十年高考真题（2013-2022）与优质模拟题汇编（全国文科数学）专题08三角函数与数列解答题（解析版）

大数据之十年高考真题(2013-2022)与优质模拟题(新课标文科卷)专题08三角函数与数列解答题...•⑥真题汇总■•・..【2022年全国甲卷文科18】记S”为数列｛册｝的前"项和.已知—+n=2册+1.(1)证明：｛aj是等差数列；(2)若成等比数列，求S”的最小值.【答案】(1)证明见解析；(2)-78.【解析】(1)解：因为+71=2czn+1,即2Sn+序=2na.n+几①，当riN2时，2Sn-i+(n—l)2=2(n—l)an_j+(n-1)②，①一②得，2Sn+n2_ —(n—l)2—2m%+n—2(n—1)%_]—(n-1),即2%+2n—1=2nan—2(n-l)%_i+1,即2(n—l)tzn—2(n—1)q-i=2(几一1),所以％—%t=1,nN2且nWN*,所以｛即｝是以1为公差的等差数列.(2)解：由(1)可得。4=%+3,+6，Qg=Q1+8,又Q4，Q7，09成等比数列，所以劭2=。4，。9，即(Q1+6)2=(Qi+3)•(%+8),解得力=-12,所以%=n-13,所以Sn=—i2n+竽=Tn2_gn=T(n_m)2_^，所以，当n=12或n=13时(Sn)mm=-78..【2022年全国乙卷文科17〕记△4BC的内角4B,。的对边分别为小b,c,已知sinCsinQl-B)=sin8sin(C-4).(1)若4=28,求C；(2)证明：2q2=b2+c2【答案】(错；(2)证明见解析.【解析】⑴由A=2B,sinCsin(i4-B)=sinFsin(C-4)可得，sinCsinB=sinBsin(C-4),而0VBV所以sinBE(0,1),即有sinC=sin(C-A)>0,而0vC<n,0vC-AVn,显然CHC-4所以，C+C-71=n,而4=28,4+B+C=ir,所以C=乎.(2)由sinCsin(/l-B)=sinfisin(C-A)可得,sinC(sirii4cosF—cos/lsinF)=sin8(sinCcosA-cosCsin?!),再由正弦定理uj得，accosB—bccosA=bccosA—abcosC.然后根据余弦定理可知，1(a2+c2—b2)—1(h2+c2—a2)=1(b2+c2—a2)—1(a2+〃—c2),化简得：2a2=ft24-c2»故原等式成立..12021年全国甲卷文科18】记5rl为数列｛g｝的前〃项和，已知册>0,。2=3%,且数列｛后｝是等差数列，证明：｛an｝是等差数列.【答案】证明见解析.・•数歹史后｝是等差数列，设公差为d=医一区=y/a2+ax一历=屈~V«i+(n-1)V«1=ny/a^^(ne/V*)』=耍2,(nGAT*):.当n>2时，an=Sn-Sn_i=axn2—ar(n—l)2=2atn—at当n=1时，2QiXl—Qi=a],满足册=2。述—,•｛册｝的通项公式为=2ajn-Qi，(neAT)Aan—Q〃_]=(2arn—qJ—[Za^fn—1)—a1]=2a1...｛4｝是等差数列..[2021年全国乙卷文科19]设｛a“｝是首项为1的等比数列，数列｛九｝满足砥=詈.已知a「3a2,9a3成等差数列.(1)求｛%｝和｛bn｝的通项公式:(2)记Sn和及分别为｛即｝和%｝的前〃项和.证明：Tn吟.【答案】⑴an=(I)"-1.bn=亲⑵证明见解析.因为｛a“｝是首项为1的等比数列且如，3a2,9a3成等差数列，所以6a2=%+9。3，所以6aiq=%+9aiq2,即9q2-6q+l=0,解得q=g,所以％.=(/一1,所以/=等=*（2）证明：由⑴可得L=2字=[1—专）,~3Tn=]+>…+岩+嬴①所以乙=(1-点)-所以及一李=*1_束)一/一与1—表)=一为<0，所以7\〈申..【2020年全国1卷文科18】A/IBC的内角4,B,C的对边分别为a,b,c.已知8=150。.(1)若a=*c,6=2V7,求△48C的面积；(2)若siM+6sinC=^,求C.【答案】(1)V3；(2)15°.【解析】(1)由余弦定理可得。2=28=a2+c2-2ac-cosl50°=7c2,•・c=2,a=2a/3,•••△4BC的面积S=^acsinB=V3；(2)・・・4+C=30。，•・s\nA+V3sinC=sin(30°-C)+V3sinC=1cosC+^sinC=sin(C+30°)=浮・•0°<C<30°,・・・30。VC+30°<60%C4-30°=45°,aC=15°..【2020年全国2卷文科17]△ZBC的内角4B,。的对边分别为a,b,c,已知cos2(]+4)+cos4=*(1)求小(2)若b-c=?a,证明：△49。是直角三角形.【答案】⑴4=j；(2)证明见解析【解析】(1)因为8S2(1+4)+cosA=所以siM4+cosA=*即1-cos2/l+cosA=4解得cosA=I，又0<4VTT,所以4W；(2)因为4=三，所以cos4=?；；"-=；，3 2bc2即炉+c2-a2=be®,又b-c=?a②，将②代入①得，b2+c2-3(6—c)2=be,即2bz+2c2—5bc=0.而b>c,解得b=2c,所以a=>/3c,故护=a2+c2,即△ABC是直角三角形..【2020年全国3卷文科17】设等比数列｛a“｝满足如+匆=4,a3-^=8.(1)求｛斯｝的通项公式；(2)记S”为数列｛10g3。"｝的前〃项和.若5m+Sm+1=Sm+3，求小【答案】(1)an=3"t；(2)m=6.【解析】(1)设等比数列｛a』的公比为q，根据题意，有广尸”3解得口皂，(。廿一Qi=8 (q=3所以an=3n-1；(2)令瓦，=log3a„=log33"-1=n-1,所以5“=*二12=吟2,根据5m+5m+】=Sm+3,可律等寸=也等坦，整理得nt?-5m-6=0,因为m>0,所以m=6,=8sirvL.【2019年新课标3文科18]△Z8C的内角小B、C的对边分别为a,b,c.已知asin：=8sirvL(1)求8；(2)若△48C为锐角三角形，且c=l,求△48C面积的取值范围.［答案］解：(1)asin§£=/>sinJ,即为asin^-^-=acosg=6sinJ,可得sinJcos-=sinBsinJ=2sinycos^sinJ,VsiiL4>0,••cos-=2sin-cos-,2 2 2若cosg=0,可得8=(2%+l)TT,依Z不成立，..B1•.sin-=2 2由OV8Vit,可得B=~；(2)若△/5C为锐角三角形，且c=l,由余弦定理可得b=la2+1—2a-1-cos^=Va2—a+1,由三角形ABC为锐角三角形，可得a?+a2-a+1>|且1+a2-a+\>a2,解得g<h<2,可得△Z8C面积S=9・siq=fae(y,y).9.【2019年新课标2文科18］已知｛册｝是各项均为正数的等比数列，ai=2,aj=2az+l6.(1)求｛a,,｝的通项公式；(2)设b“=k>g2a,”求数列｛儿｝的前”项和.【答案】解：(1)设等比数列的公比为q,由°1=2,〃3=2〃2+16,得2/=41+16,即炉-2q-8=0,解得夕=-2(舍)或g=4./.an=Qiq"T=2x4n-1=22n-1；b”=log24〃=log222n~1=2n-1,Vfti=l,bn+\-hn=2(〃+l)-1-2〃+l=2,・・.数列｛瓦｝是以1为首项，以2为公差的等差数列，则数列｛儿｝的前"项和7\=nx1+*i)x2=n2.【2019年新课标1文科18】记£为等差数列｛斯｝的前"项和.已知Sg=-(1)若。3=4,求｛a“｝的通项公式；(2)若m>0,求使得S,2。"的”的取值范围.【答案】解：(1)根据题意，等差数列｛小｝中，设其公差为d,若59=-05.则S9=若2"=9as=-a5,变形可得。5=0，即g+4d=0,若“3=4,则(/=当四=一2,则。〃=。3+(«-3)d=-2〃+10,(2)若S“2a”,则〃。|+"(：i)d2ai+(〃-1)d,当〃=1时，不等式成立，当〃》2时，有日/-内，变形可得(〃-2)d》-m，又由§9=-。5，即S9==警2=9as=-%，则有小=0，即m+4d=0,则有(〃-2)二詈二一⑶,2 4又由。1>0,则有"W10,则有2《〃〈10,综合可得：”的取值范围是｛"|1W"WIO,"6N｝..【2018年新课标1文科17］已知数列｛a“｝满足ai=l,na,^\=2(n+1)an,设儿=塞.(1)求力，历，如(2)判断数列他“｝是否为等比数列，并说明理由；(3)求｛为｝的通项公式.【答案】解：(1)数列｛%｝满足ai=l,"az=2(n+1)a„,则：音=2(常数)，口由于故：2=2,数列｛d｝是以bi为首项，2为公比的等比数列.整理得：bn=bx-2n-1=2“t,所以：6i=l,bi=2,63=4.(2)数列｛儿｝是为等比数列，由于好_=2(常数)：bn(3)由(1)得：bn=2“t,根据久=中,所以：an=n-2n~l..【2018年新课标2文科17】记S〃为等差数列｛斯｝的前“项和，已知ai=-7,S3=-15.(1)求｛斯｝的通项公式；(2)求S,,并求S,的最小值.【答案】解：(1):,等差数列｛"”｝中，。1=-7,Si=-15>.*.ai=-1,3ai+3d=-15,解得ai=-7,d=2,'.an=-7+2(n-1)=2n-9；(2)'：ai=-7,d=2,a„=2n-9,Sn=](a1+an)=|(2n2-16n)=n2-8〃=(n-4)2-16....当”=4时，前”项的和S,取得最小值为-16..【2018年新课标3文科17]等比数列｛a“｝中，a)=l,。5=4的・(1)求｛%｝的通项公式；(2)记S”为｛“"｝的前”项和.若Sm=63,求机.【答案】解：(1)•.,等比数列｛ad｝中，ai=1»as=4aj.,lXg4=4X(lXg2),解得g=±2,当q=2时，an=2n当q=-2时，a„=(-2)，｛a“｝的通项公式为，a„=2fll,或a.=(-2)"(2)记&为｛为｝的前"项和.当。尸1,产-2时，S,尸严=卷=『，1—q 1—(-2) 3由Se=63,得Sm=I：)"=63,“wN,无解：当m=l,g=2时，S„= =2--1,1—q 1—2由Sm=63,得Sm=2M-1=63,mGN,解得m=6..【2017年新课标1文科17】记为等比数列｛斯｝的前"项和.已知S2=2,S3=-6.(1)求｛a.｝的通项公式；(2)求S”并判断S“+i，S„,S〃+2是否成等差数列.【答案】解：(1)设等比数列｛〃"｝首项为0,公比为1，则a3=Si-S?=-6-2=-8,则a\=岑=J，ai==—,qqqq由m+〃2=2, 4--=2,整理得：夕2+4q+4=。，解得：q=-2,则。]=-2,an=(-2)(-2)n,=(-2)w»・•・｛〃〃｝的通项公式以〃=(-2)〃；(2)由(1)可知：S”=当一口= =一杷+(-2)/1，则S“+i=_?2+(-2)/2],Sfl+2=-l[2+(-2)/3],由S"+i+S”2=_|[2+(-2)"42]-1[2+(-2)/3],=-i[4+(-2)X(-2)"+,+(-2)2X(-2)叫，=-i[4+2(-2)"+,]=2X[-1(2+(-2)M+l)],=2Sn，即S〃+i+S〃+2=2S〃，工SiS〃，S/2成等差数列.15.【2017年新课标2文科17]已知等差数列｛小｝的前〃项和为£,等比数列｛儿｝的前〃项和为〃，ai=-1,"=1,欧+岳=2・(1)若出+加=5,求｛瓦｝的通项公式;(2)若73=21,求S3.【答案】解：(1)设等差数列｛4,｝的公差为4等比数列｛儿｝的公比为夕，a\="Lb[=L。2+岳=2,。3+加=5,可得-l+d+g=2,-|+2d+/=5,解得d=l，夕=2或d=3,夕=0(舍去)，则｛瓦｝的通项公式为儿=2〃7,〃WN*；(2)6i=l,73=21,可得l+g+/=21,解得q=4或-5,当夕=4时，厉=4,g=2-4=-2,d=-2-(-1)=7,S3=-1-2-3=-6；当g=-5时，/>2=-5,g=2-(-5)=7,d=7-(-1)=8,S3=-1+7+15=21.16.【2017年新课标3文科17］设数列｛叫满足m+3Q2+…+(2n-1)an=2n.(1)求｛斯｝的通项公式；(2)求数列｛磊｝的前〃项和.【答案】解：(1)数列｛〃”｝满足〃1+3。2+…+(2/?-1)an=2n.时，3a2+…+(2/?-3)ani=2(w-1).TOC\o"1-5"\h\z••(2〃-1)cin2••• •2n-1当〃=1时，41=2,上式也成立.・ _2•皿尸不？(2)-22-= =— —.2n+l(2n-l)(2n+l)2n-l2n+l,数列｛磊｝的前〃项和=(1T+(2)+…+(*-焉)=|一六=悬・17.【2016年新课标1文科17］已知｛&｝是公差为3的等差数列，数列｛d｝满足4=1,岳=g,%be+be(I)求｛〃〃｝的通项公式；(II)求｛儿｝的前〃项和.【答案】解：(1)°；anbn+i+bn+Lnb*.当〃=1时，。也+岳=加.,**61=19/>2=［41=2,又•••｛““｝是公差为3的等差数列，•(In3〃-1,(II)由(/)知：(3〃-1)bn+l+bn+\=nbn.即3be=bn.即数列｛6“｝是以1为首项，以g为公比的等比数列，••｛儿｝的前”项和51=上¥=?(1-3")=(一孩718.【2016年新课标2文科171等差数列｛。〃｝中，的+。4=4,。5+。7=6.(1)求｛为｝的通项公式；(II)设儿=口“],求数列｛6｝的前10项和,其中团表示不超过x的最大整数，如[0.9]=0,[2.6]=2.【答案】解：(1)设等差数列｛"“｝的公差为d,・•〃3+。4=4,〃5+。7=6..12al+5d=4+10d=6'fai=1解得：(d=2，2 ,3・a〃=~n+(ID•"〃=[%],・b\=bz=b3=1，64=65=2,b6=b7=bg=3,b9=bio=4.故数列｛瓦｝的前10项和Sio=3X1+2X2+3X3+2X4=24..【2016年新课标3文科17]己知各项都为正数的数列｛〃〃｝满足m=l,an2-(2a〃+「1)a〃-2册+i=0.(1)求。2，。3；(2)求｛斯｝的通项公式.【答案】解：(1)根据题意，an2-(2a,t+\-1)an-2an-i=0,当〃=1时，有“J-(2s-1)m-2a2=0,而。]=1,则有1-(2a2~1)-2〃2=0,解可得。2=；,当〃=2时，有疗-(2s-1)&-2。3=0，又由。2=：，解可得。3=；，2 4故。2= 。3=(2)根据题意，Qn-(2a”-]-1)an~2斯+|=0,变形可得(。〃—(跖+1)=0,即有an=2an+\或a〃=-1,又由数列｛小｝各项都为正数，则有a〃=2a〃+i，故数列｛4,｝是首项为G=l，公比为g的等比数歹IJ,则a“=lX(1) (1)故(|)".【2015年新课标1文科17］已知a,b,c分别是△NBC内角4B,C的对边，sin25=2sinJsinC.(I)若a=b,求cosB；(II)设8=90°,且〃=遮，求△彳8c的面积.【答案】解：(/)Vsin2S=2sinJsinC»由正弦定理可得：缶=熹=高="0,代入可得(bk)2=2ak*ck,/.b2=2ac,：a=b,***fl=2c>由余弦定理可得：cos8=。2：/一方2=aka=：2ac2ax-a4(〃)由(Z)可得:b2=2aCfVB=90°,且a=VL*.a2+c2=h2=2act解得a=c=V2./.S,mbc=Iac=1.21.【2015年新课标2文科17]△ABC中，。是8。上的点，彳。平分NB4GBD=2DC(I)求能(II)若NA4C=60°,求N8.【答案】解：(I)如图,由正弦定理得:ADBDADDC~~--fsin乙Bsinz.BAD sinz.Csinz.CAD,.1。平分N8/C,BD=2DC,(II)VZC=180°-(/BAC+/B),ZBAC=60°,：.sinZC=sin{ZBAC+ZB)=ycoszfi+|sinzB,由（I）知2sinNB=sinNC,/.tanZ5=y,即/8=30°.22.【2014年新课标1文科171已知｛册｝是递增的等差数列，。2,。4是方程r-5x+6=0的根.(1)求｛为｝的通项公式；(2)求数列碌｝的前〃项和.【答案】解：(1)方程(-5x+6=0的根为2,3.又｛a“｝是递增的等差数列，故42=2,44=3,可得2d=1,d=：,11故a”=2+(〃-2)x-=-zz+1,(2)设数列｛$｝的前〃项和为工,，一"J?+尹+尹+…+广+正，①苏=/+$+号+…+竽+晶,②①一②得外=1+或表+/+三+…+£)_晶=＞如，\¥)一晶,解得4升*1-/)-转=2-群.23.【2014年新课标2文科17】四边形48CO的内角/与C互补，Z8=l,8c=3,CD=DA=2.(1)求C和8£)；(2)求四边形48CQ的面积.【答案】解：(1)在△8。中，8c=3,8=2,由余弦定理得：BD^BO+CD?-2BC-CDcosC=13-12cosC①，在△480中，AB=\,DA=2,A+C=ti,由余弦定理得：BD2=AB2+AD2-2AB*ADcosA=5-4coM=5+4cosC②，由①②得：cosC=%则C=60°,BD=V7；

(2)7cosC=?co^TsinC=sinJ=则S=^-AB-DA^\nA+扣C・C0sinC=xlX2x—+1x3X2xy=2百.D二B v24.【2013年新课标1文科17］已知等差数列｛4,｝的前〃项和S“满足S3=0,S5=-5.(I)求｛为｝的通项公式；川)求数列｛f''的前〃项机【答案】解：(I)设数列｛小｝的首项为ai,公差为d,则Sn=nai+与*.由已知可得5+竽d~5,即解得公…故｛〃”｝的通项公式为a”=m+(/1-1)d=l+(〃-1)•(-1)=2-n；川)由(1)知^七一六).从而数列｛---｝的前〃项和fl2n-l«2n+l25.【2013年新课标2文科17】已知等差数列｛”“｝的公差不为零，ai=25,且a”au,m3成等比数列.(I)求｛为｝的通项公式；(H)求。1+。4+。7+…+。3”-2.【答案】解：(/)设等差数列｛斯｝的公差为dwo，由题意ai，aw，ai3成等比数列，山1=%。13，...(%+10d)2=%(%+12d),化为d(2ai+25d)=0,.•.2X25+254=0,解得d=-2.：.a„=25+(/?-1)X(-2)=-2〃+27.(//)由(/)可得2=-2(3”-2)+27=-6"+31,可知此数列是以25为首项，-6为公差的等差数列.S"=ai+a4+a7+…S"=ai+a4+a7+…+。3”.2=八(。1+。3，1-2)_n(25—6n+31)2=-3〃2+28〃..・••⑥模拟好题••・.1.已知a,b,c分别为锐角三角形4BC三个内角4,B,C的对边，且V5c=2asinC.⑴求4(2)若a=V7，b=2,求c；7(3)若cosB=§,求sin(2B-4)的值.【答案】(%(2)3(3产818【解析】(1)由于0VCV所以sinC工0»由8c=2asinCWV3sinC=2sin>lsinC,所以sinA=3,且三角形ABC为锐角三角形，2所以4=((2)在4A8C中，由余弦定理有coSi4=>二/=4+c-7=-=^c2—2c—3=0>2bc 4c2解得c=3或c=-l(舍)，故c=3.(3)[|jcosB=可得sinB=叱,cos25=cos2B—sin2H=-3 9Vssin2F=2sinFcosB=—.9所以sin(2B-4)=sin2BcosA-cos2Bs\nA4V51 1V39 2,9， 2_4代+百——18-,2.在△ABC中，角4,B,。的对边分别为a,b,c,(b+a)(sin4—sinB)=(c-b)sinC.(1)求角Z的大小；(2)设a=2,cos-=-.求江2 7【答案】(1)4W；(2)*=y.【解析】(1)由题设(a+b)(a-b)=(c—b)c,即be=c2+b2—a2,所以cos4=三旺江=工，又0<A<m故TOC\o"1-5"\h\z2bc2 3(2)由(1)知：0VBV则0V£Vg而cos^=®,故§也2=出，3 2 3 2 7 2 7fillrI.DQ.BBQ2V7wVH4V3加以s\nB=2sm-cos-=2x-x—=—,2 2 7 7 7-r-ab-L.L. 4 4V3 16而而=病，故6=看'丁=亍,3.定义：对于任意一个有穷数列，第一次在其每相邻的两项间都插入这两项的和，得到的新数列称之为一阶和数列，如果在一阶和数列的基础上再在其相邻的两项间插入这两项的和称之为二阶和数列，以此类推可以得到〃阶和数列，如｛1,5｝的一阶和数列是｛1,6,5｝,设它的n阶和数列各项和为S”.(1)试求｛1,5｝的二阶和数列各项和S2与三阶和数列各项和S3,并猜想S”的通项公式(无需证明)：(2)若7=一］嘀(s“_3)；g3(s“+i-3)'求｛&｝的前”项和7小并证明：【答案】(1)S2=12+6x3,S3=12+6x(31+32),Sn=3n+1+3(2)Tn=47-7-证明见解析、/ n+2 2【解析】(1)由题意得，Si=1+6+5=12,§2=1+7+6+11+5=12+18=12+6x3,S3=1+8+7+13+6+17+11+16+5=12+ 18+54= 12 +6 x3 + 6 x32 =12+6x (31+32),S4=1+9+8+15+7+20+13+19+6+23+ 17 +28 + 11 + 27 + 16+ 21+ 5=12+18+54+162=12+6x3+6x32+6x33=12+6x(31+32+33),Sn=12+6x(31+32+33+…+3n-1)(n>1),

由等比数列的前〃项和公式可得，Sn=12+6x华詈=3-+3,所以｛S“｝的通项公式Sn=3n+1+3.(2)由于Sn=3n+1+3,n+1所以log3(Sn—3),log3(Sn+i—3) (n+1 n+2) n+2n+1一工一工+工一号...+-1——n+2 n+1 n+2 2因为neN*,所以白>以所以专一(>一(又7\随，，的增大而减小,所以当n=l时，7\取得最大值—：，故—o L 64.已知数列｛即｝的前"项和为Sn=*+1,正项等比数列｛%｝的首项为由,且a/3+a2b2+a3bl=14.⑴求数列&｝和也｝的通项公式；(2)求使不等式儿>(含丫(n>2)成立的所有正整数n组成的集合.【答案】⑴册=LD%=1(2)[3,4,5,6,7).【解析】(1)因为数列｛%｝的前〃项和为Sn=n?+1,所以当n=l时,u=2；当nN2时，an=Sn-Sn_i=2n-l,故册二公"，],n>2所以。2=3,。3=5，从而a】3+。2b2+a3bl=14,化为2b3+3b2+5bl=14,又因为数列｛0｝为正项等比数列且瓦=%=2,设公比为q,且q>0,又2q2+3q—2=0,解得q=g或q=-2(舍)，从而九=g)”；(2)当nN2时，不等式久>(含)2转化为2-2<5—1)2,即与字>i,记价)=0，/(2)=1，/(3)=2,7(4)= /(5)=2,/(6)=看/(7)= /(8)=热当7124时，端2=9x6%=汨*<1,/(n)单调递减，所以〃n)<l因此使不等式bn>(57y成立的所有正整数n组成的集合为｛3,456,7｝..已知数列｛%｝的前〃项和为又，且2Sn=3%-3.(1)证明数列｛斯｝为等比数列，并求出数列｛aj的通项公式;(2)设瓦,=log3an.求数列｛%%｝的前n项和7\.【答案】(1)证明见解析，an=3n3 (2n-l)3n+1⑵Tn=1+—i—【解析】(l)当n=1时，由2sl=3d]—3可得%=3,由已知2sli=3an—3,有2Shi=3an+1—3,两式相减得20n+i=3%+i-30n，即即+i=3%,因为%=3,所以“H0,所以蜉=3,所以数列｛询｝是以3为首项，3为公比的等比数列，所以%=3n；(2)由(1)可得＞=log3%=几，所以0nblt=n・3麓,Tn=1x34-2x32+3x33+...+nx3n,则37n=1x32+2x33+…+(ri-1)x3"+nx3n+1,所以-27.=3+32+33+...+3n-nx3n+1=(1丁"1_|,所以7T+y空..已知数列｛时｝的前n项和S”满足40n-2S”+数一3n-4=0,n6N*.数列｛bj满足比=1,2nbn+1=unbn,nGN*.(1)求证：数列｛Q〃-n｝为等比数列，并求数列｛册｝的通项公式；⑵求证：勾+1＞勾23-贵,n£N*.【答案】(1)证明见解析，an=2n+n(2)证明见解析【解析】(1)当71=1时，Qi=3;当7122时，4un_j—2Sn_j+(71—l))—3(n—1)—4=0,n6N*,所以4(%—%-1)-20n+2n-4=0,整理得0n=2an.x-n4-2.所以“—n=2[即-1—(n—1)]»又Gt]-1=2工0,故即一几工0.所以即：:二1)=2,即｛册一71｝为等比数列.所以册一n=2“,册=2“+n

(2)由题意得%+i=(1+所以4i+i与九同号，又因为瓦=1>0,所以%>0,即与+i—勾=式勾>0,即幻+i>所以数列｛bn｝为递增数列，所以勾之瓦=1,即。+1—。=^bn>.累加得"-b]>1+ ,,,+令丁小/力…+繇，所以…+詈两式相减得：篇=；+,+/…+白-展=1：2,」一展'2所以7n=2-翳，所以4,23—岩，所以以+1>，,23—黠•・1.的取值7.已知数列｛册｝为等差数列，a2=3,%4=3。5，数列出"的前〃项和为S”，且满足2Sn=3bn(1)求｛%｝和也”｝1.的取值⑵若金=%»”，数列｛%｝的前”项和为〃，且7^n-n-3n<(-l)n•m对neN*恒成立，求实数范围.【答案】(l)an=2n-l(nCN+)：bn=3n~\nGA/+)⑵m6(-8,2)【解析】⑴解:等差数列｛斯｝中，设公差为乩则(。2=3nf%+d=3J(a14=3a5(cii+13d=3at+12d=>Poa=｛T=；=>an=2n-l(neN+)数列出n｝中的前〃项和为Sn，且2S“=3bn-1①当n=1时，儿=1当nN2时，2Sn_i=3*-1②②一①得：b=3bn_!(n>2)故数列｛b“｝是以1为首项，3为公比的等比数列，所以九=3"T(neN+).(2)解:数列｛呢｝中，Cn=On-h„=(2n-1)-3"-1.则7\=1x30+3x3]+…+(2n-3)•3n-2+(2n-1)-3n-1所以3Tn=1X31+3X32+■•+(2n-3)-3n-1+(2n-1)-3n故-2Tn=1+2(3*+3z+...+3n-1)-(2n-1)-3n=-1+2(30+3]+…+3n-1)l-3n-(2n-1)-3n=-1+2--_--(2n-1)-3n=(2-2n)-3n-21—3所以7\=5-1)-3n+1V(-l)"-m>Tn-n-3n=l-3n对neN*恒成立.当n为奇数时，(一1)“•m=-m>l-3n=>m<3n-l=>m<(3n-l)min=31-1=2,当n为偶数时，(一1)2 = —3"nni>(l-3n)max=1-32=—8综上：实数m的取值范围为mG(—8.2)..已知数列｛册｝的前〃项和为S〃，a2=-9,且Sn+1+Sn_i-2Sn=2(n>2)(1)求数列｛an｝的通项公式；(2)设“=」一，数列｛加｝的前〃项和为7〃，求使得2>0的〃的最大值.anan+l【答案】(\)an=2n-13(2)5【解析】(1)由题意知(S〃+/-S〃)-CSn-Sn.i)=2,解得〃〃+/-〃〃=2(n>2)>又。2■。尸2,所以｛〃〃｝是公差为2的等差数列，则an=ai^(??-!)d=2n-13；(2)山题知"n=(2n-13)(2n-ll)=2^2n-13-Zn-lP*则丁篦=瓦+62+…+bn

1/1 11111\=I + +•••+ I2\-11-9-9-7 2n-132n-11/=1岛-=~l(n+2^n)由7n>°得5+含=n^<°，解得0<n(果所以n的最大值为5..已知数列｛册｝满足：at=l,a2=2,且即+2=•[a，v =1,2,…)12%+1—30rp%+i为奇数(1)直接与出。3,a4>a5>。6的值；(2)请判断。2021+。2。22是奇数还是偶数，并说明理由；(3)是否存在n,使得0n=2022?若存在，求出n的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)。3=1,a4=-4,a5=-5,a6=2；(2)是奇数，理由见解析；(3)不存在，理由见解析.【解析】(1)解：由题得CI3=1,=一4,=—5,。6=2.(2)解：。2021+&2022是奇数.理由如下：先证引理1：册的奇偶性与n相同.假设不满足引理1的最小正整数n=t,即心的奇偶性与t不同，由(1)知t27(也可以写t23这里是为了保证后面用到的t-1/-2为正整数).①若t为奇数，则有a-i为偶数，a一2为奇数，进而有七=a〜1一a一2为奇数，矛盾；②若t为偶数，则有为奇数，a一2为偶数，进而有3a_2为偶数，矛盾.所以假设不成立，引理1正确.进而有。2021+。2022为奇数加偶数，结果为奇数.(3)解：不存在，理由如下.先证引理2：当n为奇数时，%除以3余数为1；当n为偶数时，册除以3余数为2.假设不满足引理2的最小正整数n=3由(1)知t27.①若t为奇数，则由(2)有a.i为偶数且除以3余数为2,4_2为奇数且除以3余数为1,进而有4=4_1-/_2除以3的余数为1,矛盾；②若t为偶数，则由(2)有&T为奇数且除以3余数为1,4-2为偶数且除以3余数为2,进而有4=24_1-34-2除以3的余数为2,矛盾.所以假设不成立，引理2正确.假设存在n,使得%=2022,由(2)知，n为偶数，进而有即除以3的余数为2,而2022除以3的余数为1,矛盾.进而有不存在n，使得%=2022..设数列｛即｝的前“项和为S”，%=0,a2=1*nSn+1—(2n+l)Sn+(n+l)Sn-i-1=0(n>2).(1)证明：｛%｝为等差数列；

(2)设以=2%，在以和勾+i之间插入〃个数，使这n+2个数构成公差为d”的等差数列，求｛看｝的前”项和.【答案】(1)证明见解析(2)Tn=6-(n+3)(旷'【解析】(1)证明：因为九>2时，几一(2n+l)Sn+5+l)Sn_i-l=0,则n(5n+i-Sn)-(n+l)(Sn-Sn-i)-1=0,E|Jnan+1—(n+l)an-1=0,n>2,•因为q2-2al—1=0,•则n%+i—(n+l)an-1=0,nGN* ①,所以(n—1)0n—nan_j-1=0,n>2 ②,则①一②得-2nan+几%_1=0,n>2,HPan+i+an-i=2an,n>2,•所以｛即｝为等差数列.(2)解：由(1)可得｛%｝的首项为%=0,公差为。2—%=1，所以％=九一1，所以勾=2'T,所以d“=所以d“=皿普2«_2«-1 2n-1m.i1 n+1F-=k则记后｝的前n项和为Tn,则7\=2.6)+3，G)+4,(I)+…+("+】)◎ ①,所以篇=2-g)1+3.g)2+4-g)3+…+*广1+(n+l)g)"………②,则①-②得篇=2+G)+GF+…+(J1-s+1)削,所以gTn=1+/-(n+l)g)n=3-(n+3)g)",-所以7\=6_(71+3)(3"一).记A4BC的内角4B,C的对边分别为a,b,c,点。在边AC上，且满足DB:DA:DC=2:3:4,aABC的面积s的面积s=BDbsinB(1)证明：2b2=7qc⑵求cosZ.ABC.【答案】(1)证明见解析⑵一1或一：【解析】(1)点。在边AC上，且满足DB:ZM:0C=2:3:4,所以。8=：从DA=^b,DC=^b,S=1acsinB=BDb^'nBt故ac=^b2,即2b2=7ac；(2)由图可知cosZ-ADB+coszCDB=(初产)+㈤ 一『=0,2x?x0 2x”x%可得3q2-Qac+4c2=0,解得Q=2c或Q=|c,1°当。=2c时，b2=：qc=7c2,cos^ABC=⑵)+‘_7(___1.2 2x2cxc220当Q=?C时，b2=^ac=^c2fcos^ABC= =-3 2 3 2XyXc 3综上所述COSZ-ABC=一1或一|..ZiABC的内角4&C的对边分别为&b、c,已知qcosB=gbsinA(1)求角5的大小；(2)从以下3个条件中选择2个作为己知条件，使三角形存在且唯一确定，并求△ABC的面积.条件①：a=3；条件②：b=2鱼；条件③：cosC=-g：©c=2【答案】(1)B=?(2)答案见解析【解析】⑴由acosB=VlbsinA和正弦定理得sinAcosB=V5sinBsinA,因为0<4<兀，所以sinZHO,所以cosB=gsinB>0，tanB=—.3因为OvBVn,所以B=?.o(2)若选条件①：a=3；条件②：b=2V2,由(1)8=也由余弦定理得(2甸2=32+c2-2X3cx日，解得C=吟”，因为答案不唯一，所以舍去.若选条件②：b=2V2；条件③：cosC=-g；由(1)B=F，因为cosC=-g,0<C<7T,所以sinC=当，由正弦定理得看=半，解得c=S”T2 3由余弦定理得(空)2=8+/+2X2好QX1解得Q=誓蛆，则44BC的面积为S=；absinC=生第述；若选条件①：a=3；条件③：cosC=-g；由(1)B=*因为cosC=-g,0<C<it,所以sinC=苧，所以•a./D二、-DrID-r1― 代店V15-2TOC\o"1-5"\h\zs\nA=sin(7r—B—C)=sinucosc4-cosFsinc=-X1—)HX—= ,2 \3/ 2 3 6c3由正弦定理得谒•=?!=,解得c=3。6+12〉,~11则44BC的面积为S=^-absinC=456+】8二.2 22若选条件①：a=3；④c=2,由(1)8=*则448。的面积为S=扣csinB=1若选条件②：b=2V2;④c=2,由(1)8=也由余弦定理得(2>/»2=4+q2—2x2qX亨，解得q=V34-V7»TOC\o"1-5"\h\z则44BC的面积为S=^acsinB=1x2x(V3+V7)x1 .若选条件③：cosC=-；；④c=2,由(1)B=g3 0因为COsC=-g,0<C<7T,所以5也。=泽所以.4 •ZDr、-DrID-r1^/2、百百V15-2sin/l=sin(it-B-C)=sinucosc+cososinc=-x1—)4 x—= »2 \3/ 2 3 6由正弦定理得看=看，解得q=M*,--T- 5

则^ABC的面积为S=-acsinB=工x2x迪二在x1=辿二三.2 2 5 2 10补充在下面问题中并完成解.在①a=V7,②4C边上的高为也，③sinB=且这三个条件中任选一个,2 7补充在下面问题中并完成解答.问题：记△4BC内角4,B,C的对边分别为a,b,c,已知41=60。，c=b⑴求c的值；(2)若点。是边BC上一点，且UDB-n4BC=W，求力。的长.【答案】(l)c=3(2)2【解析】(1)解：选条件①：a=V7,c=b+l，由余弦定理cos4=•忙±=i,则b2+b—6=0,2bc2解得b=2,则c=b+l=3；选条件②：4c边上的高为逆，2由三角形的面积公式/(b+l)sin^=乎b,解得b=2,c=3.选条件③：sinB=4，TOC\o"1-5"\h\z由题意可知B<C»所以cosB=V1—sin2B=/1—-=过~,\ 7 7因为A+B+C=msinC=sin(i4+B)=sinAcosB+cosAsinB,百〜2夕I1〜V5T3V21=X F-X = ，2 7 2 7 14叵由正弦定理得当=2,即盛=3smCc3Vzib+114解得b=2,C=3.(2)选条件①：因为乙408—NABC=与所以乙= +cosB=a2+，cosB=a2+，M2ac7+9-4_2V72x77x3一~sinB="-cos2B=Jl十今则sin/ADB=sin(/ABC+^)=—14由正弦定理ADABsinBsin^ADB.cABsinB 3x亨'AD=1^S=1^=sinB="-cos2B=Jl十今则sin/ADB=sin(/ABC+^)=—14由正弦定理ADABsinBsin^ADB.cABsinB 3x亨'AD=1^S=1^=214选条件②;因为UDB-/ABC=*所以-1CB= +cosB="+'"=卫'纪2ac2xV7x37sinB=Vl-cos^=11-1=^则sinZJlOB=sin(z.?lBC+；)=14由正弦定理能=sineABgABsinB——,AD=-——3x4*7=2,3V21J—选条件③:sinz/lDF.z.4Dr.万、V21 1 2V7V3=sin(乙48c+-)=—x-+—x—= 、 37 7 2 7 2 143VH由正弦定理能=s\nBAB4cABsinB——,AD=-——s\n/.ADBsin^ADB3x浮 Z_=73V21J—.在△ZBC中，V3sin(B+7)=-cos(i54-7).o o(1)求3的值；若这三个条件中仅有(2)给出以下三个条件：①次-扶++3c=0；②a=V3,b=1；③S08c=若这三个条件中仅有两个正确，请选出正确的条件并回答下面问题：⑴求sin4的值；(ii)求NZ8C的角平分线8。的长.【答案】=~(i)sin4=—.(ii)BD=^-.14 8【解析】(1)由题设Wsin(8+?)+cos(F+?)=2sin(8+g)=0,而三<8+g<?,所以B+g=7T,故8=g.(2)若①②正确，则c2+3c+2=(c+1)(c+2)=0,得c=-1或c=-2,所以①②有一个错误条件，则③是正确条件，若②③正确，则Saabc="bsinC=竽，可得sinC=£>l,即②为错误条件:综上，正确条件为①③，(i)由2accosB=a2+c2—d2,则c(3-a)=0,即a=3,又Smbc=gacsinB=-»可得c=5»TOC\o"1-5"\h\z所以9一〃+25+15=0,可得b=7,则'I=，^=舞故sin/=这，sinAsinoV3 14(ii)由角平分线的性质知：40=9*7=^且乙48。=£8 8 △在△4B。中黑=-^,则8。=?.siil4smZJlSD 8.在aABC中，角48,。所对的边分别为,c.在①bcosA+acosB=2ccosC,②(q+b+c)(q+匕-c)=3ab,③cos2C+cosC=0中任选一个，(1)求角C的大小；(2)若c=2,求△ABC周长的最大值.【答案】(l)C=g(2)6【解析】(1)选①bcosA+acosB=2ccosC,得sinBcos/l+sinAcosB=2sinCcosCAsin(>1+8)=sinC=2sinCcosCVCG(0,7r)AsinC*0/.cosC=1(0<C<7T)=^C=^选②(a+b+c)(a+b-c)=3ab=(a+b)2-c2=3ab=>c2=a2+b2-ab=a24-b2-2abcosCcosC=g(0vCV7r)nC=g选③cos2C+cosC=0n2cos2c+cost—1=0=(2cosC—l)(cosC+1)=0又OvCVtt所以cosC=p所以C=g(2)由余弦定理知：c2=a2+h2-2ab・cosC=a2+b2—afe=(a+b)2—3ab由基本不等式知：QbK(等丫所以c?=(a+b)2—3ab>(a+b)2--(a+b)2=-(a+b)24 4所以：a+b02c=4(当且仅当a=b时，等号成立)，所以a+b+c<6综上：△/8C的周长的最大值为6..在①2bsinC=bccosB+csinB，②岑=卢两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该cosC2a—c问题.在aABC中，内角4、B、C所对的边分别是a、b、c,且.⑴求角B；(2)若a+c=H，点。是4c的中点，求线段BC的取值范围.【答案】(1)条件选择见解析，⑵［渭)【解析】(1)解：选①，由2bsinC=x/3ccosB+csinB及正弦定理可得2sinFsinC=V3sinCcos^+sinCsinB»所以，sinCsinF=V3sinCcosF»因为8、C6(0,7r)♦所以，sinC>0,则sinB=V5cosB>0,所以，tanB=百，••・8=g；选②，由竺^=J-及正弦定理可得sin8cosc=(2sin4-sinC)cosB,cost2a-c所以，2s\nAcosB=sin8cosc+cosFsinC=sin(8+C)=sinA,•；A、BE(0,tt),asinA>0,所以，cosB=p则8=2(2)解：因为q+c=V5，所以，0VQV汽，由已知而=配，即用一丽=而一直5,所以，2协=丽+而，所以，4BD2=(丽+BC)2=BA2+BC2+2BA■前,即4BD2=c2+a24-2accos^=c2+a2+ac=(a+c)2-ac=3-a(V3-a)=a2-V3a+3=(a-y)+；6g,3)«所以，-<BD<—.4 2.已知△ABC的内角4,B,。所对的边分别为a,b,c,tanB+tanC—KtanBtanC+6=0.(1)求角A的大小；(2)若前=2玩，AD=2,且4。平分4B4C,求△ABC的面积.【答案】(1)4=60。(2呼【解析】(1)tanB+tanC-V3tanBtanC+V3=0=>tan(B+C)= =-V3,故tanA=V3»又4€(0,w)nA=60°；(2)设8c边的高为人1 1 1 1所以Saabp=万48xADsinz.BAD=-BDxh,ShABC=-ACxADsinz.DAC=-CDxh又4。是角平分线，所以4B/W=H4C所以*=?即c=2b,ACDC又Sa48c=Saabd+Sxacd，则gbcsin6°°=1-c-2sin30°+|h-2sin30°,解得6=V5，c=2V3>Saabc=?bcsin60°=苧..在三角形Z8C