线性代数模拟题目-1章矩阵1-2检查

1§1.2高斯消元法与矩阵的初等变换一、引入二、高斯消元法与初等变换三、初等矩阵2教学目的

通过解方程的消元法，引出矩阵的初等变换；反过来再利用矩阵的初等行变换，简化解方程的过程；并让学生掌握初等矩阵及初等矩阵乘矩阵的结果。教学重点教学难点

掌握矩阵的初等变换、初等矩阵；及用初等行变换解方程;让学生认识到左乘初等矩阵相当于行变换，右乘初等矩阵相当于列变换

用初等行变换将矩阵化为行阶梯型矩阵，进而化为行简化阶梯型矩阵；3一、引入齐次方程组：AX=04齐次方程组：AX=0;

非齐次方程组：AX=b,b0(b中至少有一分量不为零)则称C为AX=b的解：使得AX=b成立，定义5非齐次方程组：AX=b问题方程组何时有解？若有解，有多少解？如何求出其全部解？齐次方程组：AX=0一定有解！X=0是齐次方程组的解问题齐次方程组何时只有零解？何时有非零解？6引例用消元法解下列方程组的过程．二、高斯消元法与初等变换7解89用“回代”的方法求出解：于是解得10故方程组有无穷多解11小结1．上述解方程组的方法称为消元法．2．始终把方程组看作一个整体变形，用到如下三种变换（它们是同解变换）（1）两个方程互换；（2）以不等于０的数乘某个方程；（3）一个方程加上另一个方程的k倍．称以上三种变换为线性方程组的初等变换但线性方程组的初等变换，实际上只对增广矩阵的系数作了相应的行变化，称为增广矩阵的初等行变换。12定义下面三种变换称为矩阵的初等行变换:对换变换倍乘变换倍加变换13下面三种变换称为矩阵的初等列变换:矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算，应用广泛.对换变换倍乘变换倍加变换矩阵的初等变换初等列变换初等行变换14用矩阵的初等行变换解方程组（1）：（1）1516方程组的解为：17（2）零行(元素全为0)都在下方。（1）对于每个非零行(元素不全为0)的非0首元都出现在上一行非0首元的右边；是行阶梯形矩阵不是行阶梯形矩阵满足下列2个条件的矩阵称为行阶梯形矩阵18（1）是行阶梯形矩阵；不是简化行阶梯形矩阵（2）每一非0行的非0首元为1；（3）每一非0首元1所在的列的其余元素均为0；是简化行阶梯形矩阵满足下列3个条件的矩阵称为简化行阶梯形矩阵19注对于任何矩阵，总可以经过有限次初等行变换把它变为简化行阶梯形矩阵.高斯消元法解方程组的过程，就是对其增广矩阵做初等行变换的过程，目标是将增广矩阵化为简化行阶梯形矩阵。20例

求解非齐次线性方程组解对增广矩阵进行初等行变换，故方程组无解21方程组无解这时出现了矛盾方程22例

求解非齐次线性方程组解对增广矩阵进行初等行变换，23故方程组有唯一解24方程组有唯一解这时没出现矛盾方程，且行阶梯形矩阵有2个非0行（有2个非0首元）25例

求解非齐次方程组的通解解

对增广矩阵进行初等行变换26故方程组有无穷多解27方程组有无穷多解这时故方程组有无穷多解没出现矛盾方程，且行阶梯形矩阵有2个非0行（有2个非0首元）28线性方程组一般情形

对其增广矩阵作初等行变换，总可以化为如下形式的简化行阶梯矩阵（必要时交换未知量的下标）2930这个方程组与原方程组同解,31自由未知量.解为32当方程为齐次方程组时，齐次方程组至少有一组零解特别地，方程个数少于未知量个数的齐次方程组:一定有非零解.33例

求解齐次线性方程组解

对系数矩阵进行初等行变换34由此即得齐次方程有无穷多解，所以有非零解.35解线性方程组解练一练36简化行阶梯形矩阵对应的方程组为方程组有无穷多解.37例

设有线性方程组解38其解为3940这时又分两种情形：41矩阵的等价初等变换的逆变换仍为初等变换,且变换类型相同．逆变换逆变换逆变换42矩阵等价关系的性质43定义

由单位矩阵

I经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵.三种初等变换对应着三种初等方阵.三、初等矩阵44第

列第

列(1)对调I中两行或两列，得初等对换矩阵.45第

列(2)以数乘I中某行或某列，得初等倍乘矩阵.46第

列第

列得初等倍加矩阵.47例484950定理设A是m

n矩阵，对A施行一次初等列变换，相当于在A的左边乘一个相应的m阶初等矩阵；相当于在A的右边乘一个相应的n阶初等矩阵对A施行一次初等行变换，51“左乘行，右乘列”定理的应用：1.若矩阵B与A行等价，则存在有限个初等矩阵

E1,…,Ek,使得2.若矩阵B与A列等价，则存在有限个初等矩阵

E1,…,Ek,使得3.若矩阵B与A等价，则存在有限个初等矩阵

P1,…,Pk,Q1,…,Qt使得52解例

53设矩阵练一练54小结1.初等行(列)变换3.矩阵等价具有的性质2.初等变换555.利用矩阵的初等行变换解线性方程组.目