lecture5大数定律和中心极限定理

§1大数定律(lawsoflarge随量序列依概率收敛的定若对于0：limPYna0, Yna 成立，则称 量序列Yn依概率收敛于记为 Y,当nnYYY3性质若

b,当n（gX,Yg(ab)，当n 4马尔可夫不等式和切不等式 量Y的k阶矩存在(kE(|Y|k则对于任意0

E(|Y|k

E(Yk特别地，当Y为取非负值的 任意0有

设Y的概率密度为fx,则对|y Y Y

fxdx k

fx

|y|kfx

E(|Y| 定理5.1.2 不等式：设 量X具有数学期望EX方差DX2,则对于任意0都有：PX2定理的等价形式为：PX12证明：在定理5.1.1中取YXk2f 6例1天文机构想测量宇宙中两颗行星的距离，进行了n测，测量值分别为 光年,i1,2,,n.若E(Xi)(为两颗行计值与实际值之间的误差在0.5光年之内，至少要观测多少次解：由于对i12,n，都有EXi)DXi)5且Xi相互独立1 1

E(nXi),D(nXi)n2D(Xi)n P{|1X|0.5}15/100

同样利用切不等式，要使nP{|n

X|0.5}

5/nnin

0.740.760.740.740.760.740.760.90。则Xbn0.75EXnp0.75nDXnpqfnAnn

7500,P1

11875P0.74n

PX0.75n1 11875 n8 8几种大数定律1nY limP

nn（limPn（limP

n n

1

n nPn

nn

cn 0,当n9 lim1D(Xi)

n则对0

lim

Xi

n11E(Xi)|}n1

n

nn nn证明：记Yn

E(

)1

Xn nXi，则E(Yn n n

n对Yn应用 nD(Yn

D(

X) 当n0

n2

nninni即，lim

1

1

E(

)|}

n

n 大数定律 D(Xi) in即所有的Xi的方差有共同的上界，则对0nlim

1Xi

1E(Xi)|}

n

n 量{Xi,i服从大数定律n1n

X)1

D(X)

C

n

inn

{Xi,i1}为相互独立的随 量{Xi,i也服从大数定律.设 量X1,,Xn,,相互独立同分布，且它们的分布律P{X i} i}1, 0}11,i 试判断{Xii解：由于对任意的i1,E(Xi)D(X)E(X2)0 i)21 i)21 n1X0,当ni1n i1次试验中发生的概率为p，则对0有：limPnA

n证明思路：易见nAXinX

i1,2,, XiB(1,随量服从相同分布时，就不需要这一要求。 大数定律记为,则对0，有：limP1

X

nn

k 相当于1Xi,当n,即 n证略推论设{Xi,i1}为独立同分布的随量序列，若h(x)为一连续函数，且E|hX1|,则对0，有：nlimP1h(X)ani nk 其中,aE(h(X1)),即随量{h(Xi),i也服从大数定律 例设随量X,,X,,相互独立同分布 ）n解：由大数定律，X1,,Xn,,相互独立同分布，E(X1)存在X1,,Xn,相互独立同分布，E(X1)X2,X2相互独立同分布，EX2 1 1

1 故， k，

Xk

Xknk nk nk1故 Xk 因为，E(X)1故 Xk 1同理，E(X11

x1dx2

nk

nk E(X2)

1x21dx1

X

1knX，（kknX，（k1X1）2nkk3nk

nnk n例4：设 量X1,,Xn,,相互独立同分布，X1~U(0,1),nX1X2XnnX1nX1Xn

令

lnYn

1(lnX

lnXn1则lnX1,lnXn,相互独立同分11E(lnX1)=lnxdx0 Zn nY e1，当nn§2心极限定(CentralLimit背景有许多随量，它们是由大量的相互独 i i设 量X1,X2 i i , ,i2nnXinX1XninX1Xni证明略

limPY

x e2dt( 近似）～N2i答案：N(2nn从而，P(a b)(b 答案：N(2nni

推论5.2.1 -

x

x

e2dtnp(1np(1 PanAPanA b np(1 a np(1

0第i次试验时AX1,

2,,

,相互独立同分布,Xi

~B(1,由于

X

Xn由定理5.5,limPa

nA

b

b

e2

np(1 即:nA(近似~N(npnp(1,:55?解：设Xi为第i次所倒的红酒重量(单位:ml),则Xi相互独立分布相同,EXi100DXi32i12,2

P{倒了55次后该瓶红酒仍有剩余P{XiXi

P{ 600055100}1600055100

2.1112.1110.9829 例611/10),.: i, i,i0，其它,则Xi独立同分布，XiB(1,1/10).记Y Xi,则Y - 中心极限定理，Y150010（近似）～N15001 a150015001 95%P{Y15001 查表得，(1.645) 故需a150解得a 解：设X为一年中投保老人 数则Xbnpn10000p - 中心极限定理，np(1P10000X10000

思考题求保险公司至

PX200

10万元的概率1

np1p

PX21PX0PX110.984004000.020.98399np4000.028PX21PX0PX110.0003350.0026844000.024000.02PX21P(X1)11np

例设 1 1（1）Xk，（2）Xk，（3）Xk20k 20k 20k1 1解：由中心极限定理， 20k 20k

Xk

Xk均近似服从正态分布。k1因为，E(X) D(X)41

近 k 20 ~N(0,kE(X1

)12

D(

)E(X2)[E(

X)]21111

1 11 ~N E(X2)1

20kD(X2)E(X4)[E(X2)]2114

2 1n1

59 2近 1 ~N nk

3例10：（例2续）在n重贝努里试验解：例10：（例2续）在n重贝努里试验则Xbn0.75EXnp0.75nDXnpq当n充分大时，X（近似）～Nn7500,P

0.76(0.76n0.75n)(0.74n0.