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第三章晶体振动和晶体的热学性质一、晶体振动1.晶体振动晶体中的原子并不是在各自的平衡位置上固定不动,而是为绕其平衡位置作振动。2.振动的特点晶体中各原子的振动是相互联系的。3.振动模式用格波表述原子的各种振动模式。1第三章晶体振动和晶体的热学性质一、晶体振动1二、晶体振动的分类(根据振动的剧烈程度分类)1.晶格振动原子在平衡位置附近的微振动。2.空位或间隙原子少数原子脱离其格点的振动。3.熔解温度相当高,整个晶体瓦解,即长程序解体。三、晶格振动的特点1.当原子间相互作用微弱时,原子的振动可近似为相互独立的简谐振动。2.由于晶体的周期性,振动模式所取的能量值不是连续的,而是分立的。2二、晶体振动的分类(根据振动的剧烈程度分类)23.可以用一系列独立的简谐振子来描述这些独立而又分立的振动模式。简谐振子的能量用能量量子ħ(称为声子,由爱因斯坦引入,微振动模式的角频率)描述。振子之间不会发生相互作用,即不能有能量的交换。声子一旦被激发出来,它的数目就一直保持不便。不能把能量传递给其它频率的声子。4.如果原子间的相互作用稍强时,就必须考虑非简谐效应—声子间发生能量的交换。5.晶体的宏观性质,例如,比热、热膨胀和热传导等都与晶格振动有关。33.可以用一系列独立的简谐振子来描述这些独立而又分立的振动模§3.1一维原子链的振动

一、一维布喇菲晶格的振动1.原子的运动方程(1)振动示意图

m为原子质量;xn为位移。

n-2n-1n

n+1n+2第n个原子和第n+1个原子间的相对位移。4§3.1一维原子链的振动

一、一维布喇菲晶格的振动1.原(2)两原子间的相互作用力U(a):平衡时两原子间的互作用势能;U(a+):产生相对位移后的互作用势能。把U(a+)在平衡位置附近用泰勒级数展开,可得:简谐近似—振动很微弱,势能展式中只保留到二阶项。5(2)两原子间的相互作用力简谐近似—振动很微弱,势能展式中

>0间距增大

<0间距缩小f

f<0引力(r>a)f>0斥力(r<a)6>0<0ff<0f>06(3)只考虑近邻原子的相互作用时的受力分析

n-1

n

n+1

7(3)只考虑近邻原子的相互作用时的受力分析n-1(4)运动方程根据牛顿第二定律,可得第n个原子的运动方程:共有N个类似的运动方程。8(4)运动方程共有N个类似的运动方程。82.运动方程的求解及结果分析(1)方程的解振幅为A,角频率为的简谐振动。其中qna表示第n个原子的振动的位相因子。92.运动方程的求解及结果分析振幅为A,角频(2)结果分析①原子之间的振动存在着固定的位相关系或:10(2)结果分析或:10②格波

描述晶格中原子振动的、角频率为平面波称为格波。格波和连续介质波具有完全类似的形式。一个格波表示的是所有原子同时做频率为的振动。格波方程11②格波格波方程11不同原子间位相差:相邻原子的位相差:格波的波长:12不同原子间位相差:相邻原子的位相差:格波的波长:123.和q的关系——色散关系(振动频谱)133.和q的关系——色散关系(振动频谱)1314144.q的取值范围(1)周期性

是q的周期函数,周期为2/a。154.q的取值范围是q的周期函数,周期为2/a。15(2)q的取值范围

为了保证和q的一一对应关系,q的取值范围设定为:对于一维布喇菲格子,有:q的取值范围可写为:长度为:b。16(2)q的取值范围对于一维布喇菲格子,有:q的取值范围可写为二、一维复式晶格的振动1.原子的运动方程及其解(1)振动示意图

M、m分别为大、小原子质量,且M

>m。大、小原子等间距排列,原子间距为a,晶格常数为2a。大原子M排在偶数位置,小原子m排在奇数位置。如图所示:

2n-1

2n

2n+1

2n+2

2n+3

2n+4M>m17二、一维复式晶格的振动1.原子的运动方程及其解2n-1(2)只考虑近邻原子的相互作用时的受力分析①m(2n+1)原子受力分析m(2n+1)原子受合力18(2)只考虑近邻原子的相互作用时的受力分析①m(2n+1)原②M(2n+2)受力分析M(2n+2)所受合力:19②M(2n+2)受力分析M(2n+2)所受合力:19(3)运动方程(3)位移表达式(运动方程的解)①m(2n+1)运动方程②M(2n+2)运动方程20(3)运动方程(3)位移表达式(运动方程的解)①m(2n+12.

和q的关系

色散关系(振动频谱)。把位移表达式代入相应的运动方程,通过整理,可以得到

和q的色散关系。(1)m(2n+1)原子:212.和q的关系21(2)M(2n+2)原子方程组:22(2)M(2n+2)原子方程组:22(3)

和q的关系——色散关系(振动频谱)此方程组中,A、B若有异于零的解,其系数行列式必须等于零。23(3)和q的关系——色散关系(振动频谱)(4)结果分析由于

和q存在两种不同的色散关系,即存在两种独立的格波,所以一维复式晶格中存在则两种不同的格波,分别有着各自的色散关系。24(4)结果分析243.2的周期性

由于是q的周期函数,为了保证和q的一一对应关系,把q的取值范围定在:即:253.2的周期性即:2526264.1和2简析(1)1极小值与极大值274.1和2简析27(2)2极小值与极大值28(2)2极小值与极大值28(3)结论光学波声学波29(3)结论光学波声学波29①声学波

1支格波可以用声波来激发,称为声频支格波。简称声学波。②光学波

2支格波可以用光波来激发,称为光频支格波。简称光学波。(光学波也可以用超声波激发)光学波声学波30①声学波光学波声学波30三、声学波和光学波的物理意义1.一维复式格子和布喇菲格子中声学波的关系(1)和q的关系31三、声学波和光学波的物理意义1.一维复式格子和布喇菲格子中声3232(2)结论①一维复式格子中的声学波和一维布喇菲格子中的声学波在形式上是相同的。具有相似的波形;②一维布喇菲晶格中只有声学波,没有光学波。晶格常数:2a晶格常数:a33(2)结论晶格常数:2a晶格常数:a332.声学波的物理意义(1)声学波中,相邻两原子(M和m)的振动情况一般情况下有:342.声学波的物理意义一般情况下有:34结论

相邻原子是沿着同一方向振动的。当波长很长时,声学波实际上是代表原子质心的振动。声学波描述的是晶体中不同原胞之间的振动情况。35结论35(2)两种特殊振动36(2)两种特殊振动3637373.光学波的物理意义(1)光学波中,相邻两原子(M和m)的振动情况383.光学波的物理意义38结论

相邻两种不同的原子振动的方向是相反的。当波长很长时,原胞质心保持不动。光学波描述的是同一原胞中各原子之间的相对振动情况。39结论39(2)两种特殊振动40(2)两种特殊振动404141四、周期性边界条件(波恩-卡门边界条件)

1.波恩-卡门周期性边界条件对于有限的(N个原子组成)原子链,晶体两端原子的受力情况和内部的有所不同。123n-1n

n+1n+2N-1N(1)各原子受力分析即运动方程①n号原子:n42四、周期性边界条件(波恩-卡门边界条件)1.波恩-卡门周期②1号原子③N号原子——同理可得:④结论由于所有原子的方程都是联立的,1号原子和N号原子运动方程的差异将会使方程组的求解十分复杂,为了解决这一问题,波恩-卡门提出了如下的模型——波恩-卡门边界条件。43②1号原子③N号原子——同理可得:④结论43(2)波恩-卡门边界条件

假设对于给定的有限长为Na(a为晶格常数,N为原子个数)的晶体的边界之外,仍然有无穷多个和该晶体完全相同的晶体,并且这些完全相同的晶体内相对应的原子的运动状况是一样的,即第j(j=1,2,…N)个原子和第tN+j(t=1,2,…)个原子的运动情况是一样的。由于相互作用是短程的,所以,晶体内的绝大数原子受此假想晶体的影响很弱,完全可以忽略。

12j

N

N+1N+j2N

2N+12N+j3N

3N+1

tN+j44(2)波恩-卡门边界条件12.波恩-卡门边界条件在有限一维布喇菲格子中的应用1号原子应和N+1号原子的振动完全相同。即:

12j

N

N+1N+j2N

2N+12N+j3N

3N+1

tN+j452.波恩-卡门边界条件在有限一维布喇菲格子中的应用1号原子应46463.波恩-卡门边界条件在有限一维复式格子中的应用设晶体有N个原胞组成,每个原胞中含有两个不同的原子。由周期性边界条件可得:(2n+1)和[2N+(2n+1)]完全相同。即:473.波恩-卡门边界条件在有限一维复式格子中的应用48484.原胞数N和波矢q、角频率的关系(1)不管是布喇菲格子还是复式格子,波矢q数目等于晶体中原胞的数目N。(2)对于一维布喇菲格子,每个波矢q对应于一个角频率。总的角频率个数为N个。(3)对于一维复式格子,每个波矢q对应于n(n每个原胞中包含的原子数)个角频率

。总的角频率个数为nN个。5.结论(1)晶格振动波矢的数目=晶体原胞数;(2)晶格振动频率的数目=晶体自由度数。494.原胞数N和波矢q、角频率的关系496.波恩-卡门边界条件的其它表述形式

N个原子头尾相接形成一个环链,保持了所有原子等价的特点。N很大,原子运动近似为直线运动处理问题时要考虑到环链的循环性506.波恩-卡门边界条件的其它表述形式505151设第n个原子的位移为再增加N个原子之后,第N+n个原子的位移为则有:要求:波矢的取值范围l为整数l—N个整数值,q—N个分立的值。52设第n个原子的位移为再增加N个原子之后,第N+n个原子的位移(1)第一布里渊区包含N个状态;(2)每个波矢在第一布里渊区占的线度(3第一布里渊区的线度(4)第一布里渊区状态数7.第一布里渊区53(1)第一布里渊区包含N个状态;(2)每个波矢在第一布里渊区(3)如果用电磁波激发光学波,要激发的声子所用的电磁波波长在什么波段?例题一维复式格子中,如果计算:(1)光学波频率的最大值和最小值,声学波频率的最大值;(2)相应声子的能量,和;54(3)如果用电磁波激发光学波,要激发的声子所用的电磁波波长在(1)声学波的最大频率光学波的最大频率光学波的最小频率55(1)声学波的最大频率光学波的最大频率光学波的最小频率55(2)相应声子的能量(4)如果用电磁波激发光学波,要激发的声子所用的电磁波波长在什么波段?对应电磁波的能量和波长要激发的声子所用的电磁波波长在近红外线波段。56(2)相应声子的能量(4)如果用电磁波激发光学波,要激发§3.2晶格振动的量子化声子1.格波

描述晶格振动的波。对于微弱的晶格振动,在简谐近似的情况下,格波可以看成简谐波。每个格波都是一个独立的模式。可以用独立简谐振子来描述格波的独立模式。2.声子(ħ)简谐振子的能量量子。声子具有能量、动量。声子不是真正的粒子,而是表示状态的“准粒子”。晶格振动的能量是以ħ为单元来增、减能量的。格波与物质的相互作用可以理解为声子和晶体中原子、分子的相互碰撞。声子可与电子或光子发生作用。57§3.2晶格振动的量子化声子1.格波57一、一维布喇菲晶格振动时能量的计算1.位移xn(t)的计算(1)位移xn(t)是对所有状态的求和

由于周期性边界条件使波矢q只能取分离的不同值。而一个q对应于一个独立的模式,所以,每一个原子的振动是这些独立模式的叠加。振幅A和q有关,xn(t)可表示为:58一、一维布喇菲晶格振动时能量的计算1.位移xn(t)的计算振其中:q可以取N个值由于周期性,对于

l从(-N/2)+1到N/2求和,相当于对l从0到N-1求和。59其中:q可以取N个值由于周期性,对于l从(该式为一等比数列。60该式为一等比数列。60③结论61③结论61④同理可证如果按状态(波矢q)求和,只要看一个格点即可。每个格点的状态数为N。即原胞数。62④同理可证如果按状态(波矢q)求和,只要看一如果按格点求和,只要看一个状态即可。格点数为N。即原胞数。2.xn(t)的正则坐标表示方法63如果按格点求和,只要看一个状态即可。格点数为N(1)本征矢(2)本征矢组成的新坐标系中位移表示式xn(t)在状态空间的傅里叶展开式wq(t)位移分量64(1)本征矢(2)本征矢组成的新坐标系中位移表示式xn(t)65656666(5)xn(t)的正则坐标表示方法Qq(t)—正则坐标或称为简正坐标。67(5)xn(t)的正则坐标表示方法Qq(t)—正则坐标或称3.能量计算(1)势能xn可以看成是N个独立振动的叠加。683.能量计算xn可以看成是N个独立振动的叠加。68先对n求和,再对q,q’求和。69先对n求和,再对q,q’求和。69因为:70因为:70(2)动能71(2)动能71(3)总能量其中,每个单项代表一个谐振子的能量。共包括N项,总的能量是N个独立的谐振子能量之和。72(3)总能量其中,每个单项代表一个谐振子的能量。共包括N项,二、晶格振动的总能量1.三维晶格振动的总能量1.声子(1)声子

ħi(q):

晶格振动能量量子,称为声子。声子不是真实的粒子,只是一种准粒子。具有能量ħi(q),动量73二、晶格振动的总能量1.三维晶格振动的总能量1.声子73(3)声子和晶体的相互作用格波在晶体中传播受到散射可以看成声子和晶体中的原子、电子发生碰撞。(4)声子和其它粒子的相互作用电子、中子、光子与晶格的相互作用都可用这些粒子与晶体中声子的相互作用来描述。它们吸收或产生声子改变粒子本身的能量和动量。(2)声子的分布声子是玻色子,服从玻色统计分布。在温度T处于热平衡晶格中,声子ħi(q)的平均数目为:74(3)声子和晶体的相互作用(2)声子的分布743.三维晶体原胞数、波矢、模式数之间的关系晶体有N个原胞组成,每个原胞中含有n个原子。(1)波矢q数目——N。(晶体原胞数目)(2)晶体自由度数目——3nN。(3)晶体频率数目——3nN。(4)格波数目——3nN。(5)格波支数——3n支。每只对应N个。(6)声学波支数——3支。共有3N个。(7)光学波支数——(3n-3)支,共有(3n-3)N个

753.三维晶体原胞数、波矢、模式数之间的关系75例题分别由N个原胞组成的铝晶体(fcc)和金刚石晶体中,声学波、光学波的分布情况。铝晶体:铝是面心立方结构,是布拉菲格子,因此格波中只有3支声学波,而没有光学波。声学波的个数为3N个。金刚石:金刚石是面心立方结构,但是复式格子,n=2,格波支数共有3n支=6支,其中声学波3支,声学波的个数为3N个。光学波(3n-3)=3支,光学波的个数为3N个。76例题分别由N个原胞组成的铝晶体(fcc)和金刚石晶体中4.三维晶体波矢q的取值范围一维布拉菲格子一维复式格子774.三维晶体波矢q的取值范围一维布拉菲格子一维复式格子77三维晶体原胞数波矢q的取值范围78三维晶体原胞数波矢q的取值范围78第一布里渊区的体积状态密度每个状态所占的体积一二二三三四四一维晶体布里渊区划分79第一布里渊区的体积状态密度每个状态所占的体积一二二三三四四一§3.3长波近似

一、长声学波80§3.3长波近似

一、长声学波8081812.长声学波波速vp的计算

当波长很长时,q很小。822.长声学波波速vp的计算8283833.物理意义相邻原胞中原子振动的位相差趋于零,而且振幅也趋于相等。4.原因这是由于长声学波的波长远远大于原胞的线度,在半个波长内就包含了许多原胞,这些原胞都整体的沿同一方向运动。因此整个晶格可以近似地看成连续介质,而长声学波也就可以近似地被认为是弹性波。843.物理意义84二、一维连续晶体中弹性波波速的计算1.受力分析85二、一维连续晶体中弹性波波速的计算1.受力分析852.运动方程根据牛顿第二定律,其运动方程为:862.运动方程863.运动方程的解及结果分析(1)运动方程的解

(2)弹性波波速(相速度)把运动方程的解代入运动方程可得:873.运动方程的解及结果分析(2)弹性波波速(相速度)874.一维复式格子波速的计算由m+1原子的位移而引起的对第m各原子的恢复力还可以表示为:884.一维复式格子波速的计算由m+1原子的位移而引起的对第m各三、长光学波1.长光学波振动的特点光学波中,原胞中不同的原子相对地作振动。波长>>a(原胞的线度)时,声学波代表原胞质心的振动;光学波表示原胞中原胞的质心保持不动,相邻原子做反位相振动。对于正负离子组成的晶体,长光学波使晶格出现宏观极化。89三、长光学波1.长光学波振动的特点8990902.长光学波(1)两种正负离子组成的复式格子—立方晶体。(2)半波长内,正离子组成的布喇菲原胞同向位移,负离子组成的布喇菲原胞反向位移。(3)晶体中出现宏观的极化。(4)长光学波又称为极化波。912.长光学波913.长光学波的宏观方程(1)物理参量923.长光学波的宏观方程92(2)黄昆方程离子相对运动的动力学方程。准弹性恢复力电场E附加的恢复力正负离子相对位移产生的极化电场E产生的附加极化93(2)黄昆方程离子相对运动的动力学方程。准弹性恢复力电场E(3)黄昆方程的物理意义黄昆方程的解具有如下形式:其中q为波矢。94(3)黄昆方程的物理意义其中q为波矢。94(4)电介质中无自由电荷时的极化电场E只讨论无旋电场WL可得:极化电场E是纵向场,它趋于减少纵向位移,增加了纵向振动的恢复力,提高了光学波的纵向频率L0。95(4)电介质中无自由电荷时的极化电场E只讨论无旋电场WL可得(5)电介质中无自由电荷时的振动方程把和代入可得:96(5)电介质中无自由电荷时的振动方程把和代入可得:96(6)静电场下晶体的介电极化

静电场下由可得:代入可得:97(6)静电场下晶体的介电极化静电场下由可得:代入可得:97电场的频率远远高于晶格振动的频率(7)光频电场(高频)下晶体的介电极化

代入LST关系98电场的频率远远高于晶格振动的频率(7)光频电场(高频)下晶体4.结论(2)晶体中存在长光学纵波(LO)和长光学横波(TO)。(3)长光学纵波声子称为极化声子(LO),长光学纵波伴随有宏观的极化电场,极化声子→纵光学声子。(4)长光学横波伴随着有旋的宏观电磁场,长光学横波声子称为电磁声子(TO),长光学横波具有电磁性,可以和光场发生耦合。994.结论(2)晶体中存在长光学纵波(LO)和长光学横波(TO§3.4固体比热

一、经典理论对定容比热的描述1.比热表达式当温度不太低时,电子运动能量的变化对比热的贡献较小(约占1%左右),可以忽略。2.杜隆-珀替定律100§3.4固体比热

一、经典理论对定容比热的描述1.比热表3.杜隆-珀替定律的局限性(1)杜隆-珀替定律只是在温度比较高(300K以上)时和实验相符。(2)当温度较低时,杜隆-珀替定律和实验不符。定容比热不再是常数,而是随温度降低而降低。绝缘体的比热按T3趋于零;导体的比热按T趋于零。4.原因低温时,能量均分的经典理论已不再适用,必须用晶格振动的量子理论重新计算晶体的平均内能。1013.杜隆-珀替定律的局限性101二、量子理论对定容比热的描述1.平均内能的计算(1)振子能量(量子化)

102二、量子理论对定容比热的描述1.平均内能的计算102(2)温度为T时,频率为的振子的平均能量根据波尔兹曼统计理论,第n个量子态(En=nħ)在温度T出现的概率为:103(2)温度为T时,频率为的振子的平均能量103平均能量为:(3)晶体的平均能量104平均能量为:(3)晶体的平均能量104(4)晶体平均能量的积分表示105(4)晶体平均能量的积分表示1052.定容比热CV的计算如果要求晶体的定容比热,必须知道角频率分布函数()。

()的计算有两种用得比较广泛的计算模型:(1)爱因斯坦模型;(2)德拜模型。1062.定容比热CV的计算如果要求晶体的定容比热三、爱因斯坦模型1.爱因斯坦模型假设晶体中所有的原子都以相同的频率E

振动。2.晶体平均能量3.定容比热107三、爱因斯坦模型1.爱因斯坦模型假设3.定容比热1074.用爱因斯坦温度E表示定容比热5.爱因斯坦温度E的选取

采用试探法,选取合适的E,使得理论曲线和实验数据较好地吻合。大多数固体的E在100~300K之间。1084.用爱因斯坦温度E表示定容比热5.爱因斯坦温度E的选00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.0CV(J/K·mol)金刚石比热的实验值和爱因斯坦模型计算值的比较E=1320K10900.10.26.温度较高时的比热变化1106.温度较高时的比热变化1107.温度较低时的比热变化在低温区域,随着温度的降低,CV比实验结果(T3)更快地趋于零。主要原因是爱因斯坦模型的基本假设存在不足:(1)原子之间的振动不是独立的,是有联系的。(2)振动不是一个定值。格波的频率是不一样的。(3)低温时仍有声子的激发。1117.温度较低时的比热变化在低温区域,随着温度的降低,CV112112四、德拜模型1.德拜模型假设(1)晶体是各向同性的连续介质;格波看作弹性波。(2)纵波(一个)和横波(两个,独立)波速相等,用vp表示;(3)波矢q连续变化。2.波矢q的分布波矢空间(q空间)是状态空间,在波矢空间中,每一点(qxqyqz)所代表的是一个状态。113四、德拜模型1.德拜模型假设波矢空间(q空间1141143.角频率的分布4.比热的计算—把上式代入比热公式可得:1153.角频率的分布4.比热的计算—把上式代入比热公式可得:11116116把②式和③式代入①式可得:117把②式和③式代入①式可得:1175.当T>>D时1185.当T>>D时118和杜隆-珀替定律一致。119和杜隆-珀替定律一致。1196.当T<<D时1206.当T<<D时1207.德拜定律和实验结果的一致性德拜定律和实验符合得非常好,主要因为:(1)在低温时,长波的激发时主要的。而对于长波晶格可以当成连续的介质。即温度越低,德拜模型越接近实际情况。(2)德拜模型假设条件和实际相符合。主要适用于绝对温度几度以下的极低温度范围。1217.德拜定律和实验结果的一致性1210100200300CV/CV∞铝比热的实验值和德拜模型计算值的比较

D=396K1.00.80.60.40.212201008.D的计算(1)利用vp求D;一维复式格子波速的计算1238.D的计算一维复式格子波速的计算123124124(2)利用比热实验数据求D。晶体T(K)D(由比热求得)D(由弹性系数求得)NaCl10308320KCl3230246Ag4225216Zn4308305几种晶体的D的计算值125(2)利用比热实验数据求D。晶体T(K)D(由比热求得)9.D和温度T的关系(NaCl晶体)020406080100

T(K)320300280260D(T)实线—实验值点子—计算值1269.D和温度T的关系(NaCl晶体)0计算值和实验值存在差别的原因—德拜模型中的连续近似和实际晶体结构有差别。127计算值和实验值存在差别的原因—德拜模型中的连续近似和实际晶体00.40.81.21.618161284简立方晶格的频谱(KCl)()d×10312800.4简立方(KCl)晶格的D~T曲线020406080100

T(K)150140130120110D(T)实线—实验值点子—计算值129简立方(KCl)晶格的D~T曲线0§3.5非简谐效应

一、非简谐效应1.简谐效应当原子间相互作用微弱时,原子的振动可近似为相互独立的简谐振动。即原子所受的恢复力和其位移成正比,忽略了势能表示式中3以上的高次项。可以用一系列独立的简谐振子来描述这些独立而又分立的振动模式。振子之间不会发生相互作用,即不能有能量的交换。声子一旦被激发出来,它的数目就一直保持不便。不能把能量传递给其它频率的声子。130§3.5非简谐效应

一、非简谐效应1.简谐效应1302.非简谐效应如果考虑势能表示式中3以上的高次项,晶格的原子的振动就不能用一系列独立的线性谐振子描述,此时的线性谐振子之间有相互作用,即声子与声子之间将相互交换能量,某种频率的声子可以转换为另一频率的声子,即声子可以产生,也可以湮灭。通过声子之间的相互作用,当声子的分布达到热平衡后,晶格振动也就达到了热平衡。1312.非简谐效应1313.声子碰撞两个声子通过非简谐项的作用,而产生第三个声子的过程称为声子碰撞。4.声子碰撞遵守的定律声子间的碰撞遵守能量守恒定律和动量守恒定律。设两个声子的频率和波矢分别为1、q1和2、q2;第三个声子的频率和波矢为3、q3。则有:1323.声子碰撞1325.声子碰撞的类型(1)正常过程(Normalprocesses)满足下式的碰撞过程称为正常过程,简称N过程。声子吸收声子发射第一布里渊区1335.声子碰撞的类型声子吸收声子发射第一布里渊区133对于正常过程:正常过程(N过程)碰撞前后声子的总能量和总动量没有发生改变,只是把两个声子的能量和动量传递给第三个声子,净的热能流并不因碰撞而减少,热能流的方向也不因碰撞而偏转。如果声子的碰撞都是N过程,晶体的热导率将会是无穷大。134对于正常过程:正常过程(N过程)碰撞前后声子的总(2)倒逆过程(Umklappprocesses)满足下式的碰撞过程称为倒逆过程,简称U过程。声子吸收声子发射第一布里渊区135(2)倒逆过程(Umklappprocesses)声子吸收对于倒逆过程:倒逆过程(U过程)碰撞前后声子的准确动量不守恒。它表一种大角度散射,绳子运动的方向有了很大的改变,从而改变了热流的方向。U过程对热阻由贡献。136对于倒逆过程:倒逆过程(U过程)碰撞前后声子的准固体中存在温度梯度时,“声子气体”的密度分布是不均匀的,温度较高的区域将有产生较多的振动模式和具有较大的振动幅度,即有较多的声子被激发,“声子”密度高,这些声子通过和晶体中其它声子发生碰撞,总使得温度较低的区域具有同样的“声子”密度,因而“声子”在无规则运动的基础上产生定向运动—声子的扩散运动,相应的热量从晶体较高温度区域传到温度较低区域。二、热传导137固体中存在温度梯度时,“声子气体”的密度分1.能流密度单位时间内通过单位面积的热量。2.温度差和温度梯度的关系1381.能流密度2.温度差和温度梯度的关系1383.单位时间内通过单位面积的热量1393.单位时间内通过单位面积的热量139140140T=273KT=77KT=20K热导率

(W/m·K)声子平均自由程l(m)热导率

(W/m·K)声子平均自由程l(m)热导率

(W/m·K)声子平均自由程l(m)硅1504.3×10-815002.7×10-642004.1×10-4锗703.3×10-83003.3×10-713004.5×10-5石英晶体149.7×10-9661.5×10-77607.5×10-5CaF2117.2×10-9391.0×10-7851.0×10-5NaCl6.46.7×10-9295.0×10-7452.0×10-6LiF103.3×10-91504.0×10-780001.2×10-3热导率和声子的平均自由程141T=273KT=77KT=20K热导率(W/m·K)声子§3.6确定振动谱的实验方法1.晶格振动的振动谱晶格振动的频率和波矢间的关系(色散关系)称为晶格振动的振动谱。2.晶格振动的振动谱的实验测定方法(1)光子与晶格的非弹性散射;(2)X射线散射;(3)中子非弹性散射。142§3.6确定振动谱的实验方法1.晶格振动的振动谱1421.光波和晶格的相互作用(1)光波和离子晶体的长光学横波发生强烈耦合,形成声光子;(2)光子和晶格振动发生相互作用。①由于晶格振动使晶体内的电子分布、光学常数(折射率)发生相应的变化,从而使在晶体中传播的光波频率和波矢都发生相应的变化。②光电场使得晶体的力学性质(体弹性模量)发生变化,导致晶格振动发生变化。一、光子与晶格的非弹性散射1431.光波和晶格的相互作用一、光子与晶格的非弹性散射143入射光子的频率和波矢散射光子的频率和波矢光子与声子的作用过程满足:能量守恒动量守恒入射光子受到声子散射,变成散射光子,同时在晶格中产生或吸收一个声子,其频率和波矢分别为固定入射光的频率()和入射方向,测量不同方向的散射光的频率(

),可以得到声子的振动谱(~q)。2.光子和晶格振动相互作用的机理

光子受到声子的非弹性散射。144入射光子的频率和波矢散射光子的频率和波矢光子与声子的作用过程3.光子与长声学波声子相互作用—布里渊散射长声学波声子光子的频率光子被长声学波声子散射,人射光子与散射光子的波矢大小近似相等。c-光速;n-晶体的折射率。vp-晶体中的声速1453.光子与长声学波声子相互作用—布里渊散射长声学波声子光子长声学波声子的波矢近似地写成不同角度方向测得散射光子的频率,得到声子频率声子的波矢声子振动谱散射光和入射光的频率位移布里渊散射146长声学波声子的波矢近似地写成不同角度方向测得散射光子的频率,4.光子与光学波声子的相互作用——光子的拉曼散射

能量守恒动量守恒可见光或红外光k很小,光子与光波声子发生相互作用,要求声子的波矢q必须很小,光子的拉曼散射只限于光子与长光学波声子的相互作用。散射光和入射光的频率位移1474.光子与光学波声子的相互作用——光子的拉曼散射能量1.X光光子具有更高的频率(波矢可以很大),可以用来研究声子的振动谱。2.X射线的能量~10-4eV远远大于声子能量~10-2eV3.在实验技术上很难精确地直接测量X光在散射前后的能量差,因此确定声子的能量是很困难的。

二、X光非弹性散射4.声子的波矢1481.X光光子具有更高的频率(波矢可以很大),可以用来研究声子入射晶体时中子的动量和能量出射晶体后中子的动量和能量

三、中子非弹性散射能量守恒“+”号表示产生一个声子,“-”号表示吸收一个声子。动量守恒149入射晶体时中子的动量和能量出射晶体后中子的动量和能量三、中如果中子能量较小,不足以激发声子,在散射过程中只吸收声子,则有测得各个方位上入射中子和散射中子的能量差,确定声子的频率。根据入射中子和散射中子方向的几何关系,确定声子的波矢,得到声子的振动谱。从反应堆出来的慢中子的能量与声子的能量接近,容易测定中子散射前后的能量变化,直接给出声子能量的信息。

150如果中子能量较小,不足以激发声子,在散射过程中只吸收声子,则第三章晶体振动和晶体的热学性质一、晶体振动1.晶体振动晶体中的原子并不是在各自的平衡位置上固定不动,而是为绕其平衡位置作振动。2.振动的特点晶体中各原子的振动是相互联系的。3.振动模式用格波表述原子的各种振动模式。151第三章晶体振动和晶体的热学性质一、晶体振动1二、晶体振动的分类(根据振动的剧烈程度分类)1.晶格振动原子在平衡位置附近的微振动。2.空位或间隙原子少数原子脱离其格点的振动。3.熔解温度相当高,整个晶体瓦解,即长程序解体。三、晶格振动的特点1.当原子间相互作用微弱时,原子的振动可近似为相互独立的简谐振动。2.由于晶体的周期性,振动模式所取的能量值不是连续的,而是分立的。152二、晶体振动的分类(根据振动的剧烈程度分类)23.可以用一系列独立的简谐振子来描述这些独立而又分立的振动模式。简谐振子的能量用能量量子ħ(称为声子,由爱因斯坦引入,微振动模式的角频率)描述。振子之间不会发生相互作用,即不能有能量的交换。声子一旦被激发出来,它的数目就一直保持不便。不能把能量传递给其它频率的声子。4.如果原子间的相互作用稍强时,就必须考虑非简谐效应—声子间发生能量的交换。5.晶体的宏观性质,例如,比热、热膨胀和热传导等都与晶格振动有关。1533.可以用一系列独立的简谐振子来描述这些独立而又分立的振动模§3.1一维原子链的振动

一、一维布喇菲晶格的振动1.原子的运动方程(1)振动示意图

m为原子质量;xn为位移。

n-2n-1n

n+1n+2第n个原子和第n+1个原子间的相对位移。154§3.1一维原子链的振动

一、一维布喇菲晶格的振动1.原(2)两原子间的相互作用力U(a):平衡时两原子间的互作用势能;U(a+):产生相对位移后的互作用势能。把U(a+)在平衡位置附近用泰勒级数展开,可得:简谐近似—振动很微弱,势能展式中只保留到二阶项。155(2)两原子间的相互作用力简谐近似—振动很微弱,势能展式中

>0间距增大

<0间距缩小f

f<0引力(r>a)f>0斥力(r<a)156>0<0ff<0f>06(3)只考虑近邻原子的相互作用时的受力分析

n-1

n

n+1

157(3)只考虑近邻原子的相互作用时的受力分析n-1(4)运动方程根据牛顿第二定律,可得第n个原子的运动方程:共有N个类似的运动方程。158(4)运动方程共有N个类似的运动方程。82.运动方程的求解及结果分析(1)方程的解振幅为A,角频率为的简谐振动。其中qna表示第n个原子的振动的位相因子。1592.运动方程的求解及结果分析振幅为A,角频(2)结果分析①原子之间的振动存在着固定的位相关系或:160(2)结果分析或:10②格波

描述晶格中原子振动的、角频率为平面波称为格波。格波和连续介质波具有完全类似的形式。一个格波表示的是所有原子同时做频率为的振动。格波方程161②格波格波方程11不同原子间位相差:相邻原子的位相差:格波的波长:162不同原子间位相差:相邻原子的位相差:格波的波长:123.和q的关系——色散关系(振动频谱)1633.和q的关系——色散关系(振动频谱)13164144.q的取值范围(1)周期性

是q的周期函数,周期为2/a。1654.q的取值范围是q的周期函数,周期为2/a。15(2)q的取值范围

为了保证和q的一一对应关系,q的取值范围设定为:对于一维布喇菲格子,有:q的取值范围可写为:长度为:b。166(2)q的取值范围对于一维布喇菲格子,有:q的取值范围可写为二、一维复式晶格的振动1.原子的运动方程及其解(1)振动示意图

M、m分别为大、小原子质量,且M

>m。大、小原子等间距排列,原子间距为a,晶格常数为2a。大原子M排在偶数位置,小原子m排在奇数位置。如图所示:

2n-1

2n

2n+1

2n+2

2n+3

2n+4M>m167二、一维复式晶格的振动1.原子的运动方程及其解2n-1(2)只考虑近邻原子的相互作用时的受力分析①m(2n+1)原子受力分析m(2n+1)原子受合力168(2)只考虑近邻原子的相互作用时的受力分析①m(2n+1)原②M(2n+2)受力分析M(2n+2)所受合力:169②M(2n+2)受力分析M(2n+2)所受合力:19(3)运动方程(3)位移表达式(运动方程的解)①m(2n+1)运动方程②M(2n+2)运动方程170(3)运动方程(3)位移表达式(运动方程的解)①m(2n+12.

和q的关系

色散关系(振动频谱)。把位移表达式代入相应的运动方程,通过整理,可以得到

和q的色散关系。(1)m(2n+1)原子:1712.和q的关系21(2)M(2n+2)原子方程组:172(2)M(2n+2)原子方程组:22(3)

和q的关系——色散关系(振动频谱)此方程组中,A、B若有异于零的解,其系数行列式必须等于零。173(3)和q的关系——色散关系(振动频谱)(4)结果分析由于

和q存在两种不同的色散关系,即存在两种独立的格波,所以一维复式晶格中存在则两种不同的格波,分别有着各自的色散关系。174(4)结果分析243.2的周期性

由于是q的周期函数,为了保证和q的一一对应关系,把q的取值范围定在:即:1753.2的周期性即:25176264.1和2简析(1)1极小值与极大值1774.1和2简析27(2)2极小值与极大值178(2)2极小值与极大值28(3)结论光学波声学波179(3)结论光学波声学波29①声学波

1支格波可以用声波来激发,称为声频支格波。简称声学波。②光学波

2支格波可以用光波来激发,称为光频支格波。简称光学波。(光学波也可以用超声波激发)光学波声学波180①声学波光学波声学波30三、声学波和光学波的物理意义1.一维复式格子和布喇菲格子中声学波的关系(1)和q的关系181三、声学波和光学波的物理意义1.一维复式格子和布喇菲格子中声18232(2)结论①一维复式格子中的声学波和一维布喇菲格子中的声学波在形式上是相同的。具有相似的波形;②一维布喇菲晶格中只有声学波,没有光学波。晶格常数:2a晶格常数:a183(2)结论晶格常数:2a晶格常数:a332.声学波的物理意义(1)声学波中,相邻两原子(M和m)的振动情况一般情况下有:1842.声学波的物理意义一般情况下有:34结论

相邻原子是沿着同一方向振动的。当波长很长时,声学波实际上是代表原子质心的振动。声学波描述的是晶体中不同原胞之间的振动情况。185结论35(2)两种特殊振动186(2)两种特殊振动36187373.光学波的物理意义(1)光学波中,相邻两原子(M和m)的振动情况1883.光学波的物理意义38结论

相邻两种不同的原子振动的方向是相反的。当波长很长时,原胞质心保持不动。光学波描述的是同一原胞中各原子之间的相对振动情况。189结论39(2)两种特殊振动190(2)两种特殊振动4019141四、周期性边界条件(波恩-卡门边界条件)

1.波恩-卡门周期性边界条件对于有限的(N个原子组成)原子链,晶体两端原子的受力情况和内部的有所不同。123n-1n

n+1n+2N-1N(1)各原子受力分析即运动方程①n号原子:n192四、周期性边界条件(波恩-卡门边界条件)1.波恩-卡门周期②1号原子③N号原子——同理可得:④结论由于所有原子的方程都是联立的,1号原子和N号原子运动方程的差异将会使方程组的求解十分复杂,为了解决这一问题,波恩-卡门提出了如下的模型——波恩-卡门边界条件。193②1号原子③N号原子——同理可得:④结论43(2)波恩-卡门边界条件

假设对于给定的有限长为Na(a为晶格常数,N为原子个数)的晶体的边界之外,仍然有无穷多个和该晶体完全相同的晶体,并且这些完全相同的晶体内相对应的原子的运动状况是一样的,即第j(j=1,2,…N)个原子和第tN+j(t=1,2,…)个原子的运动情况是一样的。由于相互作用是短程的,所以,晶体内的绝大数原子受此假想晶体的影响很弱,完全可以忽略。

12j

N

N+1N+j2N

2N+12N+j3N

3N+1

tN+j194(2)波恩-卡门边界条件12.波恩-卡门边界条件在有限一维布喇菲格子中的应用1号原子应和N+1号原子的振动完全相同。即:

12j

N

N+1N+j2N

2N+12N+j3N

3N+1

tN+j1952.波恩-卡门边界条件在有限一维布喇菲格子中的应用1号原子应196463.波恩-卡门边界条件在有限一维复式格子中的应用设晶体有N个原胞组成,每个原胞中含有两个不同的原子。由周期性边界条件可得:(2n+1)和[2N+(2n+1)]完全相同。即:1973.波恩-卡门边界条件在有限一维复式格子中的应用198484.原胞数N和波矢q、角频率的关系(1)不管是布喇菲格子还是复式格子,波矢q数目等于晶体中原胞的数目N。(2)对于一维布喇菲格子,每个波矢q对应于一个角频率。总的角频率个数为N个。(3)对于一维复式格子,每个波矢q对应于n(n每个原胞中包含的原子数)个角频率

。总的角频率个数为nN个。5.结论(1)晶格振动波矢的数目=晶体原胞数;(2)晶格振动频率的数目=晶体自由度数。1994.原胞数N和波矢q、角频率的关系496.波恩-卡门边界条件的其它表述形式

N个原子头尾相接形成一个环链,保持了所有原子等价的特点。N很大,原子运动近似为直线运动处理问题时要考虑到环链的循环性2006.波恩-卡门边界条件的其它表述形式5020151设第n个原子的位移为再增加N个原子之后,第N+n个原子的位移为则有:要求:波矢的取值范围l为整数l—N个整数值,q—N个分立的值。202设第n个原子的位移为再增加N个原子之后,第N+n个原子的位移(1)第一布里渊区包含N个状态;(2)每个波矢在第一布里渊区占的线度(3第一布里渊区的线度(4)第一布里渊区状态数7.第一布里渊区203(1)第一布里渊区包含N个状态;(2)每个波矢在第一布里渊区(3)如果用电磁波激发光学波,要激发的声子所用的电磁波波长在什么波段?例题一维复式格子中,如果计算:(1)光学波频率的最大值和最小值,声学波频率的最大值;(2)相应声子的能量,和;204(3)如果用电磁波激发光学波,要激发的声子所用的电磁波波长在(1)声学波的最大频率光学波的最大频率光学波的最小频率205(1)声学波的最大频率光学波的最大频率光学波的最小频率55(2)相应声子的能量(4)如果用电磁波激发光学波,要激发的声子所用的电磁波波长在什么波段?对应电磁波的能量和波长要激发的声子所用的电磁波波长在近红外线波段。206(2)相应声子的能量(4)如果用电磁波激发光学波,要激发§3.2晶格振动的量子化声子1.格波

描述晶格振动的波。对于微弱的晶格振动,在简谐近似的情况下,格波可以看成简谐波。每个格波都是一个独立的模式。可以用独立简谐振子来描述格波的独立模式。2.声子(ħ)简谐振子的能量量子。声子具有能量、动量。声子不是真正的粒子,而是表示状态的“准粒子”。晶格振动的能量是以ħ为单元来增、减能量的。格波与物质的相互作用可以理解为声子和晶体中原子、分子的相互碰撞。声子可与电子或光子发生作用。207§3.2晶格振动的量子化声子1.格波57一、一维布喇菲晶格振动时能量的计算1.位移xn(t)的计算(1)位移xn(t)是对所有状态的求和

由于周期性边界条件使波矢q只能取分离的不同值。而一个q对应于一个独立的模式,所以,每一个原子的振动是这些独立模式的叠加。振幅A和q有关,xn(t)可表示为:208一、一维布喇菲晶格振动时能量的计算1.位移xn(t)的计算振其中:q可以取N个值由于周期性,对于

l从(-N/2)+1到N/2求和,相当于对l从0到N-1求和。209其中:q可以取N个值由于周期性,对于l从(该式为一等比数列。210该式为一等比数列。60③结论211③结论61④同理可证如果按状态(波矢q)求和,只要看一个格点即可。每个格点的状态数为N。即原胞数。212④同理可证如果按状态(波矢q)求和,只要看一如果按格点求和,只要看一个状态即可。格点数为N。即原胞数。2.xn(t)的正则坐标表示方法213如果按格点求和,只要看一个状态即可。格点数为N(1)本征矢(2)本征矢组成的新坐标系中位移表示式xn(t)在状态空间的傅里叶展开式wq(t)位移分量214(1)本征矢(2)本征矢组成的新坐标系中位移表示式xn(t)2156521666(5)xn(t)的正则坐标表示方法Qq(t)—正则坐标或称为简正坐标。217(5)xn(t)的正则坐标表示方法Qq(t)—正则坐标或称3.能量计算(1)势能xn可以看成是N个独立振动的叠加。2183.能量计算xn可以看成是N个独立振动的叠加。68先对n求和,再对q,q’求和。219先对n求和,再对q,q’求和。69因为:220因为:70(2)动能221(2)动能71(3)总能量其中,每个单项代表一个谐振子的能量。共包括N项,总的能量是N个独立的谐振子能量之和。222(3)总能量其中,每个单项代表一个谐振子的能量。共包括N项,二、晶格振动的总能量1.三维晶格振动的总能量1.声子(1)声子

ħi(q):

晶格振动能量量子,称为声子。声子不是真实的粒子,只是一种准粒子。具有能量ħi(q),动量223二、晶格振动的总能量1.三维晶格振动的总能量1.声子73(3)声子和晶体的相互作用格波在晶体中传播受到散射可以看成声子和晶体中的原子、电子发生碰撞。(4)声子和其它粒子的相互作用电子、中子、光子与晶格的相互作用都可用这些粒子与晶体中声子的相互作用来描述。它们吸收或产生声子改变粒子本身的能量和动量。(2)声子的分布声子是玻色子,服从玻色统计分布。在温度T处于热平衡晶格中,声子ħi(q)的平均数目为:224(3)声子和晶体的相互作用(2)声子的分布743.三维晶体原胞数、波矢、模式数之间的关系晶体有N个原胞组成,每个原胞中含有n个原子。(1)波矢q数目——N。(晶体原胞数目)(2)晶体自由度数目——3nN。(3)晶体频率数目——3nN。(4)格波数目——3nN。(5)格波支数——3n支。每只对应N个。(6)声学波支数——3支。共有3N个。(7)光学波支数——(3n-3)支,共有(3n-3)N个

2253.三维晶体原胞数、波矢、模式数之间的关系75例题分别由N个原胞组成的铝晶体(fcc)和金刚石晶体中,声学波、光学波的分布情况。铝晶体:铝是面心立方结构,是布拉菲格子,因此格波中只有3支声学波,而没有光学波。声学波的个数为3N个。金刚石:金刚石是面心立方结构,但是复式格子,n=2,格波支数共有3n支=6支,其中声学波3支,声学波的个数为3N个。光学波(3n-3)=3支,光学波的个数为3N个。226例题分别由N个原胞组成的铝晶体(fcc)和金刚石晶体中4.三维晶体波矢q的取值范围一维布拉菲格子一维复式格子2274.三维晶体波矢q的取值范围一维布拉菲格子一维复式格子77三维晶体原胞数波矢q的取值范围228三维晶体原胞数波矢q的取值范围78第一布里渊区的体积状态密度每个状态所占的体积一二二三三四四一维晶体布里渊区划分229第一布里渊区的体积状态密度每个状态所占的体积一二二三三四四一§3.3长波近似

一、长声学波230§3.3长波近似

一、长声学波80231812.长声学波波速vp的计算

当波长很长时,q很小。2322.长声学波波速vp的计算82233833.物理意义相邻原胞中原子振动的位相差趋于零,而且振幅也趋于相等。4.原因这是由于长声学波的波长远远大于原胞的线度,在半个波长内就包含了许多原胞,这些原胞都整体的沿同一方向运动。因此整个晶格可以近似地看成连续介质,而长声学波也就可以近似地被认为是弹性波。2343.物理意义84二、一维连续晶体中弹性波波速的计算1.受力分析235二、一维连续晶体中弹性波波速的计算1.受力分析852.运动方程根据牛顿第二定律,其运动方程为:2362.运动方程863.运动方程的解及结果分析(1)运动方程的解

(2)弹性波波速(相速度)把运动方程的解代入运动方程可得:2373.运动方程的解及结果分析(2)弹性波波速(相速度)874.一维复式格子波速的计算由m+1原子的位移而引起的对第m各原子的恢复力还可以表示为:2384.一维复式格子波速的计算由m+1原子的位移而引起的对第m各三、长光学波1.长光学波振动的特点光学波中,原胞中不同的原子相对地作振动。波长>>a(原胞的线度)时,声学波代表原胞质心的振动;光学波表示原胞中原胞的质心保持不动,相邻原子做反位相振动。对于正负离子组成的晶体,长光学波使晶格出现宏观极化。239三、长光学波1.长光学波振动的特点89240902.长光学波(1)两种正负离子组成的复式格子—立方晶体。(2)半波长内,正离子组成的布喇菲原胞同向位移,负离子组成的布喇菲原胞反向位移。(3)晶体中出现宏观的极化。(4)长光学波又称为极化波。2412.长光学波913.长光学波的宏观方程(1)物理参量2423.长光学波的宏观方程92(2)黄昆方程离子相对运动的动力学方程。准弹性恢复力电场E附加的恢复力正负离子相对位移产生的极化电场E产生的附加极化243(2)黄昆方程离子相对运动的动力学方程。准弹性恢复力电场E(3)黄昆方程的物理意义黄昆方程的解具有如下形式:其中q为波矢。244(3)黄昆方程的物理意义其中q为波矢。94(4)电介质中无自由电荷时的极化电场E只讨论无旋电场WL可得:极化电场E是纵向场,它趋于减少纵向位移,增加了纵向振动的恢复力,提高了光学波的纵向频率L0。245(4)电介质中无自由电荷时的极化电场E只讨论无旋电场WL可得(5)电介质中无自由电荷时的振动方程把和代入可得:246(5)电介质中无自由电荷时的振动方程把和代入可得:96(6)静电场下晶体的介电极化

静电场下由可得:代入可得:247(6)静电场下晶体的介电极化静电场下由可得:代入可得:97电场的频率远远高于晶格振动的频率(7)光频电场(高频)下晶体的介电极化

代入LST关系248电场的频率远远高于晶格振动的频率(7)光频电场(高频)下晶体4.结论(2)晶体中存在长光学纵波(LO)和长光学横波(TO)。(3)长光学纵波声子称为极化声子(LO),长光学纵波伴随有宏观的极化电场,极化声子→纵光学声子。(4)长光学横波伴随着有旋的宏观电磁场,长光学横波声子称为电磁声子(TO),长光学横波具有电磁性,可以和光场发生耦合。2494.结论(2)晶体中存在长光学纵波(LO)和长光学横波(TO§3.4固体比热

一、经典理论对定容比热的描述1.比热表达式当温度不太低时,电子运动能量的变化对比热的贡献较小(约占1%左右),可以忽略。2.杜隆-珀替定律250§3.4固体比热

一、经典理论对定容比热的描述1.比热表3.杜隆-珀替定律的局限性(1)杜隆-珀替定律只是在温度比较高(300K以上)时和实验相符。(2)当温度较低时,杜隆-珀替定律和实验不符。定容比热不再是常数,而是随温度降低而降低。绝缘体的比热按T3趋于零;导体的比热按T趋于零。4.原因低温时,能量均分的经典理论已不再适用,必须用晶格振动的量子理论重新计算晶体的平均内能。2513.杜隆-珀替定律的局限性101二、量子理论对定容比热的描述1.平均内能的计算(1)振子能量(量子化)

252二、量子理论对定容比热的描述1.平均内能的计算102(2)温度为T时,频率为的振子的平均能量根据波尔兹曼统计理论,第n个量子态(En=nħ)在温度T出现的概率为:253(2)温度为T时,频率为的振子的平均能量103平均能量为:(3)晶体的平均能量254平均能量为:(3)晶体的平均能量104(4)晶体平均能量的积分表示255(4)晶体平均能量的积分表示1052.定容比热CV的计算如果要求晶体的定容比热,必须知道角频率分布函数()。

()的计算有两种用得比较广泛的计算模型:(1)爱因斯坦模型;(2)德拜模型。2562.定容比热CV的计算如果要求晶体的定容比热三、爱因斯坦模型1.爱因斯坦模型假设晶体中所有的原子都以相同的频率E

振动。2

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