经济类线代第1.1讲行列式概念与性质

第1.1 行列式的概念与性考点1——行列式的相关行列式的行列式的定义有很多种，其中较为直接的(构造性的) A 矩阵(方阵A)的行列式常记为detA(determinants)或简记为A评评注：矩阵与行列式的本质区别在于：行列式是数；矩阵只是数表1式行列式对行列式Aij而言，若Aij划去第i行、j列后剩下的称为Aij 式，记为Mij。

,

,

ai1, ai1,

ai1, ai1,

,

,

2行列式的代 式的基础上，定义(1)ij即

ij为代 式，记为。 A(1)ij 3考点2——行列式的①行列式A行与列(按原顺序)互换，其值不也可简记

4②(线性性质)——主要有以下两Ⅰ——将常数k乘以行列式A一行(列)，等于该数k乘以行A的值。

kai2

k

ai 5易混知识点：

kn

A，

kai

ai

kn

ai 6

Ⅱ ai1

ai2bi

ain aibi7

③行列

A中两行(列)对应元素全相等，其值为零。即当aima(ijm12,n)时 ai A a aj 8

a

Aaimajmijm12,n。k是常数)，其值为零。 aiA a aj

a9④在行

A中，把某行各元素分别乘以非零常数k，再加到另一简称为：对行列式作倍加行变换，

ai a aj a

ai kai1a kai2aj2 kaina 称性)——行列

A的两行(列)对换，行列

A的值反号。 ai

ai1a ai2aj

aina

ai1a ai2aj

ajnaj1 aj

ajn

aj1 aj

a

ai2

aj1aj ajnaj1aj ajn ai2 ai ⑥( 斯展开)——将行列式按行(列)展开公Ⅰ（按行展开公式行列式对任一行按下式其值相等即nAai1Ai1ai2Ai2ainAinaijn(i1,2,, A1)ij

A中去掉第i行第j列全部元素原顺序排成的(n1)阶行列式，它成为aij的的代数 式。

式，进而Aij称为Ⅱ（按列展开公式行列式对任一列按下式其值相等即nAa1j

a2jA2janjAnjaij(j1,2,,Ⅲ——行列式某一行(列)的元素乘以另一行对应元素的代数式之和等于零。即naik ai1Aj1ai2Aj2ainAjnnkn或nakiAkja1iA1ja2iA2jk1

aniAnj1： A

则第4行元素 式之和的值⑦若A,B均为n阶方阵，则ABA⑧若A为n阶方阵，且kR，则kAkn⑨若A为n阶方阵，且A*为A的伴随矩阵，则 A⑩若A为可逆(非奇异)

A1：设AB为n阶矩阵，

2,

3，则

2A*B1 第1.2 常考数字型(含参型)行列式的计算方考点1——计算上(下)三角型的行列①

a11

1A ②

a1n10004000004004304324321考点2——计算非零元素在三条线上的行列式╲╱╱ 、╲╲╱╱常将其化为三角行列式1

A

第2.1 矩阵的概念与性考点1——矩阵的概将mn个实数aij排成m行n并括以圆括弧(或方括弧)的数 a1n 22 m mn称为mn矩阵，通常用大写字母记作A或Amn有时也记A(aij其中aij称为矩阵A的第i行j列元素①当①当mn个元素全为零时的矩阵称为零矩阵，记作0②当mn时，称A为n阶矩阵(或n阶方阵)考点2——常考的矩阵的类型及其性质⒈定若主对角元全为1，其余元素全为0的n阶矩阵，称为n阶单位矩阵，记作E或I，即 00 0 1 ⒉性①AEEA②E数量⒈定若主对角元全为非零数k其余元素全为零的n阶矩阵，称为n阶数量矩阵，记作kE，即 00 0kE k ①kEkE(kk)E②(kE)(lE)(kl)E③(kE)1k1E(k评评注①数量矩阵kE乘以矩阵A等于数k乘矩阵A，且n阶数量矩阵kE与任意的n阶矩阵A可交换。②与任意n阶矩阵可交换的矩阵必是n阶数量矩阵对角⒈定nn作，即

aan或记作diag(a1,a2,,an)⒉性①对角阵左乘A等于ai乘A中的第i行的每个元素，

b1n

2n a

n

nn

a1b1na a a

2n a

a a

nn②对角阵右乘A等于ai乘A中的第i列的每个元

b1n

2n a

nn

na2b1na a a

2n a

a a nn③1221，即

a a a a n

b bn

aa n④若对角阵可逆，

a

a1 n a

a1 aa

a a ⑤若对角阵可逆，则1E，

a1 a

a1 n a

a

aa1 ⑥关于1 1a an a a n1 1a a an n三角⒈定n阶矩阵Aaij当ij时，aij0(j1,2,n1)的矩阵称为上三角矩阵即

a1n A

2n nn注注：当ij时，aij0j1,2,n1)的矩阵称为下三角矩阵⒉性①Aa11a22ann对称⒈定设

a1nA

2n nn是一个n阶矩阵，如果aijaji，则称A为对称矩阵⒉性①A是对称矩阵的充分必要条件是 ②若A,B为对称矩阵，则ABAB仍然为对称矩阵⒈定设

a1nA

2n a a

nn是一个n阶矩阵，如果aijaji，则称A 称矩阵。 a1n A

2n ⒉性①A是对称矩阵的充分必要条件是 ②对 称矩阵A，由于aiiaii，所以其主对角元aii全为零伴随⒈定设n阶矩阵A(aij)nn，Aij是行列式A中元素aij的代 式我们称cofA(Aij)nn为A的代数

An1 A*(cofA)T

n2 nn⒉性①AA*A*AAA*A②A1A③A*

A④(A*)*

An2⑤(AB)*B*⑥(A*)1(A1)*An r(A) ⑦r(A)1 r(A)n r(A)n正交⒈定若矩阵A满AATATA或A1则称A为正交矩阵⒉性①A②A1③若A是正交矩A1，积也是正交

也是正交矩阵；同阶正交矩阵秩为1的矩⒈定若矩阵A满则称A为秩为1的矩

A⒉性①r(A)②A第2.2 矩阵的运考点1——矩阵相若Aaij)mnBbij)mn，且aijbij(1im,1j则即

A a1n

b1n 2n

2n nn

nn考点2——矩阵加(减)定设A(aij)mnB(bij)mn，则AB(aijbij

a1n

b1n 2n

2n nn nna11

a12

a1nb1n

2n

nn加法的运算①交换②结合

ABB(AB)CA(BC③零矩阵满足A0A，其中0是与A同型的零矩④存在矩阵(A)AA0，此时，如Aaij)mn，则(A)(aij)mn(即A中每个元素都乘1)，并称(A)为A的负矩阵。进而我们定义矩阵的减ABA(B)考点3——矩阵的定设kRA(aij)mn，规

ka1n kA(ka)

2n

nn并称这个矩阵为k与A的数量乘积性设k,l是常数，矩阵的数量乘法满足以下运算①(kl)Ak(lA)②(kl)AkA③k(AB)kA考点4——矩阵的定义：设A是一个mn矩阵B是一个ns矩阵，

a1n

b1s A

2n，B

2s m

mn

ns则A与B之乘积AB(记作C(cij))是一个ms矩阵，n ai1b1jai2b2j aikbkjnk即矩阵CAB的第ij列元素cijA的第i行n个元素与B的第j列相应的n个元素分别相乘的乘积之和。评评注：两个矩阵A与B的乘积AB有意义(或说可乘)，要求A的列等于B的行数，否则A与B不可矩阵乘法满足的运①结合(AB)CA(BC②数乘结合

k(AB)(kA)B③分配

A(BC)AB(BC)ABA考点5——矩阵的转置把一个mn

a1n A

2n m mn的行列式得到的一个nm矩阵，称之为A的转置矩阵，记作AT

a1n

am1

A

2n

m2

m

mn

mn(2).性①(AT)T②(AB)TAT③(kA)T④(AB)TBT考点6——矩阵取行列式若A,B均为n阶矩阵，则ABAkAkn考点7——方阵高次幂An的计算方若AT，其中都是n1矩阵(即列向量)，则rA)1利用矩阵乘法结合律简化A的n次幂计算定理rA)1A2kAAnkn1Ankaii，n(T)(T)(TTTT(T)(T)(T)k(T)k1(T)k1nnn

kaa

n

kaa

(T

a)k1例：若A44

6 3，则An 12利用二项式展开定理展开定理：若矩阵A可分解为AaEB，由二项式展开定理得An(aEC0(aE)nB0C1(aE)n1B1C2(aE)n2 nCn(aE)0nanEnan1Bn(n1)an2B22若矩阵A分解

ABGB,G较简单又满足BG也可以利用二项展开定理计A(BC0BnG0C1Bn1G1C2Bn2G2 Cn2B2Gn2Cn1B1Gn1CnB0 若矩阵比较简单且满足Bk0则可以用以上二项式展开定理展开求得An。 3例1：若A 4，求010 010 解析因

3A 4 1 0 3 0 4 1 0 E所An(E C0EnB0C1En1B1C2En2B2Cn 又

3

3 8B2

4

4

0

0

0 0进

8

3 0B3

0

4

0

0

0 0于An(E C0EnB0C1En1B1C2En2B2Cn C0EnB0C1En1B1C2En 0 3 8

0n

4n(n1) 0 1 0

0 4n2n

第2.3 矩阵的考点1——矩阵秩的概念①子式的矩阵 (aij)mn的任意k行和k列的交点上的序排列的k阶行列

2个元素按原顺i ii i ii1 1 1i iii ii2 2 2 k k k称为A的k阶子行列式，简称A的k阶子式①当上述k阶子行列式等于零时，称为k阶零子式②当上述k阶子行列式不等于零时，称为k阶非零子式评评注如果矩阵A存在r阶非零子而所有的r1子式(如果有r1阶子式)都等于零，则矩阵A的非零子式的最高阶数为r，因为由所有r1子式都等于零可推出所有更高阶的子式都等于零。②矩阵秩的定⒈用子式来定义矩阵秩的矩阵A中非零子式的最高阶数r称为矩阵A的秩r(A)rr(A)n的n阶矩阵称为满秩矩rAr(列r(行注注：特别注意以下两点A中有r阶子式不为A中有r1阶子式全为零⒉行列式与矩阵秩的如果rA)r，则A中r阶子式全如果rAr，则A中有r阶子式不为零如果A0，则rA1如果A是n阶矩阵，则①r(A)A②r(A)AAA考点2——矩阵秩的①0r(A)minm,②r(AT)r(③r(kA)r( (k例1：已知r(EA)t，则r(AE) ④若AB，则rAr(B)⑤若P,Q可逆，则r(PAQ)r(⑥maxr(A),r(B)r(A,B)r(A)r(B)⑦r(AB)minr(A),rA可逆，rABr(B)，r(BAr(B)B可逆，rABrA)，r(BAr⑧若AB0，则rAr(B)n,r(A) ⑨r(A)1,r(A)n,r(A)n第2.4 矩阵的初等变换与初等矩考点1——矩阵的初等初等变3种形①倍乘变第i行(列)乘以k(k②倍加第i行(列)的k倍加到行(列③对换第i行(列)与第j行(列)

初等行、列变换统称初等变考点2——初等矩阵单位矩阵E经过一次初等变换所得到的的矩阵叫做初等矩阵用初等矩阵表示初等变对应于3类初等行、列变换，有3种类型的初等矩①初等倍乘矩 E(k) i 1 Ei(k)是由单位矩阵E第i行(或列)乘k(k0)而得到的②初等倍加矩

iE(k)

j 1 ki列 Eij(k)是由单位矩阵E第i行乘kj行而得到的；或者是由单位矩阵E第j列乘k加到第i列而得到的。③初等对换矩

i

j11i 用初等矩阵表示相应的初等变换的变变定理——左乘 、右乘变变设A为mn①对矩阵A施行一次初等行变换相当于在矩阵A的左边乘以一个相应的m阶初等矩阵；A施行一次初等列A的m阶初等矩阵；评注：请大家熟记下面的一般结Ei(k)A——表示A的第i行乘kEij(k)A——表示A的第i行乘k加到第j行EijA——表示A第i行与第j行对换位置BEi(k)——表示B的第i列乘kBEij(k)——表示B的第j列乘k加到第iBEij——表示B的第i列乘k加到第j初等矩阵的3个求逆初等矩阵的行列式都不等于零，因此初等矩阵1对初等矩阵再做一次同类初等变换就化为单位矩阵，1Ei(k)Ei(k)

可逆矩阵Eij(k)Ei(k)EEijEijE所以，初等矩阵的逆矩阵是同类初等矩 (kEik)， kk

1 1 1 E1(kE(k)，例如 1

1 E1E，例 1

1 3：设A是n阶可逆矩阵，交换A的1,2两行得矩阵B，则交换A*的1,2两列得交换A*的1,2两行得交换A*的1,2两列得B*交换A*的1,2两行得B*解析因

0 0A 1 则 0A1 0 1 0B1A1 0 1 0又对 0AB两边取行列式，得BA 1 则 0BB1AA1 00 10即 0B*A* 0 1 交换A*的1,2两列，得B*选考点3——矩阵等价(1).初等矩阵求逆①定理可逆矩阵A可以经过若干个初等矩阵P1,P2,Ps的乘积得到位矩阵E，PsP2P1A②定理：如果对可逆矩阵A和同阶单位矩阵E作同样的初等行变换，那么当A变为单位矩阵时E就变为A1，即行AE(E,A1)——重点把握 3例1：求A 4的逆矩314 314 因此，同样也可以用初等列变换求逆矩阵 1A 1E列 矩阵若A经过初等变换得到矩阵B，称A与B等价，PsP2P1AQ1Q2Qt简化

PAQ特别的，两个矩阵等价的充分必要条件r(A)r(B)第2.5 矩阵的可逆考点1——可逆矩阵的概念若矩阵BABBA则称矩阵A可逆(又称为非奇异)，且称矩阵B为A的逆矩阵，记作A1。可逆矩阵的①(A1)1②(AB)1B1③ A k⑤(AT)1(A1矩阵可逆的充要A满秩(非奇异)A②A的n个行(或列)向量线性③A可经过行、列初等变换化为单位④A可表示为一些初等矩阵的考点2——可逆矩阵的计算定义法(重点)AB行变换法(重点)：A|E(E|A1伴随矩阵A1

——最适用于2阶A分块矩阵求逆的2个特殊 0

0 B

B1 A1

B1 0 0

b 例：设A

，则 解析因则

A* b bA1 ad

a例：设A为n阶可逆矩阵，A32E，BA22AE，则B1 解析则

BA22AE(AE)2A32EA3EA3E(AE)(A2AE)(AE)11(A2AE3(AB)1B1(A2)1(A1 于 9 (A2AE9 0 0例：设A ，B(EA)1(E 0 7 则(EB)1 解析EBE(EA)1(E(EA)1(EA)(EA)1(E(EA)1(EA)(E2(E所(EB)12(EA)11(E2 4 4第2.6 伴随矩考点1——伴随矩阵的概念设n阶矩阵A(aij)nn，Aij是行列式A中元素aij的代 式我们cofA(Aij)nn为A的代数 式矩阵cofA的转置为A的伴随

An1 A*(cofA)T

n2 ⒉性①AA*A*AA

nnA*A②A1A③A*

A④(A*)*

An2⑤(AB)*B*⑥(A*)1(A1)*An r(A) ⑦r(A)1 r(A)n r(A)n考点2——伴随矩阵A*用定义求A*，需注意两点①算Aij时，不要丢掉正负号②不要排错Aij的位置间接法A*

A前提:是矩阵A可逆，且A1易求，一般适用于二阶矩阵重要

AA*A*AA①对AA*A*A

AE进行变形，两边取行列式，A*

A

0在，

⒈ A A1 A A*A*

AE (A*)1A ⒊ AAA*

AE恒成立因此，

A1(A1)*

(A1)*A(A*)1(A1)*A例：若A是n阶可逆矩阵，则(A*)* 解析所

AA*A*AAA*(A*)*(A*)*A*A*且A是n阶可逆矩阵，即r(A)n，则r(A*)即A*可逆。

(A*)*A*(A*)1A

AAn2A例：若A，B均为n阶可逆矩阵，则(AB)* 解析因所

AA*A*AA(AB)(AB)*(AB)*(AB)AB因为A，B均为n阶可逆矩阵，则A0，B所也即AB可逆，于

AB(AB)*

AB(AB)1

ABB1A1B*例4：设A为n阶矩

n,r(A)r(A*)

1,r(

n,r(A)n解析因为rA)n，则

A An1r(A*)因为rAn

A的n1阶子式全AijA*r(A*)因为rA)n1，A且A中有n1阶子式不为零，即存在Aij0A*r(A*) 因AA*AEr(A)r(A*)又r(A)n由①、②

r(A*) r(A*) 0 0例5：设A ，则r(A*)* 1 0 解析两次

n,r(A)r(A*)

1,r(

n,r(A)n因①n4，rAn1413r(A*)②n4，rA*)1n1，r(A*)*第2.7 矩阵方概述——矩阵方求解矩阵方程是一种常见的考题，几乎年年都考，大家一定视其解法大致分为两步进行：先化简方程再求解。因为已知如果矩阵方程中含有多个未知矩阵，所求切忌一起步就代入已知数据，那样做往往使运算复杂化，费错例1：已知A,B,C均为n阶矩阵，BEAB,CACA，则BC 解析由BEAB，得

(EA)B由CACA，得

B(ECA(EBC(EA)1A(E(EA)1(E第3.1 向量的基本概念与相关性考点1——向量的概定n个数a1,a2,,an构成的有序数组，称为n维向量。其①n维列向量a1a 2

ba a n

②n维行向

Ta1Ta 2

或 aa a n

向量

(即aibi)a1 b1a b 22 n n零向

ai考点2——向量的2种基本运①加法运a1 b1 a1b1a b ab

22 2 a a②数乘

n n nka1kak 2 3考点3——向量的内积a1a

b1b 2 2a a n则

b bnb1b(,)

a2 T

b bna1a

b

2

a a n特别地

(,)T

a1a

a 2 a2a2

a a na2aa2a2a212n将向量单位化后，a2a2a2a212n考点4——若(0，则称与正交。考点5——正交矩阵的几何意义与向量之间的关系若AATATAE，称A为正交矩阵。A是正交矩 A1A是正交矩

A2a1

b1

c1ba，b，cb 2

2

2ac ac 3

3

3由正交矩阵的 a3 c1 ATA

b

c

2

c 3 3 得 a2a2 a1b1a2b2 acacac

b2b2

3

b2a2

cacac

cbcbc

c2c2

1 即(,)(,)(,)(,)于是，可得以下关于正交矩阵的重要①各列向量的长度为②任意两个列向量的内积为③正交矩阵可逆A1AB均为n阶正交矩阵A

B0

A

0第3.2 线性相关考点1——线性相关对s个n维向量1,2,,s，若存在不全为零的k1,k2,ks使k11k22 则称1,2,,s线性相关由定义出发所推导出的重要1,2,,s线性k11k22 0，ki不全为零k1k

2

k k sx1x

20有非零

x x sr s 性相关、无关的证明题中，秩是一个很重要的工具特别地(1).n个n维向量线性 (2).n1个n维向量线性必相即向量个数向量维数。不用算，可以立即得abcd例：判断向量组b,c,d,e的相关性 向量的几何①相 ②1,2相 1,2共即如果1,2两个向量坐标成比例，则1,2相关；如果1,2两个向量坐标不成比例，则1,2无关。③1,2,3相关 1,2,3共面x1 3x20有非零x x 2r 31 3 0 2 1例1：如果1 ,2 ,3 线性相关，则t 5 3 t 考点2——线性定对s个n维向量1,2,,s，如k11k22 必k10,k20,,ks则称1,2,,s线性无关由定义出发所推导出的重要①1,2,,s1,s线性无1,2,,s1线性无即整体无关，部分也无关②1,2,,s线性无 1 1 2 s即低维无关 也无关13

1 32 4例1：若向量组2,4线性无关，则试判断a， 的相关性

c 例2：下列向量组1,2,,s中，线性无关

, , 0 0 abcd②.b,c,d,e ace ③.b,d,f 关于1,2,,s线性无关的证明方①定设k11k22 0，即k10,k20,,ks例1：设A是n阶矩阵，1,2,3是n维列向量A110A212A32证明：1,2,3线性无关②用若1,2,,s线性无关

x1x

20只有零 即

x x sr s1：设1,2,3线性无关，证3122,23,4351线性例2：假设1,2,3是线性无关的，则下列也是线性无A.12 23 3B.12 23 122C.122 2233 33D.123 2132223 3152第3.3 线性表考点1——线性表出的概念设1,2,,s是n维列向量，k1k2,ks为实k11k22是1,2,,s的线性组合线性若向量可以表k11k22 其中，k1k2,ks是实数，则称可由1,2,,s线性表出，或称是由1,2,,s的线性组合。向量可由1,2,,s线性表出实数k1k2,ks，使k11k22 实数k1k2,ks，使k1k

2

k k s方程

x1x

2有

x x sr sr 考点2——关于线性表出的关于向量可由1,2,,s线性表出的1：已1

11

2，a2，

b2

3320 3a32

a2b

3 问何时不能由1,2,3