三角函数图像和性质

知识结

第五章三角函数的性质与图 基本要求yAsin(x（A0,0）重点问题yAsin(x（A0,0）方法与能三角函数的性质与图像（一（一知识梳正弦函数、余弦函数、正切函数的图像与性质（kZysinytanRRxxk 2 值R最当x2k 时2ymin当x2k 时2ymax当x2k 时yminx2kymax无周最小正周期T最小正周期T最小正周期T间递增[2k,2k [2k,2k(2k,2k 递减[2k,2k3 [2k,2k无轴xk2x无(k,(k,2(k,2图典型例【例1】求函数的定义域tan(x2sinx（1）2sinxsin

y

ylg(2cosx[思路分析]：结合一般函数求解定义域的方法，注意做到分式中分母不等于零、偶次根

k （1）

xxk且xk4kZ sinx 由sinx

x2kx2k5，kZ1 11由cosx x2k2x2k2，kZ1 【例2】求函数值域或最值（1）y（2）y

3sinxcosxsinx；sinx

y2sin2xsinxcosxcos2（3）ycos2xcosx2

ycos2xsinx，x

2

（最值[思路分析]：yAsin(x型、二次函数型、分式函数型（反（1） 6

y2,2y1sin2x3cos2x1

10sin(2x)

y

10,

10

3yy（2）sin3yy

3y32

y12y2,1y

2(3)y(cosx1)2 令tcosx,t y(t1)2 y9 ysin2xsinx1(sinx1)23,x[0,]sinx 当x0,时， 1；当x时， 【3（1）y

2(2x

13ysinxcosx2，则1sin函数y 1sinx1sinysin(x为偶函数，则 解（1）2

（2）

（3）奇函 （4）k

，k2【例4】求下列函数的单调区间ysin2xycos(2x在[023y3

2xy4

2x)在区 [思路分析]：结合最简三角函数的单调性，注意复合函数的变化（1）

（2）2及75 4

3 3（3）k5k11，k （4）kk3，kZ 12 83【备用1（1）f(x)asinxbcosx,f()33ab

（2）f(x2a

]，值域2[5,1]a、b（1）

a2b23 3

a33

ora

3ab2,ab13

a b2

b

b

（2）f(x)2asin(2x

)2a6

2x

sin(2x

)6

2a0

a2ab

a22a2ab 2a2aba02a2ab

aba【备用题2】已知平a

2x),1)，b

3cos2xf(xab（1）f(x的单调递减区间；

n n gx n n

f(xyg(x)坐标解：(1)f(x)

3sin(2x)cos2x2sin(2x

)6单调递减区间为[kk2](kZ 12（2）g(x),(x 2当0x时，解2sin(2x)1，得x 当x时，解2sin(2x

当x2时，解2sin(2x)0，得x17 所以交点坐标为：(,1)， ,0) 巩固练ylg(12cosx2（1）y

2sinx1sin2x（2）y sin y

（1） （2）y

1tan2；1tan2（3）ysin(x)sin(x)（0 ytan(x

)的单 区间4ycos(2x

3y2sin(2x

6f(x)3sin(2xysin(2xcos(2x为奇函数，则最小正数f(x)cos(xsin3xf(x2周期为f(x1)f

f(xx4

f(x)在4

]上是减函数，其中正确结论的个数为 ylog2cos(2x3y2sinxtcosx(t0).当t1时,求yyabsin2x已知0xycos2x2acosx212

f(x)sin(xa)

3cos(xa),其中0a,x,f(x)f(x求af(x三角函数的图像与性质（二知识梳yAsin(xB的性质典型例【例1】作出下列函数的图像ycosx

y2sin(3x 4[思路分析]：五点法作图以及作出图像的变【2（1）y3sin(2x1ysinx3ycos(2xysin2x6yAsin(xB（1）6

31（2）（3）y2

x)【3（1）ysinxcosx（2）acosxsinxbcosx,3cosx),02,f(x)ab，如f(xx，求6[思路分析]：yAsin(xysinx（1）

，k4（2）f(x)abcosxcosxsinx3 3sin2x1cos2x1sin(2x) 02,【例4f(xsin2ax

3sinaxcosax(a0ym切点之间的距离为。2求mA(x0y0y（1）

f(x

]A21cos2ax

3sin2axsin(2ax)1 mf(xm1或m （2）f(x,a21f(x)sin(4x) 令sin(4x)0，得4x k(k1 xk

(kZ)，由0 (kZ)，得k1或k 5 11因此点A的坐标为 ,)或 ,24 【备用1y米与时间t（t024，单位：时）t（时0369y（米建立时间t与深度y的直角坐标系，根据数据t,y描绘各点，然后观察其变化趋势y

f(ty

f(t55（船舶停靠时，船底只需不碰即可，某船吃水深度（船底离水面的距离）6.5米，（1）当t0y10k10。当t3ymax13，当t9ymin7，A3周期T126y

f(t)

t6（2）y6.55

t106.55，化简得3sin

t0.5，

t 1t5可知船在1,5或1317内可以安全进出港，故船在港内至多停留17-1=16时【备用题2】已知定义在[,y2

f(x的图像关于直线x对称，当4（1）4

（2）

f(x（3）如果关于xf(x)aMa求Maa[思路分析]：由题设，f x)4（1）

f(x),即f(x)42；

f(xf(x2 sinx，x[, （2）y 2a

a1

2a

2,

3a[0,

2), 巩固练f(x2sinπxπ的图象经过点(01) 2 最小正周期T和初相分别为 T6，6

T6，3

T6π，6

T6π，3ysinx的图像上的每一点都沿着向量(1

24所得到的轨迹方程为

y1cos

y1cos

y1cos

y1cos函数ysin(2x)的对称轴方程 ；函数ysinxcosx的对称中4为f(x)sin2xacos2xx8

对称，则实数aycosxm

3sinxm(m0)y方程80sinxxf(x)Asin(xkA0,0,|f(xf(x)

2f(x)asinxbcosx的图象经过点(,0)

a、b的值；x[0f(xx的值2y2sinycos(x4f(x2cos2x-2sinxcosxf(x10在(0)x1，x2x1x2y=f(x)m(m＞0)个单位使所得函数的图象关于点(0，2)对称m的最小值．已知mcosxsinxncosx,3cosx,设函数f(x)mnf(x的最小正周期是2f(xf(xx6

02f(x的周期和值域f(x)sin2x

3cos2x

(x（2）

f(xa2xa

三角函数综合应知识梳典型例【1f(x2asinxcosx2b

x，f(0)8，f(f(（1）求实数a、b（2）f(xx

4f(xx（1）

f(0)

2b

a33f(6)

a bb12

b（2）f(x)8sin(2x

4xk6

，kZ6（3）f(x)8sin[2(x)]44y8sinf(x)8sin(2x

40得交点为

【2ayf(x)

3sin3x,ybmcos3xm)mR，且ab0.f(xf(x在

,2M的坐标9x[0

]f(xt9x1恒成立，求实数t的范围93sin3xm（1）ab0，即ycos3xm0my

3sin3xcos3x f(x

3sin3xcos3x2sin(3x )，6x[

9

3x6

3

]，sin(3x

)[

f(x的最小值为1x9f(xM的坐标是29（2）f(xt9x1,即2sin(3x

)9xt6x[0

]时 函数f(x)2sin(3x9

y9x6y2sin(3x

9x在[0

9y2sin(3x

9x6为要2sin(3x

9xt1恒成立，只要t11，所以t064

OB于点M，试求△POMP解：设POMPM M在△POM中

4

sin4

,OM

2PO 4 1OPOMsin 2R2sin()sin 0 2R2SIN(2)1R 当2

,时,

21

答:PAB

214θ θ【例4】如图：某污水处理厂要在一个矩形污水处池(ABCD)的池底水平铺设污水净化管 (RtFHEH是直角顶点）来处理污水，管道越F长，污水净化效果越好.设计要求管道的H是AB的中点，E,F分别落段BC,AD上.已知3AB20米，AD 米，记BHE3L表示为的函数并写出定义域 2若sincos ，求此时管道的长度L2（1） ，FH

3333EF

sin

由于BE10tan

，AF

3tan33

3，

]L6

10

2sin2

，

6

sincos

sincos1L222

（3）

sincos sin

sint2设sincos

则sincos2由于

，所以tsincos

2sin()

31,6 t 在

31,22于是当t

31 时

, L的最大值

3 33答：当 或 时所铺设的管道最短，为 3 【备用题1】设函数f(x)的定义域关于原点对称，且存在常数a〉0，使f(a)=1, f(xxf(x1f(x2)（1）f(x 1f(x1)f(x2（2）f(x [思路分析]：f(xx)f(x1f(x2 1f(x1)f(x2为此函数ytanx，从而不难它符合所有题设条件。然后，对照这个特定解（1）f(xtanxf(x的定义域为{x|xk}2求，且存在常数a4

，使得f(a)tan4

1，又由两角差的正切公式知 f(xx)f(x1f(x2)f(x)tanx 1f(x1)f(x2）（2（1）中实例，tanx的最小正周期为T4a，可猜测4a是f(x)的一周期）f(xa)

f(x)f1f(x)f

f(x11ff(x2a)

f[(xa)a]

f(x)11f(xa)11f 1f(x

1f(x)11f

ff(x4a)

f[(x2a)2a]

f(x

1f

ff(x4af(x巩固练1．某种商品一年内每件出厂价在 千元的基础上，按月f(x)Asin(x)B(A0,0,

的模型波动（x为月份32到最高价9千元7月份价格最低为5千元根据以上条件可以确定f(x)的解析式 f(x)2sin(x)7(1x12,xN) f(x)9sin(x)7(1x12,xN) f(x)

2sinx7(1x12,xN)4f(x)2sin(x)7(1x12,xN) （1π（23（3）6

上是增函数，则f(x)的解析式可以 ysin(2

)

ycos(2x3ysin(2x6

ycos(2x6f(x)

sinx

121

(a0310为偶函数，则a的最小值为310 f(xAcos2x1(A0,0的最大值为3,f(xy的交点坐标为

(0,

,其相邻两条对称轴间的距离为2,f(1)f(2) f(2010) 5．设f(xasin(xbcos(x7，其中ab,均为非零实数，若f(20096f(2010f(x)sinxtanx.27的等差数列

满足

，且 22差d0.若f(a1)f(a2)f(a27)0，则当k 是，f(ak)0f(x)

x

AA(n,f(n（nN

n是向量a与向ni(1,0)的夹角，anA0A1A1A2A2A3 An1AnnSntan1tan2tan

，则limS nnf(xAsinxBcosx（A、B、0）2x1f(x3（1）f(x（2）在闭区间2123f(x 已知f(x)2cos2x xRf(x

x0,f(x4a 2在（2）f(x1x,xf(x)cos2xmsinxm1x6

mO2，A为半圆直径延长线上一点，OA2，B为半圆上任意一点，ABABCBOACB的面积最大？DfDgy

f(x)yg(xfh(xf

当xDf且xg(x)

f(x，其中是常数，且0,，请设计一个定义域为R的函数yf(x)，及一个的值，使得h(x)cos4x反三角函知识梳ysinx,x, 22ycosx,x0,ytanx,x, 22 yarcsinR值[,2[0,(,2最当x1时 minx1ymaxx1yminx1ymax无图sin(arcsinx)arcsin(x)arcsinarcsin(sinx)x[,2cos(arccosx)arccos(cosx)x[0,tan(arctanx)（xRarctan(x)arctan（xRarctan(tanx)x(,2典型例【例1】判断下列各式是否成立？说明理

3

arcsin arcsin12k

,k

) 22sin(arcsin2) （6）cos(arccos )0 ) arctan()

)

2 arccos(

)（1（4（9）【2（1）x2y30的倾斜角是arctan2（2）已知cosx

1,x0x=arccos 【3】计

2)

（2 【4（1）ylg(1

2)arcsin3x2

y2arcsin(cosx的定义域为[2] [思路分析]：结合初等函数的性质及定义域和值域的求法14x2 1解（1）13x11x3x2 （2）x[,2],tcosx[1,1],arcsint[,]y[, 6 【备用题1】求下列函数的定义域和值域（1）y

（2）yarcsin(xx2[思路分析]：解决复合函数有关问题时，注意构造几个简单的函数解（1）D=1,00,1y,22

51

51，y,arcsin122 22

412【备用2x2mxn0有两实根x12

,arctanx1,arctan

m33n4时,求（2）msinncos(0)时,求[思路分析]：依题设，tanx1,tanx2,可以考虑求tan()，运用两角和的正 定理，即求出tan()的值，而后从判别x1,x2的符号，确定33

x21

x12x xx21

x1

x2

2

23（2）x1x2sin,x1x2tan()tantan

x1

sin cot

tan(1tantan

1x1

1 00 0sin0x1x20x1x2至少有一个正值 x10,02,222 巩固练函数yarcsin(x2)的定义域 ，值域函数y 2y2arcsin(x2的值域是[,]341）1sin(2arctan)4

5)]4

4arccos(

ysinx(xRysinx在3,2yxysin(arcsinx若tsinx，x 6

，则arccostf(xarcsin(2x1)，x[10]f1(6x（2）3yarccos(x2x求下列函数的反函数f1(x)，并反函数的定义域和值（1）f(x)arccosx；（2）f(x)3arctan2x arccos(xarccosxx若角P(4a3a)(a0分别用反正弦、反余弦、反正切表示角若角的终边绕原点逆时针旋转arcsin4的终边，Q5OQ10，求点Q简单三角方知识梳sinxaa1，则解集为xxk1)karcsina，kcosxaa1，则解集为xx2karccosa，ktanxa，则解集为xxkarctana，kasinxbcosxc二次方程型（asin2xbsinxc0（asin2xbsinxcosxccos2x0cosx或cos2典型例【例1】解下列方程sin(2x

) sinx3cosx2sin2x5cosx1sin2x5sinxcosx6cos2xsin2xsinxcosx1[思路分析]：以上方程最终均可转化为关于三角比的一元方程加以解（1）2

,k（2）x2kx2k

,k6,k3xk(1)k4

,k4【2（1）方程cos2xcosx10在0,2上的解集方程3sinxcosx1在,（1）

2233 2233 3【3】若方程cos2x2sinxm10m[思路分析]：msin2x2sinx解：msin2x2sinxsinx1)2【4x的方程sinxcosxk0在区间[0,上有两个不同的解，求k的取值[思路分析]：ysinxcosxx[0,yk解：sinxcosxysinxcosxx[0,ykk[1,【备用1x的方程2cos2x4sinxm20在[2解：当m1或m8m(0,811解；m(10)2解【备用2x的方程cos2xsinxa，x[2当a0a（1） 6

,巩固练方程2cosx10满足ta