安徽省合肥市2022届高三下学期冲刺最后一卷理科数学试题（含答案与解析）

合肥一中2022届高三冲刺最后一卷

数学(理科)(时间：120分钟分值：150分)注意事项：.答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上..回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效..考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题(共12题，每题5分，共60分.在每题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的.)1,已知集合4={讣"一21<1},B={"log2”<l},则Ar)3=()A(0,3) B.(L2) C.(-oo,3) D.(0,2).若空1(i为虚数单位)是实数，则实数。值为()1+2，TOC\o"1-5"\h\z3 3A.-6 B.— C.6 D.2 2nh.已知为正实数，则“——《2”是“。〃<16”的()a+bA.充要条件 B.必要不充分条件C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件.黎曼函数是一个特殊的函数，由德国著名的数学家波恩哈德•黎曼发现提出，在高等数学中有着广泛的,、P■，当x= 都是正整数，幺是既约分数］应用，其定义为：R(x)=Jp p ),若函数f(x)是定义在R上0,当x=0,1或［0,1］上的无理数的偶函数，且对任意x都有/(2+x)+/(x)=0,当xg［0,1］时，f(x)=R(x),则/(1g2022)+/(30+平)()TOC\o"1-5"\h\z2 2 1A.- B.- C.—— D.一一5 5 5 55.如图，圆锥的轴截面A8C为正三角形，其面积为46，。为弧A8的中点，E为母线8c的中点，则异而直线AC,。石所成角的余弦值为( )cA.E B.也 C・迈 D・也4 2 3 3.某校有5名大学生打算前往观看冰球，速滑，花滑三场比赛，每场比赛至少有1名学生且至多2名学生前往，则甲同学不去观看冰球比赛的方案种数有（）A.48 B.54 C.60 D.72.已知数列｛%｝的前〃项和为S”，且。"+尸小+2"|,a\=2,若S会128,则"的最小值为（）A.5 B.6 C.7 D.8.已知点P在直线x+y=4上，过点尸作圆O:V+y2=4两条切线，切点分别为A,B,则点M（3,2）到直线AB距离的最大值为（）A.42 B.73 C.2 D.759.足球场上有句顺口溜：冲向球门跑，越近就越好：歪着球门跑，射点要选好在足球比赛中，球员在对方球门前的不同的位置起脚射门对球门的威胁是不同的，射点对球门的张角越大，射门的命中率就越高.如图为标准对称的足球场示意图，设球场长A8=a,宽BC=b,球门长打2=6.在某场比赛中有一位左边锋球员欲在边线A8上点用处射门，为使得张角NPMQ最大，则（）A.yla2-bm B-"；m C. D.Ja1一力+病.设函数/(幻=/k2+炭-1)(_4<x<4),若/(2x+l)+/⑵</(l-2x),则X的取值范围是(.过抛物线后：，2=2〃*（〃>0）焦点F的直线交抛物线于人，8两点，过A,B分别向£的准线作垂线，垂足分别为C,D,若aAC户与的面积之比为4,则直线A8的斜率为（ ）A.±1 B.+5/3 C.+2 D.+2也12.双曲函数在实际生活中有着非常重要的应用，比如悬链桥.在数学中，双曲函数是一类与三角函数类似的函数，最基础的是双曲正弦函数sinhx= 和双曲余弦函数coshx= 下列结论错误2 2的是()coshx+sinhx>x+lsinh(x+y)=sinhxcoshy+coshxsinhyC.若y=/n与双曲余弦函数G和双曲正弦函数G共有三个交点，分别否,马，七，则X+X2+X3Nln(l+V2)D.已知函数/(工)=/-l+acoshx,acR,则函数f(x)零点的个数所有可能值构成的集合为｛0,1,2｝二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分)2 2.已知双曲线C：—-^=1(b>0),以C焦点为圆心，3为半径的圆与C的渐近线相交，则双曲4b2线C的离心率的取值范围是..已知a>0,Z?>0,向量比=(a+2b,-9),n=(8,ab),若沅则2。+人的最小值为.“中国剩余定理”又称“孙子定理”，讲的是一个关于整除的问题.现有这样一个整除问题：将1到2021这2021个数中，能被3除余2且被5除余2的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列｛小｝,则此数列所有项中，中间项的值为..如图，将正四面体每条棱三等分，截去顶角所在的小正四面体，余下的多面体就成为一个半正多面体，亦称''阿基米德体”.点A,B,M是该多面体的三个顶点，点N是该多面体表面上的动点，且总满足MNJ.AB,若A5=4，则该多面体的表面积为,点N轨迹的长度为.三、解答题(共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17〜21既为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.)一3(b-ccosA) /r iftanC八… (八7人一〜皿.在① -=V3tz,②:=:|——-+1,③csinB=bcos|C-二|这二个条件中任选一sinC b2(tan8) V6J个，补充在下面的问题中，并解答问题.在aABC中，内角A、8、C的对边分别为a,b,C,且满足.(1)求C;(2)若aABC的面积为10ji，。为AC的中点，求的最小值..已知四棱锥E—ABCO中，四边形4BCC为等腰梯形，AB//DC,AO=OC=2,AB=4,4ADE为等边三角形，且平面A£)E_L平面4BCD(1)求证：AELBD；(2)是否存在一点凡满足而:=/丽(O<A<1),且使平面A。尸与平面BCE所成的锐二面角的余弦值为遐.若存在，求出；I的值，否则请说明理由.13.北京2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”一亮相，好评不断，这是一次中国文化与奥林匹克精神的完美结合，是一次现代设计理念的传承与突破.为了宣传2022年北京冬奥会和冬残奥会，合肥一中决定安排5名志愿者将两个吉祥物安装在合一广场，活动共分3批次进行每次活动需要同时派送2名志愿者，且每次派送人员均从5人中随机抽选.已知这5名志愿者中，2人有安装经验，3人没有安装经验.(1)求5名志愿者中的“小明”，在这3批次安装活动中有且只有一次被抽选到的概率；(2)求第二次抽选时，选到没有安装经验志愿者的人数最有可能是几人？请说明理由：(3)现在需要2名志愿者完成某项特殊教学任务，每次只能派一个人，且每个人只派一次，如果前一位志愿者一定时间内不能完成教学任务，则再派另一位志愿者.若有A、8两个志愿者可派，他们各自完成任务的概率分别为R，鸟，假设1>[>鸟，且假定各人能否完成任务的事件相互独立.若按某种指定顺序派人，这两个人各自能完成任务的概率依次为名,%,其中劣,%是4、鸟的一个排列，试分析以怎样的顺序派出志愿者，可使所需派出志愿者的人员数目的数学期望达到最小..在平面直角坐标系中，4，&两点的坐标分别为(一2,0),(2,0),直线AM,4M.相交于点M且它们的斜率之积是-』，记动点M的轨迹为曲线E.过点E(L0)作直线/交曲线E于P,Q两点，且点P4位于x轴上方.记直线4Q,A2P的斜率分别为匕，k2.k.(1)证明：3■为定值：(2)设点。关于x轴的对称点为Oi，求△PFQ面积的最大值..已知f(x)=2e"—xsinx.(1)求/(x)在xe[O,兀]上的最小值：(2)设:〃(xcosx-sin尤)=6*-0.5/一3一1,在xw[0,兀]上有两个实根，求m的取值范围.选考题，共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.选修4-4：坐标系与参数方程(3、 \x-acosa.在平面直角坐标系xOy中，己知曲线E经过点P1,力，其参数方程为{ 厂,(a为参数)，以I2J [y=>/3sina原点。为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线E的极坐标方程；11(2)若直线/交曲线E于点A,B,且OAJ_OB,求不■方+寸二方的值.OA\|OB\选修4-5：不等式选讲23.已知函数f(x)=|2x-l|+|x+l].(1)解不等式/(x)N2；(2)记函数f(x)的最小值为由，若为正实数，且2a+b=4m,求的最大值.参考答案一、选择题(共12题，每题5分，共60分.在每题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的.)1,已知集合4={》「一2]<1},8={疝og2》<l},则Af!3=()A.(0,3) B.(1,2) C.(y,3) D.(0,2)【答案】B【解析】【分析】首先求出集合A、B,再根据交集的定义计算即可；【详解】VA={x||x-2|<1),B={x|log2x<l}所以4={x[l<x<3},8={x|0<x<2}即A=(l,3),3=(0,2),Ac8=(1,2),故选：B.【点睛】本题考查集合的运算以及绝对值不等式、对数不等式的解法，属于基础题.

.若史3（i为虚数单位）是实数，则实数a的值为（）+2/TOC\o"1-5"\h\z3 3A.—6 B.— C.6 D.2 2【答案】B【解析】【分析】利用复数的除法化简复数@士老，利用复数@士考为实数可求得实数。的值.1+2i 1+2i【详解】..9=—【详解】..9=—=।件廨J-1+2Z(1+2z)(l-2z)a+63-2a.,、,,三一+三一，为实数，则3—加=0,故选：B..已知a,b为正实数，则“0-W2”是“4人416”的（）a+bA.充要条件 B.必要不充分条件C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】由abW16,利用均值不等式，可证明"-W2；若"-W2,举反例可知。力416不一定成a+ba+b立，即得解【详解】由。，b为正实数，.•.a+b22J茄，当且仅当a=b时等号成立甘I八7—rzoab,abyjah1c/山、,若ab416,可得 <—,== <—V16=2,故必要性成立;a+b2\Jab2 2当a=2,b=10,此时」但访=20>16,故充分性不成立;a+b因此“旦-<2”是“a。W16”的必要不充分条件a+b故选：B.黎曼函数是一个特殊的函数，由德国著名的数学家波恩哈德•黎曼发现提出，在高等数学中有着广泛的/、［■，当x= 都是正整数，幺是既约分数］应用，其定义为：R（x）=JpP\ P ）,若函数f（x）是定义在R上0,当x=0,1或［0,1］上的无理数的偶函数，且对任意x都有/(2+x)+/(x)=0,当xe[0,l]时，/(x)=/?(%),则f(lg2022)+，30+孥1()【答案】D【解析】【分析】根据函数的奇偶性及周期性结合黎曼函数的解析式即可求解.【详解】由f(2+x)+/(x)=0n/(2+x)=-/(x)=>/(x+4)=/(x),可得/(幻的周期为4,又/(刈是定义在R上的偶函数，则/dg2022)=/(-1g2022)=/(4-lg2022)=/(1g黑)=R(lg黑)=。，3+甯=小+步同ti)=_”322)+小m故选：D..如图，圆锥的轴截面ABC为正三角形，其面积为46，。为弧A8的中点，E为母线8C的中点，则A>/2 Dy/2 r\[6 y/34 2 3 3【答案】B【解析】【分析】取AB中点。为底面圆圆心，可证NOEO是异而直线AC,0E所成角或其补角.由轴截面面积求得图中线段长，由轴截面与底面垂直可证得OE_LO。，从而可得异面直线所成角.【详解】由题意火402=4百，AC=4,4取AB中点。为底面圆圆心，连接OE,OD,。为弧A5中点，则。OJ.AB,△ABC是轴截面，则平面A8C1平面/曲，又OOu平面/记。，平面ABCPI平面/题，所以。平面ABC,而OEu平面ABC,所以OO_LOE,又E是CB中点，则O£〃AC,

所以NOEO是异而直线AC,0E所成角或其补角.且OE=，AC=2,OD=OA=2,所以NOEB=%,cosZOED=—2 4 2异而直线AC,DE所成角的余弦值为先.2故选：B.D【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是（0,^,当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角.6.某校有5名大学生打算前往观看冰球，速滑，花滑三场比赛，每场比赛至少有1名学生且至多2名学生前往，则甲同学不去观看冰球比赛的方案种数有（）A.48 B.54 C.60 D.72【答案】C【解析】【分析】先分组，再考虑甲的特殊情况.【详解】将5名大学生分为1-2-2三组，即第一组1个人，第二组2个人，第三组2个人，共有受詈共有受詈=15种方法;由于甲不去看冰球比赛，故甲所在的组只有2种选择，剩下的2组任意选,所以由2A；=4种方法;按照分步乘法原理，共有4x15=60种方法;故选：C..已知数列｛痣｝的前〃项和为£,且加尸厮+2"7,ai=2,若S仑128,则〃的最小值为（）A.5 B.6 C.7 D.8【答案】c【解析】【分析】由数列的递推式，求得数列的前几项可得选项.【详解】解：数列｛〃〃｝的前〃项和为且。〃+1=。〃+2〃I0=2,当〃=1时，解得〃2=3,当〃=2时，解得〃3=5,...,。7=65,所以S7=〃i+a2+…+。7=134,由于&=69,当行7时，满足S2128,故选：C..已知点P在直线x+y=4上，过点尸作圆O:V+y2=4的两条切线，切点分别为A,B,则点知(3,2)到直线AB距离的最大值为()A.72 B.& C.2 D.75【答案】D【解析】【分析】假设点P(a,b),然后得到以OP为直径的圆的方程，与己知圆的方程作差可得直线AB的方程,然后可知直线AB过定点(1,1),最后简单判断和计算可得结果.【详解】设尸(。4)，则。+%=4,以op为直径的圆的方程是(x-1) =；(/+/〉与圆。的方程/+产=4相减，得直线AB的方程为ox+by=4,即以+b一4=0,因为a+8=4,所以6=4-。，代入直线AB的方程，得方+(4-a)y-4=0,即a(x-y)+4y-4=0,当x=y且4y—4=0,即x=l,y=l时该方程恒成立，所以直线AB过定点ML1)，点M到直线48距离的最大值即为点M,N之间的距离，|MN|=6，所以点M(3,2)到直线A8距离的最大值为6.故选:D【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于得到直线A8的方程以及观察得到该直线过定点.9.足球场上有句顺口溜：冲向球门跑，越近就越好；歪着球门跑，射点要选好在足球比赛中，球员在对方球门前的不同的位置起脚射门对球门的威胁是不同的，射点对球门的张角越大，射门的命中率就越高.如图为标准对称的足球场示意图，设球场长4?=。，宽BC=b,球门长PQ=m.在某场比赛中有一位左边锋球员欲在边线A8上点M处射门，为使得张角NPMQ最大，则()

A.\jcr-bm B.°J C.--- D.J/一从十病【答案】B【解析】【分析】设AM=x,利用两角差的正切公式求出tanNPMQ,再由均值不等式求最值即可求解.【详解】设Ap则tanNAMP=——AMb—tn „AQb+mAM2xb+mh—Ap则tanNAMP=——AMb—tn „AQb+mAM2xb+mh—ni所以tanNPMQ=2」_与,b'-m'1+ r—4x22mgb2-nr2x因为2x+^-—>2ylb2-m2，当且仅当2x=2x亡?匕，即X=O'一加等号成立,2x 2所以X=一时,tan4PMQ有最大值“〃展--m,由正切函数单调性知，此时张角NPMQ最2 b—m大.故选：B10.设函数/(x)=xx2+e|r|-l)(-4<x<4),若/(2x+l)+/(2)</(l-2x),则x的取值范围是【答案】A【解析】【分析】确定函数为奇函数，证明函数为增函数，构造函数g(x)=f(l+2x)+_/X2)-/(l-2x),确定其单调性，而不等式化为g(x)<g(-g),利用单调性解不等式.注意函数的定义域.【详解】函数y=/(x),xe(-4,4),定义域关于原点对称，且f(_x)=-x3(x2+ew-!)=-/(%),所以f(x)是奇函数，当x€[0,4)时，y=/(x)..0,0<X]<x2<4,则04片<<,0«片+阴_1<考+$的_],

所以其(4+e闻—l)<¥(《+e同一1),即/(%)</(当)，所以函数f(x)单调递增，所以当xe(—4,0］时，函数f(x)单调递增，所以函数f(x)当xe(T,4)单调递增3 3所以令Y<l+2x<4,-4<l-2x<4.解得一-<x<一,2 2令g(x)=/(I+2x)+/(2)-/(l-2x),则g(x)在(T,4)上单调递增，原不等式可化为g(x)<0,而g(—g)=/(0)+/(2)-/(2)=0,所以g(x)<g(一孑］，解得1<一；,则一［〈工<一：，即解集为(一不，一不).故选：A.“.过抛物线后：丁=2”*(〃>0)焦点/7的直线交抛物线于人，8两点，过A,8分别向E的准线作垂线，垂足分别为C,D,若aAC户与aBOE的面积之比为4,则直线45的斜率为( )A.±1 B.±^3 C.±2 D.±272【答案】D【解析】【分析】由抛物线的定义可得AC=Ae8。=5/"然后由S-cf=4S的f可得|Ab|=2|M|,设4(4,凹),8(毛,%)，直线A5:x=2y+5,然后可得％=-2%,%+必=2p，〃,切为=一。？，然后求出m2=一即可.8【详解】【详解】由抛物线的定义可得AC=AF,BD=BF1 9 1 .因为sinNCAFusinZDB/7,S^ACF=-\AF\"sinZ.CAF,SnBDF=-|5F|-sinZDBF,S^ACF=4SaBDF所以|AF|=2忸同，设4(5,,),8(孙必)，直线人从工二冲+5由|AF|=2忸内可得y=-2y2联立上一"+2可得V-2/wiy-/J?=0,所以y+y2=2pm,yy2=一〃？|y=2px结合y=-2%可得一%=2pm,-2y2?=-p2，可解得病=：8所以直线A8的斜率为土J—I=±2V"故选：D12.双曲函数在实际生活中有着非常重要的应用，比如悬链桥.在数学中，双曲函数是一类与三角函数类似的函数，最基础的是双曲正弦函数sinhx= 和双曲余弦函数coshx==一.下列结论错误2 2的是()coshx+sinhx>x+lsinh(x+y)=sinhxcoshy+coshxsinhyc.若、=机与双曲余弦函数C1和双曲正弦函数g共有三个交点，分别为用,工2，为，则X+W+X3Nln(l+V2)D.已知函数/(x)=x2-i+acoshx,aeR,则函数f。)零点的个数所有可能值构成的集合为{0,1,2}【答案】D【解析】【分析】利用指数的运算、指数函数图像以及双曲正弦、余弦函数的定义可判断各选项的正误.【详解】对A.coshx+sinhx=-——-~~+」—=ex,设g(x)=e*-x-l,g'(x)=e*-l,2当x<0时，g'M<0,函数g(x)单调递减；当x>0时，g'(x)>0,函数g(x)单调递增；则当x=0时，g(x)取得极小值也是最小值g(0)=0,则g(x)N0,即e，Nx-1，则以)5111+§11±工之工+1成立，故A正确，(ev-e-x)(ev+e-v)+(e^4-e^)(ev-e-y)对B,sinhxcoshy+coshxsinhy= - 4 -4便+re'7-er-er』+(e1-e-+er-eg)e--e-石“心+小故B正确，对C.函数sinhx=e'-e*是奇函数,且单调递增，函数的值域为R,2若y=/n与双曲余弦函数和双曲正弦函数，共有三个交点，则机>1,QX-Q~X由双曲余弦函数为偶函数，得%+%=0,则由 >1,得e*-eT>2，2 "即侬)2-29-1>0,得e、>l+&，得x>ln(l+&),即x,>ln(l+夜)，则％+%+七>ln(l+J5),故C正确，对D.函数/(x)=x?-1+acoshx,agR,,当。取-0.5时，可以说明有4个零点故选：D.二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分)13.已知双曲线C：—-^-=1(Z?>0),以C的焦点为圆心，3为半径的圆与C的渐近线相交，则双曲4b2线C的离心率的取值范围是.【答案】(4)【解析】【分析】根据圆心到直线的距离小于半径，即可得c的范围，进而可得离心率范围.b【详解】双曲线C的渐近线方程为丁=±1'，右焦点尸(c,0),•.•渐近线与圆相交，14.已知a>0,b>0,向量庆=(a+2b,-9),n=(8,ab),若而_1_弁，贝！］2a+力的最小值为【答案】8【解析】【分析】由数量积垂直的坐标表示人得出关系，然后由基本不等式得最小值.【详解】根据题意，向量比=(a+2b,-9),n=(S,ab),129若沅_L”，则比•万=8(a+2b)-9ab=0,即8(。+2。)=9ab,变形可得一+—=一，ba8TOC\o"1-5"\h\zs, 8 9,c ,、8(\ ,、8( 2a 2b\则2。+占=六*£(2。+6)==*|—+—\(2a+b)=—x5+—H ,9 8 9\b aj 9v b a),2a2bJabyA,「， 〜「、又由a>0,h>0,则=H =2—+—..4,当且仅当a=b时等号成立，baybaJ,8(.2a2b18z_..o则2a+=—x5H 1 ...~x(5+4)=8,91baJ9则2a+h的最小值为8故答案为：8..“中国剩余定理''又称"孙子定理”，讲的是一个关于整除的问题.现有这样一个整除问题：将1到2021这2021个数中，能被3除余2且被5除余2的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列｛小｝,则此数列所有项中，中间项的值为.【答案】1007【解析】【分析】由题可得q=15〃-13,可判断｛勺｝共有135项，且中间项为第68项，即可求出.【详解】由题意可知，,-2既是3的倍数，又是5的倍数，所以是15的倍数，即4—2=15(〃-1),所以。〃=15/?-13,当〃=135时，=15x135-13=2012<2021,当〃=136时，^136=15x136-13=2027>2021,故〃=1,2,3,…,135,数列｛4｝共有135项，因此数列中间项为第68项，且《8=15x68-13=1007.故中间项的值为1007.故答案为：1007..如图，将正四面体每条棱三等分，截去顶角所在的小正四面体，余下的多面体就成为一个半正多面体，亦称“阿基米德体”.点A,B,M是该多面体的三个顶点，点N是该多面体表面上的动点，且总满足若A8=4,则该多面体的表面积为，点N轨迹的长度为.【答案】①.112百 ②.8+8百【解析】【分析】先求出正四面体的表面积，由该多面体是正四面体截去顶角所在的小正四面体，得出小正四面体的侧面面积和底面面积可得答案；通过证明A8垂直于一截面，从而得出点N的轨迹，可得答案.【详解】根据题意该正四面体的楼长为3AB=12,点A,B,M分别是正四面体的楼三等分点.该正四面体的表面积为4x,xl2xl2xsin6（）o=14462该多面体是正四面体截去顶角所在的小正四面体每个角上小正四面体的侧面面积为3x,x4x4xsin60°=126>2每个角上小正四面体的底面面积为一x4x4xsin60°=462所以该多面体的表面积为：144G-4xl2G+4x4G=112ji如图设点，为该多面体的一个顶点，则H/=8=HM=A/E,在△”心中，HB2=//F2+BF2-2B////Fcos60°=82+42-2x4x8x-!-=482则HB= ,所以HB2+BF2="尸，即HBLBF同理A/5= ,MS_LA3,由 3,所以AB_L平面MB”.由点N是该多面体表面上的动点，且总满足则点N的轨迹是线段MB,HB,MH所以点N轨迹的长度为：MB+//B+M/7=8+4>/3+473=8+8x/3故答案为：（1）11273 （2）8+8百M【点睛】关键点睛：本题考查求多面体的表面积和求动点轨迹的长度问题，解答本题的关键是先证明AB_L平面MB”,得出点N的轨迹是线段MB,“8,M"，从而求解，属于中档题.三、解答题(共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17〜21既为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.).3(/?-ccosA)/r_aiftanCA-n, (八7_一..在①二 =V3tz,②一=一| +1 ③csinB=bcos|C——|这二个条件中任选一sinC b2UanB) V6J个，补充在下面的问题中，并解答问题.在aABC中，内角A、8、C的对边分别为a,b,C,且满足.(1)求C；(2)若aABC的面积为loji，。为AC的中点，求3。的最小值.TT【答案】(1)-3⑵26【解析】【分析】(1)选①时，利用正弦定理边化角得sinB-sinCcosA=——sinAsinC，又3sinB=sin(A+C),代入整理得sinAcosC=Y3sinAsinC，化简即可求解；选②时，利用正弦定理边3化角得s'""=sin('+C),又sin(8+C)=sinA,代入整理得25出48%。5皿3=5吊851114,化简sinB2cosCsinB即可求解；选③时，利用正弦定理边化角得sinCsin8=sinBcos(cq),即sinC=cos[c-力，再利用两角差的余弦公式展开得sinC=@cosC+』sinC，化简即可求解；(2)根据面积公式得"=40,2 2再利用余弦定理得BD2=a2+---ab,再利用基本不等式求最值即可.42【小问1详解】

选①时，3s利用正弦定理得：sinB-sinCeosA=—sinAsinC»

smC 3、万由于8=tt—(A+C),所以sin8=sin(A+C),故sinAcosC=」•sinAsinC，3又4£(0,4)，sinAwO,整理得tanC=6，7TsinA_1[sinsinA_1[sinCcos3十1)sin(B+C)sinB2cosCsinB)2cosCsinB即2sinAcosCsinB=sinBsinA,选②时，空5+1]，利用正弦定理得：b2(tan8 )由于A+C+3=7r,所以sin(8+C)=sinA,又Ae(O,4),sinA#0,Be(O,^),sinB/O,故cosC=],0<C<%,故C=g.选③时，csinB=/?coslC--j,利用正弦定理得：sinCsinB=sinBcosfC一看卜又3e(O,;r),sinB^O,整理得又3e(O,;r),sinB^O,整理得sinC=cosC I6—cosC+-sinC.2 2所以sinC=GcosC，整理得tanC=G，0<C<^,故。二^.【小问2详解】由于aABC的面积为10月，所以，-absinC=^ab~=10y/3，解得ab=40.在△BCD中，由余弦定理得：BD2=a2+---abcosC=a2+----ab>2a---ab=-ab^2Q,4 42 22 2故8。22石，当且仅当即。=26，b=4也,BD最小值为26.218.已知四棱锥E—4BCQ中，四边形ABCD为等腰梯形，AB〃D3AD=DC=2,AB=4,△4£>£为等边三角形，且平面ADE_L平面A8CD.BB（1）求证：AEJlBD；（2）是否存在一点产，满足前=4丽（O<A<1）,且使平面4。尸与平面BCE所成的锐二面角的余弦值为y巴.若存在，求出；i的值，否则请说明理由.13【答案】（1）证明见解析；（2）存在2=:使得平面与平面所成的锐二面角的余弦值为晅.2 13【解析】【分析】（1）取AB的中点G,连接OG,证明是直角三角形，得A£）_LBO,从而由面面垂直的性质定理得线面垂直，则可得证线线垂直；（2）取AO的中点“，连接E"，证明硝，平面45。£）,以DA,OB为轴，过。平行于切的直线为z轴建立空间直角坐标系，写出各点坐标，由空间向量法求二面角的余弦值，由已知求得4,说明存在.【详解】（1）取A8的中点G,连接OG,•.•86=，48=8,86〃。。,，四边形886是平行四边

2形，DG=8C=AG=AO=2,，aA£）G为等边三角形，OG=，ABjaABD是直角三角形，2AD_L3。，；平面ADE1.平面A8C£）,8£）u平面ABC。，AO=平面AOED平面ABC£）,J_平面ADE,AEu平面ADE,AEJ_3。（2）F为E8中点即可满足条件.取AO的中点4,连接E4，则即_LAZ），取AO的中点”，连接E77,平面ADE_L平面ABC。，EHu平面E4。，所以EH_L平面ABC。，E"=J5,80=26,如图建立空间直角坐标系。一节z.则D（0,0,0）,A（2,0,0）,B（0,2班,0）,。（一1,百,0）,网1,0网，则DA=（2,0,0）,C5=（l,Ao）,E5=（-l,2>/3,->/3）,EF= =（-2,2^2,丽=（"42&,百_&）,设平面ADE的法向量为历=（内，乂，4）,平面8CE的法向量为万=（X2，N2，Z2）.

DF-in—O—— >得DAfn-0（1-4+26孙+（小网4=0,取莉=（0,12DF-in—O—— >得DAfn-0CBn=O—，得《EBn=OMPCBn=O—，得《EBn=O—x?+2>/3必-J3z2=0于是，Icos〈m,“于是，Icos〈m,“〉|=\m-n|A-1+6^|713->/522-22+1 13解得a=一或力=—（舍去）2 3【点睛】方法点睛：本题考查证明线面平行，由二面角求参数.求二面角的方法：（1）几何法（定义法）：根据定义作出二面角平面角并证明，然后解三角形得出结论；（2）空间向量法：建立空间直角坐标系，写出各点为坐标，求出二面角两个面的法向量，由两个平面法向量的夹角得二面角（它们相等或互补）.所以存在2=1使得平面ADF与平面BCE所成的锐二面角的余弦值为迤.2 1319.北京2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”一亮相，好评不断，这是一次中国文化与奥林匹克精神的完美结合，是一次现代设计理念的传承与突破.为了宣传2022年北京冬奥会和冬残奥会，合肥一中决定安排5名志愿者将两个吉祥物安装在合一广场，活动共分3批次进行每次活动需要同时派送2名志愿者，且每次派送人员均从5人中随机抽选.已知这5名志愿者中，2人有安装经验，3人没有安装经验.（1）求5名志愿者中的“小明”，在这3批次安装活动中有且只有一次被抽选到的概率；（2）求第二次抽选时，选到没有安装经验志愿者的人数最有可能是几人？请说明理由；（3）现在需要2名志愿者完成某项特殊教学任务，每次只能派一个人，且每个人只派一次，如果前一位志愿者一定时间内不能完成教学任务，则再派另一位志愿者.若有4、8两个志愿者可派，他们各自完成任务的概率分别为耳，P2,假设1>[>鸟，且假定各人能否完成任务的事件相互独立.若按某种指定顺序派人，这两个人各自能完成任务的概率依次为/，%,其中%是片、鸟的一个排列，试分析以怎样的顺序派出志愿者，可使所需派出志愿者的人员数目的数学期望达到最小.54【答案】（1）—（2）最有可能是1人；理由见解析（3）按照先A后8的顺序所需人数期望最小【解析】

2【分析】(1)由题意可得小明被抽取到概率为不，然后根据二项分布的概率公式求解，(2)设。表示第一次抽取到的没有安装经验志愿者人数，。可能的取值有0,1,2,然后求出相应的概率，设《表示第二次抽取到的没有安装经验志愿者的人数，J可能的取值有0,1,2,根据题意求出相应的概率，然后比较概率的大小可得结论，(3)设X表示先A后B完成任务所需人员数目，列出分布列，求出期望，设丫表示B先后A完成任务所需人员数目，列出分布列，求出期望，然后比较两个期望大小即可【小问1详解】25名志愿者的“小明”在每轮抽取中，被抽取到概率为不，则三次抽取中，“小明”恰有一次被抽取到的概率尸=C；x(|)弓)=哉:【小问2详解】第二次抽取到的没有安装经验志愿者人数最有可能是1人.设0表示第一次抽取到的没有安装经验志愿者人数，。可能的取值有0,1,2,则P(o=0)= =L；P(a>=1)= =9；P(<y=2)= =—C；10 C；10 C；1037

loo设〈表示第二次抽取到的没有安装经验志愿者的人数，＜可能的取值有0,1,37

loo*=0)=浮=+当.=+浮WyyyyyyPC=2)=,PC=2)=C；c；C；C；100因为PC=l)>PC=0)>PC=2),故第二次抽取到的没有安装经验志愿者人数最有可能是1人.【小问3详解】按照先A后8的顺序所需人数期望最小:①设X表示先A后B完成任务所需人员数目，则X12P1-片E(X)=[+2(i)=2一[,①设y表示b先后a完成任务所需人员数目，则

X12Pp21-鸟E(Y)=P2+2{\-P2)=l-P2,E(y)_E(X)=[_6>0,故按照先A后B的顺序所需人数期望最小.20.在平面直角坐标系中，A，4两点的坐标分别为(-2,0),(2,0),直线A|M,AM.相交于点M且3它们的斜率之积是--，记动点M的轨迹为曲线及过点尸(1,0)作直线/交曲线E于P,Q两点，且点尸4位于X轴上方.记直线4。，4P的斜率分别为占，k2.(1)证明：丁为定值：k.(2)设点。关于x轴的对称点为2,求△PFQi面积的最大值.【答案】(1)证明见解析(2)迈4【解析】【分析】(1)先求曲线方程，设直线方程联立曲线方程消元，根据韦达定理对3化简可证；k2(2)数形结合，将所求面积转化为=S/22,-S.22F，由(1)根据韦达定理和基本不等式可得•【小问1详解】2 2 2设M(x,y),由题可知」——上-=一一，所以三+匕=1(xh±2).x+2x—2 4 43设直线/的方程为x=my+l,Q(%,y),P(X2，y2),x=my联立x2y2,得(3M+4)9+6冲―9=0,联立 F--=14 3所以％+>2=一所以％+>2=一6m3济+4%%=需占'所以4=比所以4.=X+2=仇-2)%=町％->h% (x,+2)y2加%力+3、2

6/7?-9nr=3m2+4一厂3m2+4-叼=-Sm+.+g=6/7?-96 --9n?+3（3m2+4）y2-33m2+4乂k.所以厂为定值.k、【小问2详解】设Qj(xi，-y),由椭圆的对称性，不妨设”>0,S△尸明=5•（-2yJ（々-XJ=XJ|-％y，S△国F=5（1-xJ（-2y）=%方一y,而SaPFQ.S&qqkf=（%y—工2乂）一（石y—x）9,7737〃+4”2迎37〃+4”2迎―4

m,当加2=3,即机=2包时，等号成立,此时△尸网2的面积最大值为电1.21.已知/(x)=2e'-xsinx.(1)求/(x)在xw［O,兀］上的最小值；(2)设机(xcosx-sinx)=e'-0.5x2一天一1,在xc［0,7i］上有两个实根，求加的取值范围.__._ 7rl e产 ］、【答案】(1)2 (2)--H F1 2Tt Tt 2)【解析】【分析】(1)求出导函数，为了确定导函数的正负，需对导函数再一次求导，得单调性得正负，从而得出/3)的单调性，求出最小值；(2)构造函数g(x)=e'-0.5尤2一x-l-m(xcosx-sinx),此函数在xw［O,兀］上有两个零点，求导函

数g'(x),对g'(x)再求导，可令〃(x)=g'(x),然后根据mN—；和加<—；对"(X)分类讨论，前者利用(1)的结论可得，后者还需要二次求导以确定单调性，确定零点个数.【小问1详解】依题意，/(x)=2ex-xsinx,f\x)=(2e“一xsinx)'=2ev-xcosx-sinx,记F(x)=ff(x),则Fr(x)=2ev+xsinx-2cosx因为xw［0,7t］,所以ell，xsinx.O,因此F(x)l窟-2cosx0,所以F(x)即f\x)在［0,兀］上单调递增，于是/'(X).,(0)=2>0,故函数/(幻在［0,兀］上单调递增，/(x)../(0)=2,7(x)的最小值为2.【小问2详解】g(x)=ex—0.5x--x—1—/n(xcosx—sinx),g，(x)=(e*-0.5x2—x-l-nt(xcosx-sinx)y=eA-l+/nxsinx-x=ex-l+znxsinx-x,/i,(x)=ev+zn(sinx+xcosx)-l,当机之一,时，/z(x)>er-1--xsinx-x2 2由(1)可知，当x£(0,兀］时,e'—xsinx—x—1>0,2・工当工£(0,兀］时，h(x)>0.而〃(。)=0,.,•当xe［0,乃|时，〃(x)N0,・・.g(x)在［0,兀］上递增，又g(0)=0而g(0)=0，，当xw［0,兀］时,g(x)仅有1个零点，舍去.设H(x)=h(x),当机<——时，h'(x)=ex+m(sinx设H(x)=h(x),H\x)=ex-zn(xsinx-2cosx).当XW—,7T时，“'(X)>0,所以〃'(x)单调递增.2当0,^时，G(x)=Hf(x),Gr(x)=ex-??z(3sinx4-xcosx).因为e*>0，w(3sinx+xcosx)..0,所以G'*)>0,所以“'(x)单调递增.又以'(又以'(