考点41-圆的方程及点、线、圆的位置关系课件

41圆的方程及点、线、圆的位置关系41圆的方程及点、线、圆的位置关系1．圆的方程(1)圆的标准方程与一般方程名称圆的标准方程圆的一般方程方程①________________________x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)圆心(a，b)②__________半径r(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)1．圆的方程名称圆的标准方程圆的一般方程方程①_______(2)A(x1，y1)，B(x2，y2)，以AB为直径的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.2．点与圆的位置关系圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)．(1)③___________________⇔点M在圆上；(2)(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2⇔点M在圆外；(3)④___________________⇔点M在圆内．(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2(2)A(x1，y1)，B(x2，y2)，以AB为直径的圆的3．直线与圆的位置关系方法位置关系几何法代数法相交⑤_____Δ>0相切d＝r⑥_____相离⑦_____Δ<0d<rΔ＝0d>r3．直线与圆的位置关系4．圆与圆的位置关系设两个圆的半径分别为R，r，R>r，圆心距为d，则两圆的位置关系可用下表来表示：位置关系外离外切相交内切内含几何特征d>R＋r⑧________R－r<d<R＋r⑨________d<R－r代数特征无实数解一组实数解两组实数解一组实数解无实数解公切线条数43210d＝R＋rd＝R－r4．圆与圆的位置关系位置关系外离外切相交内切内含几何特征d>在利用判别式Δ判断两圆的位置关系时，Δ＞0是两圆相交的充要条件，而Δ＝0是两圆外切(内切)的必要不充分条件，Δ＜0是两圆外离(内含)的必要不充分条件．在利用判别式Δ判断两圆的位置关系时，Δ＞0是两圆相交的充要条考向1圆的方程及应用

圆的方程在高考中涉及三个方面的应用，一是利用直接法或待定系数法或动点轨迹确定圆的方程；二是利用圆的方程得到圆心和半径；三是圆的方程与圆锥曲线等其他知识结合起来进行综合考查，常涉及点到直线的最大或最小距离问题．但不管是哪一方面，掌握圆的实质内涵“心定位，径定大”是至关重要的．考向1圆的方程及应用考点41-圆的方程及点、线、圆的位置关系课件(2)方法一：由题意知a＝4，b＝2，上、下顶点的坐标分别为(0，2)，(0，－2)，右顶点的坐标为(4，0)．由圆心在x轴的正半轴上知圆过点(0，2)，(0，－2)，(4，0)三点．设圆的标准方程为(x－m)2＋y2＝r2(0＜m＜4，r＞0)，(2)方法一：由题意知a＝4，b＝2，上、下顶点的坐标分别为方法二：由题意设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋F＝0，由方法一知圆过点(0，±2)，(4，0)，方法二：由题意设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋F＝0，1．用待定系数法求圆的方程的一般步骤(1)选用圆的方程两种形式中的一种，若已知圆上三个点的坐标，通常选用一般方程；若给出圆心的特殊位置或圆心与两坐标轴间的关系，通常选用标准方程；(2)根据所给条件，列出关于D，E，F或a，b，r的方程组；(3)解方程组，求出D，E，F或a，b，r的值，并把它们代入所设的方程中，得到所求圆的方程．1．用待定系数法求圆的方程的一般步骤2．确定圆心位置的方法(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上；(2)圆心在任一弦的中垂线上；(3)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．2．确定圆心位置的方法变式训练

(2015·北京文，2)圆心为(1，1)且过原点的圆的方程是 (

)A．(x－1)2＋(y－1)2＝1 B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 D．(x－1)2＋(y－1)2＝2【解析】设半径为r，则r2＝(1－0)2＋(1－0)2＝2，∴圆心为(1，1)且过原点的圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.D变式训练(2015·北京文，2)圆心为(1，1)且过原点的考向2直线与圆、圆与圆的位置关系及应用

直线与圆的位置关系主要通过数形结合思想，考查直线和圆的几何性质，常涉及切线长和弦长，主要以圆心、半径、勾股定理、点到直线的距离、弦心距公式等为基础，所涉及的题目在高考中属于中等难度．

圆与圆的位置关系的应用主要题型有给出两圆的方程判断位置关系、公切线的条数、参数的范围、公共弦长等，以选择题、填空题为主，属中档题．考向2直线与圆、圆与圆的位置关系及应用例2(1)(2015·重庆，8)已知直线l：x＋ay－1＝0(a∈R)是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴，过点A(－4，a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|＝ (

)例2(1)(2015·重庆，8)已知直线l：x＋ay－1【解析】

(1)方法一：由题设，得圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4，知圆C的圆心为(2，1)，半径为2.因为直线l为圆C的对称轴，所以圆心在直线l上，则2＋a－1＝0，解得a＝－1，所以|AB|2＝|AC|2－|BC|2＝[(－4－2)2＋(－1－1)2]－4＝36，所以|AB|＝6.方法二(优解)：由题意知直线x＋ay－1＝0过圆心(2，1)，则2＋a－1＝0，a＝－1，则A(－4，－1)，【解析】(1)方法一：由题设，得圆C的标准方程为(x－2)方法三：由题意知，圆心在直线l上，即2＋a－1＝0，解得a＝－1，再由图知，|AB|＝6.(2)如图，方法三：由题意知，圆心在直线l上，即2＋a－1＝0，解得a＝【答案】

(1)C

(2)4【答案】(1)C(2)41．有关弦长问题的两种求法1．有关弦长问题的两种求法2．过一点求圆的切线的方法(1)过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程的求法(2)过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程的求法当斜率存在时，设为k，切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y＋y0－kx0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，即可得出切线方程．当斜率不存在时要加以验证．2．过一点求圆的切线的方法变式训练1．(2017·河南南阳模拟，2)两圆x2＋y2－4x＋2y＋1＝0与x2＋y2＋4x－4y－1＝0的公切线有 (

) A．1条

B．2条

C．3条

D．4条C变式训练C2．(2017·安徽黄山二模，7)过直线y＝x＋1上的点P作圆C：(x－1)2＋(y－6)2＝2的两条切线l1，l2，当直线l1，l2关于直线y＝x＋1对称时，|PC|＝ (

)B2．(2017·安徽黄山二模，7)过直线y＝x＋1上的点P作考向3直线与圆的综合问题

直线与圆的综合问题在高考中出现的频率不高，主要考查直线与圆的位置关系，点到直线的距离，有时也与函数、不等式交汇命题，运算量较大，对逻辑推理能力的要求较高．例3(2015·广东，20，14分)已知过原点的动直线l与圆C1：x2＋y2－6x＋5＝0相交于不同的两点A，B.(1)求圆C1的圆心坐标；(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程；(3)是否存在实数k，使得直线L：y＝k(x－4)与曲线C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．考向3直线与圆的综合问题【解析】

(1)圆C1的方程x2＋y2－6x＋5＝0可化为(x－3)2＋y2＝4，所以圆心坐标为(3，0)．(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1≠x2)，M(x0，y0)，由题意可知直线l的斜率必存在，设直线l的方程为y＝tx.将上述方程代入圆C1的方程，化简得(1＋t2)x2－6x＋5＝0.【解析】(1)圆C1的方程x2＋y2－6x＋5＝0可化为(考点41-圆的方程及点、线、圆的位置关系课件联立直线L的方程与曲线C的方程，消去y整理得(1＋k2)x2－(3＋8k2)x＋16k2＝0.联立直线L的方程与曲线C的方程，消去y整理得

直线与圆的综合问题的求解策略(1)利用解析几何的基本思想方法(即几何问题代数化)，把它转化为代数问题，通过代数的计算，使问题得到解决．(2)直线与圆和平面几何联系十分紧密，可充分考虑平面几何知识的运用，如在直线与圆相交的有关线段长度计算中，要把圆的半径、圆心到直线的距离、直线被圆截得的线段长度放到一起综合考虑． 直线与圆的综合问题的求解策略(1)求|PA|的最大值与最小值；(2)圆C与坐标轴相交于三点，求以这三个点为顶点的三角形的内切圆的半径．(1)求|PA|的最大值与最小值；∵m<3，∴m＝2，(2)由(1)可得圆的方程为(x＋3)2＋(y－2)2＝13，令x＝0，则y＝0或4；令y＝0，则x＝0或－6，∴圆C与坐标轴相交于三点M(0，4)，O(0，0)，N(－6，0)，∴△MON为直角三角形，∵m<3，∴m＝2，41圆的方程及点、线、圆的位置关系41圆的方程及点、线、圆的位置关系1．圆的方程(1)圆的标准方程与一般方程名称圆的标准方程圆的一般方程方程①________________________x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)圆心(a，b)②__________半径r(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)1．圆的方程名称圆的标准方程圆的一般方程方程①_______(2)A(x1，y1)，B(x2，y2)，以AB为直径的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.2．点与圆的位置关系圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)．(1)③___________________⇔点M在圆上；(2)(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2⇔点M在圆外；(3)④___________________⇔点M在圆内．(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2(2)A(x1，y1)，B(x2，y2)，以AB为直径的圆的3．直线与圆的位置关系方法位置关系几何法代数法相交⑤_____Δ>0相切d＝r⑥_____相离⑦_____Δ<0d<rΔ＝0d>r3．直线与圆的位置关系4．圆与圆的位置关系设两个圆的半径分别为R，r，R>r，圆心距为d，则两圆的位置关系可用下表来表示：位置关系外离外切相交内切内含几何特征d>R＋r⑧________R－r<d<R＋r⑨________d<R－r代数特征无实数解一组实数解两组实数解一组实数解无实数解公切线条数43210d＝R＋rd＝R－r4．圆与圆的位置关系位置关系外离外切相交内切内含几何特征d>在利用判别式Δ判断两圆的位置关系时，Δ＞0是两圆相交的充要条件，而Δ＝0是两圆外切(内切)的必要不充分条件，Δ＜0是两圆外离(内含)的必要不充分条件．在利用判别式Δ判断两圆的位置关系时，Δ＞0是两圆相交的充要条考向1圆的方程及应用

圆的方程在高考中涉及三个方面的应用，一是利用直接法或待定系数法或动点轨迹确定圆的方程；二是利用圆的方程得到圆心和半径；三是圆的方程与圆锥曲线等其他知识结合起来进行综合考查，常涉及点到直线的最大或最小距离问题．但不管是哪一方面，掌握圆的实质内涵“心定位，径定大”是至关重要的．考向1圆的方程及应用考点41-圆的方程及点、线、圆的位置关系课件(2)方法一：由题意知a＝4，b＝2，上、下顶点的坐标分别为(0，2)，(0，－2)，右顶点的坐标为(4，0)．由圆心在x轴的正半轴上知圆过点(0，2)，(0，－2)，(4，0)三点．设圆的标准方程为(x－m)2＋y2＝r2(0＜m＜4，r＞0)，(2)方法一：由题意知a＝4，b＝2，上、下顶点的坐标分别为方法二：由题意设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋F＝0，由方法一知圆过点(0，±2)，(4，0)，方法二：由题意设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋F＝0，1．用待定系数法求圆的方程的一般步骤(1)选用圆的方程两种形式中的一种，若已知圆上三个点的坐标，通常选用一般方程；若给出圆心的特殊位置或圆心与两坐标轴间的关系，通常选用标准方程；(2)根据所给条件，列出关于D，E，F或a，b，r的方程组；(3)解方程组，求出D，E，F或a，b，r的值，并把它们代入所设的方程中，得到所求圆的方程．1．用待定系数法求圆的方程的一般步骤2．确定圆心位置的方法(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上；(2)圆心在任一弦的中垂线上；(3)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．2．确定圆心位置的方法变式训练

(2015·北京文，2)圆心为(1，1)且过原点的圆的方程是 (

)A．(x－1)2＋(y－1)2＝1 B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 D．(x－1)2＋(y－1)2＝2【解析】设半径为r，则r2＝(1－0)2＋(1－0)2＝2，∴圆心为(1，1)且过原点的圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.D变式训练(2015·北京文，2)圆心为(1，1)且过原点的考向2直线与圆、圆与圆的位置关系及应用

直线与圆的位置关系主要通过数形结合思想，考查直线和圆的几何性质，常涉及切线长和弦长，主要以圆心、半径、勾股定理、点到直线的距离、弦心距公式等为基础，所涉及的题目在高考中属于中等难度．

圆与圆的位置关系的应用主要题型有给出两圆的方程判断位置关系、公切线的条数、参数的范围、公共弦长等，以选择题、填空题为主，属中档题．考向2直线与圆、圆与圆的位置关系及应用例2(1)(2015·重庆，8)已知直线l：x＋ay－1＝0(a∈R)是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴，过点A(－4，a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|＝ (

)例2(1)(2015·重庆，8)已知直线l：x＋ay－1【解析】

(1)方法一：由题设，得圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4，知圆C的圆心为(2，1)，半径为2.因为直线l为圆C的对称轴，所以圆心在直线l上，则2＋a－1＝0，解得a＝－1，所以|AB|2＝|AC|2－|BC|2＝[(－4－2)2＋(－1－1)2]－4＝36，所以|AB|＝6.方法二(优解)：由题意知直线x＋ay－1＝0过圆心(2，1)，则2＋a－1＝0，a＝－1，则A(－4，－1)，【解析】(1)方法一：由题设，得圆C的标准方程为(x－2)方法三：由题意知，圆心在直线l上，即2＋a－1＝0，解得a＝－1，再由图知，|AB|＝6.(2)如图，方法三：由题意知，圆心在直线l上，即2＋a－1＝0，解得a＝【答案】

(1)C

(2)4【答案】(1)C(2)41．有关弦长问题的两种求法1．有关弦长问题的两种求法2．过一点求圆的切线的方法(1)过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程的求法(2)过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程的求法当斜率存在时，设为k，切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y＋y0－kx0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，即可得出切线方程．当斜率不存在时要加以验证．2．过一点求圆的切线的方法变式训练1．(2017·河南南阳模拟，2)两圆x2＋y2－4x＋2y＋1＝0与x2＋y2＋4x－4y－1＝0的公切线有 (

) A．1条

B．2条

C．3条

D．4条C变式训练C2．(2017·安徽黄山二模，7)过直线y＝x＋1上的点P作圆C：(x－1)2＋(y－6)2＝2的两条切线l1，l2，当直线l1，l2关于直线y＝x＋1对称时，|PC|＝ (

)B2．(2017·安徽黄山二模，7)过直线y＝x＋1上的点P作考向3直线与圆的综合问题

直线与圆的综合问题在高考中出现的频率不高，主要考查直线与圆的位置关系，点到直线的距离，有时也与函数、不等式交汇命题，运算量较大，对逻辑推理能力的要求较高．例3(2015·广东，20，14分)已知过原点的动直线l与圆C1：x2＋y2－6x＋5＝0相交于不同的两点A