数学中考复习 方程知识点及练习

第二讲方程专题1．方程号含有未知数的等式叫作方程．注意：定义中含有两层含义，即：方程必定是等式，即是用等号连接而成的式子；方程中必定有一个待确定的数即未知的字母．二者缺一不可．初中学过的方程有哪些？一元一次方程的定义四一元一次方程的概念只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，系数不等于0的方程叫做一元一次方程，这里的“元”是指未知数，“次”是指含未知数的项的最高次数．号2．一元一次方程的形式楷体五号标准形式：ax+b=0（其中a丰0,a,b是已知数）的形式叫一元一次方程的标准形式.最简形式：方程ax=b（a丰0,a,b为已知数）叫一元一次方程的最简形式.注意：（1）任何一元一次方程都可以转化为最简形式或标准形式，所以判断一个方程是不是一元一次方程，可以通过变形为最简形式或标准形式来验证.如方程x2+2x+1=x2-6是一元一次方程.如果不变形，直接判断就出会现错误.（2）方程ax=b与方程ax=b（a丰0）是不同的，方程ax=b的解需要分类讨论完成.等式的性质等式的性质1:等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式.若a=b,则a+m=b土m；等式的性质2：等式两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是0）或同一个整式，所得结果仍是等式.若a=b，则am=bm,—=—（m丰0）.mm注意：（1）在对等式变形过程中，等式两边必须同时进行．即：同时加或同时减，同时乘以或同时除以，不能漏掉某一边．（2）等式变形过程中，两边同加或同减，同乘或同除以的数或整式必须相同．（3）在等式变形中，以下两个性质也经常用到：①等式具有对称性，即：如果a=b，那么b=a.②等式具有传递性，即：如果a=b，b=c，那么a=c．黑体小四二元一次方程楷体五号1．二元一次方程的概念含有两个未知数，并且含未知数项的最高次数是1的方程叫二元一次方程．判定一个方程是二元一次方程必须同时满足三个条件：方程两边的代数式都是整式——整式方程；含有两个未知数——“二元”；含有未知数的项的次数为1——“一次”．楷体五号2．二元一次方程的一般形式二元一次方程的一般形式为：ax+by+c=0（a丰0,b丰0）3．二元一次方程的解使二元一次方程左、右两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．一般情况下，一个二元一次方程有无数个解．黑体小四二元一次方程组1．二元一次方程组的概念由几个一次方程组成并且含有两个未知数的方程组，叫二元一次方程组．注意：二元一次方程组不一定由两个二元一次方程合在一起：方程可以超过两个，有的方程可以只有f2x二6一元（一元方程在这里也可看作另一未知数系数为0的二元方程）.如{也是二元一次方程组.[3x-y=1二元一次方程组的解二元一次方程组的解必须满足方程组中的每一个方程，同时它也必须是一个数对，而不能是一个数．楷体五号二元一次方程组的解法（1）代入消元法代入法是通过等量代换，消去方程组中的一个未知数，使二元一次方程组转化为一元一次方程，从而求得一个未知数的值，然后再求出被消去未知数的值，从而确定原方程组的解的方法．代入消元法是解二元一次方程组的基本方法之一．“消元”体现了数学研究中转化的重要思想，代入法不仅在解二元一次方程组中适用，也是今后解其他方程（组）经常用到的方法．从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数，例如y,用另一个未知数如x的代数式表示出来，即写成y=ax+b的形式；y=ax+b代入另一个方程中，消去y,得到一个关于x的一元一次方程；解这个一元一次方程，求出x的值；回代求解：把求得的x的值代入y=ax+b中求出y的值，从而得出方程组的解.{x=a的形式．y=b（2）加减消元法加减法是消元法的一种，也是解二元一次方程组的基本方法之一．加减法不仅在解二元一次方程组中适用，也是今后解其他方程（组）经常用到的方法．用加减法解二元一次方程组的一般步骤：变换系数：把一个方程或者两个方程的两边都乘以适当的数，使两个方程里的某一个未知数的系数互为相反数或相等；加减消元：把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；解这个一元一次方程，求得一个未知数的值；回代：将求出的未知数的值代入原方程组中，求出另一个未知数的值；{x=a的形式．y=b加减消元方法的选择：一般选择系数绝对值最小的未知数消元；当某一未知数的系数互为相反数时，用加法消元；当某一未知数的系数相等时，用减法消元；某一未知数系数成倍数关系时，直接对一个方程变形，使其系数互为相反数或相等，再用加减消元求解；当相同的未知数的系数都不相同时，找出某一个未知数的系数的最小公倍数，同时对两个方程进行变形，转化为系数的绝对值相同，再用加减消元求解．小四【题°1】若方程组］；：:5b:3爲的解是［；:：2则方程组［；：；:2）:5（y:1）:3爲的解是（）A．x:6.3y:2.2Ix:8.3B-A．x:6.3y:2.2Ix:8.3B-L:1.2．Ix:10.3uIy:2.2D.〔X：1°3Iy:0.2【题02】三个同学对问题喏方程组|aix：biy：C1的解是［x：3，求方程组|3aix：2biy：5ci的解•"提出Iax:by:cIy:4I3ax:2by:5c222222各自的想法-甲说：“这个题目好象条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以5，通过换元替代的方法来解决参考他们的讨论，你认为这个题目的解应该.I5x：6y:8z:12【题03】解方程组：＜x:4y:z:：12x:3y一4z:5I2x：y：z:2解方程组：Ix:2y:z:4Ix:y:2z:6Ix:y:z:11①解方程组：Iy:z:x:3②Iz:x:y:1③题04】解方程组：Ix:x:x:1①23x:x:x:2②34Ix:x:x:3③45x:x:x:4④51Ix:x:x:5⑤12二（多）元一次方程组的应用楷体五号1．和差倍分问题【题05】小英和小强相约一起去某超市购买他们看中的随身听和书包，小英说书包和随身听的单价之和为452元，而小强则提及随身听的单价比书包单价的四倍少8元．你能根据他们的谈话内容，求出他们看中的随身听和书包单价各是多少元吗？题06】甲、乙、丙三位同学去看电影，甲买电影票，乙付车费，丙买了饮料，共花掉48元，如果电影票费是饮料费的2倍与汽车费的和，饮料费是汽车费的2倍，求他们各付了多少钱？2．工程问题【题07】有一项工程，甲单独做a天完成，乙单独做b天完成（a,b都是正整数），现在由甲先做4天，余下的由甲、乙合作3天完成，求a，的值.3．行程问题题08】一个人某天骑车上班比平时每分钟快10米，结果提前5分钟到达工作地点，下班时，每分钟比平时慢10米，结果晚到家7分钟．问他从家到工作单位的距离是多少？4.产品配套问题【题09】一套电器配件包括6个零件A，4个零件B，2个零件C.一车间共有43名工人，每个工人每小时可加工15个零件A，或12个零件B，或9个零件C.要使生产零件配套，应分配加工零件A、B、C的人数各多少？5.商品利润问题（利润率）题10】某电子产品去年按定价的80%出售，能获20%的利润．今年由于买入价低，按去年同样定价的75%出售，能获25%的利润．问今年买入价是去年买入价的几折？6.方案决策问题号【题11】某商场计划拨款9万元从厂家购进50台电视机．已知该厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为：甲种每台1500元，乙种每台2100元，丙种每台2500元．（1）若商场同时购进两种不同型号的电视机50台，共付9万元，请探究一下商场的进货方案；（2）若商场销售一台甲种电视机可获利150元，销售一乙种电视机可获利200元，销售一台丙种视机可获利250元．在同时购进两种不同电视机的方案中，哪种能使获利最大？（3）若商场准备用9万元同时购进三种不同型号的电视机50台，请你设计进货方案．【题12】甲校和乙校各有旧电脑12台和6台，现决定送给贫困地区的A校10台，B校8台.已知从甲校调一台电脑到A校、B校的运费分别为40元和80元；从乙校调运一台电脑到A校、B校的运费分别为30元和50元．那么总运费最低的运费方案的最低运费是多少？一元二次方程的定义一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．—元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a丰0）,a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项.⑴要判断一个方程是否是一元二次方程，必须符合以下三个标准：一元二次方程是整式方程，即方程的两边都是关于未知数的整式.一元二次方程是一元方程，即方程中只含有一个未知数.一元二次方程是二次方程，也就是方程中未知数的最高次数是2.⑵任何一个关于x的一元二次方程经过整理都可以化为一般式ax2+bx+c=0（a丰0）.要特别注意对于关于x的方程ax2+bx+c=0，当a丰0时，方程是一元二次方程；当a-0且b丰0时，方程是一元一次方程．⑶关于x的一元二次方程式ax2+bx+c=0（a丰0）的项与各项的系数.ax2为二次项，其系数为a;bx为一次项，其系数为b;c为常数项.二、—元二次方程的解法—元二次方程的解法：⑴直接开平方法：适用于解形如（x+a）2=b（b>0）的一元二次方程.⑴配方法：解形如ax2+bx+c=0（a丰0）的一元二次方程，运用配方法解一元二次方程的一般步骤是：二次项系数化1.常数项右移.配方（两边同时加上一次项系数一半的平方）.化成（x+m）2=n的形式.若n>0，选用直接开平方法得出方程的解.⑴公式法：设一元二次方程为ax2+bx+c=0（a丰0），其根的判别式为：△=b2-4ac，x,x是方程的两根，则：12⑴A>0o方程ax2+bx+c=0（a丰0）有两个不相等的实数根x=-b土'b2-4ac.1,22a⑴A=0o方程ax2+bx+c=0（a丰0）有两个相等的实数根x=x=-2.122a⑴A<0o方程ax2+bx+c=0（a丰0）没有实数根.若a、b、c为有理数，且A为完全平方式，则方程的解为有理根;若A为完全平方式，同时—b土\；b2-4ac是2a的整数倍，则方程的根为整数根.运用公式法解一元二次方程的一般步骤是：把方程化为一般形式确定a、b、c的值．计算b2-4ac的值．若b2-4ac>0，则代入公式求方程的根.若b2-4ac<0，则方程无解.⑴因式分解法：适用于方程一边是零，另一边是一个易于分解的多项式.—元二次方程解法的灵活运用直接开方法，配方法，公式法，因式分解法．在具体解题时，应当根据题目的特点选择适当的解法．⑴因式分解法：适用于右边为0（或可化为0），而左边易分解为两个一次因式积的方程，缺常数项或含有字母系数的方程用因式分解法较为简便，它是一种最常用的方法．⑴公式法：适用于任何形式的一元二次方程，但必须先将方程化为一般形式，并计算一4ac的值.⑴直接开平方法：用于缺少一次项以及形如ax2=b或（x+a）2=b（b三0）或（ax+b匕=（cx+d匕的方程，能利用平方根的意义得到方程的解.⑴配方法：配方法是解一元二次方程的基本方法，而公式是由配方法演绎得到的．把一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，a丰0）转化为它的简单形式Ax2=B，这种转化方法就是配方，

(bb2)(b2A(bAax2+bx+(bb2)(b2A(bAax2+bx+c=ax2+x++c——=ax+—(a4a2丿I4a丿I2a丿具体方法为：所以方程ax2+bx+c=024ac—b2+4a(a、b、c为常数，a丰0)就转化为(bA即x+—(2a丿二、一元二次方程的解法1．直接开平方法【例1】2=b2—4ac4a2之后再用直接开平方法就可得到方程的解．解关于x的方程:4(2x-5)2=9(3x-1)2例2】2．配方法用配方法解方程x2-6x-4=0例3】3．公式法用公式法解方程24ac—b2+〒的形式因式分解法【例4】用因式分解法解方程：8x2+10x—3=0【例5】解方程6x(x—2)=(x—2)(x+3)5．换元法【例6】解方程(x-5)2=(x-5)+4【例7】解方程x4—6x2+5=0，这是一元四次方程，根据该方程的特点，它的通常解法是：设x2=y，那么x4=y2，于是原方程可化为y2—6y+5=0①，解这个方程得y=1，y=5.12当y=1时，x2=1，x=±1；当y=5时，x2=±、：5.故原方程有四个根：x=1，x=—1，x=，x=—\：5.的数学思想;⑴填空：由原方程得到①的过程中，利用法达到降次的目的，体现了的数学思想;⑴解方程(x2—x1—4(x2—x)—12=0.【例8】解方程：(X2+3x)2—2(x2+3x)-8=0一、韦达定理如果ax2+bx+c=0（a丰0）的两根是x,x，则x+x=一—,xx=—.（隐含的条件：、工0）1212a12a特别地，当一元二次方程的二次项系数为1时，设x,x是方程x2+px+q=0的两个根，则x+x=—p,1212x・x=q・12二、韦达定理的逆定理以两个数x，x为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x2—（x+x）x+xx=0.121212bc一般地，如果有两个数x，x满足x+x=——，xx=—，那么x，x必定是ax2+bx+c=0（a丰0）1212a12a12的两个根.三、韦达定理与根的符号关系在△=—2—4ac三0的条件下，我们有如下结论：⑴当-<0时，方程的两根必一正一负.若--三0，则此方程的正根不小于负根的绝对值；若--<0，

aaa则此方程的正根小于负根的绝对值.⑵当->0时，方程的两根同正或同负.若-->0，则此方程的两根均为正根；若--<0，则此方程aaa的两根均为负根.更一般的结论是：若x，x是ax2+bx+c=0(a丰0)的两根(其中x>x)，且m为实数，当0时，一般地：1212(x-m)(x-m)<0ox>m，x<m1212(x—m)(x—m)>0且(x—m)+(x—m)>0ox>m，x>m121212(x—m)(x—m)>0且(x—m)+(x—m)<0ox<m，x<m121212特殊地：当m=0时，上述就转化为ax2+bx+c=0(a丰0)有两异根、两正根、两负根的条件.其他有用结论：⑴若有理系数一元二次方程有一根a+Jb，则必有一根a-^b（a，b为有理数）.⑵若ac<0，则方程ax2+bx+c=0（a丰0）必有实数根.⑶若ac>0，方程ax2+bx+c=0（a丰0）不一定有实数根.（4）若a+b+c=0，贝Uax2+bx+c=0（a丰0）必有一•根x=1.（5）若a-b+c=0，贝Uax2+bx+c=0（a丰0）必有一•根x=-1.四、韦达定理的应用

⑴已知方程的一个根，求另一个根以及确定方程参数的值；⑵已知方程，求关于方程的两根的代数式的值；⑶已知方程的两根，求作方程；⑷结合根的判别式，讨论根的符号特征；⑸逆用构造一元二次方程辅助解题：当已知等式具有相同的结构时，就可以把某两个变元看作某个一元二次方程的两根，以便利用韦达定理；⑹利用韦达定理求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的A.—些考试中，往往利用这一点设置陷阱．【例1】若方程x2-4x+c=0的一个根为2+-J3，则方程的另一个根为如果实数a,b满足a2-13a-14=0,b2-13b-14=0，贝V-+a的值为多少？ab【例10】实数k为何值时，关于x的一元二次方程X2-(2k-3)x+(2k-4)=0.⑴有两个正根？⑴两根异号，且正根的绝对值较大？⑴一根大于3，一根小于3？【例11】已知关于x的方程x2-mx+2m-1=0的两个实数根的平方和为23,求m的值x、1x是方程2x2-3x-5=x、12（1）x2+x2（2）|x一x⑶）x2+3x2一3x1212122【例12】已知x，x是方程x2-3x+1=0