安徽省十校联盟2022届高三下学期4月期中联考理科数学试题（含答案与解析）

安徽省十校联盟2022届高三4月期中考试卷

数学（理科）（时间：120分钟分值：150分）注意事项：.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上..回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效..考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第I卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合^:卜及二7^},b={x|2.2<4},则如人（）A.朋 B.1,2） C.你4） D.加52.设复数 实部与虚部分别为a,b,则（）-3-i-2 B.-1 C.1 D.23.2022年2月28日，国家统计局发布了我国国民经济和社会发展统计公报，下面两图分别显示是2017-2021全国居民人均可支配收入及其增长速度和2021年全国居民人均消费支出及其构成，则下列说法正确的是（）2017—2021年全国居民人均可支配收入及其增长速度2021年全国居民人均消费支出及其构成2017—2021年全国居民人均可支配收入及其增长速度医疗保健静洒熬耨务食品烟酒7178元,29.8%教育文化娱乐2599食品烟酒7178元,29.8%教育文化娱乐2599元，10.8%交通信息3456元，13.1%衣着1419元，5.9%生活用品及服务生活用品及服务1423元，5.9%5641元，23.4%A.2021年全国居民人均可支配收入为35128元，比上年实际增长6%2017年〜2021年五年时间，全国居民人均可支配收入逐年增加，比上年实际增长先减小后增大2021年全国居民人均消费支出，食品烟酒和居住占比不足50%D2021年全国居民人均消费支出，教育文化娱乐占比最小

4.斐波那契数列因以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用.斐波那契数列｛/｝可以用如下方法定义：4+2=4+|+。“，且4=4=1，若此数列各项除以4的余数依次构成一个新数列｛2｝，则数列｛2｝的第2022项为()A.0 B.1 C.2 D.3.已知/(x)=2cos(x-5+/'(0)cosx,则曲线y=/(x)在点|普,/(?处切线的斜率为()A.V2 B.-V2 c.2V2 D.-2y[2.已知抛物线C：V=4x的焦点为F,过点尸的直线与C交于M,N两点，若|MN|=10,则线段MN的中点到y轴的距离为()A.8 B.6 C.4 D.2.己知x=logo/7,y=|gJ7,对于命题〃：x+y<Ay;4：x+y>。，下列为真命题的是()Apcq B.〃A(r) C.(rp)vq D.(―^7)八(r)8.2022年2月4日至20日，第24届冬奥会在北京和张家口正式举行.某高校甲、乙、丙、丁4名志愿者将被随机分配到北京和张家口赛区参加冬奥服务工作，要求每个赛区至少一人，每人只分配到一个赛区，则甲、乙被分在同一赛区的概率为()B.C.D.9.已知函数/(x)B.C.D.9.已知函数/(x)=2cos<yx+2Gcos3兀CDX+-oeN*),若对V4eR,在[/U+3]上至少存在两个不等的实数叫〃，使得””)/(〃)=16,则。的最小值为()A.2 B.3 C.4 D.5.已知正三棱柱A8C-A8cl的侧面积为246，若三棱柱ABC-A旦6的各个顶点均在球。的球面上，则球。的表面积的最小值为()A.16) B.32% C.I。® D.8+兀3.已知函数/(x)=log2(4*+l)-x,设a=/(ln；),Z?=/(lg5),c=/(log63),贝i]a,b,c的大小关系为()A.c<b<a B.b<c<a C.a<c<b D.a<b<c2 212.已知双曲线。：=一27=](。〉0,/?>0)的左、右焦点分别为6，F2,焦距为4,点"在圆a~b-E:x2+y2+4x-8y+16=0±,且C的一条渐近线上存在点M使得四边形0MN6为平行四边形，0为坐标原点，则C的离心率的取值范围为()A.[2,+oo) B.[百,+<®) C.[4,+oo) D.(1,61第II卷(非选择题共90分)本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题~第23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.).已知忖=2,1|=3,若卜+q=&7,则,一,=..已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为.4正视图 侧视图4俯视图.已知正项数列｛(｝的前〃项和为S,，2s则数列[(一1)”《,｝的前101项的和为 1%<1.已知函数/(6=彳1一%' ,若函数g(x)=/(x)—Mx-l)有4个零点，则实数4的取值范Inx,x>1围为•三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.).在aABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且b=5,c=Ji6，acosB+bco^A=V2ccosB-(1)求a；3(2)已知点M在线段3C上，若tan/AM8=-,求tanNMAC的值.418.已知甲、乙、丙3人参加党史知识答题比赛，每个人按顺序各回答三个问题，每正确回答一题可以获得50元图书换购券，换购券可用于购买党史学习教育类书籍.已知甲答对第一题的概率为:，答对后两题的概率均为乙回答三题正确的概率依次为1, I;丙答对每题的概率均为甲、乙、丙回答问2 3 3 2 3题相互独立.(1)求甲、乙两个人获得的图书换购券总额为250元的概率；(2)试通过计算均值，估计甲、乙、丙三人中谁获得图书换购券金额最少..在aABC中，ACLBC,ZBAC=30°,AB=4,E,尸分别为AC,A8的中点，aPE尸是由△AE尸绕直线E尸旋转得到，连接AP,BP，CP,得到如图所示的几何体.(1)求证：8C_L平面P4C；(2)若AP=3,求平面PBC与平面PEF所成锐二面角的大小..已知椭圆C：I+《=l(a>b〉0)的左、右焦点分别为耳，鸟，离心率为立，P为C上一点,ab~ 2且△尸耳工面积的最大值为4.(1)求C的方程；(2)若直线丁=丘+«，/0)与。交于A5两点，过点B作直线y=3的垂线，垂足为。，若直线AO与y轴的交点为定点Q，求，的值及定点。的坐标..已知函数/(x)=(x+B)nx.(1)求证：函数/(X)在(0,+向上单调递增：(2)若w一对xe(0,网恒成立,求实数机的取值范围.emA请考生在第22、23题中任选一题作答.注意：只能做选定的题目，如果多做，则按所做的第一题记分，解答时请写清题号..在平面直角坐标系xOy中，直线/的参数方程为< (r为参数).以坐标原点。为极点，x轴[y=~l的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为

(1)求宜线/的极坐标方程与曲线C的宜角坐标方程;\0M\(2)若过极点。的直线4交/于点交C于点N,求同才的最小值..已知函数“力=|2x-l|+|5-x|的最小值为m.(1)求m的值;2 1 1 7(2)若。N0,且〃=-m，求证： 1 N―.3 。+1b+23参考答案一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1,已知集合A1,已知集合A=［W='2x-3},B={x|2-<4)A•加 B.加 C【答案】D【解析】【分析】分别解出4,8集合的范围，求出交集即可.【详解】A={x|y=j2x-3}={x|2x-3N0}=B={x|2'-2<4}={x|x-2<2}=(^o,4),所以Ac8=T"),故选D.2.设复数lJ的实部与虚部分别为a,b,则a-b=-3-1A.-2 B.-1 C【答案】A【解析】【分析】利用复数的运算法则，直接计算求解5 -5(3-i) -15+5i3i［详解］ — — — +,-3-i(3+i)(3-i) 10 22,则()()1 D.23 1所以，a=一二，b=2 2a-b=-Q.故选：A3.2022年2月28日，国家统计局发布了我国国民经济和社会发展统计公报，下面两图分别显示的是2017-2021全国居民人均可支配收入及其增长速度和2021年全国居民人均消费支出及其构成，则下列说法正确的是（）2021年全国居民人均消费支出及其构成2017-2021年全国居民人均可支配收入及其增长速度医疗保健2115元,8.8%教育文化娱乐2021年全国居民人均消费支出及其构成2017-2021年全国居民人均可支配收入及其增长速度医疗保健2115元,8.8%教育文化娱乐2599元，10.8%生活用品及服务1423元，5.9%交通信息3456元，13.1%食品烟酒7178元，29.8%其他用品及服务569元，2.4%衣着1419元，5.9%居住5641元，23.4%2021年全国居民人均可支配收入为35128元，比上年实际增长6%2017年〜2021年五年时间，全国居民人均可支配收入逐年增加，比上年实际增长先减小后增大2021年全国居民人均消费支出，食品烟酒和居住占比不足50%2021年全国居民人均消费支出，教育文化娱乐占比最小【答案】B【解析】【分析】根据统计图及其数据逐个分析判断即可【详解】对于A,2021年全国居民人均可支配收入为35128元，2020年全国居民人均可支配收入为3218935128—32189元，所以2021年比2020年增长 -xl00%«9%,所以A错误，3218928228-25974对于B,由统计图可知2018全国居民人均可支配收入比2017增长 x100%b8.7%,259742019全国居民人均可支配收入比2018增长 士丝x100%a6.4%,28228□71 —300332020全国居民人均可支配收入比2019增长 = X100%X7.2%,3003335128—321892021全国居民人均可支配收入比2020增长 xlOO%«9%,32189所以2017年〜2021年五年时间，全国居民人均可支配收入逐年增加，比上年实际增长先减小后增大，所以B正确,对于C,2021年全国居民人均消费支出，食品烟酒和居住占比为29.8%+23.4%=53.2%>50%,所以C错误,对于D,由右图可知，2021年全国居民人均消费支出，其他用品及服务占比最小，为2.4%,所以D错误，故选：B4.斐波那契数列因以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用.斐波那契数列｛《,｝可以用如下方法定义：%+2=见+|+。“，且6=%=1，若此数列各项除以4的余数依次构成一个新数列｛〃｝,则数列｛勿｝的第2022项为()A.0 B.1 C.2 D.3【答案】A【解析】【分析】根据数列各项的规律可知｛4｝是以6为周期的周期数列，由此可得4022=%=0.【详解】由题意知：数列｛《,｝为：1』,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,…，则数列也｝为：LL2,3,1,0,1,1,2,3,1,0,11,…,即数列｛2｝是以6为周期的周期数列，..・％22=437*6=4=0・故选：A..已知〃x)=2cos[x-])+r(0)cosx,则曲线y=/(x)在点处的切线的斜率为A.72 B,-V2 C.272 D.-272【答案】D【解析】【分析】根据导数的几何意义，写出切线方程的公式，直接计算求解即可【详解】对/(x)=2cos(x-1)+/'(0)cosx=2sinx+/'(0)cosx,求导可得，/,(x)=2cosx-/,(0)sinx,得到尸(0)=2,所以，/(x)=2sinx+2cosx,所以，/'(%)=2cosx-2sinx,「/3乃、- 37r_.3zr _rrf—=2cos 2sin—=-2J2) 4 4故选D.己知抛物线C:/=4x的焦点为R过点尸的直线与C交于M,N两点，若|MN|=10,则线段MN的中点到y轴的距离为()A.8 B.6 C.4 D.2【答案】C【解析】【分析】由椭圆定义及其组成的直角梯形的几何特征，得到线段MN的中点到准线的距离，再减去准线到了轴的距离，即可得到结果

【详解】【详解】由图，MN中点、为D,MA,MB,。。分别垂直准线于A,B,C,CO交y轴于£,易得CO为直角梯形ABNM的中位线，^CD=MA+MB2由椭圆定义易得，MA+MB=MN=\Q,：.CD=5,又准线为x=-l,，虑=1,故线段的中点到y轴的距离。£=C£>-CE=4,故选：C.已知X=logoj7,y=|gJ7,对于命题p：x+y<_xy；q:x+y>0,下列为真命题的是（）A.PMB.A.PMB.D.(np)A(-^r)【答案】【解析】【分析】【详解】根据对数运算法则，求出x+y,xy,判断出p,4命题真假，即可得解.【分析】【详解】解：•.•x=logo",y=1g5/7.x+y=log(J17+lgV7=-lg7+l|g7=-1lg7-^=(log0l7)-(lg>/7)=-1(lg7)2,- 1 1 7V1g1=0<1g7<1=1g10, (lg7)*<1g7,--Ig7<--(lg7/即x+y<Ay,故0为真命题，f假命题;X+y=-g|g7<0,故q为假命题，r为真命题.0a（f）为真命题，故选：B.2022年2月4日至20日，第24届冬奥会在北京和张家口正式举行.某高校甲、乙、丙、丁4名志愿者将被随机分配到北京和张家口赛区参加冬奥服务工作，要求每个赛区至少一人，每人只分配到一个赛区，则甲、乙被分在同一赛区的概率为（）【答案】C【解析】【分析】由题意可知两个赛区分配的人数为1个和3个，或者是每个赛区2人，由此求出分配的总的分配方法数，再求出甲、乙被分在同一赛区的方法数，根据古典概型的概率计算求得答案.【详解】根据题意可知两个赛区分配的人数为1个和3个，或者是每个赛区2人，当两个赛区分配的人数为1个和3个时，共有C：A；=8种分配方法，C2、当两个赛区分配的人数均为2个时，共有/-A；=6种分配方法，因此共有8+6=14种分配方法，甲、乙被分在同一赛区的分配方法有2+C；A；=6种，A2故甲、乙被分在同一赛区的概率为尸=一=一,147故选：C.己知函数/(x)=2cos@x+2Gcos［3x+-^)3eN*),若对V4eR,在［2,2+3］上至少存在两个不等的实数见"，使得〃m)/(〃)=16,则。的最小值为()TOC\o"1-5"\h\zA.2 B.3 C.4 D.5【答案】C【解析】【分析】化简/(x)为4sin(<yx+&),将/(6)/(〃)=16化为sin(@m+生)=1且sin(«y〃+&)=1,或者6 6 6sin(①加+马=-1且sin(加+工)=-1,将问题转化为对VAeR,函数y=sin(5+1)的图象与直线6 6 6y=l在［%,4+3］上至少存在两个交点，或者对函数y=sin(5+$的图象与直线y=-l在［/U+3］上至少存在两个交点，根据函数丫=痴(3自的图象列式|t43,其中T=‘，可求出结果.【详解】/a)=2cos<yx+2>/3cos"+|7)=2coss+2Anox=4(cos5・g+sin@x•等)=4sin(69x+^),由/(6)/(〃)=16得4sin(com+—)-4sin(d?n+—)=16,TOC\o"1-5"\h\z所以sin（com4——）•sin（69nH——）=1,所以sin（3〃zH—）=1且sin（69nH——）=1,或者s\n（a）mH——）=-16 6 6 6 6且sin（丽+令=-1,则问题转化为对V4gR,函数尸sin（s+*的图象与直线y=l在pM+3］上至少存在两个交点，或者对XMgR,函数y=sin（@x+*的图象与直线y=-1在［2,2+3］上至少存在两个交点，3 2乃所以巳743,其中7=二，2 CD32乃所以不乂—<3,所以。之乃=3.14,又geN"，所以①的最小值为4.2co故选：C.已知正三棱柱A8C-A用G的侧面积为246，若三棱柱A8C-A4£的各个顶点均在球。的球面上，则球。的表面积的最小值为（）A.16万 B.32乃 C..在" D.86兀3【答案】B【解析】【分析】设正三棱柱ABC—A4c的底面边长为。，侧棱长为/Z,根据题意求得a〃=8百，取上下底面的中心分别为。,。2,取QU的中点为。，得到外接球的半径为R,得到尺=|。4|,结合基本不等式求得其最小值，结合球的表面积公式，即可求解.【详解】设正三棱柱ABC-AUG的底面正三角形的边长为a,AAy=BBt=CCi=h,因为正三棱柱ABC-的侧面积为24百，可得3。%=24石，即a/z=8jj，取底面正aABC和4G的中心分别为a，。?，连接qa，取qa的中点为。，则正三棱柱ABC-AgG外接球的球心为O,设其外接球的半径为R,所以R=|OA|="O；+AO；=Jgf+g,一（9吓=杵+'722a2 11a当且仅当幺=上-时，即7=F时，即。=2百,人=4时，等号成立,4 3 2V3此时球。的表面积为5=4万/?2=4万x（20>=32万.故选：B..已知函数f(x)=log2(4*+l)-x,设Z?=/(lg5),c=/(log63),贝i]a,b,c的大小关系为()A.c<b<a B.h<c<a C.a<c<b D.a<b<c【答案】A【解析】【分析】根据题意得了(力=1。82(4工+1)-%在(-8,+8)上是偶函数，然后判断了'(X)的正负性，得到f(x)的单调性，又因为/(lng)=/(In3),最后比较In3,lg5,log63之间的大小即可得到答案1.l4x【详解】解：因为函数定义域为(f0，+8),f(-x)=log2(^―)+X=log2(4v+1)-log24X4-X=log2(4r+x)-2x+X=log2(4r+1)-X=/(x),故函数/(x)为偶函数，所以，/(ln1)=/(ln3),又因为加)=4-4-(4*加2=(41加2=々(4v+l)ln2 (4A+l)In24，+1当xe(0,+8),/'(x)>0,f(x)单调递增，当xe(-8,0),f'(x)<0,f(x)单调递减，所以，xe(0,+o。)时，比较In3/g5,log63之间的大小，得到ln3>l,且1>lg5>0,1>k)g63>0,所以，再比较1g5和log63的大小，因为lg5=lg(W)=l-Ig2,2log63=log6(1)=l-log62,明显可见，Ig2<log62Ig5=l-lg2>l-log62=log63,得到In3>lg5>log63,根据/(x)的单调性，可得/^n^=/(ln3)>/(lg5)>/(log63)=>a>/?>c故选:A2 212.已知双曲线c：[—2r=1(。>0,方>。)的左、右焦点分别为耳，尸2,焦距为%点”在圆a1b-

E:*2+y2+4尤_8y+16=0上，且C的一条渐近线上存在点N,使得四边形。MN5为平行四边形，0为坐标原点，则C的离心率的取值范围为()A.[2,+oo) B, C.[4,+oo) D.(1,5/3]【答案】A【解析】【分析】设双曲线的一条渐渐近线方程y=2X，设出M点坐标，求出中点坐标B,建立方程进行转a化求解即可.h【详解】由题意，设双曲线一条渐近线方程为y=-x,因为£:/+/+4]一8丁+16=0,a1 Fi则MF2中点坐标为3(4)21 Fi则MF2中点坐标为3(4)22•*2=4="=02_],aa a2.、2_1=(^_)2=%,=x0+2 (x0+2)2I128,一一r+ 1%%.1[11]/设，=->则re—,则% l_62j'/t6一,—, -12(/—)"+-62 3>X),代入渐近线方程2.2±2=及，即a2 2 ax0+24一(%-4>-Jo+8y0-127= [ = ]一3+a-1_12(z_1)2+13 3卜0,；,则e2-le[3,+oo),解得ew[2,+co),所以点M在圆E:(x+2y+(y—4)2=4上，设"(毛，儿)，则24%46,四边形。时叫为平行四边形，令ONcM&=B,故选：A第II卷（非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分.第13题〜第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题〜第23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）.已知忖=2,恸=3,若卜+q=67,则卜一B卜.【答案】3【解析】【分析】根据已知将Z+同平方，可求得【分析】根据已知将Z+同平方，可求得£石，再根据rra-b=即可得解.【详解】解：因为卜|=2,忖=3,卜+q=>/万,/ —»\2-2—2 —•—•所以(a+b)=a+b+2ab=\J,.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为.4正视图 侧视图44正视图 侧视图4俯视图【答案】168+6乃##6乃+168【解析】【分析】根据三视图可以确定该几何体是长方体中挖去一个圆锥，结合表面积公式进行求解即可.【详解】由三视图可以确定该几何体是长为6,宽为4,高为6的长方体中挖去一个底面半径为3,高为4圆锥，如下图所示：圆锥的侧面积为4.3.J42+3z=15乃，所以该该几何体表面积为:2x6x4+2x4x6+6x6+6x6—乃・3?+15%=168+6乃，故答案为：168+6715.已知正项数列｛勺｝的前〃项和为S“，2Sn=an(an+l),则数列｛(—1)"4｝的前101项的和为【答案】-51【解析】【分析】根据题意和S“与。”的关系求出数列｛《,｝的通项公式，利用分组求和法与等差数列前〃项求和法计算即可.【详解】由2sa 得即q2-q=0,由。“>0,解得4=1,当〃22时，2s“_I=+%,有2。,,=2Sn-2sz=«n2~«n-i2+an-an-\>即(4-«„-!)(«„+ )=4,+%,由凡+a.T>0，得6-1，即数列｛4｝为公差为1等差数列，所以《,=〃，当〃=1时，4=1符合题意，故4=〃，则数列｛(一l)"aj的前101项和为+a2—a3+a4—•••—0tM+q0G—q。1=—1+2—3+4——99+100—101=-(1+3+5+-..+101)+(2+4+64--••+100)1+101-2+100“一 x51+ x50=-51故答案为：-51.16.已知函数〃力=<1一—16.已知函数〃力=<1一x' ,若函数g(x)=/(x)-Mx-l)有4个零点，则实数上的取值范Inx,x>1

围为【答案】(0。【解析】【分析】围为【答案】(0。【解析】【分析】转化求f(x)=匚1一”Inx,的图像与y=k^x-1)图像交点，求出直线与%>1【详解】f(x)= 1相切时的k,进而得到有4个交点时k的范围即可1-X因为g(x)=/(x)-A(xT)有4个零点,所以方程"x)=Mx-l)有4个实数根, 1, 1,X<1X的图像，以及y=k1x-1),Inx,x>1则两函数的图象有4个公共点.其中直线y=4(*-1)经过定点(1,0),斜率为AV= 1 1当直线与f(x)相切时，联立〈• 1-X ,△=(1一2幻2-442=0,可求出&当直线与f(x)相切时，联立〈y=A(D0<x<；时，方程/(x)=&(x-l)有4个交点，故女的取值范围为(0,；)【点睛】方法点睛：根据函数零点个数求参数取值范围的注意点:(1)结合题意构造合适的函数，将函数零点问题转化成两函数图象公共点个数的问题处理；(2)在同一坐标系中正确画出两函数的图象，借助图象的直观性进行求解；(3)求解中要注意两函数图象的相对位置，同时也要注意图中的特殊点，如本题中直线y=k(x-D经过定点(1,0)等.三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)17.在aABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且。=5,c=回,acosB+bcosA=V2ccosB•(1)求4；(2)已知点M在线段8c上，若tanNAA"=一,求tan/M4c的值.4【答案】(1)a=3非tanZ.MAC=—11【解析】【分析】(1)由正弦定理化简求出8,再由余弦定理求解(2)由两角和的正切公式求解【小问1详解】acosB+bcosA=v2ccosfl，由正弦定理化简得：sinAcosB+sinBcosA=夜sinCcosfi-而sinAcosB+sinBcosA=sin(A+8)=sinC,故cos8=^―,2由余弦定理得：b2=a2+c2-2accosB<即/一2后一15=0，解得a=36(。=一右舍去)【小问2详解】由题意得tanZMAC=-tan(ZAMC+ZC),3而tanZAMC=-tanZAMB=——，4TOC\o"1-5"\h\z-a2+b2-c245+25-10275 „„1由余弦定理得cosC= = 7=——= ,故tanC=1,2ab30V5 5 2_3+j_故tan(NAMC+ZC)=-42 ,)-(-4)X2tanZMAC=—11

18.已知甲、乙、丙3人参加党史知识答题比赛，每个人按顺序各回答三个问题，每正确回答一题可以获2得50元图书换购券，换购券可用于购买党史学习教育类书籍.已知甲答对第一题的概率为答对后两题的概率均为g；乙回答三题正确的概率依次为工，丙答对每题的概率均为；，甲、乙、丙回答问3 3 3题相互独立.(1)求甲、乙两个人获得的图书换购券总额为250元的概率：(2)试通过计算均值，估计甲、乙、丙三人中谁获得图书换购券金额最少.【答案】(1)-9(2)乙获得图书换购券金额最少【解析】【分析】(1)分别计算出甲和乙获得150元、100元的概率，再得出甲、乙两个人获得的图书换购券总额为250元的概率；(2)分别得出甲、乙、丙三人中获得图书换购券金额的可能取值，再求出相应概率，比较其均值即可.【小问1详解】因为甲、乙两个人获得的图书换购券总额为250元，所以“甲获得150元，乙获得100元”或“甲获得100元，乙获得150元111甲获得150元的概率为:=：226甲获得100元的概率为一x—x—I"一X—x—H—X—X—=一32232232212一……2211111217乙获得100兀的概率为一x—x—F—x—x—I卜一X—X—=一332332332181211乙获得150元的概率为-x-x—=-3329… _ _1751 12 1则甲、乙两个人获得的图书换购券总额为250兀的概率/x-^+ -==—6181291089【小问2详解】设甲、乙、丙可能获得图书换购券金额为X，X”X3,其中乂，*2，*3的可能取值为0,50,100,150P(X,=100)=A,p(x,=150)=11Z o则E(XJ=0则E(XJ=0x—+50xl+100x—+150x-=—1212P(X,=0)=-xlxl=l,P{X2=50)=-x-xl+-x-xl+-xlxl=——“3329v2 ,332332332187 1产"2=100）=6，P（X2=15O）=-1771 225则E（X2）=0x§+50x夜+100x布+150乂§=亍P（X3=0）P（X3=0）=1xlxl=±,P（X3=50）=C'J,2 6x-=—327P（X3=P（X3=100）=C^||xg卷，唳3=150）3=J_一27E（X,E（X,）=0x—+50x—+100x—+150x—=10027 27 27 27所以E（X3）>E（XJ>£（X2）,即乙获得图书换购券金额最少.19.在aABC中，ACJ.BC,ZBAC=30°,AB=4,E,F分别为AC,A8的中点，aPEF是由△AEF绕直线EF旋转得到,连接AP,BP，CP,得到如图所示的几何体.PBPB（1）求证：平面尸4C；（2）若AP=3,求平面尸8C与平面阳'所成锐二面角的大小.【答案】（1）证明见解析（2）60°【解析】【分析】（1）由勾股定理证明PE_LEb，从而得出BC_LPE,再由AC_LBC结合线面垂直判定证明即可；（2）以点C为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系，利用向量法得出所求二面角的大小.【小问1详解】•••PF=AF=2,EF=LbC=1,PE」AC=62 2PE2+EF2=PF2,.-.PE±EF又BC//EF,BC±PE又ACLBC,ACcPE=E,AC,PEu平面尸4。.，.§。，平面融。

【小问2详解】必至工3+二」2AE-PE 2x-s/3x\/3 2;0°<ZAEP<180°NAEP=120°.NPEC=60°,PC=后:BC_L平面PAC,BCu平面ABC,..・平面ABC_L平面?AC以。为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系A(2G,0,0),B(0,2,0),C(0,0,0),E(6,0,0),户(6,1,0),P^-,0,-、2 2 2 万20.己知椭圆C:鼻+斗=1（。>6>0）的左、右焦点分别为耳，F2,离心率为上，P为C上一点,a"Zr 2且△Pf；工面积的最大值为4.（1）求C的方程；（2）若直线丫=依+«//0）与。交于两点，过点B作直线y=3的垂线，垂足为。，若直线与N轴的交点为定点Q，求，的值及定点。的坐标.设平面P8C的法向量为万=(x,y,z)—• —•fV33^1CB=(0,2,0),CP=一，0，;I22)(y—0L r-rrG3c，取x=G，则〃=(G,o,-i)—x+—z=02 2同理可得，平面PEb的法向量为玩=(JI0,1)cos(西万)cos(西万)fn-nI玩H万I・・・平面P8C与平面PEF所成锐二面角的大小为60°.PyPy

2 2【答案】（1）—4-^-=18 413【解析】【分析】（1）当P为椭圆短轴端点时，面积最大，结合离心率和椭圆a,b,c关系可构造方程组求得结果;（2）将宜线A8与椭圆方程联立可得韦达定理的形式，利用直线两点式可得直线AO方程，令x=0可表示出『0：由。为定点可构造方程求得续进而得到。点坐标.【小问1详解】当P为椭圆短轴端点时，△尸耳人面积最大，即』・2c♦/?=bc=4,2由,Cy/2a2be=4得:a=2^2b=由,Cy/2a2be=4得:a=2^2b=2 ，.二椭圆。的方程为:x2a2=b2+c2【小问2详解】y=kx+t（1+2公）工2+4息工+2/-8=0,A=16公产一（4+8代乂2/一8）=64公-8/+32>0,即产<8公+4；设A（Xpy）,3（七,%），4k，X+ = 71+2公2/一8x.x2= -厂1+2&2由题意知：。（毛,3）,.•.直线4。方程为：y—3=3-Xx2-x]马（y3）_3七+应一3%-2kr-8k1+2公4kt—4kt—2%）・••Q为定点，.-2炉-8”（1+2公）。+3）即上心=出-Akt2t2-Akt此时产+4

2t13此时产+4

2t13~613~6则。【点睛】关键点点睛：本题考查直线与椭圆综合应用中的定点问题的求解，解题关键是能够通过化简所求点坐标，结合该点为定点确定方程，从而解得参数值，由参数值确定定点坐标.21.已知函数21.已知函数/(力=IV

x+—Iru.x(1)求证：函数“X)在(0,+8)上单调递增;(2)若2/0?一".一对x£(0,48)恒成立,求实数机的取值范围.【答案】(1)证明见解析2(2)m>-e【解析】【分析】⑴求出了'(X),分0<xWl、x>l讨论可得答案；(2)由2"：)-"W/〃得eM/ln^+iF + 构造函数g(x)=n*+x(xeR),利用导数/ Inr2可得g(x)为单调递增函数，转化为〃注旦(x>0).令〃(力=叱6>0),求出〃(x)的最大值可得答案.\nx,lnx(x>0)得r(x)=《+l+\nx,lnx(x>0)得r(x)=《+l+当0<xWl时，l-^WOJnxWO,所以I-)InxNO,且J+1〉。,X kXJ X所以r(6>o,函数单调递增；当x>l时，l—>4>0,lnx>0,所以，一4•卜nx>0,且4+1>0,所以r(6>o,函数单调递增，综上所述，当x>0时，r(x)>0,所以/(X)在(0,+8)上单调递增.【小问2详解】由2/(x)二力w，〃得x+—llnx-m</nem,t,emt Ix)因为x>0,所以2x21nx+21nrW/me""+如，可得已皿口收+Inx所以，“2一.e【点睛】对于函数恒成立求参数的问题，可以直接法利用导数求参数的所以，“2一.e【点睛】对于函数恒成立求参数的问题，可以直接法利用导数求参数的范围，还可以分离参数，再构造函数，利用导数求新函数的最值可得答案.请考生在第22、23题中任选一题作答.注意：只能做选定的题目，如果多做，则按所做的第一题记分，解答时请写清题号.22.在平面直角坐标系xOy中，直线/的参数方程为《 "为参数).以坐标原点。为极点，x轴[y=~l的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为。=2cosa(0<a<^).(1)求直线/的极坐标方程与曲线C的直角坐标方程；\OM\(2)若过极点O的直线4交/于点M,交C于点N,求上高的最小值.ON转化为对xw(O,+8)时e,nx2lnr2+Inx2<mxenix+〃优恒成立，求实数m的取值范围，令g(x)=疣"+x(xeR)，g'(x)=(x+l)e'+1’令—(x+l),加(x)=e'—1,当xNO时，/wr(x)=ev-l>0,/n(x)单调递增，当x<0时，/n(x)=eA-l<0,单调递减，所以加(工)之小(0)=€°—1=0,即e'N(x+l),所以g'(x)=(x+l