傅立叶光学-空间滤波课件

第八章空间滤波（OpticalSpatialFiltering）

第八章空间滤波（OpticalSpatialFilter18.1空间滤波的基本原理几何光学描述:光线，透镜折射

P1SLP2P3S´F波动光学描述:光波，波前变换

P1SLP2P3

S´F

阿贝(ErnstAbbe,1873年，德国)在研究如信息光学描述？何提高显微镜的分辩本领时，提出了阿贝成像

理论，为现代成像光学、信息光学奠定了基础。8.1空间滤波的基本原理几何光学描述: P1LP2P32InstituteofInformation8.1.1阿贝成像理论与阿贝—波特实验1.阿贝成像理论Abbetheoryofimageformation(1)物体是不同空间频率信息成分的叠加集合。(2)成像过程可分为两步：入射光场经物面发生衍射，形成频 谱；频谱面上每一点作为次波源发出次级球面波，这些次 级球面波在像面叠加，形成物体的像。ObjectP2P3P1

Image planedifferentspatialfrequencyFocalPlaneP207,Fig.8.1.1意义：首次引入空间频谱概念，启发人们用频谱的语言分析成像，可用改造频谱的方法改造信息。InstituteofInformation8.1.1阿3InstituteofInformation2.阿贝—波特实验Abbe-PorterExperimentsP208,Fig.8.1.2P1P2P3是阿贝成像理论的实验验证。InstituteofInformation2.阿贝48.1.2空间滤波的概念、数学描述、系统及滤波器1.空间滤波概念：若物面上所有空间频谱都能参与成象，则象面的复振幅分布将与物面相同，将得到与原物完全相似像（放大或缩小）。若在空间频谱面上插入滤波器(如狭缝、圆孔等),则某些频谱成分将被除去或改变(振幅减小或相位改变)，所成的像就会发生变化。这与电信号的滤波处理类似,因此常称为空间滤波。凡是能够改变频谱，从而改变输出信息的操作——都可称之为空间滤波。实现滤波操作的器件——空间滤波器。空间滤波的具体作法：先经FT在频谱面上得到物信息的频谱，在频谱面上放置滤波器，以改变或提取某些频段的振幅或相位；再经IFT，在输出面上即可得到滤波后的输出信息。8.1.2空间滤波的概念、数学描述、系统及滤波器1.空间滤5FTIFT'2.空间滤波数学描述：

F(u,v)在频域中，滤波操作是乘积：F´(u,v)=F(u,v)H(u,v)在空域中，滤波操作是卷积：f´(x,y)=f(x,y)∗h(x,y)

H(u,v)：滤波函数；h(x,y)：脉冲响应h(x,y)H(u,v)FTIFT'2.空间滤波数学描述： h(x,y)H63.空间滤波系统(P216-217,8.2.1)4-f系统（三透镜系统）L1y1x1L2y2,ux2,vL3•Lightsourcex3y3CollimatorffffObjectplaneSpectrumplaneImageplaneAnalysisSynthesisu=

x2λf,v=

y2λf3.空间滤波系统(P216-217,8.2.1)47+=

双透镜系统（1）P217,Fig.8.2.1(a)L1y1x1L2y2,ux2,v•Lightsourcex3y3CollimatorpfqObjectplane

SpectrumplaneAnalysisandSynthesisImageplaneu=

x2λf,v=

y2λf111

pqf+= L1y1x1L2y2,ux2,v•Ligh8+=

双透镜系统（2）P217,Fig.8.2.1(b)L1y1x1y2,ux2,vL2•Lightsource

p1q1dx3y3p2q2Objectplane

AnalysisSpectrumplaneSynthesisImageplaneu=

x2λd,v=

y2λd111

pqf+= 双透镜系统（2）P217,Fig.89单透镜系统y1x1Ly2,ux2,v•Lightsourcep1dq1x3y3p2q2ObjectplaneSpectrumplaneImageplaneAnalysisandSynthesis,单透镜系统y1x1Ly2,ux2,v•Lightsour104.空间滤波器(P217-218,8.2.1)

H(u,v)=A(u,v)exp[jφ(u,v)]1.二元振幅滤波器：φ(u,v)=0或常数；A(u,v)只有0和1两种取值。

可用于滤除高频噪声等。可实现衬比度反转、边沿增强等。 可用于滤除随机噪声等。 可用于突出某些方向的特征等。4.空间滤波器(P217-218,8.2.1)1112.振幅滤波器

φ(u,v)=0或常数；A(u,v)随(u,v)变化,取值在0~1之间。3.相位滤波器A(u,v)=常数；φ(u,v)随(u,v)变化。可采用镀膜、光刻、三束直写等方法制作。复杂的相位滤波器难以制作。Zernike相衬显微镜4.复滤波器φ(u,v)≠常数，A(u,v)≠常数，均随(u,v)变化,同时对振幅相位进行调制。可用光学全息或计算全息等方法制作。复杂的相位滤波器难以制作。VanderLugt匹配滤波器

2.振幅滤波器 0~1之间。3.相位滤波器A(u,v)12傅立叶光学-空间滤波课件13傅立叶光学-空间滤波课件14傅立叶光学-空间滤波课件15傅立叶光学-空间滤波课件168.2空间滤波的傅立叶分析P208-215,8.1.2以一维矩形光栅作为输入图像为例，采用4-f系统。

…1t(x1)…x1Lad8.2空间滤波的傅立叶分析P208-215,817……u-2/d-1/d

-1/L1/L1/d2/d……u-2/d-1/d -1/L1/L18∆u−'1.滤波器是一个适当宽度的狭缝,只允许0级通过

H(u)

T(u),只有一个频率成分通过，……u像面一片均匀，因此不能成像。且强度下降。振幅为a/d,a/d越小强度越弱。T´(u)-1/L1/Lua/d Lx3∆u−'1.滤波器是一个适当宽度的狭缝,只允许0级通过19dL2.滤波器是一个适当宽度的狭缝，只允许0级和±1级通过T'(u)=T(u)H(u)

H(u)T(u)像的周期仍为d，但变成余弦振幅光栅，且衬比度下降。这是……u因为高频丢失，边沿变平滑了。若让更多高频通过，则衬比度

增大，边沿变锐利，逐渐变为 矩形光栅。T´(u)

u

t´(x3)x3dL2.滤波器是一个适当宽度的狭缝，只允许0级和±1级通20'

⎣⎦3.滤波器是一个适当宽度的双狭缝，只允许±2级通过H(u)T(u)像的振幅分布出现负值，是周期……u变为d/2的余弦振幅光栅。像的强度分布的周期为d/4，衬比度为1。T´(u)ud/4L|t´(x3)|2x3d/2Lt´(x3) x3

'⎣⎦3.滤波器是一个适当宽度214.滤波器是适当宽度的不透光屏，挡掉0级，其余通过T'(u)=T(u)H(u)=T(u)−

H(u)

… …aL dsinc(Lu)

T(u) T´(u)…u…u4.滤波器是适当宽度的不透光屏，挡掉0级，其余通过T'22−''⎝L⎠d1⎛xat(x3)

d…x3x3):…L<1/2

ad…x3。……x3。Lad−''⎝L⎠d1⎛xat(x3)…x3x3):…L<123−''…

L

1at(x3)

d…x3

当a/d<1/2直流成分<1/2,像面振幅分布:…L>1/2

at'(x3)

d…x3周期仍为d，矩形，有负值。|t'(x3)|2像面强度分布：……x3不是均匀分布， 不反转,衬比度下降。Lad−''… 1t(x3)…x3 当a/d<1/2…L>242Institute例8.1.1在4-f系统的输入平面上，放置一个正弦振幅光栅，其振幅透过率为：t(x1)=t0+t1cos(2πξ0x1)。若：(1)在频谱面上放置一个小圆屏只档掉0级谱，求像的强度分布及可见度。(2)移动小圆屏只档掉+1级谱，求像的强度分布及可见度。解：（采用与教材上不同的方法，进行比较，更有助于理解）t(x1)=t0+t1cos(2πξ0x1)T(u)=t0δ(u)+(t1/2)[δ(u-ξ0)+δ(u+ξ0)]1/ξ0t(x1)

t0+t1T(u)

t0t0-t1x3-ξ0t1/2

ξ0u滤波后的频谱：T´(u)=T(u)H(u),像面光场分布：t´(x3)=FT-1[T´(u)]像面强度分布：|t´(x3)|2Institute例8.1.1在4-f系统的输入平面25(1)(2)T´(u)=t0δ(u)+(t1/2)δ(u+ξ0)]t0t1/2ξ0-ξ0ξ01/ξ0t12V=1V=t0t/(t02+t12/4)

T´(u)=(t1/2)[δ(u-ξ0)+δ(u+ξ0)]

t0

t1/2u u

-ξ0

t(x3)=t0+(t1/2)exp(-j2πξ0x3)

t(x3)=t1cos(2πξ0x3)1/ξ0+t1x3t0j+t1/2x3-t11/ξ0-t1/2|t(x3)|2=t12cos2(2πξ0x3)

1/(2ξ0)

x3|t(x3)|2=t02+t12/4+t0t1cos(2πξ0x3)

1/ξ0

x3(1)(2)T´(u)=t0δ(u)+(t1/2)δ(26

例8.1.2在4-f系统的输入平面上输入两个图像，它们的中心在x1轴上，距坐标原点分别为a和-a；在频谱面上放置一个正弦振幅光栅，其振幅透过率为：H(u,v)=1+cos(2πau)。试证明：在像面（输出面）中心可得到两图像之和。解：（采用与教材上不同的方法，进行比较，更有助于理解）设两个输入图像分别用f1(x,y)和f2(x,y)表示，由给定条件可知，整个输入图象为：

t(x1,y1)=f1(x1-a,y1)+f2(x1+a,y1)单位振幅平面波垂直照射输入面，频谱为：

T(u,v)=F1(u,v)exp(-j2πau)+F2(u,v)exp(j2πau)

滤波后的频谱：

T´(u)=T(u,v)H(u,v)=[F1(u,v)exp(-j2πau)+F2(u,v)exp(j2πau)] [1+cos(2πau)]

轴上，距坐标原点分别为a和-a；在频谱面上放置一个正弦振幅27y3

T´(u,v)=[F1(u,v)exp(-j2πau)+F2(u,v)exp(j2πau)][1+cos(2πau)]=[F1(u,v)exp(-j2πau)+F2(u,v)exp(j2πau)] {1+(1/2)[exp(j2πau)+exp(-j2πau)]}=F1(u,v)exp(-j2πau)+F2(u,v)exp(j2πau) +(1/2)F1(u,v)+(1/2)F2(u,v)

+(1/2)F1(u,v)exp(-j2π2au)+(1/2)F2(u,v)exp(j2π2au)

y1像面光场分布：x1t´(x3,y3)=FT-1[T´(u,v)] =f1(x3-a,y3)+f2(x3+a,y3)aa+(1/2)[f1(x3,y3)+f2(x3,y3)]+(1/2)[f1(x3-2a,y3)+f2(x3+2a,y3)]

x3

y3 =[F1(u,v)exp(-j2πau)+F2(28例8.1.3在4-f系统中，为了在像面（输出面）上得到输入图像的微分图像，试问：在频谱面上应使用怎样的滤波器解：以一维情况为例设输入图像的复振幅分布为t(x1)，其频谱为T(u),t(x1)FTT(u)T(u)H(u)IFTIFTt(x3)t´(x3)t(x3)=IFT[T(u)]=

t'(x3)=IFT[T(u)H(u)]=

H(u)=?

例8.1.3在4-f系统中，为了在像面（输出面）上得到29∴H(u)=j2πu称为微分滤波器。镀膜，计算全息，振幅与相位模片叠合，液晶器件。j2πu|2πu|(n-1)h=λ/2Ou=Ou×jOu

-j振幅模片相位模片∴H(u)=j2πu称为微分滤波器。镀308.3空间滤波应用举例P218-220,8.3.1泽尼克相衬显微镜(ZernikePhaseContrastMicroscopy)相位物体：振幅透过率均匀或近乎均匀，只是由于厚度、折射率等变化仅对光波相位有调制作用。如：光学元件抛光表面面形起伏变化、厚度变化，光学材料均匀性，光学相位调制器件，等。某些生物样品、某些微生物，等。某些无色透明均匀的样品，混在或埋入几乎具有同样性质的材料或衬底中时，将无法成像和观测。相位物体的成像与观察，在光学元件与材料检测、在生物样品及微生物观测等方面具有重要意义。干涉、滤波、相衬、微分等技术，常常用于成像与观测相位物体、相位变化等。8.3空间滤波应用举例P218-220,8.331⎣⎦相衬显微技术是FritsZernike于1934年提出的，他因“相衬法的论证及相衬显微镜的发明”在1953年获诺贝尔奖。是空间滤波技术最成功的应用之一。

F.Zernike,Mon.Not.R.Astron.Soc.94,371(1934).相衬的基本思想：通过滤波使相位变化转换成可以观测的强度（振幅）变化，——相幅变换。相衬技术的原理：

SimplifiedmodelL1L2ffff输入面上，相位物体复振幅透过率为：t(x1,y1)=exp⎡jφ(x1,y1)⎤

⎣⎦相衬显微技术是Frit32InformationOpticsvu22当φ(x1,y1)<<1,弱相位物体，按泰勒级数展开，略去高阶项得：

t(x1,y1)≈1+jφ(x1,y1)透过物体得衍射光可分为两部分：强的直透光，和弱衍射光。谱面上，复振幅分布近似为：T(u,v)T(u,v)=δ(u,v)+jΦ(u,v)输出面上，复振幅分布近似为：t(x3,y3)≈1+jφ(x3,y3)

强度分布近似为：

这就是用普通显微镜观察到的强度分布，几乎均匀。观察不到。

Zernike认识到：之所以观察不到，是因为弱衍射光和直透光之间的相位差是π/2，正交；只有改变这种相位正交关系，才能干涉，从而观察到强度变化。InformationOpticsvu22当φ(x1,y133±j+φ(x3,y3)直透光在谱面上会聚成轴上的一个亮点（实际是一个亮斑）；而衍射光由于包含较高的频率成分，在谱面上较为分散；即这两部分信息在信道上有一定的分离，可以在谱面相应位置上放置相应的T(u,v)vu滤波器，使零频成分的相位相对其它频率成分改变±π/2，从而改变二者之间的相位正交关系。若取滤波器函数为：(n´-n)h=λ/4(n-1)h=λ/4则滤波后的频谱为：

T'(u,v)=T(u,v)H(u,v)=±jδ(u,v)+jΦ(u,v)此时，输出面上的复振幅分布为：t'(x3,y3)=j±j+φ(x3,y3)直透光在谱面上会聚成34''2

输出面上的复振幅分布为：

2

I(x3,y3)=t(x3,y3)=±j+jφ(x3,y3)

=1±2φ(x3,y3)+φ2(x3,y3)≈1±2φ(x3,y3)可见，输出面上像的强度分布与相位变化近似成线性关系，实现了相幅转换，相位变化可以观察到了。式中：取“+”，相位值大的部位，强度大，称为正相衬；取“-”，相位值大的部位，强度小，称为负相衬。为了更有利于观察，可以在使零级衍射光（直透光）产生相移的同时，受到部分衰减，提高相衬度。即：取滤波器函数为：

''2 式中：取“+”，相位值大的部位，强度大，称为正相35

则，滤波后的频谱为：

T'(u,v)=T(u,v)H(u,v)=±jαδ(u,v)+jΦ(u,v)

输出面上的复振幅分布为：

t'(x3,y3)=±jα+jφ(x3,y3)

输出面上的复振幅分布为：

I'(x3,y3)≈α2±2αφ(x3,y3)

α2项减小的更厉害，更有易于观察。中央暗场法：即全部挡掉零级衍射光（直透光）。 此时： 取滤波器函数为：

T'(u,v)=T(u,v36滤波后的频谱为：T'(u,v)=T(u,v)H(u,v)=jΦ(u,v)输出面上的复振幅分布为：t'(x3,y3)=jφ(x3,y3)输出面上的复振幅分布为：I'(x3,y3)≈φ2(x3,y3)不是线性关系，但好实现，常用。滤波后的频谱为：T'(u,v)=T(u,v37ZernikePhase-ContrastMicroscope/articles/phasecontrast/phasehome.html

ZernikePhase-ContrastMicrosc38傅立叶光学-空间滤波课件39•Filter`ssizeDisadvantages•Precisefilterfabrication•Hardtoalign•Filter`ssizeisspecimendependent•Filter`ssizeDisadvantages•40LivingCellsinBrightfieldandPhaseContrastLivingCellsinBrightfieldan418.3.2补偿滤波器(p219)和逆滤波器(p241,9.4)影响光学成像质量的因素分析光学成像系统可看成是线性空间不变系统，成像过程可看作：

gi(x,y)=fg(x,y)∗h(x,y)

Gi(u,v)=Fg(u,v)∗H(u,v)

若要理想成像，应有：h(x,y)=δ(x,y),H(u,v)=1.成像质量的好坏由系统的脉冲响应或传递函数的性能决定。若系统的脉冲响应或传递函数存在缺陷，就会造成成像质量的下降（模糊、失真、畸变、淹没于噪声中等）。脉冲响应或传递函数的缺陷主要来源于： 成像系统的设计、元器件的加工、材料，等； 仪器装校，年久失修，等； 使用中，调焦不准，抖动，目标运动，大气抖动，散射，等。8.3.2补偿滤波器(p219)和逆滤波器(p241,42,

如果我们大体知道造成成像质量下降的原因，即知道系统的脉冲响应或传递函数缺陷缺陷，就可以在滤波系统的频谱面上放置一个滤波器，对传递函数的缺陷进行补偿修正，使两者乘积产生一个较为满意的频谱响应，从而改善成像质量。 实际中，需要首先分析确定造成成像质量下降的原因，建立相应的退化数学模型，选择合适的补偿滤波器函数。一.用补偿滤波器消除离焦造成的像模糊(p219,8.3.2)。在几何光学近似下，离焦系统的脉冲响应是一个均匀的圆形光斑，即：

其中：a是圆形光斑的半径，

1/πa2是归一化因子。其传递函数为：H(ρ)=2J1(2πaρ) 2πaρ是h(r)的傅立叶—贝塞尔变换。, 如果我们大体知道造成成像质量下降的原因，即知道系统的一.43H(ρ):高频损失严重，在某中间频率段发生反转。

补偿后的传递函数

ρ

吸收可采用如右图所示的组合滤波器进行补偿，来改善图像质量。

Simplifiedmodelπ相移L1L2ffffH(ρ):高频损失严重，在某中间频率段发生反转。可采用如右44二.用逆滤波器消除像模糊(p241,9.4)设清晰像为f(x,y),模糊像为g(x,y),造成模糊的脉冲响应为hI(x,y),在空域中三者之间是卷积关系，即：

g(x,y)=f(x,y)∗hI(x,y)

在频域中，是乘积关系，即：

G(u,v)=F(u,v)∗Hc(u,v)消模糊就是从g(x,y)中尽量复原f(x,y)，或从G(u,v)中尽量复原F(u,v)。空域中就是解卷积过程，比较困难。频域中就是相除的过程，较容易实现。理想情况下，应构造一个滤波器H(u,v)，使H(u,v)如下式所示，然后再通过滤波的方法得到清晰像。H(u,v)=

1Hc(u,v)称之为逆滤波器（或反向滤波器）二.用逆滤波器消除像模糊(p241,9.4)设清晰像为45

所以其制作可用全息和照相方法： 第一步：制作Hc*(u,v),用离轴FT全息方法 第二步：制作1/|Hc(u,v)|2,用普通照相方法，不用参考 光，在FT频谱面上直接曝光记录，控制曝光 和显影条件，使γ=2。光密度与|Hc(u,v)|2成 正比，透过率与|Hc(u,v)|2成反比。还可用计算全息、镀膜等方法制作。例1.(p242,例9.4.1,抖动消模糊)摄影时由于不小心在横向抖动了2a，形成两个像的重影，设计一个改善此照片的滤波器。

例1.(p242,例9.4.1,抖动消模糊)4611=

解：此时造成成像缺陷的点扩散函数可近似为：

hI(x,y)=δ(x−a,y)+δ(x+a,y)有缺陷的传递函数为：

Hc(u,v)=exp(−j2πau)+exp(j2πau)=2cos(2πau)逆滤波器的透过率函数应为：H(u,v)=Hc(u,v)2cos(2πau)例2.(p252,习题9.4,运动消模糊)若照相时，相片的模糊只是由于物体在曝光过程中的匀速直线运动，运动的结果使像点在底片上的位移为0.5mm,试写出造成模糊的点扩散函数；如果要对该相片进行消模糊处理，写出逆滤波器的透过率函数。11= hI(47

Hc

解：设对匀速运动的物体采集一幅图像，并设x0(t)和y0(t)分别是物体在x、y方向的运动分量，T是采集时间长度（曝光时间）。忽略其它因素影响。实际采集到的由于运动造成的模糊图像为：

T

g(x,y)=∫f[x−x0(t),y−y0(t)]dt

0其频谱为：

(u,v),具有模糊缺陷的传递函数Hc 物体48−1⎦a⎣则：

如果知道了运动分量x0(t)和y0(t)，就可知道Hc(u,v),通过制 作逆滤波器1/Hc(u,v)，就可从G(u,v)中得到F(u,v),从而可从

g(x,y)中复原f(x,y)。若模糊像是由于物体只在x方向上作匀速直线运动造成的，即：x0(t)=atT（当t=T时，物体移动的距离为a。

造成模糊的点扩散函数为：

InstituteofInformationOptics,ISE,SDU−1⎦a⎣则： 如果知道了运动分量x0(t)和49exp(jπau)H(u,v)==逆滤波器函数为：1Hc(u,v)Tsinc(au)改善成像质量，获得清晰的成像，具有广泛的应用。为此，应从两个方面来考虑：1.尽量设计完美的高质量的光学成像系统，完善光学成像系统 本身的传递函数。（第三章，及“应用光学”、“光学系统设 计”的内容）2.在成像系统已尽量完美的情况下，对由于外界不可控制的因 素造成的成像质量的下降，就要想办法对所获得的图像进行 复原。滤波方法（如补偿滤波器、逆滤波器等）只是其中的 方法之一，还有其他多种方法。不仅是信息光学研究的内容， 也是大气光学、自适应光学等领域的研究内容。图像复原 （恢复）是一个重要的研究和应用领域。exp(jπau)H(u,v)==逆滤波器函数为50θ调制空间假彩色编码平行白光P1dofP2diP3f(x1,y1)F(u,v)H(u,v)f(x3,y3)u=

x2λf,v=

y2λf;x2=λfu,y2=λfv.θ调制空间假彩色编码平行P1dofP2diP3f(x1,y51第八章空间滤波（OpticalSpatialFiltering）

第八章空间滤波（OpticalSpatialFilter528.1空间滤波的基本原理几何光学描述:光线，透镜折射

P1SLP2P3S´F波动光学描述:光波，波前变换

P1SLP2P3

S´F

阿贝(ErnstAbbe,1873年，德国)在研究如信息光学描述？何提高显微镜的分辩本领时，提出了阿贝成像

理论，为现代成像光学、信息光学奠定了基础。8.1空间滤波的基本原理几何光学描述: P1LP2P353InstituteofInformation8.1.1阿贝成像理论与阿贝—波特实验1.阿贝成像理论Abbetheoryofimageformation(1)物体是不同空间频率信息成分的叠加集合。(2)成像过程可分为两步：入射光场经物面发生衍射，形成频 谱；频谱面上每一点作为次波源发出次级球面波，这些次 级球面波在像面叠加，形成物体的像。ObjectP2P3P1

Image planedifferentspatialfrequencyFocalPlaneP207,Fig.8.1.1意义：首次引入空间频谱概念，启发人们用频谱的语言分析成像，可用改造频谱的方法改造信息。InstituteofInformation8.1.1阿54InstituteofInformation2.阿贝—波特实验Abbe-PorterExperimentsP208,Fig.8.1.2P1P2P3是阿贝成像理论的实验验证。InstituteofInformation2.阿贝558.1.2空间滤波的概念、数学描述、系统及滤波器1.空间滤波概念：若物面上所有空间频谱都能参与成象，则象面的复振幅分布将与物面相同，将得到与原物完全相似像（放大或缩小）。若在空间频谱面上插入滤波器(如狭缝、圆孔等),则某些频谱成分将被除去或改变(振幅减小或相位改变)，所成的像就会发生变化。这与电信号的滤波处理类似,因此常称为空间滤波。凡是能够改变频谱，从而改变输出信息的操作——都可称之为空间滤波。实现滤波操作的器件——空间滤波器。空间滤波的具体作法：先经FT在频谱面上得到物信息的频谱，在频谱面上放置滤波器，以改变或提取某些频段的振幅或相位；再经IFT，在输出面上即可得到滤波后的输出信息。8.1.2空间滤波的概念、数学描述、系统及滤波器1.空间滤56FTIFT'2.空间滤波数学描述：

F(u,v)在频域中，滤波操作是乘积：F´(u,v)=F(u,v)H(u,v)在空域中，滤波操作是卷积：f´(x,y)=f(x,y)∗h(x,y)

H(u,v)：滤波函数；h(x,y)：脉冲响应h(x,y)H(u,v)FTIFT'2.空间滤波数学描述： h(x,y)H573.空间滤波系统(P216-217,8.2.1)4-f系统（三透镜系统）L1y1x1L2y2,ux2,vL3•Lightsourcex3y3CollimatorffffObjectplaneSpectrumplaneImageplaneAnalysisSynthesisu=

x2λf,v=

y2λf3.空间滤波系统(P216-217,8.2.1)458+=

双透镜系统（1）P217,Fig.8.2.1(a)L1y1x1L2y2,ux2,v•Lightsourcex3y3CollimatorpfqObjectplane

SpectrumplaneAnalysisandSynthesisImageplaneu=

x2λf,v=

y2λf111

pqf+= L1y1x1L2y2,ux2,v•Ligh59+=

双透镜系统（2）P217,Fig.8.2.1(b)L1y1x1y2,ux2,vL2•Lightsource

p1q1dx3y3p2q2Objectplane

AnalysisSpectrumplaneSynthesisImageplaneu=

x2λd,v=

y2λd111

pqf+= 双透镜系统（2）P217,Fig.860单透镜系统y1x1Ly2,ux2,v•Lightsourcep1dq1x3y3p2q2ObjectplaneSpectrumplaneImageplaneAnalysisandSynthesis,单透镜系统y1x1Ly2,ux2,v•Lightsour614.空间滤波器(P217-218,8.2.1)

H(u,v)=A(u,v)exp[jφ(u,v)]1.二元振幅滤波器：φ(u,v)=0或常数；A(u,v)只有0和1两种取值。

可用于滤除高频噪声等。可实现衬比度反转、边沿增强等。 可用于滤除随机噪声等。 可用于突出某些方向的特征等。4.空间滤波器(P217-218,8.2.1)1622.振幅滤波器

φ(u,v)=0或常数；A(u,v)随(u,v)变化,取值在0~1之间。3.相位滤波器A(u,v)=常数；φ(u,v)随(u,v)变化。可采用镀膜、光刻、三束直写等方法制作。复杂的相位滤波器难以制作。Zernike相衬显微镜4.复滤波器φ(u,v)≠常数，A(u,v)≠常数，均随(u,v)变化,同时对振幅相位进行调制。可用光学全息或计算全息等方法制作。复杂的相位滤波器难以制作。VanderLugt匹配滤波器

2.振幅滤波器 0~1之间。3.相位滤波器A(u,v)63傅立叶光学-空间滤波课件64傅立叶光学-空间滤波课件65傅立叶光学-空间滤波课件66傅立叶光学-空间滤波课件678.2空间滤波的傅立叶分析P208-215,8.1.2以一维矩形光栅作为输入图像为例，采用4-f系统。

…1t(x1)…x1Lad8.2空间滤波的傅立叶分析P208-215,868……u-2/d-1/d

-1/L1/L1/d2/d……u-2/d-1/d -1/L1/L69∆u−'1.滤波器是一个适当宽度的狭缝,只允许0级通过

H(u)

T(u),只有一个频率成分通过，……u像面一片均匀，因此不能成像。且强度下降。振幅为a/d,a/d越小强度越弱。T´(u)-1/L1/Lua/d Lx3∆u−'1.滤波器是一个适当宽度的狭缝,只允许0级通过70dL2.滤波器是一个适当宽度的狭缝，只允许0级和±1级通过T'(u)=T(u)H(u)

H(u)T(u)像的周期仍为d，但变成余弦振幅光栅，且衬比度下降。这是……u因为高频丢失，边沿变平滑了。若让更多高频通过，则衬比度

增大，边沿变锐利，逐渐变为 矩形光栅。T´(u)

u

t´(x3)x3dL2.滤波器是一个适当宽度的狭缝，只允许0级和±1级通71'

⎣⎦3.滤波器是一个适当宽度的双狭缝，只允许±2级通过H(u)T(u)像的振幅分布出现负值，是周期……u变为d/2的余弦振幅光栅。像的强度分布的周期为d/4，衬比度为1。T´(u)ud/4L|t´(x3)|2x3d/2Lt´(x3) x3

'⎣⎦3.滤波器是一个适当宽度724.滤波器是适当宽度的不透光屏，挡掉0级，其余通过T'(u)=T(u)H(u)=T(u)−

H(u)

… …aL dsinc(Lu)

T(u) T´(u)…u…u4.滤波器是适当宽度的不透光屏，挡掉0级，其余通过T'73−''⎝L⎠d1⎛xat(x3)

d…x3x3):…L<1/2

ad…x3。……x3。Lad−''⎝L⎠d1⎛xat(x3)…x3x3):…L<174−''…

L

1at(x3)

d…x3

当a/d<1/2直流成分<1/2,像面振幅分布:…L>1/2

at'(x3)

d…x3周期仍为d，矩形，有负值。|t'(x3)|2像面强度分布：……x3不是均匀分布， 不反转,衬比度下降。Lad−''… 1t(x3)…x3 当a/d<1/2…L>752Institute例8.1.1在4-f系统的输入平面上，放置一个正弦振幅光栅，其振幅透过率为：t(x1)=t0+t1cos(2πξ0x1)。若：(1)在频谱面上放置一个小圆屏只档掉0级谱，求像的强度分布及可见度。(2)移动小圆屏只档掉+1级谱，求像的强度分布及可见度。解：（采用与教材上不同的方法，进行比较，更有助于理解）t(x1)=t0+t1cos(2πξ0x1)T(u)=t0δ(u)+(t1/2)[δ(u-ξ0)+δ(u+ξ0)]1/ξ0t(x1)

t0+t1T(u)

t0t0-t1x3-ξ0t1/2

ξ0u滤波后的频谱：T´(u)=T(u)H(u),像面光场分布：t´(x3)=FT-1[T´(u)]像面强度分布：|t´(x3)|2Institute例8.1.1在4-f系统的输入平面76(1)(2)T´(u)=t0δ(u)+(t1/2)δ(u+ξ0)]t0t1/2ξ0-ξ0ξ01/ξ0t12V=1V=t0t/(t02+t12/4)

T´(u)=(t1/2)[δ(u-ξ0)+δ(u+ξ0)]

t0

t1/2u u

-ξ0

t(x3)=t0+(t1/2)exp(-j2πξ0x3)

t(x3)=t1cos(2πξ0x3)1/ξ0+t1x3t0j+t1/2x3-t11/ξ0-t1/2|t(x3)|2=t12cos2(2πξ0x3)

1/(2ξ0)

x3|t(x3)|2=t02+t12/4+t0t1cos(2πξ0x3)

1/ξ0

x3(1)(2)T´(u)=t0δ(u)+(t1/2)δ(77

例8.1.2在4-f系统的输入平面上输入两个图像，它们的中心在x1轴上，距坐标原点分别为a和-a；在频谱面上放置一个正弦振幅光栅，其振幅透过率为：H(u,v)=1+cos(2πau)。试证明：在像面（输出面）中心可得到两图像之和。解：（采用与教材上不同的方法，进行比较，更有助于理解）设两个输入图像分别用f1(x,y)和f2(x,y)表示，由给定条件可知，整个输入图象为：

t(x1,y1)=f1(x1-a,y1)+f2(x1+a,y1)单位振幅平面波垂直照射输入面，频谱为：

T(u,v)=F1(u,v)exp(-j2πau)+F2(u,v)exp(j2πau)

滤波后的频谱：

T´(u)=T(u,v)H(u,v)=[F1(u,v)exp(-j2πau)+F2(u,v)exp(j2πau)] [1+cos(2πau)]

轴上，距坐标原点分别为a和-a；在频谱面上放置一个正弦振幅78y3

T´(u,v)=[F1(u,v)exp(-j2πau)+F2(u,v)exp(j2πau)][1+cos(2πau)]=[F1(u,v)exp(-j2πau)+F2(u,v)exp(j2πau)] {1+(1/2)[exp(j2πau)+exp(-j2πau)]}=F1(u,v)exp(-j2πau)+F2(u,v)exp(j2πau) +(1/2)F1(u,v)+(1/2)F2(u,v)

+(1/2)F1(u,v)exp(-j2π2au)+(1/2)F2(u,v)exp(j2π2au)

y1像面光场分布：x1t´(x3,y3)=FT-1[T´(u,v)] =f1(x3-a,y3)+f2(x3+a,y3)aa+(1/2)[f1(x3,y3)+f2(x3,y3)]+(1/2)[f1(x3-2a,y3)+f2(x3+2a,y3)]

x3

y3 =[F1(u,v)exp(-j2πau)+F2(79例8.1.3在4-f系统中，为了在像面（输出面）上得到输入图像的微分图像，试问：在频谱面上应使用怎样的滤波器解：以一维情况为例设输入图像的复振幅分布为t(x1)，其频谱为T(u),t(x1)FTT(u)T(u)H(u)IFTIFTt(x3)t´(x3)t(x3)=IFT[T(u)]=

t'(x3)=IFT[T(u)H(u)]=

H(u)=?

例8.1.3在4-f系统中，为了在像面（输出面）上得到80∴H(u)=j2πu称为微分滤波器。镀膜，计算全息，振幅与相位模片叠合，液晶器件。j2πu|2πu|(n-1)h=λ/2Ou=Ou×jOu

-j振幅模片相位模片∴H(u)=j2πu称为微分滤波器。镀818.3空间滤波应用举例P218-220,8.3.1泽尼克相衬显微镜(ZernikePhaseContrastMicroscopy)相位物体：振幅透过率均匀或近乎均匀，只是由于厚度、折射率等变化仅对光波相位有调制作用。如：光学元件抛光表面面形起伏变化、厚度变化，光学材料均匀性，光学相位调制器件，等。某些生物样品、某些微生物，等。某些无色透明均匀的样品，混在或埋入几乎具有同样性质的材料或衬底中时，将无法成像和观测。相位物体的成像与观察，在光学元件与材料检测、在生物样品及微生物观测等方面具有重要意义。干涉、滤波、相衬、微分等技术，常常用于成像与观测相位物体、相位变化等。8.3空间滤波应用举例P218-220,8.382⎣⎦相衬显微技术是FritsZernike于1934年提出的，他因“相衬法的论证及相衬显微镜的发明”在1953年获诺贝尔奖。是空间滤波技术最成功的应用之一。

F.Zernike,Mon.Not.R.Astron.Soc.94,371(1934).相衬的基本思想：通过滤波使相位变化转换成可以观测的强度（振幅）变化，——相幅变换。相衬技术的原理：

SimplifiedmodelL1L2ffff输入面上，相位物体复振幅透过率为：t(x1,y1)=exp⎡jφ(x1,y1)⎤

⎣⎦相衬显微技术是Frit83InformationOpticsvu22当φ(x1,y1)<<1,弱相位物体，按泰勒级数展开，略去高阶项得：

t(x1,y1)≈1+jφ(x1,y1)透过物体得衍射光可分为两部分：强的直透光，和弱衍射光。谱面上，复振幅分布近似为：T(u,v)T(u,v)=δ(u,v)+jΦ(u,v)输出面上，复振幅分布近似为：t(x3,y3)≈1+jφ(x3,y3)

强度分布近似为：

这就是用普通显微镜观察到的强度分布，几乎均匀。观察不到。

Zernike认识到：之所以观察不到，是因为弱衍射光和直透光之间的相位差是π/2，正交；只有改变这种相位正交关系，才能干涉，从而观察到强度变化。InformationOpticsvu22当φ(x1,y184±j+φ(x3,y3)直透光在谱面上会聚成轴上的一个亮点（实际是一个亮斑）；而衍射光由于包含较高的频率成分，在谱面上较为分散；即这两部分信息在信道上有一定的分离，可以在谱面相应位置上放置相应的T(u,v)vu滤波器，使零频成分的相位相对其它频率成分改变±π/2，从而改变二者之间的相位正交关系。若取滤波器函数为：(n´-n)h=λ/4(n-1)h=λ/4则滤波后的频谱为：

T'(u,v)=T(u,v)H(u,v)=±jδ(u,v)+jΦ(u,v)此时，输出面上的复振幅分布为：t'(x3,y3)=j±j+φ(x3,y3)直透光在谱面上会聚成85''2

输出面上的复振幅分布为：

2

I(x3,y3)=t(x3,y3)=±j+jφ(x3,y3)

=1±2φ(x3,y3)+φ2(x3,y3)≈1±2φ(x3,y3)可见，输出面上像的强度分布与相位变化近似成线性关系，实现了相幅转换，相位变化可以观察到了。式中：取“+”，相位值大的部位，强度大，称为正相衬；取“-”，相位值大的部位，强度小，称为负相衬。为了更有利于观察，可以在使零级衍射光（直透光）产生相移的同时，受到部分衰减，提高相衬度。即：取滤波器函数为：

''2 式中：取“+”，相位值大的部位，强度大，称为正相86

则，滤波后的频谱为：

T'(u,v)=T(u,v)H(u,v)=±jαδ(u,v)+jΦ(u,v)

输出面上的复振幅分布为：

t'(x3,y3)=±jα+jφ(x3,y3)

输出面上的复振幅分布为：

I'(x3,y3)≈α2±2αφ(x3,y3)

α2项减小的更厉害，更有易于观察。中央暗场法：即全部挡掉零级衍射光（直透光）。 此时： 取滤波器函数为：

T'(u,v)=T(u,v87滤波后的频谱为：T'(u,v)=T(u,v)H(u,v)=jΦ(u,v)输出面上的复振幅分布为：t'(x3,y3)=jφ(x3,y3)输出面上的复振幅分布为：I'(x3,y3)≈φ2(x3,y3)不是线性关系，但好实现，常用。滤波后的频谱为：T'(u,v)=T(u,v88ZernikePhase-ContrastMicroscope/articles/phasecontrast/phasehome.html

ZernikePhase-ContrastMicrosc89傅立叶光学-空间滤波课件90•Filter`ssizeDisadvantages•Precisefilterfabrication•Hardtoalign•Filter`ssizeisspecimendependent•Filter`ssizeDisadvantages•91LivingCellsinBrightfieldandPhaseContrastLivingCellsinBrightfieldan928.3.2补偿滤波器(p219)和逆滤波器(p241,9.4)影响光学成像质量的因素分析光学成像系统可看成是线性空间不变系统，成像过程可看作：

gi(x,y)=fg(x,y)∗h(x,y)

Gi(u,v)=Fg(u,v)∗H(u,v)

若要理想成像，应有：h(x,y)=δ(x,y),H(u,v)=1.成像质量的好坏由系统的脉冲响应或传递函数的性能决定。若系统的脉冲响应或传递函数存在缺陷，就会造成成像质量的下降（模糊、失真、畸变、淹没于噪声中等）。脉冲响应或传递函数的缺陷主要来源于： 成像系统的设计、元器件的加工、材料，等； 仪器装校，年久失修，等； 使用中，调焦不准，抖动，目标运动，大气抖动，散射，等。8.3.2补偿滤波器(p219)和逆滤波器(p241,93,

如果我们大体知道造成成像质量下降的原因，即知道系统的脉冲响应或传递函数缺陷缺陷，就可以在滤波系统的频谱面上放置一个滤波器，对传递函数的缺陷进行补偿修正，使两者乘积产生一个较为满意的频谱响应，从而改善成像质量。 实际中，需要首先分析确定造成成像质量下降的原因，建立相应的退化数学模型，选择合适的补偿滤波器函数。一.用补偿滤波器消除离焦造成的像模糊(p219,8.3.2)。在几何光学近似下，离焦系统的脉冲响应是一个均匀的圆形光斑，即：

其中：a是圆形光斑的半径，

1/πa2是归一化因子。其传递函数为：H(ρ)=2J1(2πaρ) 2πaρ是h(r)的傅立叶—贝塞尔变换。, 如果我们大体知道造成