高中立体几何-直线、平面垂直的判定与性质课件

高中数学第五节直线、平面垂直的判定与性质高中数学第五节直线、平面垂直的判定与性质1.直线与平面垂直(1)直线和平面垂直的定义直线l与平面α内的①任意一条

直线都垂直,就说直线l与平面α互相

垂直.(2)直线与平面垂直的判定定理及性质定理教材研读

文字语言图形语言符号语言判定定理一条直线与一个平面内的②两条相交直线

都垂直,则该直线与此平面垂直

⇒l⊥α性质定理垂直于同一个平面的两条直线⑦平行

⇒a∥b1.直线与平面垂直教材研读文字语言图形语言符号语言判定一条22.直线与平面所成的角(1)定义:平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的

锐角

,叫做这条直线和这个平面所成的角.一条直线垂直于平面,就说它们所

成的角是直角;一条直线和平面平行,或在平面内,就说它们所成的角是0°的角.如图所示,

∠PAO

就是斜线AP与平面α所成的角.(2)线面角θ的范围:θ∈

.2.直线与平面所成的角(1)定义:平面的一条斜线和它在这个平33.二面角的有关概念(1)二面角:从一条直线出发的

两个半平面

所组成的图形叫做二面角.(2)二面角的平面角:以二面角的棱上任一点为端点,在两个半平面内分

别作

垂直于棱

的两条射线,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.3.二面角的有关概念44.平面与平面垂直的判定定理与性质定理

文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的一条垂线

,则这两个平面互相垂直

⇒α⊥β性质定理两个平面垂直,则一个平面内垂直于它们

交线

的直线与另一个平面垂直

⇒l⊥α4.平面与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言图5判断下列结论的正误(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直,则l⊥α.

(×)(2)若直线a⊥平面α,直线b∥α,则直线a与b垂直.

(√)(3)直线a⊥α,b⊥α,则a∥b.

(√)(4)若α⊥β,a⊥β⇒a∥α.

(×)(5)a⊥α,a⊂β⇒α⊥β.

(√)(6)若两平面垂直,则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平

面.

(×)判断下列结论的正误(正确的打“√”,错误的打“×”)(2)若61.给出下列四个命题:①垂直于同一直线的两个平面互相平行;②垂直于同一平面的两个平面互相平行;③若一个平面内有无数条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相

互平行;④若一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线,那么这条直线垂直于

这个平面.其中真命题的个数是

()A.1

B.2C.3

D.4答案

B①④正确.1.给出下列四个命题:72.设a,b是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则能得出a⊥b的是

()A.a⊥α,b∥β,α⊥β

B.a⊥α,b⊥β,α∥βC.a⊂α,b⊥β,α∥β

D.a⊂α,b∥β,α⊥β答案

C对于C项,由α∥β,a⊂α可得a∥β,又由b⊥β,得a⊥b.故选C.2.设a,b是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则能得83.PD垂直于正方形ABCD所在的平面,连接PB、PC、PA、AC、BD,则

一定互相垂直的平面有

()A.8对

B.7对

C.6对

D.5对答案

B由于PD⊥平面ABCD,四边形ABCD为正方形,故平面PAD⊥平面ABCD,平面PDB⊥平面ABCD,平面PDC⊥平面ABCD,平面PDA⊥平面PDC,平面PAC⊥平面PDB,平面PAB⊥平面PAD,平面PBC⊥平面PDC,共7对.3.PD垂直于正方形ABCD所在的平面,连接PB、PC、PA94.如图所示,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,BC1⊥AC,则C1在底面

ABC上的射影H必在

()A.直线AB上

B.直线BC上C.直线AC上

D.△ABC内部答案

A连接AC1.∵∠BAC=90°,∴AB⊥AC,又AC⊥BC1,BC1∩AB=B,∴AC⊥平面ABC1,又AC⊂平面ABC,∴平面ABC⊥平面ABC1.∵平面ABC1∩平面ABC=AB,∴点C1在平面ABC上的射影H必在两平面的交线AB上,故选A.4.如图所示,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=910考点一直线与平面垂直的判定与性质典例1如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,

∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中点.

(1)证明:CD⊥AE;(2)证明:PD⊥平面ABE.考点突破考点一直线与平面垂直的判定与性质考点突破11证明(1)在四棱锥P-ABCD中,∵PA⊥底面ABCD,CD⊂平面ABCD,∴PA⊥CD.∵AC⊥CD,PA∩AC=A,∴CD⊥平面PAC.而AE⊂平面PAC,∴CD⊥AE.(2)由PA=AB=BC,∠ABC=60°,可得AC=PA.∵E是PC的中点,∴AE⊥PC.由(1)知,AE⊥CD,又PC∩CD=C,所以AE⊥平面PCD.而PD⊂平面PCD,∴AE⊥PD.∵PA⊥底面ABCD,∴PD在底面ABCD内的射影是AD,又∵AB⊥AD,∴AB⊥PD.又AB∩AE=A,∴PD⊥平面ABE.证明(1)在四棱锥P-ABCD中,又AB∩AE=A,∴PD12方法技巧(1)证明直线和平面垂直的常用方法:①利用判定定理;②利用面面垂直

的性质.(2)证明线面垂直的核心是证明线线垂直,而证明线线垂直又可借助于

线面垂直的性质.因此,判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂

直的基本思想.方法技巧131-1

(2016课标全国Ⅰ,19,12分)如图,已知正三棱锥P-ABC的侧面是直

角三角形,PA=6.顶点P在平面ABC内的正投影为点D,D在平面PAB内的

正投影为点E,连接PE并延长交AB于点G.(1)证明:G是AB的中点;(2)在图中作出点E在平面PAC内的正投影F(说明作法及理由),并求四面

体PDEF的体积.

1-1

(2016课标全国Ⅰ,19,12分)如图,已知14解析(1)证明:因为P在平面ABC内的正投影为D,所以AB⊥PD.因为D在平面PAB内的正投影为E,所以AB⊥DE.又PD∩DE=D,所以AB⊥平面PED,故AB⊥PG.又由已知可得,PA=PB,从而G是AB的中点.(2)在平面PAB内,过点E作PB的平行线交PA于点F,F即为E在平面PAC

内的正投影.理由如下:由已知可得PB⊥PA,PB⊥PC,又EF∥PB,所以EF⊥PA,EF⊥PC,又PA∩PC=P,因此EF⊥平面PAC,即

点F为E在平面PAC内的正投影.连接CG,因为P在平面ABC内的正投影为D,所以D是正三角形ABC的中

心,由(1)知,G是AB的中点,所以D在CG上,故CD=

CG.解析(1)证明:因为P在平面ABC内的正投影为D,所以AB15

由题设可得PC⊥平面PAB,DE⊥平面PAB,所以DE∥PC,因此PE=

PG,DE=

PC.由已知,正三棱锥的侧面是直角三角形且PA=6,可得DE=2,PE=2

.在等腰直角三角形EFP中,可得EF=PF=2,所以四面体PDEF的体积V=

×

×2×2×2=

.

16考点二面面垂直的判定与性质典例2如图,四棱锥P-ABCD中,AB⊥AC,AB⊥PA,AB∥CD,AB=2CD,E,

F,G,M,N分别为PB,AB,BC,PD,PC的中点.(1)求证:CE∥平面PAD;(2)求证:平面EFG⊥平面EMN.

考点二面面垂直的判定与性质17证明

(1)证法一:取PA的中点H,连接EH,DH.因为E为PB的中点,所以EH∥AB,EH=

AB.证明

(1)证法一:取PA的中点H,连接EH,DH.18又AB∥CD,CD=

AB,所以EH∥CD,EH=CD.因此四边形DCEH是平行四边形.所以CE∥DH.又DH⊂平面PAD,CE⊄平面PAD,因此,CE∥平面PAD.证法二:连接CF.因为F为AB的中点,所以AF=

AB.又AB∥CD,CD= AB,证法二:连接CF.19又CD=

AB,所以AF=CD.又AF∥CD,所以四边形AFCD为平行四边形.因此CF∥AD.又AD⊂平面PAD,CF⊄平面PAD,所以CF∥平面PAD.因为E,F分别为PB,AB的中点,所以EF∥PA.又PA⊂平面PAD,EF⊄平面PAD,所以EF∥平面PAD.又CD= AB,20因为CF∩EF=F,CF⊂平面CEF,EF⊂平面CEF,故平面CEF∥平面PAD.又CE⊂平面CEF,所以CE∥平面PAD.(2)因为E,F分别为PB,AB的中点,所以EF∥PA.又AB⊥PA,所以AB⊥EF.同理可证AB⊥FG.又EF∩FG=F,EF⊂平面EFG,FG⊂平面EFG,因此AB⊥平面EFG.又M,N分别为PD,PC的中点,A因为CF∩EF=F,CF⊂平面CEF,EF⊂平面CEF,21所以MN∥CD.又AB∥CD,所以MN∥AB.因此MN⊥平面EFG.又MN⊂平面EMN,所以平面EFG⊥平面EMN.所以MN∥CD.22方法指导证明面面垂直的思路(1)利用面面垂直的定义(不常用);(2)可以考虑证线面垂直,即设法先找到其中一个平面的一条垂线,再证

这条垂线在另一个平面内或与另一个平面内的一条直线平行.一般方

法:先从现有的直线中寻找平面的垂线,若图中存在这样的直线,则可通

过线面垂直来证明面面垂直;若图中不存在这样的直线,则可通过作辅

助线来解决(常用方法).方法指导232-1

(2015课标Ⅰ,18,12分)如图,四边形ABCD为菱形,G为AC与BD的交

点,BE⊥平面ABCD.(1)证明:平面AEC⊥平面BED;(2)若∠ABC=120°,AE⊥EC,三棱锥E-ACD的体积为

,求该三棱锥的侧面积.

2-1

(2015课标Ⅰ,18,12分)如图,四边形A24解析(1)证明:因为四边形ABCD为菱形,所以AC⊥BD.因为BE⊥平面ABCD,所以AC⊥BE.又BD∩BE=B,故AC⊥平面BED.又AC⊂平面AEC,所以平面AEC⊥平面BED.(2)设AB=x,在菱形ABCD中,由∠ABC=120°,可得AG=GC=

x,GB=GD=

.因为AE⊥EC,所以在Rt△AEC中,可得EG=

x.由BE⊥平面ABCD,知△EBG为直角三角形,可得BE=

x.由已知得,三棱锥E-ACD的体积VE-ACD=

×

AC·GD·BE=

x3=

.故x=2.从而可得AE=EC=ED=

.所以△EAC的面积为3,△EAD的面积与△ECD的面积均为

.故三棱锥E-ACD的侧面积为3+2

.解析(1)证明:因为四边形ABCD为菱形,所以AC⊥BD.25考点三平行与垂直的综合问题命题角度一平行与垂直关系的证明典例3

(2016山东,18,12分)在如图所示的几何体中,D是AC的中点,EF

∥DB.(1)已知AB=BC,AE=EC,求证:AC⊥FB;(2)已知G,H分别是EC和FB的中点.求证:GH∥平面ABC.

考点三平行与垂直的综合问题26证明(1)因为EF∥DB,所以EF与DB确定平面BDEF.连接DE.因为AE=EC,D为AC的中点,所以DE⊥AC.同理可得BD⊥AC.又BD∩DE=D,所以AC⊥平面BDEF,因为FB⊂平面BDEF,所以AC⊥FB.证明(1)因为EF∥DB,27

(2)设FC的中点为I.连接GI,HI.在△CEF中,因为G是CE的中点,所以GI∥EF.又EF∥DB,所以GI∥DB.在△CFB中,因为H是FB的中点,

28所以HI∥BC.又HI∩GI=I,所以平面GHI∥平面ABC.因为GH⊂平面GHI,所以GH∥平面ABC.

所以HI∥BC.29典例4如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是矩形,AD=2AB,SA=SD,

SA⊥AB,N是棱AD的中点.(1)求证:AB∥平面SCD;(2)求证:SN⊥平面ABCD;(3)在棱SC上是否存在一点P,使得平面PBD⊥平面ABCD?若存在,求出

的值;若不存在,请说明理由.

命题角度二平行与垂直关系中的探索性问题典例4如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是矩形,A30解析(1)证明:因为ABCD是矩形,所以AB∥CD,又因为AB⊄平面SCD,CD⊂平面SCD,所以AB∥平面SCD.(2)证明:因为AB⊥SA,AB⊥AD,SA∩AD=A,所以AB⊥平面SAD,又因为SN⊂平面SAD,所以AB⊥SN.因为SA=SD,且N为AD的中点,所以SN⊥AD.又因为AB∩AD=A,解析(1)证明:因为ABCD是矩形,31所以SN⊥平面ABCD.(3)棱SC上存在一点P,使得平面PBD⊥平面ABCD.理由:如图,连接BD交NC于点F,在△SNC中,过F作FP∥SN,交SC于点P,

连接PB,PD.

因为SN⊥平面ABCD,所以FP⊥平面ABCD.又因为FP⊂平面PBD,所以SN⊥平面ABCD.32所以平面PBD⊥平面ABCD.在矩形ABCD中,因为ND∥BC,且N为AD的中点,所以

=

=

.在△SNC中,因为FP∥SN,所以

=

=

.所以在棱SC上存在一点P,使得平面PBD⊥平面ABCD,此时

=

.所以平面PBD⊥平面ABCD.33典例5

(2016江苏扬州二模)如图1,在边长为4的菱形ABCD中,∠DAB=

60°,点E,F分别是边CD,CB的中点,AC∩EF=O.沿EF将△CEF翻折到△PEF,连接PA,PB,PD,得到图2所示的五棱锥P-ABFED,且PB=

.(1)求证:BD⊥平面POA;(2)求四棱锥P-BFED的体积.

图1图2命题角度三平行与垂直关系中的折叠问题典例5

(2016江苏扬州二模)如图1,在边长为4的菱34解析(1)证明:翻折前,∵点E,F分别是边CD,CB的中点,∴BD∥EF.∵菱形ABCD的对角线互相垂直,∴BD⊥AC.∴EF⊥AC.则翻折后,EF⊥AO,EF⊥PO.∵AO⊂平面POA,PO⊂平面POA,AO∩PO=O,∴EF⊥平面POA.∴BD⊥平面POA.(2)设AO∩BD=H,连接BO,解析(1)证明:翻折前,35

∵∠DAB=60°,∴△ABD为等边三角形.∴BD=4,BH=2,HA=2

,HO=PO=

.在Rt△BHO中,BO=

=

,在△PBO中,BO2+OP2=10=PB2,∴PO⊥BO.

36又∵OP⊥EF,EF∩BO=O,EF⊂平面BFED,BO⊂平面BFED,∴PO⊥平

面BFED.梯形BFED的面积S=

(EF+BD)·HO=3

,∴四棱锥P-BFED的体积V=

S·PO=

×3

×

=3.方法技巧平行与垂直的综合应用问题的处理策略(1)探索性问题一般是先根据条件猜测点的位置再给出证明,探索点存

在问题,点多为中点或三等分点中的某一个,也可以根据相似知识建点.(2)解决此类问题的关键是结合图形,弄清折叠前后变与不变的数量关

系及位置关系.又∵OP⊥EF,EF∩BO=O,EF⊂平面BFED,BO⊂平373-1如图,在长方形ABCD中,AB=2,BC=1,E为CD的中点,F为AE的中点.

现在沿AE将三角形ADE向上折起,在折起的图形中解答下列问题:

(1)在线段AB上是否存在一点K,使BC∥平面DFK?若存在,请证明你的结

论;若不存在,请说明理由;(2)若平面ADE⊥平面ABCE,求证:平面BDE⊥平面ADE.3-1如图,在长方形ABCD中,AB=2,BC=1,E为C38

证明如下:设H为AB的中点,连接EH,则BC∥EH,∵AK=

AB,F为AE的中点,∴KF∥EH,∴KF∥BC,∵KF⊂平面DFK,BC⊄平面DFK,∴BC∥平面DFK.(2)证明:∵在折起前的图形中E为CD的中点,AB=2,BC=1,解析(1)如图,线段AB上存在一点K,且当AK=

AB时,BC∥平面DFK. 解析(1)如图,线段AB上存在一点K,且当AK= AB时39∴在折起后的图形中,AE=BE=

,从而AE2+BE2=4=AB2,∴AE⊥BE.∵平面ADE⊥平面ABCE,平面ADE∩平面ABCE=AE,BE⊂平面ABCE,∴

BE⊥平面ADE,∵BE⊂平面BDE,∴平面BDE⊥平面ADE.∴在折起后的图形中,AE=BE= ,40高中数学第五节直线、平面垂直的判定与性质高中数学第五节直线、平面垂直的判定与性质1.直线与平面垂直(1)直线和平面垂直的定义直线l与平面α内的①任意一条

直线都垂直,就说直线l与平面α互相

垂直.(2)直线与平面垂直的判定定理及性质定理教材研读

文字语言图形语言符号语言判定定理一条直线与一个平面内的②两条相交直线

都垂直,则该直线与此平面垂直

⇒l⊥α性质定理垂直于同一个平面的两条直线⑦平行

⇒a∥b1.直线与平面垂直教材研读文字语言图形语言符号语言判定一条422.直线与平面所成的角(1)定义:平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的

锐角

,叫做这条直线和这个平面所成的角.一条直线垂直于平面,就说它们所

成的角是直角;一条直线和平面平行,或在平面内,就说它们所成的角是0°的角.如图所示,

∠PAO

就是斜线AP与平面α所成的角.(2)线面角θ的范围:θ∈

.2.直线与平面所成的角(1)定义:平面的一条斜线和它在这个平433.二面角的有关概念(1)二面角:从一条直线出发的

两个半平面

所组成的图形叫做二面角.(2)二面角的平面角:以二面角的棱上任一点为端点,在两个半平面内分

别作

垂直于棱

的两条射线,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.3.二面角的有关概念444.平面与平面垂直的判定定理与性质定理

文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的一条垂线

,则这两个平面互相垂直

⇒α⊥β性质定理两个平面垂直,则一个平面内垂直于它们

交线

的直线与另一个平面垂直

⇒l⊥α4.平面与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言图45判断下列结论的正误(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直,则l⊥α.

(×)(2)若直线a⊥平面α,直线b∥α,则直线a与b垂直.

(√)(3)直线a⊥α,b⊥α,则a∥b.

(√)(4)若α⊥β,a⊥β⇒a∥α.

(×)(5)a⊥α,a⊂β⇒α⊥β.

(√)(6)若两平面垂直,则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平

面.

(×)判断下列结论的正误(正确的打“√”,错误的打“×”)(2)若461.给出下列四个命题:①垂直于同一直线的两个平面互相平行;②垂直于同一平面的两个平面互相平行;③若一个平面内有无数条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相

互平行;④若一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线,那么这条直线垂直于

这个平面.其中真命题的个数是

()A.1

B.2C.3

D.4答案

B①④正确.1.给出下列四个命题:472.设a,b是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则能得出a⊥b的是

()A.a⊥α,b∥β,α⊥β

B.a⊥α,b⊥β,α∥βC.a⊂α,b⊥β,α∥β

D.a⊂α,b∥β,α⊥β答案

C对于C项,由α∥β,a⊂α可得a∥β,又由b⊥β,得a⊥b.故选C.2.设a,b是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则能得483.PD垂直于正方形ABCD所在的平面,连接PB、PC、PA、AC、BD,则

一定互相垂直的平面有

()A.8对

B.7对

C.6对

D.5对答案

B由于PD⊥平面ABCD,四边形ABCD为正方形,故平面PAD⊥平面ABCD,平面PDB⊥平面ABCD,平面PDC⊥平面ABCD,平面PDA⊥平面PDC,平面PAC⊥平面PDB,平面PAB⊥平面PAD,平面PBC⊥平面PDC,共7对.3.PD垂直于正方形ABCD所在的平面,连接PB、PC、PA494.如图所示,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,BC1⊥AC,则C1在底面

ABC上的射影H必在

()A.直线AB上

B.直线BC上C.直线AC上

D.△ABC内部答案

A连接AC1.∵∠BAC=90°,∴AB⊥AC,又AC⊥BC1,BC1∩AB=B,∴AC⊥平面ABC1,又AC⊂平面ABC,∴平面ABC⊥平面ABC1.∵平面ABC1∩平面ABC=AB,∴点C1在平面ABC上的射影H必在两平面的交线AB上,故选A.4.如图所示,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=950考点一直线与平面垂直的判定与性质典例1如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,

∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中点.

(1)证明:CD⊥AE;(2)证明:PD⊥平面ABE.考点突破考点一直线与平面垂直的判定与性质考点突破51证明(1)在四棱锥P-ABCD中,∵PA⊥底面ABCD,CD⊂平面ABCD,∴PA⊥CD.∵AC⊥CD,PA∩AC=A,∴CD⊥平面PAC.而AE⊂平面PAC,∴CD⊥AE.(2)由PA=AB=BC,∠ABC=60°,可得AC=PA.∵E是PC的中点,∴AE⊥PC.由(1)知,AE⊥CD,又PC∩CD=C,所以AE⊥平面PCD.而PD⊂平面PCD,∴AE⊥PD.∵PA⊥底面ABCD,∴PD在底面ABCD内的射影是AD,又∵AB⊥AD,∴AB⊥PD.又AB∩AE=A,∴PD⊥平面ABE.证明(1)在四棱锥P-ABCD中,又AB∩AE=A,∴PD52方法技巧(1)证明直线和平面垂直的常用方法:①利用判定定理;②利用面面垂直

的性质.(2)证明线面垂直的核心是证明线线垂直,而证明线线垂直又可借助于

线面垂直的性质.因此,判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂

直的基本思想.方法技巧531-1

(2016课标全国Ⅰ,19,12分)如图,已知正三棱锥P-ABC的侧面是直

角三角形,PA=6.顶点P在平面ABC内的正投影为点D,D在平面PAB内的

正投影为点E,连接PE并延长交AB于点G.(1)证明:G是AB的中点;(2)在图中作出点E在平面PAC内的正投影F(说明作法及理由),并求四面

体PDEF的体积.

1-1

(2016课标全国Ⅰ,19,12分)如图,已知54解析(1)证明:因为P在平面ABC内的正投影为D,所以AB⊥PD.因为D在平面PAB内的正投影为E,所以AB⊥DE.又PD∩DE=D,所以AB⊥平面PED,故AB⊥PG.又由已知可得,PA=PB,从而G是AB的中点.(2)在平面PAB内,过点E作PB的平行线交PA于点F,F即为E在平面PAC

内的正投影.理由如下:由已知可得PB⊥PA,PB⊥PC,又EF∥PB,所以EF⊥PA,EF⊥PC,又PA∩PC=P,因此EF⊥平面PAC,即

点F为E在平面PAC内的正投影.连接CG,因为P在平面ABC内的正投影为D,所以D是正三角形ABC的中

心,由(1)知,G是AB的中点,所以D在CG上,故CD=

CG.解析(1)证明:因为P在平面ABC内的正投影为D,所以AB55

由题设可得PC⊥平面PAB,DE⊥平面PAB,所以DE∥PC,因此PE=

PG,DE=

PC.由已知,正三棱锥的侧面是直角三角形且PA=6,可得DE=2,PE=2

.在等腰直角三角形EFP中,可得EF=PF=2,所以四面体PDEF的体积V=

×

×2×2×2=

.

56考点二面面垂直的判定与性质典例2如图,四棱锥P-ABCD中,AB⊥AC,AB⊥PA,AB∥CD,AB=2CD,E,

F,G,M,N分别为PB,AB,BC,PD,PC的中点.(1)求证:CE∥平面PAD;(2)求证:平面EFG⊥平面EMN.

考点二面面垂直的判定与性质57证明

(1)证法一:取PA的中点H,连接EH,DH.因为E为PB的中点,所以EH∥AB,EH=

AB.证明

(1)证法一:取PA的中点H,连接EH,DH.58又AB∥CD,CD=

AB,所以EH∥CD,EH=CD.因此四边形DCEH是平行四边形.所以CE∥DH.又DH⊂平面PAD,CE⊄平面PAD,因此,CE∥平面PAD.证法二:连接CF.因为F为AB的中点,所以AF=

AB.又AB∥CD,CD= AB,证法二:连接CF.59又CD=

AB,所以AF=CD.又AF∥CD,所以四边形AFCD为平行四边形.因此CF∥AD.又AD⊂平面PAD,CF⊄平面PAD,所以CF∥平面PAD.因为E,F分别为PB,AB的中点,所以EF∥PA.又PA⊂平面PAD,EF⊄平面PAD,所以EF∥平面PAD.又CD= AB,60因为CF∩EF=F,CF⊂平面CEF,EF⊂平面CEF,故平面CEF∥平面PAD.又CE⊂平面CEF,所以CE∥平面PAD.(2)因为E,F分别为PB,AB的中点,所以EF∥PA.又AB⊥PA,所以AB⊥EF.同理可证AB⊥FG.又EF∩FG=F,EF⊂平面EFG,FG⊂平面EFG,因此AB⊥平面EFG.又M,N分别为PD,PC的中点,A因为CF∩EF=F,CF⊂平面CEF,EF⊂平面CEF,61所以MN∥CD.又AB∥CD,所以MN∥AB.因此MN⊥平面EFG.又MN⊂平面EMN,所以平面EFG⊥平面EMN.所以MN∥CD.62方法指导证明面面垂直的思路(1)利用面面垂直的定义(不常用);(2)可以考虑证线面垂直,即设法先找到其中一个平面的一条垂线,再证

这条垂线在另一个平面内或与另一个平面内的一条直线平行.一般方

法:先从现有的直线中寻找平面的垂线,若图中存在这样的直线,则可通

过线面垂直来证明面面垂直;若图中不存在这样的直线,则可通过作辅

助线来解决(常用方法).方法指导632-1

(2015课标Ⅰ,18,12分)如图,四边形ABCD为菱形,G为AC与BD的交

点,BE⊥平面ABCD.(1)证明:平面AEC⊥平面BED;(2)若∠ABC=120°,AE⊥EC,三棱锥E-ACD的体积为

,求该三棱锥的侧面积.

2-1

(2015课标Ⅰ,18,12分)如图,四边形A64解析(1)证明:因为四边形ABCD为菱形,所以AC⊥BD.因为BE⊥平面ABCD,所以AC⊥BE.又BD∩BE=B,故AC⊥平面BED.又AC⊂平面AEC,所以平面AEC⊥平面BED.(2)设AB=x,在菱形ABCD中,由∠ABC=120°,可得AG=GC=

x,GB=GD=

.因为AE⊥EC,所以在Rt△AEC中,可得EG=

x.由BE⊥平面ABCD,知△EBG为直角三角形,可得BE=

x.由已知得,三棱锥E-ACD的体积VE-ACD=

×

AC·GD·BE=

x3=

.故x=2.从而可得AE=EC=ED=

.所以△EAC的面积为3,△EAD的面积与△ECD的面积均为

.故三棱锥E-ACD的侧面积为3+2

.解析(1)证明:因为四边形ABCD为菱形,所以AC⊥BD.65考点三平行与垂直的综合问题命题角度一平行与垂直关系的证明典例3

(2016山东,18,12分)在如图所示的几何体中,D是AC的中点,EF

∥DB.(1)已知AB=BC,AE=EC,求证:AC⊥FB;(2)已知G,H分别是EC和FB的中点.求证:GH∥平面ABC.

考点三平行与垂直的综合问题66证明(1)因为EF∥DB,所以EF与DB确定平面BDEF.连接DE.因为AE=EC,D为AC的中点,所以DE⊥AC.同理可得BD⊥AC.又BD∩DE=D,所以AC⊥平面BDEF,因为FB⊂平面BDEF,所以AC⊥FB.证明(1)因为EF∥DB,67

(2)设FC的中点为I.连接GI,HI.在△CEF中,因为G是CE的中点,所以GI∥EF.又EF∥DB,所以GI∥DB.在△CFB中,因为H是FB的中点,

68所以HI∥BC.又HI∩GI=I,所以平面GHI∥平面ABC.因为GH⊂平面GHI,所以GH∥平面ABC.

所以HI∥BC.69典例4如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是矩形,AD=2AB,SA=SD,

SA⊥AB,N是棱AD的中点.(1)求证:AB∥平面SCD;(2)求证:SN⊥平面ABCD;(3)在棱SC上是否存在一点P,使得平面PBD⊥平面ABCD?若存在,求出

的值;若不存在,请说明理由.

命题角度二平行与垂直关系中的探索性问题典例4如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是矩形,A70解析(1)证明:因为ABCD是矩形,所以AB∥CD,又因为AB⊄平面SCD,CD⊂平面SCD,所以AB∥平面SCD.(2)证明:因为AB⊥SA,AB⊥AD,SA∩AD=A,所以AB⊥平面SAD,又因为SN⊂平面SAD,所以AB⊥SN.因为SA=SD,且N为AD的中点,所以SN⊥AD.又因为AB∩AD=A,解析(1)证明:因为ABCD是矩形,71所以SN⊥平面ABCD.(3)棱SC上存在一点P,使得平面PBD⊥平面ABCD.理由:如图,连接BD交NC于点F,在△SNC中,过F作FP∥SN,交SC于点P,

连接PB,PD.

因为SN⊥平面ABCD,所以FP⊥平面ABCD.又因为FP⊂平面PBD,所以SN⊥平面ABCD.72所以平面PBD⊥平面ABCD.在矩形ABCD中,因为ND