华中科技大学计算方法第二章函数逼近测试题

第二单元测试题

院（系）专业班级学号姓名题号—二三四五六七八九总分得分得分一、（10分）用简单迭代法求在区间［0.5,0.6］方程评卷入工产一1=0的根.解、将方程分解为迭代形式：x=e-',取初值方=65按照迭代公式/+1=""计算数据如下：0.5000,0.6065,0.5452,0.5797,0.5601,0.5712,0.5649,0.5684,0.5664,0.5676,0.5669,0.5673,0.5671,0.5672,0.5671,0.5672,0.5671,0.5671,精确到小数点后三位得到方程根的近似值为0.567.得分1 ］二、（10分）用简单迭代法求方程评卷人一/（外=/+%-16=0在区间［3,4］中的根。利用下面三种不同的迭代形式：（1）xM=16-X^；16（2）S+i=一；Z+lr、 'J+Xk—16（3）Xk+i=Xk--k-k——,2xk+1若取相同的初值X。=3,判断在初值的敛散性，并给出其中一个收敛的近似值（精确到小数点后三位）.解、分别求关于初值伊⑶的导数绝对值的大小，（1）式使得|夕'（/）|>1,（2）和（3）式忸'（%）|<1,（3）的收敛速度要快于（2）.对于⑶，%,=3.571,x2=3.531,9即为满足条件的近似值・得分 三、（10分）定义评卷人lim%=x*,令如果存在某个实数及常数 P>\ c>0,AD口使得则胎米盘阶收敛的{Xk}Pkhl迭代函数夕（X）满足：x*=8(x*),且在x*附近有P阶导数3(%*)=0,0"(X*)=04”(%*)=0・・夕5"(X*)=0,*(x*)=0,证明：迭代公式奴工)是P阶收敛的.解、由泰勒公式xk+l=0(X*)=(p(x")+(p\x){xk-x*)+ (X*-X")2…3(x*-x*)K+0-乎)(x*-x*)p2 (p-1)! p!=小十(…*yp!《介于项和x*之间，所以Z+i-x*=，C)k*+「x*yp!上式两边取极限即可得到lim包="*)J00同。p!即迭代公式是P阶收敛的.得分四、(1。分)设函数〃X)二次连续可导，》*满足评卷入/(x*)=。以及_f(%*)。0,则存在b>0,当Xog[x*-5,x*+H时，牛顿法是收敛的，且收敛阶至少是2.证明：不难发现，牛顿法本质相当于迭代函数为火x）=x-/(x)证明：不难发现，牛顿法本质相当于迭代函数为火x）=x-/(x)/'（X）的迭代法，于是于（X）/"（X）W'（x）h（/（））；由题设可知,伊，（/）=0,那么由定理可知，存在b〉o,当/6卜*-5户*+E时，牛顿法是收敛的，且收敛阶至少是2.得分 五、（10分）试证用牛顿法求方程评卷人一（x-5>（x+1）=0在[4,6]内的根％*=5是线性收敛的.解、/'（x）=（x-5）（3x-3）,,,,门 /、2%2+x+5牛顿迭代公式7=*）,8（x）=^T^，“、6x2-12x-18 ,_7r*x_6x*2-12/-18_1……，小）一（3/-3）2 -2叫I“6x2-12x—18r.且加⑸=一（3x_3尸Yl,x[4,6],那么用牛顿法求方程(%-5)2(x+1)=0在［4,6］内的根％*=5是线性收敛的.

得分

评卷人六、（15分）给定函数“X）,设对一切x,/'（X）得分

评卷人在且0＜加,试证明：VPe（°，%/）,迭代过程Z+1=项-BfM）均收敛于方程f（x）=0的根%*.证明：由于/'（x）＞°,/（x）为单调增函数，故方程/。）=°的根是唯一的（假定方程有根x*）.8（x）=x一以（％）,夕'（为=1-"。）。令帆3|4A,则L=max{”阿,|1-夕刊}＜1,由递推有 ,即!吧乙二%综合以上，VPe（°，%）,迭代过程及（%）均收敛于方程*/（%）=0的根%得分 七、（15分）用牛顿法求方程评卷入一/（%）=，一3%-产+2=0在/=1附近的根，计算准确到4位有效数字.

/、 —3x—Y+2解、％i®),雨)=：＞/三令入。=1,得x}=0.26894,x2=0.2575l,x3=0.25753,x4=0.25753取x*q0.2575o得分八、(10分)用牛顿法求退的近似值，取评卷人%=1.7,计算再，工2，％3的值，保留五位小数.解、6是/(%)=/-3=0的正根，f\x)=2x,牛顿迭代公式为S+1=xk~7-,

2》k即%吟+瓢5=°」2…)取%=1.7,须=1.73235,%=L73205,9=1.73205得分

评卷入得分

评卷入九、(10分)设/(%)=廿一0『,(1)写出解/(x)=°的牛顿迭代格式;(2)证明此迭代格式是线性收敛的.解、⑴因/(