（3）求各共线力系的代数和，每个共线力系得一合力，而这两个合力

等值、反向，相距为d，构成一个合力偶，其力偶矩为即平面力偶系可以用一个力偶等效代替，其力偶矩为原来各力偶矩的代数和。图2-8（2）将各力偶在平面内移动和转动，使各对力的作用线分别共线。18第三节平面力系的简化一、力平移的定理作用在刚体上A点处的力F，可以平移到刚体内任一点B，但必须同时附加一个力偶，其力偶矩等于原来的力F对新作用点B的矩。这就是力线平移定理。第三节平面力系的简化一、力平移的定理作用在刚体上A点19证设刚体上A点作用着一个力F，在刚体内任选B点，现在把力F平移到B点。根据加减平衡力系公理在B点处加上一对平衡力

，

，使得故点A处的力F就由点B处的力

及附加力偶等效代替了，而且该力偶的力偶矩M等于原来的F对新作用点B的矩。证设刚体上A点作用着一个力F，在刚体内任选B点，现在把力F平20意义在理论上，它建立了力与力偶这两个基本要素之间的联系。在实践上，应用力线平移定理，可以很方便地简化一个复杂的力系。例图2-11（a）图2-11（b）攻螺纹用的铰杠丝锥意义在理论上，它建立了力与力偶这两个基本要素之间的联系。在实21二、平面力系的简化

主矢与主矩设刚体上作用着一个平面力系

，如图2-12所示。图2-12（1）在平面力系内任选一点O，称为简化中心。二、平面力系的简化主矢与主矩设刚体上作用着一个平面力系22（2）将平面汇交力系中的各个力作矢量和，得到一个合力矢，称为原力系的主矢，记为

。由简化过程知（3）附加的平面力偶系中各力偶的力偶矩由力线平移定理知其力偶矩记为

，称为原力系的主矩，它等于各力偶矩的代数和，也等于原力系中各力对简化中心O点的矩的代数和，即（2）将平面汇交力系中的各个力作矢量和，得到一个合力矢，称为23综上所述，平面力系向作用面内任意一点简化，可以得到一个力和一个力偶；力称为原力系的主矢，它等于原力系中各力的矢量和；力偶矩称为原力系对简化中心的主矩，它等于原力系中各力对简化中心之矩的代数和。一个任意的平面力系，都可以由一个力和一个力偶等效替换综上所述，一个任意的平面力系，都可以由一个力和一个力偶等效替24选定直角坐标系xOy，计算出各力在两轴上的投影，再根据合力投影定理得到主矢在两轴上的投影

，

，最后求得主矢即

，即式中：

，

——分别是

与x轴和y轴的夹角选定直角坐标系xOy，计算出各力在两轴上的投影，再根据合力投25固定端（插入端）约束。它是使被约束体插入约束内部，被约束体一端与约束成为一体而完全固定，即不能移动也不能转动的一种约束形式。例（a）（b）图2-13固定端（插入端）约束。它是使被约束体插入约束内部，被约束体一26固定端约束的约束力是由约束与被约束体紧密接触而产生的一个分布力系。如图所示注意固定端约束与平面铰链约束中的固定铰链是有本质区别的。从约束效果上看，固定端约束既限制被约束体移动又限制其转动，而平面铰链约束则只限制被约束体移动，并不限制其转动；从约束力的表示方法上看，固定端约束除与铰链约束一样，用一对正交分力表示约束力的主矢之外，还必须加上一个约束力偶，正是这个约束力偶起着限制转动的作用。固定端约束的约束力是由约束与被约束体紧密接触而产生的一个注意27三、简化结果的进一步讨论

合力矩定理的证明对平面力系向作用面内一点简化后得到的主矢和主矩做进一步分析后，可能出现以下四种情况：（1）（2）（3）（4）分别讨论这些情况情况（1）

，说明该力系无主矢，而最终简化为一个力偶，其力偶矩就等于力系的主矩。值得指出，当力系简化为一个力偶时，主矩与简化中心的选取无关。三、简化结果的进一步讨论合力矩定理的证明对平面力系向作用28情况（2）

，说明原力系的简化结果是一个力，而且这个力的作用线恰好通过简化中心（否则

）。这个力就是原力系的合力。在这种情况下，记为

，以将它与一般力系的主矢相区别。情况（3）

，这种情况还可以进一步简化：由力的平移定理知，

与

可以由一个

等效代替。这个力

，但作用线不通过简化中心O，若设合力作用线到简化中心的距离为d，则

。三、简化结果的进一步讨论

合力矩定理的证明情况（2），说明原力系的简化结果是一个29情况（3）证明其中

为合力

的作用点，图2-15（a）（b）（c）另外，由图2-15（b）及证明过程知情况（3）证明其中为合力的作用点，图2-15（30情况（4）

，表明该力系对刚体总的作用效果为零。根据牛顿惯性定律，此时物体将处于静止或匀速直线运动状态，即物体处于平衡状态。三、简化结果的进一步讨论

合力矩定理的证明情况（4），表明该力系对刚体总的作用效31第四节平面力系的平衡条件与平衡方程式平面力系平衡的充分和必要条件是力系的主矢及作用面内任意一点的主矩同时为零。证由主矢为零，即得第四节平面力系的平衡条件与平衡方程式平面力系平衡的充分和32而由主矩为零，有综合以上两式，并采用简写记号：以

，

代表力在轴上的投影，以

表示力对点O的矩，得（2-18）方程式（2-18）就是平面力系平衡方程式的基本形式，它由两个投影式和一个力矩式组成，即平面力系平衡的充分和必要条件是各力在作用面内一对正交坐标轴上的投影代数和以及各力对作用面内任意点O之矩的代数和同时为零。而由主矩为零，有综合以上两式，并采用简写记号：以，33二矩式平衡方程为式中，AB连线不得与x轴相垂直。（2-19）方程式（2-19）也完全表达了力系的平衡条件：由

知，该力系不能与力偶等效，只能简化为一个作用线过矩心A的合力，或者为平衡力系；由

知，若该力系有合力，则合力必通过A，B连线二矩式平衡方程为式中，AB连线不得与x轴相垂直。（2-19）34最后，由

知，若有合力，则它必垂直于x轴；而据限制条件，A，B连线不垂直于x轴，故该力系不可能简化为一个合力，从而所研究的力系必为平衡力系，如图2-16所示。三矩式平衡方程为其中，A，B，C三点不得共线。图2-16最后，由知，若有合力，则它必垂直于x轴；35由

，

知，该力系只可能为作用线过A，B两点的合力或是平衡力系；由式

，且C点不在AB连线上知，该力系无合力，为平衡力系，如图2-17所示。图2-17应用方程式（2-19）或式（2-20）时，不得违背其限制条件，否则会得到不独立的方程式，仍然不能求得三个未知量。由，知，该力系只36例对于平面汇交力系，即各力作用线共面且汇交于一点的力系，假定各力线汇交于点O，则取O点为简化中心，这时由于不必进行力线的平衡，也就不会产生附加的平面力偶系，从而只要主矢为零，该力系就平衡。其平衡方程为（2-21）图2-18例对于平面汇交力系，即各力作用线共面且汇交于一点的力系，（237例对于平面平行力系（各力作用线共面且平行的力系），该力系简化后其主矢必与各力平行从而方向已知，这时可取两个投影轴分别与该力系平行和垂直，则与该力系垂直的轴上的投影方程总是自然满足的，故其平衡方程式为（2-22）图2-19例对于平面平行力系（各力作用线共面且平行的力系），该力系简化38对于平面力偶系，由于它简化后为一个合力偶，而力偶在任何轴上的投影都是零，因此，式（2-18）中的前两式自然满足。所以，平面力偶系的平衡方程为对于平面力偶系，由于它简化后为一个合力偶，而力偶在任何轴上的39第五节平面力系平衡方程式的应用举例

应用平衡方程式求解平衡问题的方法，称为解析法解题方法包含以下步骤1．选取研究对象，进行受力分析所谓研究对象，是指为了解决问题而选择的分析主体。选取研究对象的原则是：要使所取物体上既包括已知条件，又包括待求的未知量。选取之后，要对它进行受力分析，画出其受力图。第五节平面力系平衡方程式的应用举例

应用平衡方程式求解平衡402．建立平衡方程式三个小步骤：（1）选择平衡方程式的类别（如汇交力系、平行力系、一般力系等）和形式（如基本式、二矩式、三矩式等）。（2）建立投影轴，列投影方程式。投影轴的选取，原则上是任意的，不一定非取水平或铅垂方向，应根据具体问题，从解题方便入手去考虑。（3）取矩心，列力矩方程。矩心的选取也要从解题方便的角度加以考虑。2．建立平衡方程式三个小步骤：（1）选择平衡方程式的类别（如413．解平衡方程式，求得其中所包含的未知量由平衡方程式可知，一个静力学平衡问题经过上述力学分析之后，往往归结于求解一个线性方程组。从理论上说，只要建立的平衡方程组具有完整的定解条件，如独立方程数与未知量数目相等，那么求解它是不困难的。但是如果所要解的方程组互相联立，则计算往往比较麻烦。3．解平衡方程式，求得其中所包含的未知量由平衡方程式可知，一42例2-1，如图2-20（a）所示的结构，不计两杆自重。杆AB上作用有力偶，已知，，求A点和C点处的约束力。解（1）取BC为研究对象。BC为二力杆，其受力分析如图2-20（b）所示。（a）（b）图2-20例2-1，如图2-20（a）所示的结构，不计两杆自重。杆AB43（2）取AB为研究对象。其受力分析如图2-20（c）所示。列平衡方程：从而可求得所以图2-20（c）（2）取AB为研究对象。其受力分析如图2-20（c）所示。列44例2-2悬臂梁AB如图2-21所示。梁上作用均布载荷（包括自重），载荷集度（单位长度梁上的载荷），梁自由端处受集中力集中力偶矩，梁长，求固定端A处的约束力。图2-21解（1）取梁为研究对象，作受力图。固定端的约束力用，，三个分量表示。

例2-2悬臂梁AB如图2-21所示。梁上作用均布载荷（包括自45（2）列平衡方程。选用基本形式的平衡方程式（2-18），坐标系如图2-21所示。由得其中，第三式中是用合力矩定理求得的均布载荷q对A点之矩。（2）列平衡方程。选用基本形式的平衡方程式（2-18），坐标46（3）由上面的方程组解得其中，是显然的。因为该结构所有外力都没有沿x方向的分量。（3）由上面的方程组解得其中，是显然的。因为该结47例2-3求图2-22所示结构中铰链A，B处的约束力。图2-22解（1）取系统整体为研究对象。画受力如图2-22所示。固定铰链A处约束力用，表示。例2-3求图2-22所示结构中铰链A，B处的约束力。图248（2）列平衡方程，有由：由：由：（3）解上述方程组，得，，（2）列平衡方程，有由：由：49第六节物系的平衡

静定与超静定的概念

所谓物系，是指由若干个部件按一定方式组合而成的机构或结构。这里构成物系的部件主要是刚体，因此也称为刚体系统。若物系中的每个物体和物系整体都处于平衡状态，则称该物系处于平衡状态。研究物系平衡问题的主要要点包括：（1）求外界对物系整体的约束力。（2）求物系内各物体之间相互作用的内力。（3）求机构平衡时主动力与工作阻力之间的关系第六节物系的平衡静定与超静定的概念

所谓物系，是指由若50物系的平衡问题静定问题：即所考察的问题中所包含的独立的平衡方程数目与未知量（主要是约束力）总数相等。超静定问题：即问题中包含的独立平衡方程数少于未知量数。物系的平衡问题静定问题：即所考察的问题中所包含的独立的平衡方51例如图2-23所示为由两根和三根绳索吊起一个重物。图2-23（a）为静定问题，图2-23（b）为超静定问题（a）（b）图2-23例如图2-23所示为由两根和三根绳索吊起一个重物。图2-2352例图2-24（a）表示一个连续梁结构有三个独立的平衡方程，而结构中包含了五个未知的约束力，故为二次超静定结构。该梁若没有中间两个活动铰支座，则为一个简支梁，属于静定问题，如图2-24（b）所示。把梁做成超静定的，主要是为了提高梁的强度与刚度性能，如图2-24（c）所示。（a）（b）（c）图2-24例图2-24（a）表示一个连续梁结构有三个独立的平衡方程，而53例2-4，AC，CD两段梁在C处由铰链连接。其支承和受力如图2-25（a）所示。若已知，，不计梁重，求支座A，B，D处的约束力和铰链C处所受之力。分析可分别取每段梁为研究对象，先取CD段梁为研究对象，因为其中包含了三个未知量，，，可以由三个平衡方程求出它们，然后再取整体或AC段梁，由三个平衡方程求得余下的三个未知量。图2-25（a）例2-4，AC，CD两段梁在C处由铰链连接。其支承和受力如图54解，（1）取CD段梁作研究对象，受力分析如图2-25（b）其中含，，，三个未知量。列方程，，，解得图2-25（b）解，（1）取CD段梁作研究对象，受力分析如图2-25（b）列55（2）再取AC段梁为研究对象，

受力分析如图2-25（c）所示。在数值上有，。由二矩式，，，解得，，图2-25（c）（2）再取AC段梁为研究对象，在数值上有，56例2-5如图2-26（a）所示结构，已知物体重，求A和B处的约束力以及杆BC所受的力。图2-26（a）解（1）研究整体，其受力分析如图2-26（b）所示。例2-5如图2-26（a）所示结构，已知物体重57列出平衡方程并求解：，，，，，，（2）以CE杆（带滑轮）为研究对象，其受力分析如图2-26（c）所示。图2-26（c）列出平衡方程并求解：，列出平衡方程并求解：，，，，，，（2）以CE杆（带滑轮）为研58例2-6如图2-27（a）所示，AB杆和BC杆在B点处铰接，C处为活动铰支座。已知，，均布载荷，求A，C处的约束力。解（1）受力分析：图2-27（b）分别为AB杆、BC杆及整体的受力图。（a）（b）图2-27例2-6如图2-27（a）所示，AB杆和BC杆在B点处铰接，59（2）以BC为研究对象：，，（3）以整体为研究对象：，，，，，（2）以BC为研究对象：，，（3）以整体为研究对象：，，，，60例2-7如图2-28（a）所示的曲轴冲床机构由圆盘O、连杆AB和冲头B组成。A，B两处为铰链连接。，。若不计各零件自重及摩擦，当OA在水平位置，冲压力为F时，求主动力偶矩M。

解由几何法，作三角形，如图2-28（c）所示。，为压力。再取圆盘O为研究对象，受力分析如图2-28（d）所示。（b）（c）（d）图2-28（a）例2-7如图2-28（a）所示的曲轴冲床机构由圆盘O、连杆A61由得由得62例2-8平面桁架受力分析如图2-29（a）所示。已知，试求其中4，5，7，10各杆内力。图2-29（a）分析桁架是由直杆铰接而成的结构。图示桁架中所有杆件都在一个平面内，故称为平面桁架。桁架中杆件的铰链接头处称为节点。例2-8平面桁架受力分析如图2-29（a）所示。已知63解法一

所谓节点法是指每次取一个节点作为研究对象求A，B处的约束力，取整体为研究对象。由得可解出

，，解法一所谓节点法是指每次取一个节点作为研究对象求A，B处64取节点A为研究对象受力分析如图2-29（b）所示。图2-29（b），，解得取节点A为研究对象受力分析如图2-29（b）所示。图2-265再取节点D为研究对象，受力分析如图2-29（c）所示。与上面类似地求得，又取节点C为研究对象，受力图如图2-29（d）所示，可求得，最后取节点E为研究对象，受力图如图2-29（e）所示，可求得，（c）（d）（e）图2-29再取节点D为研究对象，受力分析如图2-29（c）所示。与上面66解法二

所谓截面法假想地用一个截面将桁架中若干根杆截开，将桁架截成两个部分，取其中一部分为研究对象，求得截面处各杆的内力。受力分析如图2-29（f）所示，由得由得图2-29（f）解法二所谓截面法假想地用一个截面将桁架中若干根杆截开，将67受力分析如图2-29（g）所示由得关于，可由求出，图2-29（g）受力分析如图2-29（g）所示由得关于68第七节滑动摩擦及其平衡问题

两个相互接触的物体，当它们具有相对滑动趋势或已经滑动时，接触表面上将产生阻碍滑动的力。当物体之间只有滑动趋势而尚未滑动时，这种力称为静滑动摩擦力，简称静摩擦力。而当物体之间已经产生相对滑动时，则称为动滑动摩擦力，简称动摩擦力。静摩擦力的性质静摩擦力可以看作是接触面对具有滑动趋势的物体的切向约束力。图2-30静摩擦力的取值范围是第七节滑动摩擦及其平衡问题

两个相互接触的物体，当它们具69最大静摩擦力的取值满足如下定律：最大静摩擦力发生于物体的临界平衡状态，其大小与两物体间的法向约束力成正比，其方向与物体的滑动趋势相反。上述定律为静摩擦定律，其数学表达式为式中f称为静摩擦因数，它是反映摩擦表面物理性质的一个比例常数。最大静摩擦力的取值满足如下定律：最大静摩擦力发生于物体的临界70动摩擦力的性质当物体已经滑动时，接触面上作用着阻碍相对滑动的动摩擦力，它与静摩擦力有相似的性质，在数值上也与接触面的法向约束力成正比，即式中，是动摩擦因数摩擦角接触表面对物体的法向约束力和切向约束力（即摩擦力）可以合成为一个合力,称为全约束力。动摩擦力的性质当物体已经滑动时，接触面上作用着阻碍相对滑动的71如图2-31所示图2-31全约束力与接触面法线的夹角为，其正切值。当静摩擦力由零增大到最大值时，也由零增大到最大值，且有称为摩擦角，它是全约束力与接触面法线夹角的最大值。当物体处于临界平衡状态时，全约束力与法线方向的夹角即为摩擦角。如图2-31所示图2-31全约束力与接触面法线的夹角为72如图2-32所示为一可调角度的平板，上面放置重为P的物体。若分别用待测静摩擦因数的两种材料制成平板和重物，并逐渐调整斜面倾角使物块进入临界平衡状态，则这时的斜面倾角就是摩擦角。于是有图2-32如图2-32所示为一可调角度的平板，上面放置重为P的物体。若73二、滑动摩擦平衡问题举例摩擦平衡问题分为下列三种类型:（1）物体的平衡尚未达到临界平衡状态

此时静摩擦力也未达到最大值。（2）物体处于临界平衡状态

此时有最大静摩擦力,其方向要根据物体的运动趋势确定。（3）平衡范围问题

需根据摩擦力的取值范围来确定某些主动力或约束力的取值范围。二、滑动摩擦平衡问题举例摩擦平衡问题分为下列三种类型:（1）74例2-9如图2-33（a）所示，物块A重,放在悬臂梁DB的粗糙平面下，两边分别用绳及弹簧拉住，绳绕过滑轮B吊一重为的物块C，系统处于平衡状态。已知,，

，物块A与梁间摩擦因数。问（1）欲保持物块A平衡，弹簧拉力应为多大？（2）当弹簧拉力时，物块A与梁之间的摩擦力为多大？图2-33（a）例2-9如图2-33（a）所示，物块A重,放在悬臂梁D75解（1）这是平衡范围问题。①设弹簧拉力的最小值为，此时物块A处于临界平衡状态，且有向右运动趋势。故摩擦力，且方向向左，如图2-33（b）所示。

由，，解得图2-33（b）解（1）这是平衡范围问题。①设弹簧拉力的最小值为，76②设弹簧拉力取最大值，此时物体A也处于临界平衡状态但具有向左运动趋势。故摩擦力方向如图2-33（c）所示。由，，解得综合①与②知：当时，物块A可以处于平衡状态。图2-33（c）②设弹簧拉力取最大值，此时物体A也处于临界平衡状态77（2）依题意取物块A为研究对象，受力分析如图2-33（d）所示，此时方向可假设向右。，其中，负号表示此时摩擦力实际方向与假设相反。图2-33（d）（2）依题意取物块A为研究对象，受力分析如图2-33（d）所78例2-10凸轮推杆机构如图2-34（a）所示。已知推杆与滑道间的静摩擦因数为f，滑道宽度为b，推杆直径为d。问：为保证推杆不会被卡住，a应取多大？设凸轮与推杆间的摩擦不计。图2-34解法一取推杆刚能被卡住时的平衡状态，即临界平衡状态来研究，可以求得a的最大值，即。例2-10凸轮推杆机构如图2-34（a）所示。已知推杆与滑79取推杆为研究对象，作受力图，如图2-34（b）所示。A，B处的摩擦力均向下，且为最大静摩擦力。图2-34（b）列方程，，，取推杆为研究对象，作受力图，如图2-34（b）所示。A，B处80，联立上述方程，解得即只要，推杆就不会被卡住。，联立上述方程，解得即只要，推杆就81解法二

全约束力与接触面的法线夹角为摩擦角。受力分析如图2-34（c）所示。图2-34（c）由几何关系，设，交于点C,则有因，故有解法二全约束力与接触面的法线夹角为摩擦角。受力分82例2-11制动器的构造和主要尺寸如图2-35（a）所示。若制动块与鼓轮表面间摩擦因数为f，求制动鼓轮转动的最小力F。图2-35（a）解所谓最小力F，应使鼓轮刚能停住，故为临界平衡状态问题。此时摩擦力。例2-11制动器的构造和主要尺寸如图2-35（a）所示。若83先取鼓轮：受力分析如图2-35（b）所示。由，得图2-35（b），其中，先取鼓轮：受力分析如图2-35（b）所示。由84再取杆，如图2-35（c）所示。图2-35（c），于是即欲使鼓轮停住，至少应加力。再取杆，如图2-35（c）所示。图2-35（c），于是即欲使85ThankYou!ThankYou!86第2章

平面力学第2章平面力学87本章内容

1力在轴上的投影与力对点的矩

2力偶矩

平面力偶系的简化

3平面力系的简化4平面力系的平衡条件与平衡方程式5平面力系平衡方程式的应用举例6物系的平衡

静定与超静定的概念7滑动摩擦及其平衡问题本章内容1力在轴上的投影与力对点的矩2力偶矩平88第二章平面力系力系平面力系空间力系各力作用线共面的力系各力作用线不共面的力系本章将详细地讨论平面力系的简化和平衡问题。第二章平面力系力系平面力系空间力系各力作用线共面的力系各89第一节力在轴上的投影与力对点的矩一、力在轴上的投影如图2-1所示，已知力F与轴x，称力F与轴x的单位向量i的数量积为力F在轴x上的投影，记为

。于是有图2-1从几何上看，是过力矢的起点A和终点B分别向轴x引垂线所得到的有向线段的长度。第一节力在轴上的投影与力对点的矩一、力在轴上的投影如90图2-1力在轴上的投影是一个代数量，其正负号可由力F与轴x的正向夹角来反映。由式（2-1）知：当时，当时，通过几何上判断其正负号如图2-1所示。当有向线段

与x轴正向一致时，

为正，反之为负。力在轴上的投影在两种情况下等于零：①力等于零；②力与轴垂直，即当

时，

。图2-1力在轴上的投影是一个代数量，由式（2-1）知：当91为了计算上的方便，经常取力在平面直角坐标轴上的投影，如图2-2所示。此时有图2-2反表示力F的大小与方向，即之，若已知力F在一对直角坐标轴上的投影

与

，就可由它们来F的大小与方向，即式中：

，

——分别表示力F与x轴和y轴的夹角。为了计算上的方便，经常取力在平面直角坐标轴上的投影，如图2-92力在平面直角坐标轴上的投影与力沿这两个方向的分力的大小在数值上是相等的根据合矢量投影规则，可以得到一个重要的结论，即合力投影定理

力系的合力在某轴上的投影等于各分力在该轴上投影的代数和。设一平面力系由组成，其合力记为。称为该力系的主矢。力在平面直角坐标轴上的投影与力沿这两个方向的分力的大小根据合93力系的合力

与主矢

是有区别的证合力

的大小和方向与主矢

是相同的，故，

与

在任一轴上的投影相等。根据合力投影定理，可得（2-3）力系的合力与主矢是有区别的证合力的大小和方向与94故（2-4）式中：

，

——分别表示合力

与x轴和y轴的夹角。故（2-4）式中：，——分别表示合力与x轴和y95二、力对点的矩例用扳手拧螺母时，螺母的转动效果除与力F的大小和方向有关外，还与点O到力作用线的距离h有关。距离h越大，转动效果就越明显，反之亦然，如图2-3所示。图2-3可以用力对点的矩这样一个物理量来描述力使物体转动的效果。二、力对点的矩例用扳手拧螺母时，螺母的转动效果除与力F的大小96力F对某点O的矩等于力的大小与点O到力的作用线的距离h的乘积，并冠以适当的正、负号，记作其中，点O称为矩心；h称为力臂；Fh表示力使物体绕点O转动效果的大小；是一个代数量。规定：使物体逆时针方向转动的力矩为正，反之为负。根据定义图2-3所示的力

对点O的矩为由定义知：力对点的矩与矩心的位置有关，同一个力对不同点的矩是不同的。因此，对力矩要指明矩心。力F对某点O的矩等于力的大小与点O到力的作用线的距离h的乘积97在计算力系的合力对某点的矩时，常用到所谓合力矩定理，即平面力系的合力对某点O之矩等于各分力对同一点之矩的代数和。设平面力系由

组成，该力系合力为

，则有例如果计算力F对点O的矩，如图2-5所示，由合力矩定理，有图2-5在计算力系的合力对某点的矩时，常用到所谓合力矩定理，平面力系98第二节力偶矩平面力偶系的简化力偶是由一对等值、反向、不共线的平行力组成的特殊力系。它对物体的作用效果是使物体转动。力偶中的两个力对其作用面内某点之矩的代数和，称为该力偶的力偶矩，记为

，简记为M。第二节力偶矩平面力偶系的简化力偶是由一对等值、反向、不99如图2-6所示：与组成一个力偶，两力之间的距离d，称为力偶臂。在力偶作用面内任选一点O，设点O到力

的距离为a；按定义，该力偶的力偶距

为图2-6如图2-6所示：与组成一个力偶，两力之间的距离d，称100力偶矩与矩心无关，这是力偶矩区别于力对点的矩的一个重要特性。正是由于这一点，写力偶矩时不必写出矩心，只记作

或M即可，有力偶中两个力在任意轴上的投影的代数和都为零，这也是力偶所特有的性质力偶不能与单个力等效，也不能与单个力相平衡力和力偶是静力学中的两个基本要素。力偶矩与矩心无关，这是力偶矩区别于力对点的矩的一个重要特性。101根据力偶的特性，可以得到一个重要的结论，即同平面内力偶的等效定理：同一平面内的两个力偶等效的唯一条件是其力偶矩相等。该定理等价于下列事实：（1）力偶矩是力偶作用的唯一量度。（2）在力偶矩不变的前提下，可以在作用面内任意移动和转动力偶。（3）在力偶矩不变的前提下，可以同时改变力偶中力的大小和力

偶臂的长短。根据力偶的特性，可以得到一个重要的结论，即同平面内力偶的等效102讨论平面力偶系的简化问题设平面力偶系由n个力偶组成，其力偶矩分别为图2-7平面力偶系的简化（1）保持各力偶矩不变，同时调整其力与力偶臂，使其有共同的臂长d。由于

，所以有讨论平面力偶系的简化问题设平面力偶系由n个力偶组成，其力偶矩103（2）将各力偶在平面内移动和转动，使各对力的作用线分别共线。（3）求各共线力系的代数和，每个共线力系得一合力，而这两个合力

等值、反向，相距为d，构成一个合力偶，其力偶矩为即平面力偶系可以用一个力偶等效代替，其力偶矩为原来各力偶矩的代数和。图2-8（2）将各力偶在平面内移动和转动，使各对力的作用线分别共线。104第三节平面力系的简化一、力平移的定理作用在刚体上A点处的力F，可以平移到刚体内任一点B，但必须同时附加一个力偶，其力偶矩等于原来的力F对新作用点B的矩。这就是力线平移定理。第三节平面力系的简化一、力平移的定理作用在刚体上A点105证设刚体上A点作用着一个力F，在刚体内任选B点，现在把力F平移到B点。根据加减平衡力系公理在B点处加上一对平衡力

，

，使得故点A处的力F就由点B处的力

及附加力偶等效代替了，而且该力偶的力偶矩M等于原来的F对新作用点B的矩。证设刚体上A点作用着一个力F，在刚体内任选B点，现在把力F平106意义在理论上，它建立了力与力偶这两个基本要素之间的联系。在实践上，应用力线平移定理，可以很方便地简化一个复杂的力系。例图2-11（a）图2-11（b）攻螺纹用的铰杠丝锥意义在理论上，它建立了力与力偶这两个基本要素之间的联系。在实107二、平面力系的简化

主矢与主矩设刚体上作用着一个平面力系

，如图2-12所示。图2-12（1）在平面力系内任选一点O，称为简化中心。二、平面力系的简化主矢与主矩设刚体上作用着一个平面力系108（2）将平面汇交力系中的各个力作矢量和，得到一个合力矢，称为原力系的主矢，记为

。由简化过程知（3）附加的平面力偶系中各力偶的力偶矩由力线平移定理知其力偶矩记为

，称为原力系的主矩，它等于各力偶矩的代数和，也等于原力系中各力对简化中心O点的矩的代数和，即（2）将平面汇交力系中的各个力作矢量和，得到一个合力矢，称为109综上所述，平面力系向作用面内任意一点简化，可以得到一个力和一个力偶；力称为原力系的主矢，它等于原力系中各力的矢量和；力偶矩称为原力系对简化中心的主矩，它等于原力系中各力对简化中心之矩的代数和。一个任意的平面力系，都可以由一个力和一个力偶等效替换综上所述，一个任意的平面力系，都可以由一个力和一个力偶等效替110选定直角坐标系xOy，计算出各力在两轴上的投影，再根据合力投影定理得到主矢在两轴上的投影

，

，最后求得主矢即

，即式中：

，

——分别是

与x轴和y轴的夹角选定直角坐标系xOy，计算出各力在两轴上的投影，再根据合力投111固定端（插入端）约束。它是使被约束体插入约束内部，被约束体一端与约束成为一体而完全固定，即不能移动也不能转动的一种约束形式。例（a）（b）图2-13固定端（插入端）约束。它是使被约束体插入约束内部，被约束体一112固定端约束的约束力是由约束与被约束体紧密接触而产生的一个分布力系。如图所示注意固定端约束与平面铰链约束中的固定铰链是有本质区别的。从约束效果上看，固定端约束既限制被约束体移动又限制其转动，而平面铰链约束则只限制被约束体移动，并不限制其转动；从约束力的表示方法上看，固定端约束除与铰链约束一样，用一对正交分力表示约束力的主矢之外，还必须加上一个约束力偶，正是这个约束力偶起着限制转动的作用。固定端约束的约束力是由约束与被约束体紧密接触而产生的一个注意113三、简化结果的进一步讨论

合力矩定理的证明对平面力系向作用面内一点简化后得到的主矢和主矩做进一步分析后，可能出现以下四种情况：（1）（2）（3）（4）分别讨论这些情况情况（1）

，说明该力系无主矢，而最终简化为一个力偶，其力偶矩就等于力系的主矩。值得指出，当力系简化为一个力偶时，主矩与简化中心的选取无关。三、简化结果的进一步讨论合力矩定理的证明对平面力系向作用114情况（2）

，说明原力系的简化结果是一个力，而且这个力的作用线恰好通过简化中心（否则

）。这个力就是原力系的合力。在这种情况下，记为

，以将它与一般力系的主矢相区别。情况（3）

，这种情况还可以进一步简化：由力的平移定理知，

与

可以由一个

等效代替。这个力

，但作用线不通过简化中心O，若设合力作用线到简化中心的距离为d，则

。三、简化结果的进一步讨论

合力矩定理的证明情况（2），说明原力系的简化结果是一个115情况（3）证明其中

为合力

的作用点，图2-15（a）（b）（c）另外，由图2-15（b）及证明过程知情况（3）证明其中为合力的作用点，图2-15（116情况（4）

，表明该力系对刚体总的作用效果为零。根据牛顿惯性定律，此时物体将处于静止或匀速直线运动状态，即物体处于平衡状态。三、简化结果的进一步讨论

合力矩定理的证明情况（4），表明该力系对刚体总的作用效117第四节平面力系的平衡条件与平衡方程式平面力系平衡的充分和必要条件是力系的主矢及作用面内任意一点的主矩同时为零。证由主矢为零，即得第四节平面力系的平衡条件与平衡方程式平面力系平衡的充分和118而由主矩为零，有综合以上两式，并采用简写记号：以

，

代表力在轴上的投影，以

表示力对点O的矩，得（2-18）方程式（2-18）就是平面力系平衡方程式的基本形式，它由两个投影式和一个力矩式组成，即平面力系平衡的充分和必要条件是各力在作用面内一对正交坐标轴上的投影代数和以及各力对作用面内任意点O之矩的代数和同时为零。而由主矩为零，有综合以上两式，并采用简写记号：以，119二矩式平衡方程为式中，AB连线不得与x轴相垂直。（2-19）方程式（2-19）也完全表达了力系的平衡条件：由

知，该力系不能与力偶等效，只能简化为一个作用线过矩心A的合力，或者为平衡力系；由

知，若该力系有合力，则合力必通过A，B连线二矩式平衡方程为式中，AB连线不得与x轴相垂直。（2-19）120最后，由

知，若有合力，则它必垂直于x轴；而据限制条件，A，B连线不垂直于x轴，故该力系不可能简化为一个合力，从而所研究的力系必为平衡力系，如图2-16所示。三矩式平衡方程为其中，A，B，C三点不得共线。图2-16最后，由知，若有合力，则它必垂直于x轴；121由

，

知，该力系只可能为作用线过A，B两点的合力或是平衡力系；由式

，且C点不在AB连线上知，该力系无合力，为平衡力系，如图2-17所示。图2-17应用方程式（2-19）或式（2-20）时，不得违背其限制条件，否则会得到不独立的方程式，仍然不能求得三个未知量。由，知，该力系只122例对于平面汇交力系，即各力作用线共面且汇交于一点的力系，假定各力线汇交于点O，则取O点为简化中心，这时由于不必进行力线的平衡，也就不会产生附加的平面力偶系，从而只要主矢为零，该力系就平衡。其平衡方程为（2-21）图2-18例对于平面汇交力系，即各力作用线共面且汇交于一点的力系，（2123例对于平面平行力系（各力作用线共面且平行的力系），该力系简化后其主矢必与各力平行从而方向已知，这时可取两个投影轴分别与该力系平行和垂直，则与该力系垂直的轴上的投影方程总是自然满足的，故其平衡方程式为（2-22）图2-19例对于平面平行力系（各力作用线共面且平行的力系），该力系简化124对于平面力偶系，由于它简化后为一个合力偶，而力偶在任何轴上的投影都是零，因此，式（2-18）中的前两式自然满足。所以，平面力偶系的平衡方程为对于平面力偶系，由于它简化后为一个合力偶，而力偶在任何轴上的125第五节平面力系平衡方程式的应用举例

应用平衡方程式求解平衡问题的方法，称为解析法解题方法包含以下步骤1．选取研究对象，进行受力分析所谓研究对象，是指为了解决问题而选择的分析主体。选取研究对象的原则是：要使所取物体上既包括已知条件，又包括待求的未知量。选取之后，要对它进行受力分析，画出其受力图。第五节平面力系平衡方程式的应用举例

应用平衡方程式求解平衡1262．建立平衡方程式三个小步骤：（1）选择平衡方程式的类别（如汇交力系、平行力系、一般力系等）和形式（如基本式、二矩式、三矩式等）。（2）建立投影轴，列投影方程式。投影轴的选取，原则上是任意的，不一定非取水平或铅垂方向，应根据具体问题，从解题方便入手去考虑。（3）取矩心，列力矩方程。矩心的选取也要从解题方便的角度加以考虑。2．建立平衡方程式三个小步骤：（1）选择平衡方程式的类别（如1273．解平衡方程式，求得其中所包含的未知量由平衡方程式可知，一个静力学平衡问题经过上述力学分析之后，往往归结于求解一个线性方程组。从理论上说，只要建立的平衡方程组具有完整的定解条件，如独立方程数与未知量数目相等，那么求解它是不困难的。但是如果所要解的方程组互相联立，则计算往往比较麻烦。3．解平衡方程式，求得其中所包含的未知量由平衡方程式可知，一128例2-1，如图2-20（a）所示的结构，不计两杆自重。杆AB上作用有力偶，已知，，求A点和C点处的约束力。解（1）取BC为研究对象。BC为二力杆，其受力分析如图2-20（b）所示。（a）（b）图2-20例2-1，如图2-20（a）所示的结构，不计两杆自重。杆AB129（2）取AB为研究对象。其受力分析如图2-20（c）所示。列平衡方程：从而可求得所以图2-20（c）（2）取AB为研究对象。其受力分析如图2-20（c）所示。列130例2-2悬臂梁AB如图2-21所示。梁上作用均布载荷（包括自重），载荷集度（单位长度梁上的载荷），梁自由端处受集中力集中力偶矩，梁长，求固定端A处的约束力。图2-21解（1）取梁为研究对象，作受力图。固定端的约束力用，，三个分量表示。

例2-2悬臂梁AB如图2-21所示。梁上作用均布载荷（包括自131（2）列平衡方程。选用基本形式的平衡方程式（2-18），坐标系如图2-21所示。由得其中，第三式中是用合力矩定理求得的均布载荷q对A点之矩。（2）列平衡方程。选用基本形式的平衡方程式（2-18），坐标132（3）由上面的方程组解得其中，是显然的。因为该结构所有外力都没有沿x方向的分量。（3）由上面的方程组解得其中，是显然的。因为该结133例2-3求图2-22所示结构中铰链A，B处的约束力。图2-22解（1）取系统整体为研究对象。画受力如图2-22所示。固定铰链A处约束力用，表示。例2-3求图2-22所示结构中铰链A，B处的约束力。图2134（2）列平衡方程，有由：由：由：（3）解上述方程组，得，，（2）列平衡方程，有由：由：135第六节物系的平衡

静定与超静定的概念

所谓物系，是指由若干个部件按一定方式组合而成的机构或结构。这里构成物系的部件主要是刚体，因此也称为刚体系统。若物系中的每个物体和物系整体都处于平衡状态，则称该物系处于平衡状态。研究物系平衡问题的主要要点包括：（1）求外界对物系整体的约束力。（2）求物系内各物体之间相互作用的内力。（3）求机构平衡时主动力与工作阻力之间的关系第六节物系的平衡静定与超静定的概念

所谓物系，是指由若136物系的平衡问题静定问题：即所考察的问题中所包含的独立的平衡方程数目与未知量（主要是约束力）总数相等。超静定问题：即问题中包含的独立平衡方程数少于未知量数。物系的平衡问题静定问题：即所考察的问题中所包含的独立的平衡方137例如图2-23所示为由两根和三根绳索吊起一个重物。图2-23（a）为静定问题，图2-23（b）为超静定问题（a）（b）图2-23例如图2-23所示为由两根和三根绳索吊起一个重物。图2-23138例图2-24（a）表示一个连续梁结构有三个独立的平衡方程，而结构中包含了五个未知的约束力，故为二次超静定结构。该梁若没有中间两个活动铰支座，则为一个简支梁，属于静定问题，如图2-24（b）所示。把梁做成超静定的，主要是为了提高梁的强度与刚度性能，如图2-24（c）所示。（a）（b）（c）图2-24例图2-24（a）表示一个连续梁结构有三个独立的平衡方程，而139例2-4，AC，CD两段梁在C处由铰链连接。其支承和受力如图2-25（a）所示。若已知，，不计梁重，求支座A，B，D处的约束力和铰链C处所受之力。分析可分别取每段梁为研究对象，先取CD段梁为研究对象，因为其中包含了三个未知量，，，可以由三个平衡方程求出它们，然后再取整体或AC段梁，由三个平衡方程求得余下的三个未知量。图2-25（a）例2-4，AC，CD两段梁在C处由铰链连接。其支承和受力如图140解，（1）取CD段梁作研究对象，受力分析如图2-25（b）其中含，，，三个未知量。列方程，，，解得图2-25（b）解，（1）取CD段梁作研究对象，受力分析如图2-25（b）列141（2）再取AC段梁为研究对象，

受力分析如图2-25（c）所示。在数值上有，。由二矩式，，，解得，，图2-25（c）（2）再取AC段梁为研究对象，在数值上有，142例2-5如图2-26（a）所示结构，已知物体重，求A和B处的约束力以及杆BC所受的力。图2-26（a）解（1）研究整体，其受力分析如图2-26（b）所示。例2-5如图2-26（a）所示结构，已知物体重143列出平衡方程并求解：，，，，，，（2）以CE杆（带滑轮）为研究对象，其受力分析如图2-26（c）所示。图2-26（c）列出平衡方程并求解：，列出平衡方程并求解：，，，，，，（2）以CE杆（带滑轮）为研144例2-6如图2-27（a）所示，AB杆和BC杆在B点处铰接，C处为活动铰支座。已知，，均布载荷，求A，C处的约束力。解（1）受力分析：图2-27（b）分别为AB杆、BC杆及整体的受力图。（a）（b）图2-27例2-6如图2-27（a）所示，AB杆和BC杆在B点处铰接，145（2）以BC为研究对象：，，（3）以整体为研究对象：，，，，，（2）以BC为研究对象：，，（3）以整体为研究对象：，，，，146例2-7如图2-28（a）所示的曲轴冲床机构由圆盘O、连杆AB和冲头B组成。A，B两处为铰链连接。，。若不计各零件自重及摩擦，当OA在水平位置，冲压力为F时，求主动力偶矩M。

解由几何法，作三角形，如图2-28（c）所示。，为压力。再取圆盘O为研究对象，受力分析如图2-28（d）所示。（b）（c）（d）图2-28（a）例2-7如图2-28（a）所示的曲轴冲床机构由圆盘O、连杆A147由得由得148例2-8平面桁架受力分析如图2-29（a）所示。已知，试求其中4，5，7，10各杆内力。图2-29（a）分析桁架是由直杆铰接而成的结构。图示桁架中所有杆件都在一个平面内，故称为平面桁架。桁架中杆件的铰链接头处称为节点。例2-8平面桁架受力分析如图2-29（a）所示。已知149解法一

所谓节点法是指每次取一个节点作为研究对象求A，B处的约束力，取整体为研究对象。由得可解出

，，解法一所谓节点法是指每次取一个节点作为研究对象求A，B处150取节点A为研究对象受力分析如图2-29（b）所示。图2-29（b），，解得取节点A为研究对象受力分析如图2-29（b）所示。图2-2151再取节点D为研究对象，受力分析如图2-29（c）所示。与上面类似地求得，又取节点C为研究对象，受力图如图2-29（d）所示，可求得，最后取节点E为研究对象，受力图如图2-29（e）所示，可求得，（c）（d）（e）图2-29再取节点D为研究对象，受力分析如图2-29（c）所示。与上面152解法二

所谓截面法假想地用一个截面将桁架中若干根杆截开，将桁架截成两个部分，取其中一部分为研究对象，求得截面处各杆的内力。受力分析如图2-29（f）所示，由得由得图2-29（f）解法二所谓截面法假想地用一个截面将桁架中若干根杆截开，将153受力分析如图2-29（g）所示由得关于，可由求出，图2-29（g）受力分析如图2-29（g）所示由得关于1